山西省2023 年省際名校聯(lián)考二（沖刺卷）數(shù)學(xué)答案和解析

秘密★啟用前

2023年省際名校聯(lián)考二（沖刺卷）

數(shù)學(xué)參考答案詳解及評(píng)分說明

評(píng)分說明：

1.考生如按其他方法或步驟解答，正確的，同樣給分;有錯(cuò)的，根據(jù)錯(cuò)誤的性質(zhì)，參照評(píng)分說明中相應(yīng)的規(guī)定

評(píng)分。

2.計(jì)算題只有最后答案而無演算過程的，不給分；只寫出一般公式但未能與試題所給的具體條件聯(lián)系的，不

給分。

A卷選擇題答案

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

2.C

【解析】1,2∈N.[EN,故N不是數(shù)域,A錯(cuò)誤,同理B錯(cuò)誤;任意“力∈Q,都有。+鼠”-6、而、￡eQ（除數(shù)∕>≠0）,

2b

故Q是一個(gè)數(shù)域.對(duì)于集合4=UlX≠0,x∈∣!},1,1∈4/-1=0*4,故卜IX≠0,x∈R}不是數(shù)域.

3.B

【解析】設(shè)麗=A麗，

-AP，而，-(AB+硝=-AB+?=)而+?,

332'z6666

???MRC三點(diǎn)共線，

又,:，+?=1,/.A=5.

66

..AB=5AN.

一1一

.?AN=-AB.

4.D

【解析】設(shè)點(diǎn)叢,8關(guān)于“折痕”所在直線對(duì)稱，即折前點(diǎn)8在圓上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)8.連接/1'Br

交“折痕”于點(diǎn)P,則點(diǎn)P到4,8兩點(diǎn)距離之和最小，且IBPI+MPI=L46J=4.所以P的軌跡’

是以4,8為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2“=4的橢圓，焦距2c=IAfiI=2,c=1,故短半軸長(zhǎng)b=，彳,所

以Z?M48面積的最大值為gX2CXb=√3^.

（第4題答圖）

5.D

【解析】記小李路上所需時(shí)間為X,小王路上所需時(shí)間為匕

對(duì)于A,P（y<28）=1-巴28；，W52）=<0。1,所以A合理；

對(duì)于B,小李在7：50前到達(dá)晉祠的概率為P（X<50）="38：*W50）+XW50）=0.99865,小王在

數(shù)學(xué)試題答案第1頁（共10頁）

7:50前到達(dá)晉祠的概率為P(y<50)<P(r≤52)=-匕P(28；,W52)+pQ8WYW52)=0.99865,小李在7：

50前到達(dá)晉祠的概率要大,所以選項(xiàng)B合理；

對(duì)于C,小李在7：48前到達(dá)晉祠的概率為P(X<48)=/'(40；XW48)+p(40WXW48)=0.97725,小王在

7：48前到達(dá)晉祠的概率為P(y<48)=J-"32；，W48)+/>(32WXW48)=0.97725,選項(xiàng)C合理；

對(duì)于D,小李在7：44前到達(dá)晉祠的概率為P(X<44)=；,小王在7：44前到達(dá)晉祠的概率為尸(丫<44)=

J。(36；Y≤44)+?(36≤Xw44)=0.84135,小王在7：44前到達(dá)晉祠的概率要大,選項(xiàng)D不合理.

6.C

【解析】/'(翼)=-ax2-X=%(ev-ax-1),

記g(%)=e*—α%-1(%≥0),g,(x)=ex-a>ex-l>0,故g(%)在［θ,+8)上單調(diào)遞增,

g(%)≥g(0)=0/(%)20,故〃%)在［0,+8)上單調(diào)遞增,故〃%)有最小值了(O)=-I,無最大值.

7.B

【解析】設(shè)底面四邊形48CO的中心為。,連接Pa則P()=h.

設(shè)點(diǎn)M到平面PCO的距離為MQ,則乙=VP-MCD即g×SMCD×MQ=∣×S^fcnXPO

SAm，XPo2A

LMQ=-

oΔZ,C0

28

?.?Λ∈[√3,2√∑],Λ--------∈

14,9

1+F

4√2

.?.MQ∈

3

【解析】當(dāng)點(diǎn)『為(0,1)或(0,3)時(shí),存在Q(e-?O),使得麗?麗=0.當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)非零時(shí),而?而二0,即心,力僅=

-n+

-1，一?=k°Q.可求得kop∈(-∞,-?∕j]U,+∞),—∈U設(shè)Q(%J?*a),k()Q=

.記函數(shù)∕G)=?lnF,∕'(*)=「"—”,令打⑴>0,得0<X<e-;令/'(%)<0,得X>e"?,故/(x)在

XXX

(O,小")上單調(diào)遞增，在(e-",+8)上單調(diào)遞減Ja)M=/(J“)=三手=e-JG)值域?yàn)?-8,e??］從而

,

klιv∈(-8,e…由題-空,θ)UIO,殍?(-∞,e-'］,從而e-'>空,“>1-孚，故α的取值范圍是

數(shù)學(xué)試題答案第2頁(共10頁)

二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的

得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分。

9.AD

【解析1/(；E)=cos(%+2φ)-2cosφcos(x+φ)-sin%

=cosφcos(x+φ)-SinWSin(%+φ)-2cosφcos(x+φ)-sinx

=-CoSWCoS(%+φ)-sinφsin(x+φ)-sin%

=-cosx-sinx

--?∕2sinIx+—■

對(duì)于A,令4+?=kττ(k∈Z),則％=kfπ-?(4∈Z),當(dāng)人=0口寸=—?,

.?∕G)的圖象關(guān)于點(diǎn)卜孑.0)中心對(duì)稱,A正確.

對(duì)于B,令*+?=?+?√?∈Z),則X=-+?√A?∈Z),B錯(cuò)誤.

424

對(duì)于C,令-三+2kττ≤X+?≤?+2kττ(k∈Z),則+2kττ≤x≤?+2kττ(k∈Z),

24244

.?.函數(shù)f(χ)在-含(上單調(diào)遞減,C錯(cuò)誤.

<7T(第10題A選項(xiàng)答圖)

對(duì)于D,當(dāng)"二7時(shí)J(%)取最小值-√∑,D正確.

4

10.BCD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng),E在棱4向上運(yùn)動(dòng)時(shí),OEU平面4出Ca連接4。,4。,則4,?L平面

A,B,CD,.-.AD1±OE,A錯(cuò)誤.

對(duì)于B選項(xiàng),平面與平面48Co所成二面角即為ZΛ∣O∕1=孑,B正確.

(第10題C選項(xiàng)答圖)

對(duì)于C選項(xiàng),8C”40,?.BC〃平面4E0,

.?.當(dāng)P是4C與平面的交點(diǎn)時(shí),8C〃平面4/?P,C正確.

對(duì)于D選項(xiàng),連接8G與交于。,連接P。，

則在448C中,PO〃4冏，又?.?POU平面PBG/圈C平面P/?G，

.?.ΛlBl〃平面P8g,.?.E到平面P8G的距離為定值，

三棱錐E-P8G體積不變,D正確.

11.ABD

【解析】每次傳球可將球傳給另外兩人中的任何一人,故"次傳球共2"種方法數(shù),若第"次傳球后球在甲手中，則

第n-1次傳球后球必不在甲手中，從而=2…-α…+。一=2-，故A正確；由a“+α…=2"!得

(-l)"α.-(-l廠&τ=Y-2)"T,從而T)Z=Y-2)L(-2)2-??T-2)"T=-?2t(^J=≥?2^,

1-(-2)3

又%=0,故.“=2"+；(T)',故B正確；⑸-2α…=2(-1)",故｛%,-2°一｝為等比數(shù)歹1],又凡*(1一=2一,故

｛??+*｝為等比數(shù)歹U,故C錯(cuò)誤;當(dāng)〃為儡數(shù)時(shí),0,,=2"+>9,易知⑸+21,?=2",則2伍"-凡)=2"-

3%<Og>b”,故D正確.

數(shù)學(xué)試題答案第3頁(共10頁)

12.BCD

【解析】不妨設(shè)乙=θ≡0,三,則2+IP川COSo=?PF?,Λ?PF?=----------

\2/1-COS夕

同理IM/I=,1QF\=--—,|NF\=—J

1+Sine1+COSe1-Sino

r二十A???-COSe1÷cos。，一件、口

對(duì)于A,-：+-_：=--—+—--=1,A錯(cuò)誤;

1IPFlIQ川22

2244

對(duì)于B,PQ=∣P川+Q川=?——-+—~-=--,m?MN?=^-,

1-CoSe1+COSeSIneCOSe

-11Sin2。cos?。1CFM

所prι以vf^—Γ+1~~^=1一+1—="，B正確；

?PQ??MN?444

ΛΛΛ]￡rrτ

對(duì)于C,∣PQ∣+∣MN∣=F+r7=—nτ-=-^7》16,當(dāng)且僅當(dāng)。=工時(shí)取最小值16,C正確;

sιn~9CoSsiIT。CoSe3sιn~294

對(duì)于D,直角三角形GFH中,∣CHI2=∣C尸「+∣月尸「

_/___1_________1___V/___1_________1___√_/2cos^√/2sin6>V_4(cos%+sin%)

??-COSe1+COSo)?1-sin。1+SinfI?1-cos2^/?1-sin219/sin46^cos4^

4(cos4+sin4。-Sin2。COS冶)4(1-3sin2^cos2^)

Sin,OCoS49Sin"。CoS4。

?-rτ~~77=<>t≡[4,+8),即IGHf=4(產(chǎn)-3t),t∈[4,+∞),

sιn^σcos"σ

TT

所以當(dāng)t=4時(shí),IC〃|最小,此時(shí)。=了,即關(guān)于X軸對(duì)稱,所以C,〃兩點(diǎn)也關(guān)于X軸對(duì)稱,故直線C〃的斜率

不存在,D正確.

B卷選擇題答案

1.A2.C3.B4.D5.D6.C7.B8.A9.AD10.BCD11.ABD12.BCD

AB卷非選擇題答案

三、填空題:本題共4小題，每小題5分,共20分。

13.243

【解析】28x75%=21,可知第75百分位數(shù)為第21項(xiàng)和第22項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)變?史=243.

14.2+√J或I

2

【解析】圓C與直線幾力都相切,所以["'=Ll+*?=r,即-2∣=∣α+2|,當(dāng)?a-2=α+2時(shí)，

√ΓΠ^√m

?=2(√y+1),此時(shí)r=2+√J;當(dāng)2-√3α?α+2時(shí),α=0,此時(shí)r=1.

112

15------------------------------------------

6303(n-l)n(n+1)

【解析】由題意知,將楊輝三角從第1行開始的每一個(gè)數(shù)C：都換成分?jǐn)?shù)二得到的三角形為“萊布尼茨三

(?+i)c,,

11

角形”,觀察表中數(shù)字,題中要求第8行第5個(gè)數(shù),所以n=8,r=4,所以第8行第5個(gè)數(shù)為=777=而.

(o+1JC8??v

]1_1

v(n÷1)CΓ2+(n+1)CΓ3"心'

111

---------1---------=-----------------

“C：二；心；(n-l)C：：r

數(shù)學(xué)試題答案第4頁(共10頁)

111

+-----------------=-----------------.??

(〃-1)C：?(〃-1)C：彳(n-2)C：：r'

__I_+__l_—_l___l__+l___l—___

5C：5C；-4CJ4C；4Cθ~3Cθ,

111111

將上述各式相加,得5+])c：.2+5+I)CL+心；+20+4=3^,

?

.?(〃,+1)C『3^,

?________2

3(71-?)n?n+1)

【解析】由題fK+3為奇函數(shù)MI）3+務(wù)業(yè)+?）,等價(jià)于/停T=4㈤,

由gG)的圖象關(guān)于直線彳=三對(duì)稱,可得g(11-,=g(χ),

-/(?)+gG)=/停-J+g仔-，=Sin仔-X)，

/2TT\

-

sin%+sinI;%]Ll、r~

故g(x)=---------------------------=??sinlr+[),故g(")的最大值是、

ZZ?o/2

四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.⑴證明:連接MO,

?.?是等邊三角形，

.?.BD=CD.

A

在△ΛβO和44C0中，Z4O∕?=ΔADC,AD=AD,A

:.LABD^LACD,/\\

ΛAB=AC,.............................................................................................................................2分/\\

???W是8C邊的中點(diǎn)，8個(gè)近*C

BC±MA,BC±MD.D

■：MΛ∩MD=M,MΛU平面4M0,"0U平面4M0,(第U題答圖I)

.?.BCJ?平面4MO,

又ADU平面4M0,

.?.BC±AD............................................................................................................4分

(2)選①解：以M為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

由題可得1-∣?,O,W3),8(O,-√3,0),C(0,√3,0),D(3,0.0).M(0,0,0).

設(shè)平面4CO的法向量為n=(x,y^),4C=^?∣,√3,-???j,CrP=(3,-√3,0).

卜.正=0,(*"),卜⑸--γ-?=°^^x+VJy-^?z=0,

nCI)0

'~'(w).(3,-√3,0)=0,13x-√3?=0.

（第17題答圖2）

數(shù)學(xué)試題答案第5頁（共10頁）

令%=1,則y=√y,z=V3

.?.n=(l,√3,√3),.........6分

又?.?麗=(3,√J,θ),

...CoS(BD=BD?n_?∕2T

I而M=8分

???直線皿與平面W所成角的余弦值為子

10分

選②解：設(shè)三棱錐的高為黑

K1-BCO=?S6scnA=(X2√3×2√3×Siny×?×Λ=3√3,

.?.A=3=MA,

.?.WU底面BCO.................................................................................................6分

以M為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系如圖所示，

則4(0,0,3),β(θ,-√3,O),C(O,√3,0),D(3,0,0),M(0,0,0),

設(shè)平面4C。的法向量為ZI=(x,y∕),4C=(θ,√3,-3),CD=(3,-√3,0)

(x,y^)?(θ,√3,-?)=0,[√3y-3z=0,

n,?AC=0,

則

n?CD=O,'.(x,y^)?(3,-√3,0)=0,3x-?∕3y=0,

令％=1,貝IJy=VJ,z=1,n=(1,?∕3,1).

（第17題答圖3）

又?.?麗=(3,√J,θ),

?BD?n15

CoS(BD=8分

I而Γ~

.??直線刖與平面4C。所成角的余弦值為f??

10分

18.解：由正弦定理得2sinCcosB=（3sinA-2sinB）cosC,

,.2sinCcosZ?3sin?cosC-2sinθcosC,2分

,.2sinCcosB+2sinBcosC=3si04cosC,

,.2sin(B+C)=3sirt4cosC,...............4分

,.2sin4=3siιιΛcosC,

2

:/1為三角形內(nèi)角,sirvl≠0,cosC=—5分

（2）由（1）可得，sinC=K

3

B26,SinB=sin2C=2sinCcosC4'/'-,CoSB=1-2sin2C=-^?.6分

99

7?J^5

Sinyl=Sin(8+C)=sin8cosC+cosBsinC=Dq8分

b

,?=7,

sinAsinBsinC

.,.b-12,c=9.

數(shù)學(xué)試題答案第6頁（共10頁）

???SΛΛBC=^absinC=?^×7×12×?^=I4√5,.........................................................................................1°分

設(shè)4/18C內(nèi)切圓半徑為r,

則SC=?r(tt+b+c)=14r=14√5/=\/5,

分

.?.SΔ4MC=?X12×√5=6√5..........................................................................................................................12

19.解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為〃,等比數(shù)列也｝的公比為公

[?+d=q,

依題意得"”2,..............................................................................................................................................1分

[2+2(1=7,

((1=1,｛(I=-1,

解得?或n(舍)...................................................................3分

[<l=2,M=0,

故α,,=1+(n-1)X1=nj>n=1×2"-'=2"^'......................................................................................................4分

0222

(2)∑?-l=(l+2)+(3+2)+???+(2n-1+2^^)

=[1+3+…+(2n-1)]+(20+22+…+2i,^2)

(1+2n-?)n20(l-4")

=-------------------1--------------

21-4

352n32nl

^c2k=2X2'+4×2+6×2+???+2(〃-I)X2^+2n×2-

A=I

=1×4'+2×42+3×43+???+(n-1)×4π^l+n×4",

42。2人=1×42+2×43+3×44+???+(71-1)×4"+n×4"+',....................................................................8分

A=I

兩式相減得

-3￡。然=4÷42+43+???+4"-n×4"

k=I

4(1-4")

=—\-—l-n×41,+1

1-4

/3〃-1…I4

卒”=一?4"*'+§，......................................................................................................................................11分

E“a?-24“-13“-1,4(12n-1)4"+1.

因此，2C=?CXT+=n'+—?-----4"+-=---------------------+n^.

k=ιJtk=?Ik=I3yyy

所以，數(shù)列卜,,｝的前2n項(xiàng)和為也二............................................12分

20.解：(1)(0.014+0.006)×10=0.2,即隨機(jī)調(diào)查一位市民需要降低追求目標(biāo)或充分休息的概率為0.2.

所以X~B(10,0.2),.?.E(X)=10X0.2=2；...................................................................................................2分

（2）樣本中壓力分?jǐn)?shù)在［80,90）的人數(shù)為0.014×10×1000=140,樣本中壓力分?jǐn)?shù)在［90,100］的人數(shù)為

0.006×10×1000=60,用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取的10人中，壓力分?jǐn)?shù)在［80,90）的樣本

量為,」40>10=7,在［90,100］的樣本量為X10=3.

從這10人中隨機(jī)選出3人共C：。=120種選法,其中恰有兩人壓力分?jǐn)?shù)在［80,90）中有C；C；=63種選法,選出

數(shù)學(xué)試題答案第7頁（共10頁）

r2Cl?1

的3人中恰有2人壓力分?jǐn)?shù)在［80,90）中的概率為〃二,二石;..................................5分

Cio'U

2(沏-X)=?,?,-mx=0,

i=I4=1

.?.^2(xi-x)(x-ω)=2(x-ω)^xi-x)=0,

同理可得,￡2(%-?G-石)=0,.....................................................................................................................10分

J=>

=^77￡&-可+￡(”0+ΣU--r)+￡(亍-石)

rn~ru|_4=Ji=I/=?j=1

=--—[ms；+m(x-ω)2+渥+n?y-ω)2],

m+n

...『="?」s；+(H)I+“H+(”石)]即得證............................................12分

m+n

21.解:⑴雙曲線&]-尸=1的左右焦點(diǎn)分別為“_2,0),為(2,0),

設(shè)“'-卜'*°)-

2八

~'~t―00,

%==-E'同理可得5-G?

?,13(/+2)3(L2)6r,'八

,

??1k22t2t.2t

(2)設(shè)M(XM)MX2,九)F(孫丁3),Q(必辦),

直線AK方程為:y=幻(X+2),

代入雙曲線方程可得:(1-3兒2)/-12兒2%-12兒2-3=0,

12?2-12A-2-3

所以孫+叼=-：~~l孫孫=-；^^l^~，....................................................分

25

I-3?∣-1-3?l

..r?"y∣^2÷y2^ι

k()M÷K0N=—÷—=--------------

X1X2XiX2

?∣(x1+2)X2+自(％2+2)%i

盯％2

2kixlx2+2k1(x2+x1)

孫出

2%3

1-3k2

=2k,+-----------l----

-12k12—3

2

l-3kl

數(shù)學(xué)試題答案第8頁（共10頁）

2k∣

4A√+18分

Ik

同理兒”,+k=2

0Q%+1'

即(3+?2)(4?I?2+1)=0,

=

.?.?l÷k2=0,或左兒

11C

又了+爰二-3,......................................................................................................................................................10分

κiK2

若自+?2=0,無解,舍去.

.?.?l?2--;,解得七=-;也=1，或3=1,?2=-;

若舟=-；，h=1,由/T在直線”1上可得,-?∣2--?(^+2)

.?.4此時(shí)哈-3

1-