機電控制工程基礎(chǔ)第二章

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型12自動控制原理課程的任務(wù)與體系結(jié)構(gòu)

第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程第二節(jié)非線性數(shù)學(xué)模型的線性化第三節(jié)拉氏變換與反變換第四節(jié)傳遞函數(shù)第五節(jié)傳遞函數(shù)的方塊圖3

為了從理論上對控制系統(tǒng)進(jìn)行性能分析，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。

時域模型：微分方程復(fù)域(s域)模型：傳遞函數(shù)第二章

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型4建立數(shù)學(xué)模型的方法：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。(內(nèi)部工作機制確定)人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識。內(nèi)部工作機制不了解系統(tǒng)模型輸入輸出誤差5實驗法解析法

合理的數(shù)學(xué)模型是指所建立的數(shù)學(xué)模型既有準(zhǔn)確性，又有簡化性。一般應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)的實際結(jié)構(gòu)參數(shù)及要求的計算精度，略去一些次要因素，使模型既能準(zhǔn)確反映系統(tǒng)的動態(tài)本質(zhì)又能簡化分析計算的工作。除非系統(tǒng)含有強非線性或參數(shù)隨時間變化較大，一般應(yīng)盡可能采用線性定常數(shù)數(shù)學(xué)模型描述控制系統(tǒng)。6

第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程

工程中的控制系統(tǒng)，不管它是機械的、電氣的、液壓的、氣動的，還是熱力的、化學(xué)的，其運動規(guī)律都可以用微分方程加以描述。系統(tǒng)r(t)c(t)線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式不出現(xiàn)變量高次項和交叉項定常系統(tǒng)：系數(shù)是常量7非線性時變系統(tǒng)一、建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟

1.根據(jù)基本的物理、化學(xué)定律，列寫出系統(tǒng)中每一個元件的輸入與輸出的微分方程。

2.確定系統(tǒng)的輸入與輸出量，消去其余的中間量，寫成標(biāo)準(zhǔn)化形式，從而求得系統(tǒng)輸出與輸入的微分方程。8二、控制系統(tǒng)微分方程的列寫例1質(zhì)量——阻尼——彈簧系統(tǒng)

彈簧力阻尼力輸出量位移y(t)圖2－1質(zhì)量—阻尼—彈簧系統(tǒng)輸入量外力f(t)9根據(jù)牛頓第二定律整理得為二階常系數(shù)線性微分方程10

例2R——L——C電路圖2－2R―L―C電路

輸入電壓

輸出電壓11消去中間變量i

可得為二階常系數(shù)線性微分方程根據(jù)基爾霍夫定律12例3齒輪傳動鏈圖2—3齒輪傳動鏈輸入量軸I的輸入轉(zhuǎn)矩輸出量軸I的角位移軸I、II軸I、II上總轉(zhuǎn)動慣量軸I軸I、II上粘性阻尼系數(shù)軸I的軸I、II的角位移齒輪I、II齒數(shù)齒輪II對I的阻力轉(zhuǎn)矩齒輪I對II的阻力轉(zhuǎn)矩齒輪的傳動比13各軸轉(zhuǎn)矩平衡方程得得14整理得寫成

折算到軸I上的總的轉(zhuǎn)動慣量

折算到軸I上的總的粘性阻尼系數(shù)其中15若輸出量為則方程變?yōu)?6例4電樞控制式直流電動機

圖2－4電樞控制式直流電動機原理圖輸入量電樞電壓輸出量電動機角速度—激磁電流為恒值—電動機產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩—電樞電流—電樞回路總電感—電樞回路總電阻—電動機軸上的等效轉(zhuǎn)動慣量—電動機軸上的等效粘性阻尼系數(shù)—負(fù)載轉(zhuǎn)矩—電樞繞阻的反電勢—電動機反電勢系數(shù)—電動機的轉(zhuǎn)矩系數(shù)繞阻等效電阻17電動機產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩反電勢安培定律楞次定律電樞回路電壓平衡方程克希霍夫定律電機軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程牛頓定律主動力矩：電動機產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩粘性摩擦力矩負(fù)載轉(zhuǎn)矩18整理得消去中間變量令19得：當(dāng)時負(fù)載轉(zhuǎn)矩電樞電壓一般電樞電感較小，可以忽略不計，20總輸出為角位移，上式變成21

比較以上四例可以看出，物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相似的數(shù)學(xué)模型。以上幾例得到的方程均為線性常系數(shù)微分方程，它們的一個重要性質(zhì)是具有齊次性和疊加性。

事實上，絕對的線性元件和線性系統(tǒng)是不存在的，所有的元件和系統(tǒng)在不同程度上都存在著非線性性質(zhì)。非線性系統(tǒng)一般不能應(yīng)用疊加原理，數(shù)學(xué)上處理也比較困難。為了便于研究，對一些可以進(jìn)行線性化處理的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成線性系統(tǒng)進(jìn)行分析和研究。

222．小偏差法假設(shè)系統(tǒng)在平衡點附近工作一元函數(shù)為輸出量為輸入量

第二節(jié)非線性數(shù)學(xué)模型的線性化常用的線性化方法有以下兩種：1．忽略弱的非線性因素如果元件的非線性因素弱，或不在系統(tǒng)線性工作范圍內(nèi)，非線性因素可忽略。

例如:例1和例3忽略了干摩擦、齒輪傳動中的間隙；例4忽略了電樞反應(yīng)、渦流和磁滯的影響23圖2－5某系統(tǒng)的非線性特性24如果函數(shù)在平衡點A（x,y）處連續(xù)可微，則可在A點附近展開成泰勒級數(shù)

由于很小，略去上式中二階以上高階項，得即——增量形式的線性化方程25是在點（x,y）的導(dǎo)數(shù)

表示當(dāng)x由點移到其附近x點時切線的增量

由此可見，線性化方程是以切線的增量近似代替曲線的增量。因此，小偏差線性化的方法，從幾何意義上來說，就是在工作點附近的一個小范圍內(nèi)，用切線來代替曲線。如果把坐標(biāo)原點取在平衡點A處，系統(tǒng)的初始條件就等于零,即這時線性方程變成26但應(yīng)該理解到，線性化的微分方程是從平衡點算起的增量方程。二元函數(shù)在系統(tǒng)工作點附近，也可將其展開成泰勒級數(shù)，即

其中，27略去高次項得——二元函數(shù)的線性化方程為在工作點處對的偏導(dǎo)數(shù)為在工作點處對的偏導(dǎo)數(shù)28例5通過滑閥節(jié)流口的流量公式

設(shè)滑閥的工作點為可得

流量系數(shù)滑閥面積梯度閥芯位移油液密度節(jié)流口壓力降29線性化方程30注意下列幾點：1）必須明確系統(tǒng)平衡工作點對不同的工作點，線性化的結(jié)果不同因不同工作點的切線斜率不同2）線性化是在系統(tǒng)平衡點附近小范圍內(nèi)進(jìn)行3）對于某些典型的本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間隙、死區(qū)、摩擦特性等，當(dāng)它們對系統(tǒng)影響很小時，可忽略不計31微分方程解微分方程f(t)代數(shù)方程F(s)解代數(shù)方程L求解微分方程321復(fù)數(shù)有關(guān)概念

（1）復(fù)數(shù)、復(fù)函數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)函數(shù)例1（2）模、相角（3）復(fù)數(shù)的共軛模相角第三節(jié)拉氏變換與反變換一、拉氏變換的定義以時間t

為自變量的實變函數(shù)f(t)，它的定義域是當(dāng)時，f(t)=0，那么f(t)的拉普拉斯變換定義為

式中，s為復(fù)變數(shù)（、均為實數(shù)）F(s)是函數(shù)f(t)的拉氏變換，是一個復(fù)變函數(shù)，通常也稱F(s)為f(t)的象函數(shù)

f(t)為F(s)的原函數(shù)

拉氏反變換為34二、幾種典型函數(shù)的拉氏變換

1.單位階躍函數(shù)1（t）

352.指數(shù)函數(shù)

363.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)

3.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)

384.單位脈沖函數(shù)

且

39405.單位速度函數(shù)

6.單位加速度函數(shù)

417.t的冪函數(shù)

簡單常用函數(shù)的拉氏變換和反變換可查表2—1。42三、拉氏變換的主要定理

1.疊加性質(zhì)（線性性質(zhì)）

(1)齊次性設(shè)則（a

常數(shù)）

(2)疊加性設(shè)則

式中a和b為常數(shù)4344（2）微分定理證明：0初條件下有：3.積分定理設(shè)

則式中，是積分在t=0時刻的值。

當(dāng)初始條件為零時，

45對于多重積分是

當(dāng)初始條件為零時，則有

例：解：464.延遲定理設(shè)，且t<0時，

則

函數(shù)為原函數(shù)沿時間軸的軸向平移。如圖2-6所示

圖2－6平移函數(shù)5.位移定理設(shè)

則位移定理在工程上很有用處，它可以簡化一些復(fù)雜的拉氏變換運算。

例如486.終值定理它表明原函數(shù)在時的數(shù)值。設(shè)且存在，則既原函數(shù)的終值等于s乘以象函數(shù)的初值。這一定理對于求瞬態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值是很有用的。49證明：507.初值定理它表明原函數(shù)在時的數(shù)值，即既原函數(shù)的初值等于s乘以象函數(shù)的終值。

518.相似定理設(shè)，則有式中，a為常數(shù)52四、應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程圖2－7拉氏變換求解微分方程示意圖

53根據(jù)定義計算拉氏反變換，要進(jìn)行復(fù)變函數(shù)積分，一般很難直接計算，通常用部分分式展開法將復(fù)雜函數(shù)展開成有理分式函數(shù)之和，然后由拉氏變換表一一查出對應(yīng)的反變換函數(shù)，即得所求的原函數(shù)

1．部分分式法在控制理論中，常遇到的象函數(shù)是s的有理分式，即54為了將寫成部分分式，首先將的分母因式分解，則有式中是的根的負(fù)值，稱為的極點。按照這些根的性質(zhì)，可以分為以下幾種情況來研究：

極點中含有重極點時極點為各不相同的實數(shù)時含有共軛復(fù)數(shù)極點時55

（1）的極點為各不相同的實數(shù)時式中是待定系數(shù)56再根據(jù)拉氏反變換的疊加定理，求原函數(shù)

由于57例6求的原函數(shù)。

將寫成部分分式形式，則有解:58所以59

（2）含有共軛復(fù)數(shù)極點時如果有一對共軛復(fù)數(shù)極點、，其余極點均為各不相同的實數(shù)極點。將展開成

60式中A1和A2通過用令等號兩邊的實部、虛部分別相等，得兩個方程式，聯(lián)列求解，即得A1、A2兩個常數(shù)。而求得乘以上式的兩邊61例7求的原函數(shù)。

解:將F(s)

的分母因式分解,得將寫成部分分式形式，則有62則

63利用方程兩邊實部、虛部分別相等得：

解之得

64得

所以

查表2-1中第17序號式，65（3）中含有重極點時，設(shè)有r個重根將上式展開成部分分式

66式中的求法與單實數(shù)極點情況下相同的求法如下：67因為則

68解將展開成部分分式

例8求的原函數(shù)。

69上式中各項系數(shù)為

70所以

則

712．用拉氏變換求解線性微分方程

1）代入初始條件，對微分方程中的每一項進(jìn)行拉氏變換，經(jīng)過整理，得到輸出變量的拉氏變換表達(dá)式。2）用部分分式法求拉氏反變換，得到微分方程的時域解。72例2-10設(shè)某控制系統(tǒng)的微分方程為若求73零初始條件時74穩(wěn)態(tài)分量終值定理75第四節(jié)傳遞函數(shù)

在初始條件一定時，拉氏變換與微分方程有對應(yīng)的關(guān)系。既然微分方程可以表示系統(tǒng)或元件的運動特性，拉氏變換也可以表示。引入系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型——傳遞函數(shù)。

一、定義

傳遞函數(shù)，即線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。設(shè)線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式為

76式中c(t)為系統(tǒng)的輸出量；r(t)為系統(tǒng)的輸入量；

以及為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)所決定的實常數(shù)。

設(shè)初始條件為零，對上式進(jìn)行拉氏變換，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的一般形式77傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型1）首1標(biāo)準(zhǔn)型：分子分母最高次項系數(shù)化為12）尾1標(biāo)準(zhǔn)型：分子分母尾項系數(shù)化為1尾項系數(shù)不一定是常數(shù)項系統(tǒng)的放大系數(shù)也稱系統(tǒng)的增益78例：將其化為首1型、尾1標(biāo)準(zhǔn)型，并確定增益增益K=279二、特征方程、零點和極點令系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母等于零，即有

——系統(tǒng)的特征方程，其根為系統(tǒng)特征根

特征方程決定著系統(tǒng)的動態(tài)過程。根據(jù)多項式定理，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式可以寫成

傳遞函數(shù)的零點傳遞函數(shù)的極點80

顯然，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點就是系統(tǒng)的特征根。

零點和極點的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)諸參數(shù)和，即取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

一般地說，零點和極點可為實數(shù)或復(fù)數(shù)，也可為零。若為復(fù)數(shù)，必共軛成對出現(xiàn)。

81

把傳遞函數(shù)的零、極點表示在復(fù)平面上，稱為傳遞函數(shù)的零、極點分布圖。圖中零點用“o”,極點用“x”表示。

零、極點分布圖82例：已知某系統(tǒng)在0初始條件下的單位階躍相應(yīng)為求：（1）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（2）系統(tǒng)的增益（3）系統(tǒng)的特征根（4）畫出對應(yīng)的零極點圖（5）求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)解：83增益畫出對應(yīng)的零極點圖系統(tǒng)的特征根求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)84三、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明

傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng),是復(fù)函數(shù)。傳遞函數(shù)中各項系數(shù)值完全決定于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，表達(dá)了系統(tǒng)的固有特性，與外加信號的大小和形式無關(guān)。由于傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因而它不能反映在非零初始條件下系統(tǒng)（或元件）的運動情況。一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出的關(guān)系，而不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的特性。5)傳遞函數(shù)一般分為復(fù)變量S

的有理形式，分子多項式的階次總是低于至多等于分母多項式的階次，即。這是因為系統(tǒng)中總包含著慣性元件以及受到能源功率的限制之故。85四．典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)組成控制系統(tǒng)的元件千差萬別，它們具有不同的結(jié)構(gòu)類型、工作原理和功用,但描述它們動態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型有時卻具有相同的性質(zhì)。例如：L-R-C電路，m-k-B動力滑臺，齒輪傳動系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)——具有相同數(shù)學(xué)模型的部分許許多多的元件，經(jīng)過典型環(huán)節(jié)歸并后，只有為數(shù)不多的幾種一個元件可以是幾個典型環(huán)節(jié)，也可能是幾個元件是一個典型環(huán)節(jié)。86表2－2典型環(huán)節(jié)表序號環(huán)節(jié)名稱數(shù)學(xué)表達(dá)式12345678比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)871．放大（比例）環(huán)節(jié)

微分方程

K——放大系數(shù)或增益?zhèn)鬟f函數(shù)

例：各類放大器測速發(fā)電機輸入角速度ω

輸出電壓u882．積分環(huán)節(jié)

微分方程

傳遞函數(shù)

例：液壓缸

圖2——8積分環(huán)節(jié)例輸入流量q(t)

輸出活塞位移y(t)忽略壓縮、泄漏

89A——活塞有效作用面積

903.微分環(huán)節(jié)

微分方程

傳遞函數(shù)

例：離心測速機

圖2—9微分環(huán)節(jié)例輸入輸出輸入輸出測速發(fā)電機91輸出飛錘的位置y(t)，輸入角位移θ(t)測速發(fā)電機輸出電壓u(t)

輸入若為發(fā)電機轉(zhuǎn)角θ(t)924.慣性環(huán)節(jié)微分方程傳遞函數(shù)T——時間常數(shù)例：RC無源網(wǎng)絡(luò)輸入輸出93得T=RC——電路的時間常數(shù)慣性環(huán)節(jié)若則單位階躍響應(yīng)不是瞬時達(dá)到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)具有慣性，慣性環(huán)節(jié)由此得名由于響應(yīng)是非周期增長的，故也稱非周期環(huán)節(jié)945.一階微分環(huán)節(jié)微分方程傳遞函數(shù)T——時間常數(shù)例：RC無源網(wǎng)絡(luò)

輸入輸出95其中966.振蕩環(huán)節(jié)

微分方程

傳遞函數(shù)

T——時間常數(shù)

——阻尼比

97另一種標(biāo)準(zhǔn)形式——無阻尼固有頻率98例如例2－1質(zhì)量－阻尼－彈簧系統(tǒng)(振蕩環(huán)節(jié))

微分方程傳遞函數(shù)99式中100又比如例2－2無源RLC網(wǎng)絡(luò)微分方程傳遞函數(shù)式中7.二階微分環(huán)節(jié)

微分方程傳遞函數(shù)T——時間常數(shù)——阻尼比實際中，很難見到二階微分環(huán)節(jié)，它是一種數(shù)學(xué)抽象。1018.延遲環(huán)節(jié)

微分方程——純延遲時間傳遞函數(shù)應(yīng)用拉氏變換的延遲定理102例延遲環(huán)節(jié)常見于液壓、氣動系統(tǒng)中，施加輸入后，往往由于管道長度而延遲了信號傳遞的時間。

典型環(huán)節(jié)與元部件之間并不存在一一對應(yīng)的關(guān)系。一個控制元件的傳遞函數(shù)，可能是幾個典型環(huán)節(jié)的組和一個典型環(huán)節(jié)，也可能代表幾個實際元部件的組合

例：放大環(huán)節(jié)可以是幾級放大器串聯(lián)的總增益另外，同一元件在不同的系統(tǒng)中的作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。103工作原理圖方框圖元部件微分方程元部件傳遞函數(shù)微分方程組系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)微分方程系統(tǒng)傳遞函數(shù)LLL消去中間變量結(jié)構(gòu)等效化簡MASON系統(tǒng)模型及其建立過程104第五節(jié)傳遞函數(shù)的方塊圖及運算

方塊圖又稱動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。采用方塊圖，更便于求傳遞函數(shù)，直觀形象，且表達(dá)了各信號之間的聯(lián)系，有助于了解元件參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。一、方塊圖符號

1.方塊圖單元1052.加點法（又稱比較點）1063.引出點

同一信號線上引出的信號，其性質(zhì)、大小完全一樣。任何控制系統(tǒng)都可以由上述符號組成的方塊圖來表示。107二、系統(tǒng)方塊圖的繪制根據(jù)由微分方程組得到的拉氏變換方程組，對每個子方程都用基本符號表示，并將各個圖形正確地連接起來，即為方塊圖(結(jié)構(gòu)圖)。例2—11試?yán)L制例2—4所述電樞控制直流電動機的方塊圖。

圖2－4電樞控制式直流電動機原理圖繞阻等效電阻輸入量電樞電壓輸出量電動機角速度108例4電樞控制式直流電動機

繞阻等效電阻電機轉(zhuǎn)矩反電勢電樞回路電壓平衡方程電機軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程109

根據(jù)單元方塊圖，由單元方塊圖可得到該直流電動機的方塊圖如圖2—16所示。2—16110例2—12試?yán)L制圖2—17所示無源網(wǎng)絡(luò)的方塊圖解先列寫出該網(wǎng)絡(luò)的微分方程

111由（2）（4）,消去

公式（6）帶入（1）,得：

由公式（3）得：

112

根據(jù)這兩個關(guān)系式可畫出它的方塊圖單元如圖2—18a、b所示。然后再根據(jù)信號流向?qū)⒏鱾鬟f方塊圖連接起來，便可得到網(wǎng)絡(luò)的方塊圖。值得指出的是，一個系統(tǒng)或者一個元件、一個網(wǎng)絡(luò)，其方塊圖不是唯一的，可以繪出不同的形式，但經(jīng)過變換后求出的總傳遞函數(shù)應(yīng)該是完全相同的。113方塊圖的另一種畫法114115116工作原理圖方框圖元部件微分方程元部件傳遞函數(shù)微分方程組系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)微分方程系統(tǒng)傳遞函數(shù)LLL消去中間變量結(jié)構(gòu)等效化簡MASON系統(tǒng)模型及其建立過程117三、方塊圖的等效變換

等效——對方塊圖的任一部分進(jìn)行變換時，變換前后輸入輸出之間總的數(shù)學(xué)關(guān)系應(yīng)保持不變。系統(tǒng)環(huán)節(jié)之間一般有三種基本連接方式，即串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接。串聯(lián)連接特點：前一個環(huán)節(jié)的輸出量是后一個環(huán)節(jié)的輸入量。

圖2-20環(huán)節(jié)的串聯(lián)連接

118得

等效傳遞函數(shù)由此得n——相串聯(lián)環(huán)節(jié)數(shù)1192.并聯(lián)連接特點：所有環(huán)節(jié)的輸入量是共同的，連接后的輸出量為各環(huán)節(jié)輸出量的代數(shù)和。圖2-21環(huán)節(jié)的并聯(lián)連接120于是得

由此得

n——并聯(lián)環(huán)節(jié)的個數(shù)

1213.反饋連接

圖2-22環(huán)節(jié)的反饋連接消去E(s)、B(s)得

122上式中分母上的加號對應(yīng)于負(fù)反饋；上式中分母上的減號對應(yīng)于正反饋。單位反饋系統(tǒng)，H(s)=1，此時用上述三種基本法則，可求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

得閉環(huán)傳遞函數(shù)

123例2-12如圖2-18124

圖2-19例2-12網(wǎng)絡(luò)方框圖的另一形式125

可以看出，雖然圖2—18和圖2—19的方塊圖形式不同，但求出的傳遞函數(shù)是相同的。

由于實際系統(tǒng)一般較為復(fù)雜,在系統(tǒng)的方塊圖中常出現(xiàn)傳輸信號的相互交叉，這樣，就不能直接應(yīng)用上述三種等效法則對系統(tǒng)化簡。通常需要移動比較點或引出點，以消除信號的相互交叉。在對比較點或引出點作移動時，同樣需要遵守等效法則。

表2—3列出了方塊圖的等效變換的基本法則。表中沒有給出比較點和引出點交換的法則，因為它們的交換往往會使方塊圖變得復(fù)雜，所以在一般的情況下，兩者不宜交換位置。

126表2-3方塊圖的等效變換法則127比較點前移11比較點引出點之間的移動128

例2—13用簡化方塊圖的方法,求圖2—23a所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解本題的解法之一是把圖中的比較點b向前移到比較點a之前,如圖2—23b所示。然后從內(nèi)環(huán)到外環(huán)逐步化簡，最后求得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

129130圖2-23方框圖的化簡131上式可寫成如下通式式中，n為反饋回路數(shù)；P為前向通道傳遞函數(shù)，即從輸入到輸出的通道上各傳遞函數(shù)之積;為第條反饋回路的傳遞函數(shù)，注意，負(fù)反饋時為負(fù)值。

但是，應(yīng)該指出，該公式只適用于有一條前向通道，且所有反饋回路都相互接觸時的場合。132例2-14用化簡方塊圖的方法，求圖2－24a所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。133圖2-24方框圖的化簡134

解對于本題，將加法點a跨越方塊左移，將引出點b跨越方塊右移，并在反饋通道中串聯(lián)方塊后，就可根據(jù)串聯(lián)和反饋運算法則，很容易地逐步化簡到圖2-24d所示，故得該系統(tǒng)的總的傳遞函數(shù)為

135例2-15用化簡方塊圖的方法，求傳遞函數(shù)136??137138139例2-16用化簡方塊圖的方法，求傳遞函數(shù)

140?141142?143例2-17144145146147148149四、梅遜公式

對于連接關(guān)系比較復(fù)雜的系統(tǒng)方塊圖，利用梅遜公式可由方塊圖直接求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。特征式為反饋回路傳遞函數(shù)（負(fù)反饋時為負(fù)值）為兩個反饋回路相互不接觸時，該兩反饋回路的傳遞函數(shù)之積為三個反饋回路相互不接觸時，該三反饋回路的傳遞函數(shù)之積為第k條前向通道傳遞函數(shù)；為從中去掉與第k條前向通道相接觸的相關(guān)項后的余項。150前向通道條數(shù)151例2-18利用梅遜公式求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)IⅡⅢⅣ--]+前向通道條數(shù)去掉與第k條前向通道相接觸的相關(guān)項后的余項。例2-19利用梅遜公式，求圖2-25所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。152前向通道:回路數(shù)：上述這五個反饋回路均相互接觸，所以沒有互不接觸的反饋回路，即

153又因為所有五個反饋回路均與兩條前向通道接觸，所以

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

例2-16利用梅遜公式計算例2-14中系統(tǒng)的總的傳遞函數(shù)。

解該系統(tǒng)有一條前向通道，即；有三個反饋回路：這三個回路中有兩個相互不接觸，所以該回路中154又因為所有三個反饋回路均與前向通道接觸，所以求得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

155例2-17利用梅遜公式求圖2-26所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

前向通道傳遞函數(shù)：156余子式：特征式：157例2-18利用梅遜公式求傳遞函數(shù)

前向通道傳遞函數(shù)：余子式：特征式：158例2-19利用梅遜公式求傳遞函數(shù)前向通道:反饋回路：五控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

設(shè)控制系統(tǒng)的方塊圖如圖2-27所示。圖中R(s)為參考輸入，N(s)為干擾信號。參照該圖，給出控制系統(tǒng)中幾種常用傳遞函數(shù)的命名和求法。圖2-27閉環(huán)系統(tǒng)典型方框圖159

1．前向通道傳遞函數(shù)

從參考輸入到輸出的通道稱為前向通道，前向通道上的各傳遞函數(shù)之積稱為前向通道傳遞函數(shù)。即

式中G(s)為前向通道傳遞函數(shù)。1602.開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)定義為前向通道傳遞函數(shù)G(s)與反饋通道傳遞函數(shù)H(s)的乘積，即

應(yīng)當(dāng)指出，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)不是指開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。以后在分析閉環(huán)傳遞函數(shù)的性能時，并不一定要求取系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。在許多場合，可以利用開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)來分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。161

3.求參考輸入R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)

當(dāng)僅考慮輸入R(s)與輸出關(guān)系時，可令N(s)=0，為在R(s)作用下的輸出。于是由圖2—27可知，在參考輸入R(s)