專題02 空間動點(diǎn)軌跡8種題型歸類（原卷版）

專題02空間動點(diǎn)軌跡8種題型歸類一、鞏固提升練【題型一】空間動點(diǎn)恒平行型軌跡【題型二】空間動點(diǎn)恒垂直型軌跡【題型三】平行與垂直綜合型軌跡【題型四】空間線段長度定值型軌跡【題型五】空間定長線段中點(diǎn)型軌跡【題型六】空間動點(diǎn)角度定值型軌跡【題型七】空間翻折型動點(diǎn)軌跡【題型八】空間阿波羅尼斯球（圓）型軌跡二、能力培優(yōu)練熱點(diǎn)好題歸納【題型一】空間動點(diǎn)恒平行型軌跡知識點(diǎn)與技巧：空間點(diǎn)的軌跡幾種常見情形：（1）平面內(nèi)到空間定點(diǎn)的距離等于定長，可結(jié)合球面得軌跡；（2）與定點(diǎn)的連線與某平面平行，利用平行平面得點(diǎn)的軌跡；（3）與定點(diǎn)的連線與某直線垂直，利用垂直平面得點(diǎn)的軌跡；（4）與空間定點(diǎn)連線與某直線成等角，可結(jié)合圓錐側(cè)面得軌跡；1.（2023秋·湖南·高二株洲市第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正方體的邊長為4，點(diǎn)E是棱CD的中點(diǎn)，P為四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動點(diǎn)，且滿足平面，則點(diǎn)P的軌跡長為（

）A． B．2 C． D．12.（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)F軌跡的長度為（

）A． B． C． D．3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，M為A1C1的中點(diǎn)N為側(cè)面上的一點(diǎn)，且MN//平面，若點(diǎn)N的軌跡長度為2，則（

）

A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝64.（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）在棱長為4的正方體中，點(diǎn)滿足，，分別為棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動，滿足面，則點(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的周長為（

）A． B． C． D．【題型二】空間動點(diǎn)恒垂直型軌跡1.（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在體積為6的三棱錐中，PA?PB?PC兩兩互相垂直，，若點(diǎn)M是底面內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)M的軌跡長度的最大值為（

）A．6 B．3 C． D．2.（2023春·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E在CD上，現(xiàn)將沿AE折起，使面面ABC，當(dāng)E從D運(yùn)動到C，求點(diǎn)D在面ABC上的射影K的軌跡長度為（

）A． B． C． D．3.（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）已知是棱長為2的正方體表面上的一個動點(diǎn)，且，則的軌跡周長是（

）A． B．2π C． D．4π4.（2023春·陜西榆林·高二校考階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方體表面上的動點(diǎn)．若，則點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動所形成的軌跡的長度為（

）

A． B．C． D．【題型三】平行與垂直綜合型軌跡1.（2023·河南·統(tǒng)考三模）設(shè)正方體的棱長為1，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M在正方體的表面上運(yùn)動，則下列命題：

①如果，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積為；②如果∥平面，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的周長為；③如果∥平面，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的周長為；④如果，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積為．其中正確的命題個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42.（2023春·上海楊浦·高二上海市楊浦高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，已知正方體的棱長為1，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動，則下列選項(xiàng)中不正確的是（

）A．存在點(diǎn)P滿足B．存在點(diǎn)P滿足C．滿足的點(diǎn)P的軌跡長度為D．滿足的點(diǎn)P的軌跡長度為3.（2023春·廣西防城港·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，，P是正方形ABCD內(nèi)部（含邊界）的一個動點(diǎn)，則（

）A．有且僅有一個點(diǎn)P，使得 B．平面C．若，則三棱錐外接球的表面積為 D．M為的中點(diǎn)，若MP與平面ABCD所成的角為，則點(diǎn)P的軌跡長為【題型四】空間線段長度定值型軌跡1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知是棱長為1的正方體，點(diǎn)P為正方體表面上任一點(diǎn)，則下列說法不正確的是（

）A．若，則點(diǎn)P的軌跡長度為B．若，則點(diǎn)P的軌跡長度為C．若，則點(diǎn)P的跡長度為D．若，則點(diǎn)P的軌跡長度為2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）在正方體中，已知，點(diǎn)O在棱上，且，P為正方體表面上的動點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡長度為（

）A． B． C． D．3.（2023春·廣東深圳·高一?？茧A段練習(xí)）正方體的棱長為，點(diǎn)在三棱錐的側(cè)面表面上運(yùn)動，且，則點(diǎn)軌跡的長度是（

）A． B． C． D．4.（2023春·山西運(yùn)城·高一康杰中學(xué)?？茧A段練習(xí)）正方體的棱長為3，點(diǎn)在三棱錐的表面上運(yùn)動，且，則點(diǎn)軌跡的長度是（

）A． B．C． D．5.（2023春·山西運(yùn)城·高一康杰中學(xué)?？茧A段練習(xí)）正方體的棱長為3，點(diǎn)在三棱錐的表面上運(yùn)動，且，則點(diǎn)軌跡的長度是（

）A． B．C． D．【題型五】空間定長線段中點(diǎn)型軌跡1.（2022·全國·高二專題練習(xí)）在四邊形ABCD中，，，P為空間中的動點(diǎn)，，E為PD的中點(diǎn)，則動點(diǎn)E的軌跡長度為（

）A． B． C． D．2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知正六棱柱的棱長均為，點(diǎn)在棱上運(yùn)動，點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動，，為的中點(diǎn)，則動點(diǎn)的軌跡與正六棱柱的側(cè)面和底面圍成的較小部分的體積為（

）A． B． C． D．3.（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖,已知直平行六面體ABCD-A1B1C1D1的各條棱長均為3,∠BAD=60°,長為2的線段MN的一個端點(diǎn)M在DD1上運(yùn)動,另一個端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動,則MN的中點(diǎn)P的軌跡(曲面)與共頂點(diǎn)D的三個面所圍成的幾何體的體積為（

）A． B． C． D．4.（2023春·陜西西安·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，長為的線段的一個端點(diǎn)在線段上運(yùn)動，另一個端點(diǎn)在底面上運(yùn)動，則線段的中點(diǎn)的軌跡（曲面）與正方體（各個面）所圍成的幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【題型六】空間動點(diǎn)角度定值型軌跡1.（2022秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）如圖，正方體的棱長為1，點(diǎn)P為正方形內(nèi)的動點(diǎn)，滿足直線BP與下底面ABCD所成角為的點(diǎn)P的軌跡長度為（

）

A． B． C． D．2.（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考一模）如圖，點(diǎn)是棱長為2的正方體表面上的一個動點(diǎn)，直線與平面所成的角為45°，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，線段與平面斜交于點(diǎn)，且直線與平面所成的角為，平面上的動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線一支4.（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）如圖，二面角的大小為，已知A、B是l上的兩個定點(diǎn)，且，，，AB與平面BCD所成的角為，若點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影H在的內(nèi)部（包括邊界），則點(diǎn)H的軌跡的長度為（

）A． B． C． D．【題型七】空間翻折型動點(diǎn)軌跡1.已知矩形中，，，如圖，將沿著進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，若點(diǎn)在平面上的射影在四邊形內(nèi)部（包含邊界），則動點(diǎn)的軌跡長度是（）A． B． C． D．2.如圖，等腰梯形中，，，，，沿著把折起至，使在平面上的射影恰好落在上．當(dāng)邊長變化時，點(diǎn)的軌跡長度為（）A． B． C． D．3.已知菱形ABCD的邊長為2，.將菱形沿對角線AC折疊成大小為60°的二面角.設(shè)E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為三棱錐表面上動點(diǎn)，且總滿足，則點(diǎn)F軌跡的長度為________.4.如圖所示，在平行四邊形中，為中點(diǎn)，，，.沿著將折起，使到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.若點(diǎn)為內(nèi)的動點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡的長度為___________.【題型八】空間阿波羅尼斯球（圓）型軌跡1.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B距離之比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是一個圓心在直線AB上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長方體中，，點(diǎn)E在棱AB上，，動點(diǎn)P滿足.若點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動，則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為___________；若點(diǎn)P在長方體內(nèi)部運(yùn)動，F(xiàn)為棱的中點(diǎn)，M為CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到平面的距離的最小值為___________.2.已知正方體的棱長為4，點(diǎn)P在平面內(nèi)，且，則點(diǎn)P的軌跡的長度為___________.3..在棱長為6的正方體中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是正方體（包括邊界）上運(yùn)動，且滿足，則點(diǎn)的軌跡周長為________.培優(yōu)練一、單選題1．（2023春·新疆烏魯木齊·高二校考階段練習(xí)）在棱長為4的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體各棱及表面上運(yùn)動且滿足，則點(diǎn)P軌跡圍成的圖形的面積為（

）A． B． C． D．2．（2021秋·福建泉州·高二晉江市第一中學(xué)校考期中）如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面，為底面內(nèi)的一動點(diǎn)，若，則動點(diǎn)的軌跡在（

）A．圓上 B．雙曲線上 C．直線上 D．橢圓上3．（2022秋·四川·高二四川省峨眉第二中學(xué)校?？计谥校┰谒睦忮F中，平面，點(diǎn)M是矩形內(nèi)（含邊界）的動點(diǎn)，且，直線與平面所成的角為．記點(diǎn)M的軌跡長度為，則（

）A． B．1 C． D．24．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知長方體，，，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，其中，，且平面，則動點(diǎn)P的軌跡所形成的軌跡長度是（

）A． B． C． D．25．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖所示，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方體表面上的動點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動所形成的軌跡長度為（

）A． B． C． D．6．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知正四棱錐，底面邊長為，，交于點(diǎn)，平面，，為的中點(diǎn)，動點(diǎn)在該棱錐的側(cè)面上運(yùn)動，并且，則點(diǎn)軌跡長度為（

）A．1 B． C． D．27．（2022秋·湖北武漢·高二華中科技大學(xué)附屬中學(xué)階段練習(xí)）已知正方體的棱長為3，點(diǎn)P在的內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動，且，則點(diǎn)P的軌跡長度為(

)A． B． C． D．8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在直三棱柱中，，，為該三棱柱表面上一動點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023春·浙江寧波·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）正方體的棱長為1，點(diǎn)滿足，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．若，則三棱錐的體積為定值C．若點(diǎn)總滿足，則動點(diǎn)的軌跡是一條直線D．若點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則動點(diǎn)的軌跡是一個面積為的圓10．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）在棱長為的正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形內(nèi)部（含邊界）的一個動點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．存在唯一一點(diǎn)，使得B．存在唯一一點(diǎn)，使得直線與平面所成角取到最小值C．若直線平面，則點(diǎn)的軌跡長度為D．若，則三棱錐的體積為11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知正方體的棱長為2，棱AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)N在正方體的內(nèi)部及其表面運(yùn)動，使得平面，則（

）A．三棱錐的體積為定值B．當(dāng)最大時，MN與BC所成的角為C．正方體的每個面與點(diǎn)N的軌跡所在平面夾角都相等D．若，則點(diǎn)N的軌跡長度為12．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為為空間中任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若為線段上任一點(diǎn)，則與所成角的余弦值范圍為B．若為正方形的中心，則三棱錐外接球的體積為C．若在正方形內(nèi)部，且，則點(diǎn)軌跡的長度為D．若三棱錐的體積為恒成立，點(diǎn)軌跡的為圓的一部分三、填空題13．（2022·全國·高二專題練習(xí)）點(diǎn)為正方體的內(nèi)切球球面上的動點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，，若球的體積為，則動點(diǎn)的軌跡長度為.14．（2023·吉林長