微專題-橢圓中斜率乘積為的問題

橢圓中斜率乘積為的問題【熱身訓(xùn)練】1.設(shè)是橢圓的上下兩頂點(diǎn)，是橢圓上異于的任一點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)求證：為定值.2.平面直角坐標(biāo)系系xOy中，過橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)右焦點(diǎn)的直線交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB中點(diǎn)且OP的斜率為，那么橢圓M的方程為.【例題精講】例1：橢圓，點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．〔I〕假設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，，求的值；〔II〕設(shè)是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，試探究的面積是否為定值，說明理由．變題1：橢圓上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，假設(shè)是橢圓上異于任意一點(diǎn)，滿足，且，求的值.變題2：如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率，一條準(zhǔn)線的方程為.〔1〕求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2〕設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足:,其中是橢圓上的點(diǎn)，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn),使得為定值？假設(shè)存在，求出的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.變題3：橢圓，設(shè)是橢圓上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的面積是1，試探究是否為定值．【課后練習(xí)】1.設(shè)點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)(異于左,右頂點(diǎn)A,B)，直線分別交直線與點(diǎn)M,N，求證:.2.xO·yMPQ如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓作兩條切線分別與橢圓交于點(diǎn)，直線的斜率分別記為.xO·yMPQ〔1〕假設(shè)圓與軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)，求圓的方程；〔2〕假設(shè).①求證：；②求的最大值；③試探究是否為定值..【熱身訓(xùn)練】1.設(shè)是橢圓的上下兩頂點(diǎn)，是橢圓上異于的任一點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)求證：為定值.2.平面直角坐標(biāo)系系xOy中，過橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)右焦點(diǎn)的直線交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB中點(diǎn)且OP的斜率為，那么橢圓M的方程為.【例題精講】例1：橢圓，點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．〔I〕假設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，，求的值；〔II〕設(shè)是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，試探究的面積是否為定值，說明理由．解：〔Ⅰ〕，得，，即〔II〕〔解法一〕由條件得，，平方得,即=故的面積為定值〔解法二〕=1\*GB3①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得的面積為=2\*GB3②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為由，可得，又，可得因?yàn)?，點(diǎn)到直線的距離綜上：的面積為定值2變題1：橢圓上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，假設(shè)是橢圓上異于任意一點(diǎn)，滿足，且，求的值.解：設(shè)，由，有，因?yàn)槭菣E圓上任意一點(diǎn)，所以有，即因?yàn)闄E圓上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)闄E圓上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，所以，所以，所以，即.變題2：如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率，一條準(zhǔn)線的方程為.〔1〕求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2〕設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足:,其中是橢圓上的點(diǎn)，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn),使得為定值？假設(shè)存在，求出的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.解：〔1〕由，eq\f(a2,c)＝2eq\r(2)，解得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.〔2〕設(shè),那么由,得，因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)，所以，故因?yàn)橹本€與的斜率之積為，即，也即，所以，所以，即，所以點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)．設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為，那么由橢圓的定義有為定值，又因?yàn)?，因此兩定點(diǎn)的坐標(biāo)為．變題3：橢圓，設(shè)是橢圓上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的面積是1，試探究是否為定值．解：=1\*GB3①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè),那么可得的面積為，所以，即，所以，=2\*GB3②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為由，可得，因?yàn)?，點(diǎn)到直線的距離可得，所以，綜上：為定值．設(shè)點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)(異于左,右頂點(diǎn)A,B)，直線分別交直線與點(diǎn)M,N，求證:.證明：設(shè)那么，，所以，設(shè)，那么，所以，即2.xO·yMPQ如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓作兩條切線分別與橢圓交于點(diǎn)，直線的斜率分別記為.xO·yMPQ〔1〕假設(shè)圓與軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)，求圓的方程；〔2〕假設(shè).①求證：；②求的最大值；③試探究是否為定值.解：〔1〕因?yàn)闄E圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以圓心的坐標(biāo)為，從而圓的方程為.〔2〕①因?yàn)閳A與直線相切，所以，即，