數(shù)學(xué)2023屆新高三新高考數(shù)學(xué)調(diào)研考試卷三【解析版】

2023屆新高三新高考數(shù)學(xué)調(diào)研考試卷三

一、單選題

1.已知全集。=2,集合A={1,3,6,7,8},8={0,1,2,3,4},則圖中陰影部分所表示的集合為()

A.{0,2,4}B.{2,4}C.{0,2,3,4}D.{1,3}

【答案】A

【分析】首先求出AB,依題意陰影部分表示a(A8),再根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得：

【詳解】解：因?yàn)锳={1,3,6,7,8},8={0,1,2,3,4},所以AB={1,3},由韋恩圖可知陰影部分

表示備(A8)={0,2,4}；

故選：A

2.甲、乙兩個(gè)跑步愛(ài)好者利用微信運(yùn)動(dòng)記錄了去年下半年每個(gè)月的跑步里程(單位：公里)，

現(xiàn)將兩人的數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的折線圖，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A.甲跑步里程的極差等于110

B.乙跑步里程的中位數(shù)是273

C.分別記甲、乙下半年每月跑步里程的平均數(shù)為叫，機(jī)2,則見(jiàn)〉嗎

D.分別記甲乙下半年每月跑步里程的標(biāo)準(zhǔn)差為與，邑，則

【答案】C

【分析】根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】甲跑步里程的極差為313-203=110,A的結(jié)論正確.

乙跑步里程的中位數(shù)為2皿；266=273,B的結(jié)論正確.

甲跑步里程的平均數(shù)3氏+254+217：245+203+301=2555,

6

乙跑步里程的平均數(shù)之。,+28。+262+283+255+2662732,

6

所以叫＜〃4,C的結(jié)論錯(cuò)誤.

根據(jù)折線圖可知，甲的波動(dòng)大，乙的波動(dòng)小，所以D的結(jié)論正確.

故選：C

3.已知向量a=(cosa,sina),匕=卜一目=石，貝ijtancr=()

A.3B.巫C.y/2D.V3

32

【答案】A

【分析】利用向量減法、模的坐標(biāo)運(yùn)算列方程，化簡(jiǎn)求得tana的值.

【詳解］a—力=(cosa-l,sina+6),

|?-fe|=V5,(cosa-l)?+［ina+石)=5,

cos2a-2cosa+1+sin2a+2Gsina+3=5,

Gsina-cosa=0,Gsina=cosa,tana=—.

3

故選：A

4.等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S〃，?！ü?,若S9=a；,4=1,則數(shù)列｛4｝的公差為()

A.-3B.3C.-1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式及下標(biāo)和性質(zhì)得到9%=d，即可求出。5,從而求出公差;

【詳解】解：因?yàn)?9=”；，所以9(4+%)=4,即9%=說(shuō)，因?yàn)閍,產(chǎn)0,所以生=9,又卬=1,

2

所以"=與子=2；

故選：D

5.已知圓C：(x-iy+(y-l)2=1,點(diǎn)M是圓上的動(dòng)點(diǎn)，AAZ與圓相切，且|AA1|=2,則點(diǎn)A的

軌跡方程是()

A.y2=4xB.x2+y2-2x—2y—3=0

C.x2+y2-2y-3=0D.y2=-4x

【答案】B

【分析】依題意可得體［=石，設(shè)A(x,y),根據(jù)平面直角坐標(biāo)系上兩點(diǎn)的距離公式得到方程,

即可得解；

【詳解】解：因?yàn)閳AC：(%-l)2+(y-l)2=l,所以圓心C(l,l),半徑r=l,因?yàn)辄c(diǎn)”是圓上的

動(dòng)點(diǎn)，所以|明=1,又AM與圓相切，且［40|=2,則必=5阿+同2=亞,設(shè)A(x,y),

則(x-l)2+(y-l『=5,^x2+y2-2x-2y-3=0,所以點(diǎn)A的軌跡方程為

故選：B

6.《長(zhǎng)津湖》和《我和我的父輩》都是2021年國(guó)慶檔的熱門電影.某電影院的某放映廳在國(guó)慶

節(jié)的白天可以放映6場(chǎng)，晚上可以放映4場(chǎng)電影.這兩部影片只各放映一次，且兩部電影不能

連續(xù)放映（白天最后一場(chǎng)和晚上第一場(chǎng)視為不連續(xù)），也不能都在白天放映，則放映這兩部電影

不同的安排方式共有（）

A.30種B.54種C.60種D.64種

【答案】B

【分析】分兩種情況考慮，均在晚上播放，或者白天一場(chǎng)，晚上一場(chǎng)，求得結(jié)果.

【詳解】若均在晚上播放，則不同的安排方式有3&=6種，若白天一場(chǎng)，晚上一場(chǎng)，則有

C：C：?8=48種，故放映這兩部電影不同的安排方式共有48+6=54種.

故選：B

r2,,2

7.已知雙曲線C：=1（。>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn),雙曲線的左頂點(diǎn)為A,

a"b2

以耳居為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于尸，Q兩點(diǎn)，其中點(diǎn)。在y軸右側(cè)，若|AQ|22|AH，

則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）

A.0,6]B.[73,+oo）C.D.^'^■,+a0

【答案】C

【分析】先由題意，得到以為直徑的圓的方程為—+/=。2,不妨設(shè)雙曲線的漸近線為

y=-x,求出點(diǎn)P,。的坐標(biāo),結(jié)合條件求出。，c之間的關(guān)系，即可得出雙曲線的離心率的取

a

值范圍.

【詳解】由題意，以耳鳥(niǎo)為直徑的圓的方程為/+產(chǎn)=/,不妨設(shè)雙曲線的漸近線為y=

a

Q（a,b）,.

又A為雙曲線的左頂點(diǎn)，則A（-W0）,

:.\AQ\=++/,|AP\=丁+/-b,

-：\AQ\>2\AP\f

二^a+a^+b2>2h,BP4a2>3（c2-a2）,

7

A^2<-,又e>l,

.?.ee（l,爭(zhēng).

故選：c.

8.已知函數(shù)〃加皿5+0（。>0,|同<￡|的圖象關(guān)于了=：對(duì)稱，/（-：）=（），且〃x）在（0,兀）

上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則。的值等于（）

A.1B.3C.5D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件列不等式，從而求得。的值.

【詳解】依題意。>0,闞<■!，

“力的圖象關(guān)于x=：對(duì)稱，=且/（X）在（0㈤上恰有3個(gè)極大值點(diǎn),

71,兀

10+9=匕兀+/

兀,

所以——a)+(p=k?ii其中冊(cè)&wZ,

2T<TI

3T>n

所以色「勾喈,『了”，

兀,2兀兀\4<co<6

13co2

所以0=5.

故選：C

二、多選題

9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知40,1）,設(shè)下列圓錐曲線的焦點(diǎn)是尸，則滿足IA尸1=2的有（）

222

A.x2=-4vB.y2=2s[ixC.—+^-=1D.x2--=1

1294

【答案】AC

【分析】根據(jù)圓錐曲線的定義求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式逐一驗(yàn)證即可.

【詳解】對(duì)于A：V=-4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸（0,-1）,顯然|A同=2,故A正確.

對(duì)于B：產(chǎn)=23的焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸停,0｝所以|盟=',-0+（0-1）2邛，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C：因?yàn)辄c(diǎn)A在y軸上，距離橢圓的左右焦點(diǎn)距離相同，故以右焦點(diǎn)為例：

c2=a2—b2=12—9=3,c=y/3,焦點(diǎn)為尸（石，。），所以|A尸|=_0）+（0—1）-=2,故C

正確.

對(duì)于D：因?yàn)辄c(diǎn)A在y軸上，距離雙曲線的左右焦點(diǎn)距離相同，根據(jù)雙曲線的定義

c2=a2+b2=l+4=5,c=5右焦點(diǎn)為尸（石,0）,所以|叫=’（逐-oReT：=拓,故口

錯(cuò)誤.

故選：AC

10.已知a,夕是二個(gè)不重合的平面，/是直線.給出下列命題，其中正確的命題有（）

A.若/上兩點(diǎn)到a的距離相等，則/〃a

B.若Ua,IH/3,則a，尸

C.若a〃6,la。,且則〃/￡

D.若直線機(jī)，〃滿足：mla,nVp,且a_L/7,則以〃〃

【答案】BC

【分析】分析每一小問(wèn)的幾何意義，應(yīng)用相關(guān)的幾何定理即可.

【詳解】對(duì)于A,作圖如下：

直線A8上的A,B兩點(diǎn)到平面a的距離相等，但AB不平行于a,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由于〃/。，則在平面夕內(nèi)必有一條直線，與/平行，即,

所以力_La,故B正確；

對(duì)于C,若l〃a,則在a平面內(nèi)必有一條直線/7〃，又?：a〃f3,有///4，

即在平面夕內(nèi)必有一條直線「/〃，由平行線的傳遞性得〃〃.，.」//￡,

故C正確；

對(duì)于D,由于mla,〃_LP，a_L￡可得，故D錯(cuò)誤；

故選：BC.

11.已知€（0,+8）,設(shè)M=2x+y,N=xy,以下四個(gè)命題中正確的有（）

A.若N=l,則M有最小值2&B.若M+N=6,則N有最大值2

Q

C.若M=l,則D.若M?=3N+1,則加有最小值二

O

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題意和基本不等式、重要不等式依次求出最小值與最大值即可判斷選項(xiàng).

【詳解】由題意知，x、ye(0,+oo),M=2x+y,N=xy,

A：當(dāng)N=jqy=l時(shí)，M^2x+y>2^=2-^2,當(dāng)且僅當(dāng)2x=y

即x=4l、y=&時(shí)等號(hào)成立，所以M的最小值為2灰,故A正確；

2

B：當(dāng)A/+N=2x+y+_yy=6時(shí)，6=2x+y+xy>272j^+xy,

當(dāng)且僅當(dāng)2x=)，時(shí)等號(hào)成立，令1=而，貝卜>0,且產(chǎn)+26-6<0，

解得0</4狡，即0<而4vL解得0<盯42,所以0<N42,故B正確；

C：當(dāng)2x+y=l時(shí)，l=2x+yN2而，當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí)等號(hào)成立，

所以()<歷4變，m(Xxy<^,所以0<N4：,故C正確；

4oO

D：當(dāng)(2x+y)z=3沖+1時(shí)，得(2x+y)2=|-2孫+14?^12)2+1，

當(dāng)且僅當(dāng)2x=y等號(hào)成立，即WsM竺+1,

24

整理得解得0<M4亞，故D錯(cuò)誤.

55

故選：ABC

12.設(shè)隨機(jī)變量4的分布列如下：

g12345678910

p%。2%4a5。6%%。94。

則()

A.當(dāng)｛%｝為等差數(shù)列時(shí)，/+%=,

6

B.數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式可能為%=

1()〃y(〃+1)

C.當(dāng)數(shù)列｛?！ǎ凉M足〃〃==1,2,…,9)時(shí)，。［0=￥

D.當(dāng)數(shù)列｛凡｝滿足尸(4?4)=公4(4=1,2,3日?,10)時(shí),^=—^—

【答案】BCD

【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)知q+生++即,=1,利用特殊值法可判斷A,由裂項(xiàng)相消法求和

可知B正確；根據(jù)等比數(shù)列求和公式可判斷C,利用的關(guān)系，可判斷D.

【詳解】由題目可知/+%++4=1;

對(duì)于選項(xiàng)A,若｛4｝為等差數(shù)列，則％+4=，不成立，比如公差為0時(shí)，/+%=:，故選項(xiàng)

A不正確；

-一八1111(11、

對(duì)于選項(xiàng)B,顯然又4=麗幣

???4+4++4。4]1一￡|+(；一￡|+卜因此選項(xiàng)B正確；

1°)1°1

對(duì)于選項(xiàng)C,由4=不；,(〃=1,2,9),則4+〃2++%=----j—=1-T7,

21--2

2

所以4。=去，因此選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,令5卜=瑪k)=k%k(k=1,2,310),

2

則=S?+i-S*=伏+1?%-kak

即刨^占，小=129),于是有

v7

akA:+2

a,&an=12n-\

cin=ci,,—,-ci,,一,一?---

a,a2a“_134n+1

2

=(-I\4(〃=L2,10)

n(n+l)

fl1A1111

Sn=ax+a2++4o=q+2q|j-石J=l,解得4=^，于是有禺=而而而

因此選項(xiàng)D正確.

故選：BCD

三、填空題

13.3月12日是植樹(shù)節(jié)，某地區(qū)有375人參與植樹(shù)，植樹(shù)的樹(shù)種及數(shù)量的折線圖如圖所示.植樹(shù)

后，該地區(qū)農(nóng)業(yè)局根據(jù)樹(shù)種用分層抽樣的方法抽取75棵樹(shù)，請(qǐng)專業(yè)人士查看植樹(shù)的情況，則被

抽取的柳樹(shù)的棵數(shù)為.

【答案】25

【分析】利用分層抽樣可求得被抽取的柳樹(shù)的棵數(shù).

250

【詳解】依題意可得被抽取的柳樹(shù)的棵數(shù)為75x-=---2--5-.--------------------------------

200+100+250+150+50

故答案為：25.

14.蚯-組的展開(kāi)式中系數(shù)為有理數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)之和為

【答案】117

【分析】首先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，依題意當(dāng)且僅當(dāng)7,(均為整數(shù)時(shí)展開(kāi)式的系數(shù)為

42

有理數(shù)，即可求出，一，再代入計(jì)算可得；

【詳解】解：因?yàn)?姬-3]展開(kāi)式的通項(xiàng)為

心=^(啦尸(_3]=^2438-"(r=0,l,-,6),則當(dāng)?，:均為整數(shù)，即/*=2或6

IxJ\x)42

時(shí)，展開(kāi)式中的系數(shù)為有理數(shù)，故所求系數(shù)之和為C：X2X3+C：X33=117.

故答案為：117

15.已知A,2是曲線|x|T=j4-(y-l)2上兩個(gè)不同的點(diǎn),C(0,l),則|CA|+|CB|的取值范圍是

【答案】[2遂,6]

【分析】由曲線方程，結(jié)合根式的性質(zhì)求x的范圍，進(jìn)而判斷曲線的形狀并畫出草圖，再由圓

的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合法判斷|CA|+|CB|的最值，即可得其范圍.

【詳解】由|x|-l=j4-(y-l)2,得(|x|-l)2+(y-l)2=4.

由|x|-l=，4-(y-l)220,所以x4-1或

當(dāng)時(shí)，(x+l)2+(y-l)2=4：

當(dāng)xNl時(shí)，(X-1)2+(＞，-1)2=4.

所以|x|T=j4-(y-iy表示的曲線為圓P(x+l)2+(y-l)2=4的左半部分和圓

Q：d)2+g)2=4的右半部分.

當(dāng)A,8分別與圖中的M,N重合時(shí)，IC4I+ICBI取得最大值，為6；

當(dāng)A,8為圖中E,F,G,”四點(diǎn)中的某兩點(diǎn)時(shí)，ICAI+ICBI取得最小值，為2辨.

故|C4|+|C8|的取值范圍是[2逐,6].

故答案為：［2百,6］.

四、雙空題

16.已知函數(shù)，(x)=tan2x+2tan(乃若tana=2,貝!|f(a)=；若/⑴的定

義域?yàn)?()，?卜仁年｝則/(X)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.

19

【答案】1

【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角的正切公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再代入求解；

由已知得2tai?x+tan2x-l=0,構(gòu)造函數(shù)g?)=2r+*_i,(0,1),

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理即可求解.

2nv

［詳解］f(x)=tan2x+2tan(乃-x)-l=---------2tanx-1,

l-tan~x

419

若tana=2.貝=---4-1=--—.

1—43

21QnY

令/(x)=0,,~；——2tanx-l=0,整理得2tar?x+tai?x-1=0.

l-tan2x

設(shè)tam,若丫€(0,(卜仁年)，則re(-8,-l)i(0,1).

則gQ)=2/+尸-1,re(-oo,-l)(0,1),求導(dǎo)g'(/)=6/+2,，

當(dāng)f€(-8,-l)U(0/)時(shí)，g'⑺>0.

又g(-l)=-8<0,g(0)=-l<0,g(l)=2>0,故g⑴在(0,1)上存在唯一的零點(diǎn),

又…anx在(03上單調(diào)遞增，所以〃x)在區(qū)間(0,哈書上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.

-19

故答案為：一-—,1

五、解答題

17.已知數(shù)列｛4｝滿足+=0,4=4.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和為求證：Tn<^-.

64

【答案】⑴4,=小2用

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由題意可得署=2受，利用等比數(shù)列的定義可得解：

4”1(11、

(2)——-=-----------,利用裂項(xiàng)相消法求出1后即可得證.

a“a“+232(〃n+2)

【詳解】⑴因?yàn)閿?shù)列｛%｝滿足+=0嗎=4,

所以5=2%,所以?=4,

所以數(shù)列｛21是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列，

),+1

則有2=4*2"'=2"M,an=n-2.

n

4〃_4"_1__!_]

⑵《4+2〃(〃+2>2"討?2"+316H(H+2)32v/n+2)f

所以北二*|?_!+3_:++[_白卜出｝

3

因?yàn)椤‥N*,所以(

64

18.在AABC中，a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，且滿足塔+T匚=。，

cosC2a+c

(1)求角B的值；

(2)若c=2,AC邊上的中線BD=@,求AABC的面積.

2

【答案】(1)B=烏;(2)3.

32

【分析】(1)由器+不L=o利用正弦定理可得當(dāng)+,結(jié)合兩角和的正弦

cosC4-ccosC2sinA+sinC

公式以及誘導(dǎo)公式化筒可得sinA(2cos8+l)=0,.siivtwO,;.cosB=-g,從而可得結(jié)果；(2)延

長(zhǎng)BO到E,使BD=DE,易知四邊形AECO為平行四邊形，由余弦定理可得

222

3=2+a-2-2?.cos1,a-2a+1=0,解得”=1,利用三角形面積公式可得結(jié)果.

■、中他、/八cosBb八cosBsinB

【詳解】(1)-----+-------=00------+T—;——=0n,

cosC2a+ccosC2sinA+sinC

ncosB(2sinA+sinC)+sinBcosC=0,

=>2sinAcosB+cosBsinC+sinBcosC=0,

n2sinAcosB+sin(3+C)=0.

nsinA(2cosB+l)=0,sinAw(),/.cosB=-g.

所以8=與，

(2)延長(zhǎng)BD到E,使BD=DE,易知四邊形AECD為平行四邊形，

在ABEC中，EC=2,BE=2BD=G，因?yàn)镹ABC=與，所以N8CE=。,由余弦定理

BE2=EC2+BC?-2ECBCss/BCE

即3=2~+/—2,2a?cos—,a1—2a+1=0,

3

解得a=1

SMBC=—acsinB=-1-2-.

【點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈

活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.其基本步驟是：

第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.

第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.

第三步：求結(jié)果.

19.已知四棱錐P-ABCD,底面A8CD為菱形，1ra=心，”為PC上的點(diǎn)，過(guò)A”的平面分

別交PB,PD于點(diǎn)M,N,且BD//平面AMHN.

(1)證明：MN工PC；

(2)當(dāng)”為PC的中點(diǎn)，PA=PC=y/3AB,PA與平面ABC。所成的角為6()。，求二面角

P-AM-N的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)返.

13

【分析】(1)先連接AC交于點(diǎn)0,連結(jié)尸。，證明平面尸4C,證得再利

用線面垂直的性質(zhì)證明8O//MN,即證MNJ.PC；

(2)先證明POL平面A8CO,結(jié)合線面垂直關(guān)系和長(zhǎng)度關(guān)系建立如圖適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，

得到點(diǎn)坐標(biāo)，再求兩個(gè)平面的法向量求得二面角的大小即可.

【詳解】解：(1)證明：連接AC交8D于點(diǎn)。，連結(jié)PO.因?yàn)锳BCO為菱形，所以BD_LAC,

且。為AC、8。的中點(diǎn)，因?yàn)镻D=PB,所以尸O_L8r),

因?yàn)锳CPO=O且AC,POu平面P4C,所以BDJL平面PAC,

因?yàn)镻Cu平面PAC,所以BDLPC.

因?yàn)?。//平面AM//N,BDu平面PBD,且平面AWaN平面PBD=MN,

所以BD//MN,所以MN_LPC；

(2)由(1)知BDJ.AC且POJ_8￡>,因?yàn)椋?PC,且。為AC的中點(diǎn)，

所以PO_LAC,所以PO_L平面A8CZ),所以Q4與平面ABC。所成的角為NR4O,

所以AO」PA,PO=^PA,因?yàn)槭珹=&AB,所以80=避■".

226

分別以O(shè)A,0B>。尸為x，)'，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)9=2,則A0=l,P0=、/3,BO=—,

3

j,0,C（—1,0,0）,D0,--^-,0,尸（0,0,6）,"一3'°'^^

故0(0,0,0),4(1,0,0),80,-

Z\/\

所以。8=,，子,0,AH=

-l,y,0,"=（一1,0,6）.

9R

〃—=亭乂=0

記平面AMHN的法向量為4=（X2|，ZJ，則J'r-，

/?i,AH-—-X|H—Z|—0

令玉=1,則％=0,4=百，所以q=0,0,6）；

z、,2?AB=一方+—y,=0

記平面PAB的法向量為n2=（x2,y2,z2）,貝3,

%?"=-X2+y/3z2=0

,、〃2=|萬(wàn)點(diǎn)?

令x?=1,貝！j必=6,z2=,所以

記二面角P-AM-N的大小為e,由圖可知該二面角為銳二面角,

II1+1回

則n卜麗

回

所以二面角P-AM-N的余弦值為~w

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

求空間角的常用方法：

(1)定義法，由異而直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)

合題中條件，解對(duì)應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；

(2)向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算向量夾角(直線方向向量與直線方向向量、

直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量)余弦值，即可求出結(jié)果.

20.中國(guó)大學(xué)先修課程，是在高中開(kāi)設(shè)的具有大學(xué)水平的課程,旨在讓學(xué)有余力的高中生早接受大

學(xué)思維方式、學(xué)習(xí)方法的訓(xùn)練，為大學(xué)學(xué)習(xí)乃至未來(lái)的職業(yè)生涯做好準(zhǔn)備，某高中每年招收學(xué)生

1000人,開(kāi)設(shè)大學(xué)先修課程已有兩年，共有300人參與學(xué)習(xí)先修課程，兩年全校共有優(yōu)等生200

人，學(xué)習(xí)先修課程的優(yōu)等生有50人，這兩年學(xué)習(xí)先修課程的學(xué)生都參加了考試，并且都參加了某

高校的自主招生考試，結(jié)果如下表所示：

分?jǐn)?shù)〃95<?<10085<?<9575<?<8560<a<75a<60

人數(shù)20551057050

參加自主招生獲得通過(guò)的概率0.90.80.60.50.4

(1)填寫列聯(lián)表,并畫出列聯(lián)表的等高條形圖，并通過(guò)圖形判斷學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生是否有關(guān)系,

根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性體驗(yàn)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)().01的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等

生有關(guān)系？

優(yōu)等生非優(yōu)等生總計(jì)

學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程

沒(méi)有學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程

總計(jì)

(2)己知今年有150名學(xué)生報(bào)名學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程,以前兩年參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)成績(jī)的頻

率作為今年參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)成績(jī)的概率.

①在今年參與大學(xué)先修課程的學(xué)生中任取一人，求他獲得某高校自主招生通過(guò)的概率；

②某班有4名學(xué)生參加了大學(xué)先修課程的學(xué)習(xí)，設(shè)獲得某高校自主招生通過(guò)的人數(shù)為1求J的分

布列,并求今年全校參加大學(xué)先修課程的學(xué)生獲得大學(xué)自主招生通過(guò)的人數(shù).

參考數(shù)據(jù):

P(K2>Q0.150.100.050.0250.0100.005

“。2.0722.7063.8415.0246.6357.879

"(ad-be)2

參考公式：K2=期中n-a+b+c+d,

(a+〃)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】（1）表格及圖見(jiàn)解析，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等

生有關(guān)系

⑵①0.6,②見(jiàn)解析

【分析】（1）由題意可得列聯(lián)表和等高條形圖，并可作出判斷，然后求出K?后與臨界值表對(duì)照

可得結(jié)論.（2）①根據(jù)題中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得所求概率為P=0.6；②設(shè)獲得某高校自主招生通過(guò)

的人數(shù)為4,則4~8（4,1）,由此可得J的分布列.結(jié)合尸=0.6可得通過(guò)的人數(shù)為150*0.6=90

人.

【詳解】（1）列聯(lián)表如下:

優(yōu)等生非優(yōu)等生總計(jì)

學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程50250300

沒(méi)有學(xué)習(xí)大學(xué)先修課/p>

總計(jì)20018002000

等高條形圖如下圖,

通過(guò)圖形可判斷學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系.

又由列聯(lián)表可得小2°黑ZU*”引742—,

因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系.

（2）①由題意得所求概率為

70八匚50…八，

P=—x0.9+—x0.8+---x0.6+---x0.5+---x0.4—0.6

30()30030()3(X)3(X)

②設(shè)獲得某高校自主招生通過(guò)的人數(shù)為J，則4~,

嘯「J%=(),1,2,3,4,

?:J的分布列為

01234

169621621681

p

625625625625625

今年全校參加大學(xué)生先修課程的學(xué)生獲得大學(xué)自主招生通過(guò)的人數(shù)為150x0.6=90.

【點(diǎn)睛】(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：①根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2x2列聯(lián)表；②根據(jù)公式計(jì)算K2的

值；③比較K?與臨界值的大小關(guān)系作出統(tǒng)計(jì)推斷.

(2)片的值可以確定在多大程度上認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系“；的值越大，認(rèn)為“兩個(gè)分類變

量有關(guān)系”的把握越大.

21.若f(x)=ke*,且直線y=ex與曲線y=/(x)相切.

⑴求k的值：

(2)證明：當(dāng)ae[l,2],不等式2/(x)+asinx-22x?+3x對(duì)于Vxe[0,+<?)恒成立.

【答案】⑴)=1

(2)證明見(jiàn)解析

/(毛)=%

【分析】(1)設(shè)切點(diǎn)為(%,%),則有解之即可的解;

/'(%)=e

(2)要證當(dāng)不等式2/(x)+asinx-22/+3x對(duì)于Vxe[0,yo)恒成立，只需證當(dāng)

ae[l,2]時(shí)，不等式2e'+asinx-22f+3x對(duì)于Txe[0,+O恒成立，令

//(%)=2eA+?sinx-2-x2-3X,XG[0,+OO),只需證明人(立血20即可,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)力(x)的

最小值，即可得證.

【詳解】⑴解：設(shè)切點(diǎn)為(%,%),f<x)=ke,

f(x0)=ex0ke^=ex0

,解得：玉)=1,&=1,

f'(x0)=en=e

.\k=\；

(2)證明：要證當(dāng)不等式2/a)+〃sinx-22/+3%對(duì)于Vxw[0,+8)恒成立,

只需證當(dāng)〃￡[1,2]時(shí)，不等式2eX+asinx—22/+3x對(duì)于近￡[0,+8)恒成立，

令。(x)=2et+d,sinx-2-x2-3X,XG[0,+OO),

令g(x)=h\x)=2e'4-tzcosx—2x—3,xe[0,+oo),

=2ex-?sinx-2,xe[0,4-oo),

m(x)=x-sinx,xe[0,4oo),

則ni(x)=1-cos"N0,

所以函數(shù)m(x)在(o,y)上遞增，

所以m(x)Nm(0)=0,

所以sinxWx,x￡[0,+o)),

H(.g\x)>=2ex-asinx-