華中科技大學(xué)線性代數(shù)第二節(jié)行列式的性質(zhì)

第二節(jié)行列式的性質(zhì)一行列式的性質(zhì)三小結(jié)二計(jì)算行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.證明：（數(shù)學(xué)歸納法）n=1時，顯然成立；假設(shè)對n-1階行列式也成立，下證對n階行列式也成立（按j列展開）（按i列展開）因此即結(jié)論成立是DT中原素的代數(shù)余子式，是相應(yīng)的余子式，且為行列式D劃去第i行、第j列后剩下的元素組成的n-1階行列式Mij的轉(zhuǎn)置，即由歸納假設(shè)Mij=MijT，故注：行列式中的行與列的地位是平等的。（對行成立的性質(zhì)，同樣對列成立）推論行列式也可按行展開，即：性質(zhì)2

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式.提示：直接對等式兩端的行列式按第i行展開推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．推論

若行列式的某一行（列）中所有元素全為零，則行列值式為．提示：令性質(zhì)2中的k=0即得結(jié)論若n階行列式的每一個元素都乘以同一數(shù)k，等于用乘以此行列式.？性質(zhì)3互換行列式的兩行（列）,行列式變號.證明：（數(shù)學(xué)歸納法證明）（見課本Page9）n=2時，顯然成立；假設(shè)對n-1階行列式也成立，下證對n（>2）階行列式也成立設(shè)原n階行列式為D,D1為交換D的第i行與第j行之后的行列式，由于n>2，故除了交換的第i行與第j行，還有一個第k行，分別對D1和D按第k行展開：根據(jù)假設(shè)，故有推論

行列式中如果有兩行（列）元素對應(yīng)成比例，則此行列式為零．推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明：互換相同的兩行，有行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即推論把行列式按第行展開有證明把行列式中的換成可得相同同理命題得證關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)（列）（行）性質(zhì)4若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則行列式等于下列兩個行列式之和：例性質(zhì)5

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．二、計(jì)算舉例計(jì)算行列式的原則：盡量將行列式化為上（下）三角形式n階行列式的一般計(jì)算方法（n!項(xiàng)代數(shù)和）計(jì)算量非常大n階行列式的性質(zhì)性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.即.性質(zhì)2互換行列式的兩行（列）,行列式變號.推論如果行列式有兩行（列）的對應(yīng)元素完全相同，則此行列式為零.性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.推論2行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．性質(zhì)4若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和,則這個行列式等于兩個行列式之和.性質(zhì)5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．例1解例2解每行所有元素和均相同例3解爪形結(jié)構(gòu)例4解爪形結(jié)構(gòu)例5例6計(jì)算范德蒙德(Vandermonde)行列式將前一行乘以加到下一行上解（從下往上）按第一列展開，并把每一列的共因子提出，有

n-1階范德蒙德行列式解每一行提取各行的公因子，于是得到例7計(jì)算上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知例8遞歸法求行列式因此計(jì)算行列式技巧：1、分析，探求行列式