2023年全國中學生數學奧林匹克競賽（預賽）暨全國高中數學聯合競賽一試及加試試題（B）卷加試解析

12023年全國中學生數學奧林匹克競賽(預賽)暨2023年全國高中數學聯合競賽1.評閱試卷時，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，10分為一個檔次，不得增加其他中間檔次.一.(本題滿分40分)如圖，△ABC的外心為O,在邊AB上取一點D,延長OD至點E,使得A,O,B,E四點共圓.若OD=2,AD=3,BD=4,CD=5,證明：△ABE與△CDE的周長相等.證明：由A,O,B,E共圓得AD·BD=OD·DE,又OD=2,AD=3,BD=4,所以DE=6.……………10分由OA=OB得∠OAD=∠OEA,故△OAD∽△OEA,所以OA2=OD·OE=2×(2+6)=16,得OA=4.知OC=4,又CD=5,由知OC=4,又CD=5,故……………20分……………30分故EC=2CD=10.AB+AE+BE=7+6+8=21,CD+DE+EC=5+6+10=21,即△ABE與△CDE的周長相等.……………40分二.(本題滿分40分)設m,n是給定的整數，m≥n≥3.求具有下述性質在n個藍色的數y,,y?,…,y。(允許相同),滿足y?+y?+…+y?-<y,·2解：答案是mn-n+1.對k<mn-n,可在上述例子中刪去大于k的數，則得到不符合要求的例子.因此所求k≥mn-n+1.………………10分下面證明k=mn-n+1具有題述性質.假設可將1,2,…,mn-n+1中的每個數染為紅色或藍色，使得結論不成立.情形一：若1是紅色的數，則紅色的數均不超過m-1,否則可取一個………………20分故m,m+1,…,mn-n+1均為藍色的數，此時取y?=y?=…=y?-=m,y,=mn-n+1,有y?+y?+…+y?-1=m(n-l)<mn-m+l≤mn-n+1=y?,(*)與假設矛盾.………………30分情形二：若1是藍色的數，則同情形一可知藍色的數均不超過n-1,故n,n+1,…,mn-n+1均是紅色的數.此時取x?=x?=…=Xm-1=n,xm=mn-n+1,與(*)類似，可得矛盾，綜上，所求最小的正整數k=mn-n+1………………40分證明你的結論.系數為2k-2024,從而…………20分3S≤1010×1012-1011×44<10?,(1)a+b+c+d=2023;(2)ab+ac+ad+bc+bd+cd(a+b)(a+c)(a+d)=a2(a+b+c+d)+(abc+bcd+cda+dab)是2023的倍數，故a+b,a+c,a+d中至少有一個是7的倍數.……………10分由對稱性，不妨設a+b是7的倍數，則c+d=2023-(a+b)也是7的倍數，ac+ad+bc+bd=(a+b)(c+d)也是7的倍數，故結合(2)知ab+cd是7的倍a2+c2=a(a+b)+c(c+d)-(ab+cd)也是7的倍數.又平方數除以7的余數只能是0,1,2,4,因此a2,c2只能同時是7因此a+b,a+c,a+d中至少有兩個是17的倍數.不妨設a+b,a+c都是17的ab+ac+ad+bc+bd+cd=(a+b