2024年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《幾何圖形變換綜合壓軸題》專題提升訓(xùn)練-

2024年春九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《幾何圖形變換綜合壓軸題》專題提升訓(xùn)練（附答案）1．如圖①，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=60°，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接EC，則：(1)線段AC,CD,CE之間的數(shù)置關(guān)系是__________．(2)如圖②，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，請判斷線段AC,CD,CE之間的數(shù)童關(guān)系，并說明理由；(3)如圖②，AC與DE交于點(diǎn)F，在（2）條件下，若AC=8，直接寫出AF的最小值．2．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直線BG與DE交于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在CD上時(shí)，請直接寫出線段BG與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在直線CD右側(cè)時(shí)，求證：BH?DH=2②當(dāng)∠DEC＝45°時(shí)，若AB＝3，CE＝1，請直接寫出線段DH的長．3．【探究與證明】成語“以不變應(yīng)萬變”中蘊(yùn)含著某種數(shù)學(xué)原理．【動手操作】如圖1，AC是正方形ABCD的對角線，點(diǎn)E是AC上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)E和B作等腰直角△EFG，其中∠FEG=90°，EF>AB，EG與射線DC交于點(diǎn)P．請完成：（1）試判斷圖1中的∠BEC和∠PEC的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段DC上時(shí)，求證：EP=BE．【類比操作】如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段DC的延長線上時(shí)．（3）EP=BE是否還成立?請判斷并證明你的結(jié)論．4．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，連接BD、EC，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，連接BM、DM．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D、E分別在AC、AB上時(shí)，求證：△BMD為等腰直角三角形；(2)如圖2，將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，使點(diǎn)D落在AB上，此時(shí)（1）中的結(jié)論“△BMD為等腰直角三角形”還成立嗎？請對你的結(jié)論加以證明；(3)如圖3，將圖2中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，△BMD為等腰直角三角形的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．5．如圖1，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA=9cm．點(diǎn)D從O點(diǎn)出發(fā)，沿OM方向運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到CE．連接BE，DE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段OA上運(yùn)動時(shí)，線段BD、BE、BC之間的數(shù)量關(guān)系是______，直線AD和直線BE所夾銳角的度數(shù)是______；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到線段AB（不與A點(diǎn)重合）上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請說明理由；若不成立，請寫出正確的結(jié)論并說明理由；(3)如圖3，將△ABC改為等腰直角三角形，其中斜邊AB=6，其它條件不變，以CD為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形CDE，連接BE，請問BE是否存在最小值，若存在，直接寫出答案；若不存在，說明理由．6．在等邊△ABC中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF=120°,DE與線段AB相交于點(diǎn)E,DF與射線AC相交于點(diǎn)F．(1)如圖，若DF⊥AC，垂足為F,AB=4,求BE的長；(2)如圖，將（1）中的∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點(diǎn)F．求證：BE+CF=1(3)如圖，將（2）中的∠EDF繼續(xù)繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與線段AC的延長線交于點(diǎn)F作DN⊥AC于點(diǎn)N，若DN=FN,設(shè)BE=x,CF=y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．7．在△ABC中，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，連接BD,BD平分∠ABC，將線段DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段DE．(1)如圖1，E在線段BC上時(shí)，若∠BAC=90°,AD=2,DE=3(2)如圖2，若E與點(diǎn)B重合，點(diǎn)G,F分別為線段AB、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)M、H分別為GD,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在DF的延長線上，且DN=BG,∠BDN=3∠ABD，求證：BN=2MH；(3)如圖3，若射線DE過BC中點(diǎn)H,BC=6,tan∠ACB=12,∠ABC<2∠ACB，將△BHD沿DE翻折到同一平面內(nèi)得到△B′HD，過B′作B′K垂直于直線AC8．在△ABC中，∠BAC的角平分線AD交BC邊于點(diǎn)D，過頂點(diǎn)C作AB邊的平行線交AD的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，連接CF．(1)如圖1，若∠ACB=90°，∠ABC=45°，BD=42，求△ABD(2)如圖2，過點(diǎn)B作BH∥AC，連接CH，EH，若∠CEH+∠CBH=180°，∠HCA=∠ECF．求證：CH=2CF；(3)如圖3，若∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，把△ACD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α(0°<α≤360°)，得到△ACD′，連接ED′，點(diǎn)M為ED9．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE，易證△BCE≌△ACD．則∠BEC=___________°；（2）拓展研究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，若AE=15，DE（3）探究發(fā)現(xiàn)：如圖3，P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=5，CP=4，10．如圖1，四邊形ABCD是正方形，E是BC垂直平分線上的點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)是E′，直線BE與直線DE′(1)若點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)AF．則∠FAB＝______．(2)小聰認(rèn)為：只要點(diǎn)E不在正方形的中心，則直線AF與AB所夾銳角度數(shù)不變，小敏嘗試改變點(diǎn)E的位置，如圖2，她將點(diǎn)E選在正方形內(nèi)，且△EAD為等邊三角形，請你幫助小敏求出直線AF與AB所夾銳角∠FAB的度數(shù)，以驗(yàn)證小聰觀點(diǎn)的正確性．(3)為繼續(xù)驗(yàn)證小聰?shù)挠^點(diǎn)，小敏嘗試進(jìn)一步通過改變點(diǎn)E的位置，探究計(jì)算出相應(yīng)角度．以下是小敏提出的兩種驗(yàn)證途徑：A．將點(diǎn)E選在邊AD的中點(diǎn)處．B．將點(diǎn)E選在正方形外，且使∠EBC＝45°的位置．請你選擇其中一種途徑，畫出相應(yīng)圖形，并求直線AF與AB所夾銳角的度數(shù)．我選擇途徑______（填“A”或“B”）來進(jìn)行驗(yàn)證．11．已知正方形ABCD，E，F(xiàn)為平面內(nèi)兩點(diǎn)．【探究建?！浚?）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊AB上時(shí)，DE⊥DF，且B，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線．求證：AE=CF；【類比應(yīng)用】（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD外部時(shí)，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線．猜想并證明線段AE，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系；【拓展遷移】（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD外部時(shí)，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線，DE與AB交于G點(diǎn)．若DF=3，AE=2，求CE12．【問題情境】如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，F(xiàn)是AC邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)A，C重合），以CF為邊在△ABC外作正方形CDEF，連接AD，BF．(1)【探究展示】①猜想：圖1中，線段BF，AD的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．②如圖2，將圖1中的正方形CDEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，BF交AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)O，①中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．(2)【拓展延伸】如圖3，將【問題情境】中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改為矩形CDEF，連接BF并延長，交AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)O，連接BD，AF．若AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，求B13．如圖1，在正方形ABCD中，P是邊BC上的動點(diǎn)，E在△ABP的外接圓上，且位于正方形ABCD的內(nèi)部，EA=EP，連結(jié)AE，(1)求證：△PAE是等腰直角三角形．(2)如圖2，連結(jié)DE，過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，請?zhí)骄烤€段DE與PF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)當(dāng)Р是BC的中點(diǎn)時(shí)，DE=2．①求BC的長．②若點(diǎn)Q是△ABP外接圓的動點(diǎn)，且位于正方形ABCD的外部，連結(jié)AQ．當(dāng)∠PAQ與△ADE的一個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，求所有滿足條件的AQ的長．14．如圖1，在等腰三角形ABC中，∠A=120°,AB=AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD=AE，連接BE．點(diǎn)M、N、P分別為DE、BE、BC的中點(diǎn)．(1)觀察猜想．圖1中，線段NM,NP的數(shù)量關(guān)系是__________，∠MNP的大小為__________°．(2)探究證明把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE，判斷△MNP的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=2,AB=6，請直接寫出△MNP面積的最大值．15．問題背景：如圖，已知∠EDF的頂點(diǎn)D在△ABC的邊AB所在直線上（不與A，B重合），DE交AC所在直線于點(diǎn)M，DF交BC所在直線于點(diǎn)N，記△ADM的面積為S1，△BND的面積為S2，初步嘗試：如圖1，當(dāng)△ABC是等邊三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC(1)類比探究：在上述條件下，先將∠EDF隨點(diǎn)D沿AB平移，使AD=4，再將∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至如圖2所示位置，求S1(2)延伸拓展：當(dāng)△ABC是等腰三角形，AC=BC時(shí)，設(shè)∠B=∠A=∠EDF=α．①如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動時(shí)，設(shè)AD=a，BD=b，求S1?S2的表達(dá)式（結(jié)果用a，②如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上運(yùn)動時(shí)，設(shè)AD=a，BD=b，直接寫出S116．【發(fā)現(xiàn)奧秘】(1)如圖1，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AE,EC,BE，分別將AC,EC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到DC,FC，連接AD,DF,EF．當(dāng)B，E，F(xiàn)，D四個(gè)點(diǎn)滿足______時(shí)，BE+AE+CE的值最小，最小值為_______．【解法探索】(2)如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA,PB,PC，請求出當(dāng)PA+PB+PC的值最小時(shí)∠BCP的度數(shù)，并直接寫出此時(shí)PA:PB:PC的值．（提示：分別將PC,AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到DC,EC，連接PD,DE,AE）【拓展應(yīng)用】(3)在△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA,PB,PC，直接寫出當(dāng)PA+PB+PC的值最小時(shí)，PA:PB:PC的值．17．【問題背景】如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，我們可以通過把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ADG，容易證得：EF=BE+DF．(1)【遷移應(yīng)用】如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B、∠D都不是直角，且∠B+∠D=180°，試探究EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)【聯(lián)系拓展】如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC滿足的等量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不需要證明）．18．【模型建立】（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對角線上一點(diǎn)，連接AE，CE．求證：△ADE≌△CDE．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對角線上一點(diǎn)，連接AE，CE．將EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交AD的延長線于點(diǎn)F，連接CF．當(dāng)AE=3時(shí)，求CF的長．【模型遷移】（3）如圖3，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，點(diǎn)E是對角線上一點(diǎn)，連接AE，CE．將EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，交AD的延長線于點(diǎn)F，連接CF，EC與EF交于點(diǎn)G．當(dāng)EF=EC時(shí)，判斷線段CF與AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．19．綜合與實(shí)踐問題情境：將兩個(gè)完全相同的等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE按圖1方式放置，∠ACB=∠DCE=90°，將Rt△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AE，BD，AE與BD相交于點(diǎn)G．猜想證明：（1）在圖1中，請判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到CE//AB時(shí)，如圖2，證明：AE平分∠BAC；解決問題：（3）若旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，連接BE、此時(shí)△BCE恰好是等邊三角形，AE與BC相交于點(diǎn)F，請你直接寫出BFCF20．（1）觀察理解：如圖1，ΔABC中，∠ACB=90°,AC=BC，直線l過點(diǎn)C，點(diǎn)A,B在直線l同側(cè)，BD⊥l,AE⊥l，垂足分別為D,E，由此可得：∠AEC=∠CDB=90°，所以∠CAE+∠ACE=90°，又因?yàn)椤螦CB=90°，所以∠BCD+∠ACE=90°，所以∠CAE=∠BCD，又因?yàn)锳C=BC，所以ΔAEC?Δ（2）理解應(yīng)用：如圖2，AE⊥AB，且AE=AB,BC⊥CD，且BC=CD，利用（1）中的結(jié)論，請按照圖中所標(biāo)的數(shù)據(jù)計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S=_________；（3）類比探究：如圖3，RtΔABC中，∠ACB=90°,AC=4，將斜邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至AB′，連接（4）拓展提升：如圖4，等邊ΔEBC中，EC=BC=3cm，點(diǎn)O在BC上，且OC=2cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)E沿射線EC以1cm/s速度運(yùn)動，連接OP，將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t①當(dāng)t=________秒時(shí)，OF∥ED；②當(dāng)t=________秒時(shí)，點(diǎn)F恰好落在射線EB上．參考答案1．（1）解：∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，由旋轉(zhuǎn)知，AD=AE，∠DAE=60°=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BC=BD+DC=CE+DC，即AC=CE+CD（2）解：CE+CD=2∵AB=AC，∠BAC=90°，由旋轉(zhuǎn)知，AD=AE，∠DAE=90°=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BC=BD+DC=CE+DC，在RtΔABC中，∴BC=2∴DC+CE=（3）解：由（2）知，△ABD≌△ACE，∴∠ACE=∠ABD，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABD=∠ACB=45°，∴∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∵∠DAE=90°，∴∠BCE+∠DAE=180°，∴點(diǎn)A，D，C，E在以DE為直徑的圓上，∵AC與DE交于點(diǎn)F，∴AF是直徑DE上的一點(diǎn)到點(diǎn)A的距離，即：當(dāng)AF⊥DE時(shí)，AF最小，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=90°-∠ACB=45°，∵∠ADE=45°，∴∠ADC=90°，∴四邊形ADCE是矩形，∴AF最小=122．（1）解：BG＝DE，BG⊥DE，理由如下：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都為正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE．∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHD＝90°，即BG⊥DE．綜上可知BG和DE的關(guān)系為BG＝DE且BG⊥DE．故答案為：BG＝DE且BG⊥DE；（2）①證明：如圖，在線段BG上截取BK＝DH，連接CK．∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都為正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠GCE＝90°，CG＝CE，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴∠CBK＝∠CDH，∵BK＝DH，BC＝DC，∴△BCK≌△DCH(SAS)，∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，∴∠BCK+∠KCD＝∠DCH+∠KCD，即∠KCH＝∠BCD＝90°，∴△KCH是等腰直角三角形，∴HK=2∴BH?DH=BH?BK=KH=2②如圖，當(dāng)D，G，E三點(diǎn)共線時(shí)∠DEC＝45°，連接BD．由（1）同樣的方法可知，BH＝DE，∵四邊形CEFG為正方形∴CE＝CH＝1，∴EH=∵AB＝3，∴BD=2設(shè)DH＝x，則BH=在Rt△BDH中，BH2+D解得：x1故此時(shí)DH=34如圖，當(dāng)H，E重合時(shí)，∠DEC＝45°，連接BD．設(shè)DH＝x，∵BG＝DH，∴BH=在Rt△BDH中，BH2解得：x1故此時(shí)DH=34綜上所述，滿足條件的DH的值為34-223．解：（1）等腰直角△EFG，∴∠BEC+∠PEC=90°；（2）如圖，過E作EQ⊥BC于Q，作ET⊥CD于T，∴∠EQC=∠EQB=∠ETC=90°，∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∠ACD=∠ACB=45°，∴四邊形EQCT為矩形，EQ=ET，∴∠QET=90°=∠QEP+∠PET，∵∠BEQ+∠QEP=90°，∴∠BEQ=∠PET，∴△BEQ≌△PET，∴BE=PE；（3）BE=PE成立，理由如下：如圖，過E作EQ⊥BC于Q，作ET⊥CD于T，∴∠EQC=∠EQB=∠ETC=90°∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∠ACD=∠ACB=45°，∴四邊形EQCT為矩形，EQ=ET，∴∠QET=90°=∠QEP+∠PET，∵∠BEQ+∠QEP=90°，∴∠BEQ=∠PET，∴△BEQ≌△PET，∴BE=PE；4．解：（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，∴BM=MC=12EC，DM=MC=12∴BM=DM，∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，∴∠MBC+∠MDC=∠MCB+∠MCD=∠ACB，∵∠EMB=∠MBC+∠MCB，∠EMD=∠MDC+∠MCD，∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=∠MBC+∠MCB+∠MDC+∠MCD=2∠ACB=245=90，∴△BMD為等腰直角三角形；（2）成立；如圖1，延長DM交BC于N，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∴BA=BC，DE=DA，∠EDB=90，∴∠EDB=∠DBC，∴ED∥∴∠DEM=∠NCM，∵M(jìn)為EC中點(diǎn)，∴EM=CM，又∠EMD=∠CMN，∴△EMD≌△CMN，∴DM=MN，ED=CN，∴AD=CN，∴BD=BN，∴BM=12DN=DM∴BM⊥DN，即∠BMD=90，∴△BMD為等腰直角三角形；（3）成立；如圖2，作CN∥BD交DM延長線于N，連接∵CN∥∴∠BAC=∠MCN=45，∴∠E=∠MCN=45，∵∠DME=∠NMC，EM=CM，∴△EMD≌△CMN，∴CN=DE=AD，MN=DM，又∵∠DAB=180-45-45=90，∠BCN=45+45=90，∴∠DAB=∠BCN，又BA＝BC，∴△DBA≌△NBC(SAS)，∴∠DBA=∠NBC，BD=BN；∴∠DBN=∠ABC=90，∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊中線，∴BM⊥DM，∠DBM=∠BDM=45，BM=DM=MN，即△BMD為等腰直角三角形．5．（1）解：結(jié)論為：BD=BE+BC；直線AD和直線BE所夾銳角的度數(shù)是60°；∵線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到CE．∴CD=CE，∠DCE=60°，∴∠DCA+∠ACE=60°，∵△ABC為等邊三角形，∴AC=BC=AB，∠ACB=∠CAB=60°，∴∠ACE+∠ECB=60°，∴∠DCA=∠ECB，在△DCA和△ECB中，DC=EC∠DCA=∠ECB∴△DCA≌△ECB（SAS），∴DA=EB，∠DAC=∠EBC=180°-∠CAB=120°，∴BD=DA+AB=BE+BC，∴BD=BE+BC，∠DBE=∠EBC-∠ABC=120°-60°=60°，故答案為BD=BE+BC；60°；（2）解：（1）中結(jié)論BD=BE+BC不成立，應(yīng)為BD=BC?BE；直線AD與直線BE所夾銳角的度數(shù)為60°成立．理由如下：∵線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到CE，∴∠CDE=60°，DC=EC．∵在等邊三角形△ABC中，AB=BC=AC，∠ACB=∠BAC=∠ABC=60°，∴∠DCA=∠ECB．在△DCA和△ECB中，DC=EC∠DCA=∠ECB∴△DCA≌△ECB（SAS），∴AD=BE，∠CBE=∠DAC=60°．∴BD=AB?AD=BC?BE，∠EBM=180°?∠ABC?∠CBE=180°?60°?60°=60°．（3）解：存在，BE的最小值為32如圖，作CF⊥AB于點(diǎn)F，連結(jié)EF，∵∠CED=90°，∠DFC=90°，∴C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．CD為直徑，∵AB=6，CF⊥AB，AC=BC，∴AF=BF=CF=3，AC=BC=AF∵△DEC為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CFE=45°，∴點(diǎn)E運(yùn)動軌跡是∠CFB的平分線所在的直線的一部分，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)．BE最短，∵DE平分∠CDB，CF=BF，∴BE=CE=126．解：（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4．∵點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∴BD＝DC＝12BC∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，∴BE＝12BD（2）過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如圖2，則有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM＝CN，DM＝DN．在△EMD和△FND中，∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM＝FN，∴BE+CF＝BM+EM+CN－FN＝BM+CN＝2BM＝BD＝12BC＝12（3）過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，如圖3，同（2）的方法可得：BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN．∵DN＝FN，∴DM＝DN＝FN＝EM，∴BE+CF＝BM+EM+FN－CN＝NF+EM＝2DM=x+y，BE﹣CF＝BM+EM﹣（FN－CN）＝BM+NC＝2BM=x－y，在Rt△BMD中，∵∠BDM=30°，∴BD=2BM，∴DM＝BD∴x+y=3x?y，整理，得7．（1）解：過點(diǎn)D作BC的垂線，交BC于點(diǎn)F，如圖所示∵BD平分∠ABC∴DA=DF=2∵DE=3∴DC=3∴AC=5在Rt△CFD中，CF=在△CFD和△CAB中{∴△CFD∽△CAB∴DF∴AB=（2）證明：連接DH，并延長使得DH=HQ，連接GQ、BQ，如圖所示∵點(diǎn)H是BC中點(diǎn)∴BH=CH在△BHQ和△CHD中∵{∴△BHQ≌△CHD(SAS)∴DC=BQ，∠C=∠CBQ∵點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，∴DC=DB∴∠C=∠DBC，BQ=DB∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC∴∠ABD=∠DBC=∠C=∠CBQ∴∠ABQ=∠ABD+∠DBC+∠CBQ=3∠ABD∵∠BDN=3∠ABD∴∠BDN=∠ABQ在△BGQ和△DNB中∵{∴△BGQ≌△DNB(SAS)∴GQ=BN∵點(diǎn)H是DQ中點(diǎn)、點(diǎn)M是DG中點(diǎn)∴MH是△DGQ的中位線∴GQ=2MH∴BN=2MH（3）解：連接BB′、B′C，過點(diǎn)D作BC垂線，交BC于點(diǎn)M，延長DE交∵將△BHD沿DE翻折到同一平面內(nèi)得到△∴BD=B′又∵DN=DN∴△BDN≌△∴∠DNB=∠DN又∵∠DNB+∠DN∴∠DNB=∠DN∴DN⊥B∵B∴∠HBB′∵∠HB∴∠H∴C∴DN∴S∵B∴S∴當(dāng)DC與B′K的乘積最大時(shí)，S△D∵HC是定長∴以HC為底，HB′⊥HC∵HB′∴BB′∴BN=NH=∵DM⊥BC，∠DHM=45°∴DM=HM設(shè)DM=x∵tan∴MC=2x∵DM+MC=3，即2x+x=3∴x=1∴DH=2，∴HE=∴NE=NH?HE=∴B等知識點(diǎn)，本題難度比較大，正確作出輔助線，綜合運(yùn)用各知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．8．解：（1）如圖1中，過D作DP⊥AB于點(diǎn)P，∴∠DPB=90°，∵AD平分∠BAC，∠ACB=90°，∴CD=DP，∵∠DPB=90°，∠ABC=45°，∴PD=PB，在Rt△BDP中，∵PB2+P∴PD=PB=4，CD=4，∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，∴AC=BC=4+42∴S△ABD（2）證明：如圖2中，延長CF到點(diǎn)G，使FG=CF，連接AG，∵F為AD的中點(diǎn)，∴FA=FD，在△AFG和△DFC中，{CF=GF∴△AFG≌△DFC(SAS)，∴∠G=∠GCB，∴BC∥AG，∴∠GAC+∠ACB=180°，∵BH∥AC，∴∠ACB=∠CBH，∵∠CEH+∠CBH=180°，∴∠GAC=∠CEH，∵∠HCA=∠ECF，∴∠ACG=∠ECH，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，又∵AB∥CE，∴∠CEA=∠BAD，∴∠CAE=∠CEA，∴CA=CE，在△ACG和△ECH中，{∠GAC=∠CEH∴△ACG≌△ECH(ASA)，∴CH=CG，∵CG=2CF，∴CH=2CF；（3）DM的最大值為3．理由：如圖，點(diǎn)D′的軌跡是以A為圓心，AD為半徑的⊙A由題可知，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=30°，∵AC=2，∴AD=4∵點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)∴DF=1∵CE∥∴∠CEA=∠B=30°,而∠CAD=1∴∠CAE=∠E=30°,∴AC=CE=2,∴AE=23∴DE=2∴D′當(dāng)點(diǎn)D′、A、D、F共線時(shí)，D′F最長，D∴DM的最大值為3．9．解：（1）∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC，∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°，∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝120°，∴∠BEC＝120°．故答案為：120；（2）∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE=AE?DE=15?7=8，∠ADC=∠BEC，∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝135°，∴∠BEC＝135°，∴∠AEB=∠BEC?∠CED=90°，∴AB＝AE2+B（3）把△APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEC，連接PE，如圖所示：則△BEC≌△APC，∴CE＝CP，∠PCE＝60°，BE＝AP＝5，∠BEC＝∠APC＝150°，∴△PCE是等邊三角形，∴∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝4，∴∠BED＝∠BEC-∠PEC＝90°，∵∠APD＝30°，∴∠DPC＝150°﹣30°＝120°，又∵∠DPE＝∠DPC+∠EPC＝120°+60°＝180°，即D、P、E在同一條直線上，∴DE＝DP+PE＝8+4＝12，在Rt△BDE中，BD=D即BD的長為13．10．解：（1）如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD＝BC，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝12CD∵點(diǎn)E′是點(diǎn)E關(guān)于正方形的對角線BD∴DE∴DE∵AD∥BC，∴DF＝CD＝AD，∴∠FAD=∠AFD∵∠ADF=90°，∴∠FAD＝45°．故答案為：45°．（2）如圖所示：∵△EAD是等邊三角形，∴∠EDA＝∠EAD＝60°，DE＝EA＝AD，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADB＝45°，∠DAB＝90°，∴AE＝AB，∠EAB=∠DAB?∠DAE=30°，∴∠AEB=∠ABE=180°?30°∵點(diǎn)E′是點(diǎn)E關(guān)于DB∴∠E∴∠FDE＝30°，∴∠ADF=∠ADE?∠FDE=30°，∴∠ADF＝∠EDF．∵DF＝DF，∴△ADF≌∴FA＝FE，∴∠FAE＝∠FEA＝75°，∴∠FAB=∠FAE?∠EAB=45°．（3）選擇途徑A：將點(diǎn)E選在AD邊的中點(diǎn)，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴BA∥CD，AB＝AD，∠ADC＝∠DAB＝90°，∠ADB＝∠∵點(diǎn)E′是點(diǎn)E關(guān)于DB∴∠E∴∠CDB=∠E∴E′在DC∴F在直線CD上，∴DF∥∴∠FDE＝∠BAE，∠DFE＝∠ABE，∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∴△ABE≌∴AB＝DF，∴AD＝DF，∵∠FDA=180°?∠ADC=90°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴∠FAD＝45°，∴∠FAB＝135°，∴直線AF與AB所夾銳角為45°．選擇途徑B：將點(diǎn)E選在正方形外，且使∠EBC＝45°的位置，連結(jié)CE，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠DBA＝∠DBC＝45°，∵E在BC的垂直平分線上，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°，∠DBE=∠DBC+∠CBE=90°，∴EB⊥DB，∵點(diǎn)E′是點(diǎn)E關(guān)于BD∴EE∴E′，B，E∴點(diǎn)E′與點(diǎn)F∴FB＝BE，∠ABF=∠DBF?∠DBA=45°，∴∠ABF＝∠CBE，∴△ABF≌∴∠FAB＝∠ECB＝45°．11．解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，B，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴DC=DA,∠DAE=∠DCF=90°,∵DE⊥DF，∴∠ADC=∠EDF=90°，∴∠ADE=∠CDF,在△ADE和△CDF中，∠DAE=∠DCFDA=DC∴△ADE≌△CDF(ASA),∴AE=CF;（2）∵DE⊥DF，四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC=∠EDF=90°,AD=CD,∴∠ADE=∠CDF,∵AE⊥EF，DE⊥DF，∴∠DEF+∠F=90°,∠AED+∠DEF=90°,∴∠AED=∠F,在△ADE和△CDF中，∠ADE=∠CDF∠AED=∠F∴△ADE≌△CDF(AAS),∴DE=DF,AE=CF,∴△EDF為等腰直角三角形，∴EF=2即AE+CE=2（3）過點(diǎn)D作DH⊥CE于點(diǎn)H，連接BD，∵∠DFA=∠FAE+∠FEA=90°+∠FEA，∵∠AEB=∠FEA+∠DEB=90°+∠FEA，∴∠AEB=∠DFA，∵∠BAE=90°?∠FAB,∠DAF=90°?∠FAB,∴∠BAE=∠DAF，在△BAE和△DAF中，∠BAE=∠DAF∠BEA=∠DFA∴△BAE≌△DAF(AAS),∴DF=BE=3，F(xiàn)A=EA=2∵AE=FA=2且FA⊥AE∴△FAE為等腰直角三角形，∴EF=2在Rt△DEB中，DE=3+2=5,BE=3,∴DB=5∵BD是正方ABCD對角線，∴AD=CD=34∵∠FEA=45°∴∠DEC=45°,∴△DHE為等腰直角三角形，∴DH=EH=5∴在Rt△DHC中，CH=D∴CE=CH+EH=312．（1）解：①∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∵四邊形CDEF是正方形，∴CF=CD，∵∠ACB=∠ACD=90°，在△BCF和△ACD中CF=CD∠ACB=∠ACD=90°∴△BCF≌△ACD(SAS)，∴BF=AD，延長BF交AD于點(diǎn)G，∵∠CAD=∠FBC，∴∠CAD+∠AFG=∠FBC+∠BFC=90°，∴∠AGF=90°，∴BF⊥AD；故答案為：BF=AD，BF⊥AD；②BF=AD，BF⊥AD仍然成立，理由如下：證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∵四邊形CDEF是正方形，∴CD=CF，∠FCD=90°，∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，即∠BCF=∠ACD，在△BCF和△ACD中CF=CD∴△BCF≌△ACD(SAS)，∴BF=AD，∠CBF=∠CAD，又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF⊥AD；（2）證明：連接DF，∵四邊形CDEF是矩形，∴∠FCD=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠FCD，∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，即∠BCF=∠ACD，∵AC=4，BC=3，CD=43，CF∴BCAC∴△BCF∽△ACD，∴∠CBF=∠CAD，

又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF⊥AD，∴∠BOD=∠AOB=90°，∴BD∴BD在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB在Rt△FCD中，∠FCD=90°，CD=43，CF∴DF∴BD13．（1）解：如圖1，在正方形ABCD中，∠B=90°，∵點(diǎn)E在△ABP的外接圓上，∴∠AEP+∠B=180°，∴∠AEP=90°，∴∠EAP+∠EPA=90°．∵弧EA∴∠EAP=∠EPA=45°，∴△PAE是等腰直角三角形．（2）如圖2，延長FE交AD于點(diǎn)H．∵EF⊥BC，∴EH⊥AD，即∠AHE=∠EFP=90°，∴∠EAH+∠AEH=90°．∵∠AEP=90°，∴∠PEF+∠AEH=90°，∴∠EAH=∠PEF．又∵△PAE是等腰直角三角形，∴EA=EP，∴△EAH≌∴AH=EF，∵AD=DC=HF，∴AH+HD=EF+HE，∴HD=HE=PF，∴DE=2（3）①由（2）知DE=2∵DE=2，∴FC=HD=HE=PF=2∵P是BC的中點(diǎn)，∴BC=2PC=42②∵tan∠EAD=∴∠EAD<∠EDA=45°=∠PAE，∴存在∠PAQ=∠EDA或∠PAQ=∠EAD（點(diǎn)P在AB的左側(cè)）．當(dāng)∠PAQ=∠EDA時(shí)如圖3，∠PAQ=45°=∠PAE，∴弧PE∵∠B=90°，∴AP是圓的直徑，∴弧AQ=弧∴AQ=AE=3當(dāng)∠PAQ=∠EAD時(shí)如圖4，連結(jié)PQ．由第一種情況可知AP是圓的直徑，∴∠AQP=90°=∠AHE，∴△APQ∽△AEH，∴AQAH=AP綜上所述，AQ的長是2514．（1）解：∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∵點(diǎn)M、N、P分別為DE、BE、BC的中點(diǎn)，∴MN=12BD，PN=12CE，∴MN=PN，∠ENM=∠EBA，∠ENP=∠AEB，∴∠MNE+∠ENP=∠ABE+∠AEB，∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=60°，∴∠MNP=60°，故答案為：NM=NP；60°；（2）△MNP是等邊三角形．理由如下：由旋轉(zhuǎn)可得，∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵點(diǎn)M、N、P分別為DE、BE、BC的中點(diǎn)．∴MN=12BD，PN=12CE，∴MN=PN，∠ENM=∠EBD，∠BPN=∠BCE，∴∠ENP=∠NBP+∠NPB=∠NBP+∠ECB，∵∠EBD=∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ABE，∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB=180°-∠BAC=60°，∴△MNP是等邊三角形；（3）由（2）得，當(dāng)BD最大，則MN最大，則等邊△MNP的面積最大，當(dāng)BD=AB+AD時(shí)最大，此時(shí)BD=AB+AD=8，∴MN=PN=4，∴△MNP的面積=12∴△MNP的面積的最大值為4315．解：（1）如圖2，設(shè)AM=x，BN=y，∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，∴△AMD∽△BDN，∴AM∴x∴xy=8，作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，∴HD=sin60°×AD，∵SS2∴S（2）①如圖3，設(shè)AM=x，BN=y，同法可知△AMD∽△BDN，∴xy=ab，∵SS2∴S②如圖4，設(shè)AM=x，BN=y，同法可知△AMD∽△BDN，∴xy=ab，∵SS2∴S16．（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知CE=CF,CA=CD,∠ECF=∠ACD=60°，∠ACE=∠ECF?∠ACF=60°?∠ACF∴∠ACE=∠DCF，∴△ACE≌△DCF(SAS)，∴AE=DF，且EC=EF，∴BE+AE+CE=BE+DF+EF，∴當(dāng)B，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共線時(shí)，BE+DF+EF的值最小為BD，如圖所示：連接AC，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，∵ABCD為菱形，∴AC⊥BD，∵△ABC為等邊三角形，∴∠OCB=60°，∴BO=3此時(shí)BD=2BO=23（2）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知PC=CD,AC=CE,∠PCD=∠ACE=60°，∠PCA=∠PCD?∠ACD=60°?∠ACD∴∠PCA=∠DCE，∴△APC≌△EDC(SAS)，∴PA=DE，且△PDC，??△ACE均為等邊三角形，∴PA+PB+PC=DE+PB+PD，∴當(dāng)B，P，D，E四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，如圖1所示．∵△PDC，?∴∠BPC=∠CDE=∠CPA=120°，?∵AC=BC,AC=CE，∴BC=CE．∴∠PBC=∠DEC=15°，∴∠BCP=45°，∴當(dāng)B，P，D，E四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，此時(shí)∠BCP=45°；過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，如圖1所示．∵PB=PA,?∴CP是線段AB的中垂線，∴C，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∠FBC=∠FAC=45°∴PA=PB,∠FBP=∠FAP=30°，設(shè)PF=1，則PB=PA=2,CF=BF=3∴PC=3∴PA:PB:PC=2:2:(3（3）解：分別將PC,AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到DC,EC，連接PD,DE,AE，過點(diǎn)E作EF⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)F，如圖2所示：由(2)可知，當(dāng)B，P，D，E四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，此時(shí)∠BPC=∠CDE=∠CPA=120°，由(2)知：△APC≌△EDC，∴∠ECF=30°，∵BC=2，∴AC=CE=23∴EF=3∴BF=2+3=5，∴在Rt△BEF中由勾股定理得到BE=B過點(diǎn)C作CG⊥BE，垂足為G，如圖2所示．∵S△BCE∴12∴CG=21∴PG=DG=3∴在Rt△BCG中由勾股定理得到BG=B∴PD=PC=2PG=2∴PD=DE=BE?BP?PD=27∴PA:PB:PC=4:2:1．17．（1）解：數(shù)量關(guān)系是EF=BE+DF，理由如下：由題意得，AB=AD，∠BAD=90°，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ADG，如圖2所示，則∠DAG=∠BAE，∠ADG=∠B，AG=AE，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADG+∠ADC=180°，∴點(diǎn)F、D、G在同一條直線上；∵∠EAF=45°，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=90°?45°=45°，∴∠GAF=∠EAF，∵AF