數(shù)學(xué)建模報(bào)告生產(chǎn)批量與單位成本的關(guān)系

姓名：吳濤學(xué)號：20120241188 班級：數(shù)信12-3時(shí)間：2014.3.17摘要本題是求某工廠產(chǎn)品的生產(chǎn)批量與單位成本的關(guān)系,要用到數(shù)學(xué)建模中常見的“統(tǒng)計(jì)回歸模型”。由于客觀事物內(nèi)部關(guān)系的復(fù)雜性及人們認(rèn)識(shí)程度的限制，無法分析實(shí)際對象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機(jī)理規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，那么我們需要收集大量的數(shù)據(jù)，基于對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析去建立模型。

對于本題，已為我們提供了數(shù)據(jù)，并認(rèn)為生產(chǎn)量在500以內(nèi)時(shí)，單位成本對生產(chǎn)批量服從一種線性關(guān)系，在超過500時(shí)服從另一種線性關(guān)系。因此我們通過分階段討論并分別用MTALAB數(shù)學(xué)軟件找出一個(gè)最為理想的線性回歸模型。對此我們使用了MTALAB數(shù)學(xué)軟件的regress命令求解，通過觀察散點(diǎn)圖來大體估計(jì)其服從的線性關(guān)系，再套用不同線性關(guān)系并從中找到最為理想并且簡便的線性關(guān)系。我們把生產(chǎn)批量在500以內(nèi)的記為，對應(yīng)的單位成本記為，超過500的記為，單位成本記為。依此用MTALAB畫出其散點(diǎn)圖，隨后，我們對模型進(jìn)行了可行分析，對模型進(jìn)行了恰當(dāng)?shù)脑u價(jià)，我們認(rèn)為該模型在不考慮其他因素影響的條件下可以推廣。問題重述下表給出了某工廠產(chǎn)品的生產(chǎn)批量和單位成本（元）的數(shù)據(jù)，從散點(diǎn)圖可以明顯地發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)批量在500以內(nèi)時(shí)，單位成本對生產(chǎn)批量服從一種線性關(guān)系，生產(chǎn)批量超過500時(shí)服從另一種線性關(guān)系，此時(shí)單位成本明顯下降。希望你構(gòu)造一個(gè)合適的回歸模型全面地描述生產(chǎn)批量與單位成本的關(guān)系。生產(chǎn)批量650340400800300600720480440540750單位成本2.484.454.521.384.652.962.184.044.203.101.50二、基本假設(shè)假設(shè)1：單位成本只受生產(chǎn)批量的影響，不考慮可能存在的其它因數(shù)的影響。假設(shè)2：在整個(gè)生產(chǎn)過程中，其單位成本不隨時(shí)間和生產(chǎn)的方式的改變。假設(shè)3：根據(jù)題中已經(jīng)給出的數(shù)據(jù)，假定所有數(shù)據(jù)都真實(shí)可靠。表格SEQ表格\*ARABIC1然后，對數(shù)據(jù)進(jìn)行殘差分析：圖3殘差分析圖1從結(jié)果可以看出，應(yīng)將第二個(gè)點(diǎn)去掉后再進(jìn)行擬合：得到模型（1）的回歸系數(shù)估計(jì)值及其置信水平、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,F,p的結(jié)果見表2.參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間5.5749[5.0902，6.0596]-0.0032[-0.0044，-0.0020]F=40.8967p=0.0238682表格SEQ表格\*ARABIC2可見R的平方非常接近1.說明模型較準(zhǔn)確。于是得到模型（1）：將和的數(shù)據(jù)分別輸入MATLAB：得到模型（1）的回歸系數(shù)估計(jì)值及其置信水平、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,F,p的結(jié)果見表3.參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間7.1158[5.4316，8.8000]10.0072[-0.0096，-0.0047]表格3于是得到模型（2）：對數(shù)據(jù)進(jìn)行殘差分析：由圖可知，數(shù)據(jù)無異常點(diǎn)。綜合模型（1）和（2）可得：或由于數(shù)據(jù)點(diǎn)本來就很少，模型（2）中去掉一數(shù)據(jù)點(diǎn)，所以模型不具說服力。2.模型（3）：若直接考慮全組數(shù)據(jù)，對整個(gè)11組數(shù)據(jù)直接擬合。繪出散點(diǎn)圖圖5y對x的散點(diǎn)圖將x和y的數(shù)據(jù)分別輸入MATLAB計(jì)算：得到模型（1）的回歸系數(shù)估計(jì)值及其置信水平、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,F,p的結(jié)果見表4.參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間7.0779[6.48457.6713]-0.0070[-0.0081-0.0060]表格SEQ表格\*ARABIC3,即單位成本y的96.3097%能由模型確定，p遠(yuǎn)小于0.05，因而模型是可用的。所以模型（3）為：圖6殘差分析圖3殘差分析顯示沒有異常點(diǎn)，模型比較準(zhǔn)確。3.模型（4）：從中模型（3）中我們已經(jīng)可以發(fā)現(xiàn)整組數(shù)據(jù)本身就服從置信度較高的線性關(guān)系。但是題目卻仍然告訴我們：生產(chǎn)批量在500以內(nèi)時(shí)，單位成本對生產(chǎn)批量服從一種線性關(guān)系，生產(chǎn)批量超過500時(shí)服從另一種線性關(guān)系。于是我們開始考慮再引入一個(gè)虛擬變量A。,并加入一項(xiàng)再次進(jìn)行擬合。得到結(jié)果：參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間6.1621[5.03687.2874]-0.0047[-0.0074-0.0020]-0.0036[-0.00760.0003]模型為：。5.3結(jié)果的分析綜合上面的擬合結(jié)果我們采用模型4，它既能緊密結(jié)合題意對數(shù)據(jù)進(jìn)行分開討論，且能高達(dá)97.63%。是所有模型中準(zhǔn)確度最高的。我們帶回?cái)?shù)據(jù)對它進(jìn)行檢驗(yàn)后也發(fā)現(xiàn)這個(gè)模型的計(jì)算結(jié)果幾乎等于已知的結(jié)果，再次說明了結(jié)果的準(zhǔn)確性。六、模型的評價(jià)與推廣6.1模型的評價(jià)本文優(yōu)點(diǎn)：邏輯性強(qiáng)，過程簡潔，通俗易懂，讓人一目了然。本文缺點(diǎn)：將切割進(jìn)行了理想化分析，與實(shí)際情況有一定偏差。6.2模型的推廣可以通過本題得多變量最優(yōu)化模型對于一些規(guī)劃問題，均可用本題的模型來求解。七、附錄程序1：兩段直線，x小于500時(shí)：>>x1=[340,400,300,480,440]'; >>y1=[4.45,4.52,4.65,4.04,4.20]';>>X=[ones(size(x1))x1];>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y1,X)b=5.5863-0.0031bint=4.57436.5983-0.0056-0.0006r=-0.08310.1728-0.0070-0.0594-0.0233rint=-0.40610.23990.05530.2902-0.29510.2811-0.32850.2097-0.39810.3514stats=0.833214.98680.03050.0136>>stepwise(X,y1,[1,2])>>rcoplot(r,rint)兩段直線，x大于500時(shí)：>>x2=[650,800,600,720,540,750]';>>y2=[2.48,1.38,2.96,2.18,3.10,1.50]';>>X=[ones(size(x2))x2];>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y2,X)b=7.1158-0.0072bint=5.43168.8000-0.0096-0.0047r=0.0222-0.00280.14390.2239-0.1460-0.2411rint=-0.53980.5843-0.44940.4437-0.32720.6151-0.19910.6469-0.48740.1953-0.60150.1192stats=0.942065.01530.00130.0377>>stepwise(X,y2,[1,2])>>rcoplot(r,rint)程序2：一條直線>>x1=[650,340,400,800,300,600,720,480,440,540,750]';>>y1=[2.48,4.45,4.52,1.38,4.65,2.96,2.18,4.04,4.20,3.10,1.50]';>>X=[ones(size(x1))x1];>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y1,X)b=7.0779-0.0070bint=6.48457.6713-0.0081-0.0060r=-0.0202-0.23340.2592-0.0638-0.31510.10770.17280.34260.2209-0.1749-0.2959rint=-0.57460.5343-0.71650.2498-0.24200.7603-0.55390.4264-0.74250.1123-0.44880.6642-0.34210.6877-0.14720.8324-0.30380.7456-0.72340.3737-0.75910.1673stats=0.9631234.89360.00000.0612>>stepwise(X,y1,[1,2])>>rcoplot(r,rint)加入虛擬變量A后的程序：>>y=[2.48004.45004.52001.38004.65002.96002.18004.04004.20003.10001.5000]';>>x=[111111111116503404008003006007204804405407501500030001002200040250]';>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)b=6.1621-0.0047-0.0036bint=5.03687.2874-0.0074-0.0020-0.00760.0003r=-0.0632-0.10360.25020.0904-0.0929-0.00100.22180.14870.1194-0.3624-0.2074rint=-0.54190.4156-0.52030.3130-0.17020.6706-0.29