理論力學(xué)課件：點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)

點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)7.1復(fù)合運(yùn)動(dòng)的概念7.2速度合成定理7.3牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)的加速度合成定理7.4牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度合成定理思考題

7.1復(fù)合運(yùn)動(dòng)的概念

設(shè)某汽車相對(duì)于地面勻速直線行駛,如圖7-1所示。圖7-1

再如,塔式起重機(jī)起吊重物A的運(yùn)動(dòng)(見圖7-2),起重臂繞鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng),重物A沿鋼絲繩方向上升。在起重臂上觀察到重物A做直線運(yùn)動(dòng),而在地面上看到A做螺旋線運(yùn)動(dòng)?？梢?/p>

看出,重物A對(duì)地面的螺旋線運(yùn)動(dòng)是由其相對(duì)于起重臂的直線運(yùn)動(dòng)與隨起重臂轉(zhuǎn)動(dòng)的圓周運(yùn)動(dòng)合成的。

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)既可合成,也可分解。點(diǎn)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)往往可看成幾個(gè)簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)的合成。運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解與合成的方法分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí),需確定兩個(gè)參考系,區(qū)分三種運(yùn)動(dòng)、速度和加速度。圖7-2

為研究方便起見,通常將固結(jié)于地面或相對(duì)地面靜止的物體上的坐標(biāo)系稱為靜坐標(biāo)系,簡(jiǎn)稱靜系,用Oxyz表示;而把固結(jié)于相對(duì)靜系有運(yùn)動(dòng)的物體上的坐標(biāo)系稱為動(dòng)坐標(biāo)系,簡(jiǎn)稱動(dòng)系,用O'x'y'z'表示。

動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于靜系的運(yùn)動(dòng),稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系的運(yùn)動(dòng),稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng);動(dòng)系相對(duì)于靜系的運(yùn)動(dòng),稱為牽連運(yùn)動(dòng)。仍以圖7-1所示的滾動(dòng)的車輪為例,取輪緣上的一點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn),固結(jié)于車廂的坐標(biāo)系為動(dòng)參考系,則車廂相對(duì)于地面的平移

是牽連運(yùn)動(dòng);在車廂上看到點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng),這是相對(duì)運(yùn)動(dòng);在地面上觀看到點(diǎn)沿旋輪線運(yùn)動(dòng),則是絕對(duì)運(yùn)動(dòng)。又如圖7-2所示,取重物A為動(dòng)點(diǎn),靜系固結(jié)于地面(或塔身),動(dòng)系固結(jié)于起重臂,則重物A相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)運(yùn)動(dòng),重物A相對(duì)于

起重臂的運(yùn)動(dòng)是相對(duì)運(yùn)動(dòng),而起重臂繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)為牽連運(yùn)動(dòng)。由此可見,動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是它的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)。

絕對(duì)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)都是指動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),而其牽連運(yùn)動(dòng)則是指動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)。由于動(dòng)系固結(jié)于運(yùn)動(dòng)的物體上,因此,牽連運(yùn)動(dòng)就是固結(jié)動(dòng)系的剛體的運(yùn)動(dòng)。它可能是平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)或其他較復(fù)雜的剛體運(yùn)動(dòng)。

對(duì)應(yīng)于三種運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)有三種速度和加速度。把動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于靜系運(yùn)動(dòng)的速度和加速度分別稱為動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度,分別用va

和aa表示;把動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系運(yùn)動(dòng)的速度和加速度分別稱為動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度和相對(duì)加速度,分別用vr

和ar表示。對(duì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述,仍采用第5章所述的方法,因?yàn)槟抢锼龅狞c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)理論適用于一切坐標(biāo)系,但要注意,這時(shí)的矢徑、坐標(biāo)等都是相對(duì)于動(dòng)系的。至于動(dòng)點(diǎn)的牽連速度和牽連加速度,是指某瞬時(shí)動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的點(diǎn)(稱為牽連點(diǎn))相對(duì)靜系運(yùn)動(dòng)的速度和加速度,分別用ve和ae表示。由于動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系運(yùn)動(dòng),因此,不同瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系上不同的點(diǎn)重合,即有不同的牽連點(diǎn)。

對(duì)應(yīng)于三種運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)有三種速度和加速度。把動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于靜系運(yùn)動(dòng)的速度和加速度分別稱為動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度,分別用va和aa

表示;把動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系運(yùn)動(dòng)的速度

和加速度分別稱為動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度和相對(duì)加速度,分別用vr

和ar

表示。對(duì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述,仍采用第5章所述的方法,因?yàn)槟抢锼龅狞c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)理論適用于一切坐標(biāo)系,但要注意,這時(shí)的矢徑、坐標(biāo)等都是相對(duì)于動(dòng)系的。至于動(dòng)點(diǎn)的牽連速度和牽連加速度,是指某瞬時(shí)動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的點(diǎn)(稱為牽連點(diǎn))相對(duì)靜系運(yùn)動(dòng)的速度和加速度,分別用ve和ae

表示。

由于動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系運(yùn)動(dòng),因此,不同瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系上不同的點(diǎn)重合,即有不同的牽連點(diǎn)。小環(huán)M接觸的點(diǎn)為E2,E2點(diǎn)的速度、加速度就是該瞬時(shí)小環(huán)的牽連速度、牽連加速度。顯然,E1點(diǎn)與E2點(diǎn)的速度、加速度在該瞬時(shí)各不相同。圖7-3

【例7-1】如圖7-4所示,桿OA以角速度ω=t2繞垂直于圖面的O軸轉(zhuǎn)動(dòng),點(diǎn)M沿著桿OA按x'=3t2的規(guī)律運(yùn)動(dòng)(兩式中ω以rad/s計(jì),x'以cm計(jì),t以s計(jì))。如將動(dòng)系Ox'y'固連于桿OA上,求t=2s時(shí),點(diǎn)M的相對(duì)速度vr、相對(duì)加速度ar及牽連速度ve、牽連加速度ae。

解(1)分析三種運(yùn)動(dòng)。動(dòng)系Ox'y'固連于桿OA上,靜系固連在地面上(靜系一般都固連在地面上,故在本書的后續(xù)章節(jié)中不再說(shuō)明),動(dòng)點(diǎn)為M。因此,動(dòng)點(diǎn)M相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)運(yùn)動(dòng),絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的軌跡為螺旋線;動(dòng)點(diǎn)沿著桿OA的運(yùn)動(dòng)是相對(duì)運(yùn)動(dòng),相對(duì)運(yùn)動(dòng)的軌跡為直線;桿OA的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)為牽連運(yùn)動(dòng)。圖7-4

7.2速度合成定理

速度合成定理將建立動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度、相對(duì)速度和牽連速度之間的關(guān)系。在圖7-5中,設(shè)有一動(dòng)點(diǎn)M沿動(dòng)系上的曲線AB運(yùn)動(dòng)。圖7-5

由此得到了點(diǎn)的速度合成定理:動(dòng)點(diǎn)在任一瞬時(shí)的絕對(duì)速度等于它在該瞬時(shí)的牽連速度與相對(duì)速度的矢量和,即動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度可以由牽連速度與相對(duì)速度所構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線來(lái)確定,如圖7-5所示。此定理也稱為速度平行四邊形定理。

在式(7-1)這個(gè)平面矢量方程中,va、ve與vr

三個(gè)矢量的大小、方向共有六個(gè)未知量。

在這六個(gè)量中,若已知其中四個(gè),便可求出另外兩個(gè)未知量。

應(yīng)該指出,在推導(dǎo)速度合成定理時(shí),并未限制動(dòng)系做什么樣的運(yùn)動(dòng),即牽連運(yùn)動(dòng)可以是平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)或其他任何復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。

【例7-2】凸輪機(jī)構(gòu)如圖7-6所示。當(dāng)半徑為R的半圓形平板凸輪沿水平直線軌道平動(dòng)時(shí),可推動(dòng)頂桿沿鉛垂直線軌道滑動(dòng)。在圖示瞬時(shí),已知凸輪的速度為v,方向向右,A點(diǎn)

和凸輪中心O'的連線與水平線間的夾角為φ,求此瞬時(shí)桿的速度。圖7-6

解(1)運(yùn)動(dòng)分析。AB桿做平動(dòng),若求得其上任一點(diǎn)的速度即為AB桿的速度。因AB桿的A點(diǎn)相對(duì)凸輪的運(yùn)動(dòng)容易分析,故取AB桿端點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn),動(dòng)系固連于凸輪上,靜系固連于地面,分析A點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)。

絕對(duì)運(yùn)動(dòng):A點(diǎn)鉛垂直線運(yùn)動(dòng);

相對(duì)運(yùn)動(dòng):A點(diǎn)沿凸輪表面做曲線運(yùn)動(dòng);

牽連運(yùn)動(dòng):凸輪沿水平面做直線平動(dòng)。

(2)速度分析如表7-1所示。

因未知量不超過(guò)兩個(gè),故可由速度合成定理求解。根據(jù)va=ve+vr做速度平行四邊形,如圖7-6所示。

由幾何關(guān)系可得

A點(diǎn)的速度va即為桿的速度。

【例7-3】刨床急回機(jī)構(gòu)如圖7-7所示。已知曲柄OA的角速度ω為常量,OA長(zhǎng)r,OO1=2r,求當(dāng)曲柄的轉(zhuǎn)角φ=π/2時(shí),搖桿O1B的角速度ω1。

解(1)運(yùn)動(dòng)分析。因套筒A相對(duì)于搖桿O1B的運(yùn)動(dòng)容易分析,故選A為動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)系固連于搖桿O1B上,靜系固連于地面,分析動(dòng)點(diǎn)A的復(fù)合運(yùn)動(dòng)。

絕對(duì)運(yùn)動(dòng):動(dòng)點(diǎn)A以O(shè)為圓心,做半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng);

相對(duì)運(yùn)動(dòng):動(dòng)點(diǎn)A沿?fù)u桿O1B

做直線運(yùn)動(dòng);

牽連運(yùn)動(dòng):O1B

桿繞O1軸做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

(2)速度分析如表7-2所示。

因未知量不超過(guò)兩個(gè),故可由速度合成定理求解。根

據(jù)va=ve+vr做速度平行四邊形,如圖7-7所示。圖7-7

【例7-4】如圖7-8所示,車廂以速度v沿水平直線軌道行駛,雨點(diǎn)鉛直落下,其速度為v1。試求雨點(diǎn)相對(duì)于車廂的速度。圖7-8

解(1)運(yùn)動(dòng)分析。本題是求雨點(diǎn)相對(duì)于車廂的速度。故選取雨點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn),動(dòng)系固結(jié)于車廂上,靜系固結(jié)于地面。

絕對(duì)運(yùn)動(dòng):雨點(diǎn)做鉛直直線運(yùn)動(dòng);

相對(duì)運(yùn)動(dòng):雨點(diǎn)相對(duì)車廂做斜直線運(yùn)動(dòng);

牽連運(yùn)動(dòng):車廂沿水平直線軌道做平動(dòng)。

(2)速度分析如表7-3所示。

根據(jù)va=ve+vr做速度平行四邊形,如圖7-8所示。由直角三角形可求得相對(duì)速度的大小和方向?yàn)?/p>

【例7-5】滑塊M可同時(shí)在槽AB和CD中滑動(dòng),在圖7-9(a)所示瞬時(shí),槽AB、CD的速度分別為v1=8cm/s、v2=6cm/s。求該瞬時(shí)滑塊M的速度。圖7-9

解(1)運(yùn)動(dòng)分析。槽AB和CD做直線平動(dòng),滑塊做平面曲線運(yùn)動(dòng),而滑塊相對(duì)于槽AB、CD都是做直線運(yùn)動(dòng)。取滑塊M為動(dòng)點(diǎn),槽AB為動(dòng)系,地面為靜系。

速度分析如表7-4所示。

因有三個(gè)未知量,不能由速度合成定理

求解。

(2)再以滑塊M為動(dòng)點(diǎn),槽CD為動(dòng)系,地面為靜系進(jìn)行分析。速度分析如表7-5所示。

由上述例題,可將應(yīng)用速度合成定理求解問題的大致步驟總結(jié)如下:

(1)選取動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和靜系。動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和靜系的正確選取是求解點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)問題的關(guān)鍵。在選取時(shí)必須注意:動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和靜系必須分屬三個(gè)不同的物體,否則三種運(yùn)動(dòng)(絕對(duì)、相對(duì)、牽連運(yùn)動(dòng))就會(huì)缺少一種運(yùn)動(dòng),而不能稱其為復(fù)合運(yùn)動(dòng)。此外,動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和靜系的選取,應(yīng)使相對(duì)運(yùn)動(dòng)比較明顯、簡(jiǎn)單。

(2)分析三種運(yùn)動(dòng)。對(duì)于絕對(duì)、相對(duì)運(yùn)動(dòng),主要是分析其軌跡的具體形狀;而對(duì)于牽連運(yùn)動(dòng),則是分析其剛體運(yùn)動(dòng)的具體形式。分析三種運(yùn)動(dòng)的目的是確定三種運(yùn)動(dòng)速度的方位線,

以便畫出速度平行四邊形。

(3)畫速度平行四邊形,分析問題的可解性。三種運(yùn)動(dòng)速度va、ve

和vr的大小、方向共有六個(gè)量,要明確知道其中哪些是已知的,哪些是未知的,其未知量不超過(guò)兩個(gè)時(shí)問題可解。

必須注意,畫圖時(shí)要使絕對(duì)速度成為平行四邊形的對(duì)角線。

(4)根據(jù)速度平行四邊形的幾何關(guān)系求解未知量。

7.3牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)的加速度合成定理

在圖7-10中,設(shè)動(dòng)系O'x'y'z'相對(duì)于靜系Oxyz平動(dòng),其原點(diǎn)O'的速度、加速度分別為vO'和aO',動(dòng)系上的三個(gè)單位矢量分別為i'、j'、k'。點(diǎn)M對(duì)于動(dòng)系的坐標(biāo)為x'、y'、z',則其相對(duì)速度、加速度分別為圖7-10

上式表明:當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí),任一瞬時(shí),動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于其牽連加速度與相對(duì)加速度的矢量和。這就是牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)的加速度合成定量。

【例7-6】例7-2中,若已知凸輪在圖示位置時(shí)的加速度a,試求此瞬時(shí)頂桿AB的加速度。圖7-11

【例7-7】在圖7-12所示的曲柄導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)中,曲柄OA轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是ω0,角加速度是α0(轉(zhuǎn)向如圖所示)。設(shè)曲柄的長(zhǎng)度是r,試求當(dāng)曲柄與導(dǎo)桿中線的夾角θ<π/2時(shí)導(dǎo)桿的加速度。圖7-12

解(1)運(yùn)動(dòng)分析。當(dāng)曲柄OA轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),通過(guò)滑塊A帶動(dòng)導(dǎo)桿做鉛直平動(dòng),在滑塊與平動(dòng)的導(dǎo)桿之間存在著相對(duì)運(yùn)動(dòng)。故選滑塊A作為動(dòng)點(diǎn),并將動(dòng)系固連于導(dǎo)桿上,靜系固連于

機(jī)構(gòu)的基座上。運(yùn)動(dòng)分析如下:

絕對(duì)運(yùn)動(dòng):動(dòng)點(diǎn)A繞點(diǎn)O的圓周運(yùn)動(dòng);

相對(duì)運(yùn)動(dòng):動(dòng)點(diǎn)A沿導(dǎo)桿滑槽的水平直線運(yùn)動(dòng);

牽連運(yùn)動(dòng):導(dǎo)桿的鉛直平動(dòng),它“攜帶”著滑塊A運(yùn)動(dòng)。

(2)加速度分析。點(diǎn)A的加速度aa有切向分量ata

和法向分量ana。各加速度分量如圖7-12所示,加速度的分析如表7-7所示。

(3)求加速度。由式(7-8),有

將上式向Oy軸投影,有

即

可見,當(dāng)θ在第一象限內(nèi)時(shí),ae為負(fù)值,負(fù)號(hào)表示ae

的實(shí)際指向與圖中假設(shè)指向相反。由于導(dǎo)桿做平動(dòng),點(diǎn)A的牽連加速度就是導(dǎo)桿的加速度。

7.4牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度合成定理

在圖7-13中,設(shè)動(dòng)系O'x'y'z'以角速度ωe繞定軸z轉(zhuǎn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)M的位置用矢徑r

確定,動(dòng)點(diǎn)M在動(dòng)系中的位置為r'=x'i'+y'j'+z'k'。根據(jù)點(diǎn)的速度合成定理有圖7-1圖7-14

科氏加速度在自然界中是有所表現(xiàn)的。例如,在北半球,河水向北流動(dòng)時(shí),河水的科氏加速度方向向西,即指向左側(cè),如圖7-15所示。圖7-15

【例7-8】試求例7-3中搖桿O1B在圖示位置時(shí)的角加速度α1(見圖7-16)。圖7-16

圖7-17

從上兩節(jié)的例題可知,應(yīng)用加速度合成定理求解點(diǎn)的加速度,其步驟基本上與應(yīng)用速度合成定理求解點(diǎn)的速度相同,但要注意以下幾點(diǎn):

(1)選取動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系后,應(yīng)根據(jù)動(dòng)系做平動(dòng)還是轉(zhuǎn)動(dòng),確定加速度合成定理中是否含有科氏加速度。

(2)分析三種加速度和科氏加速度。先求出科氏加速度的大小和方向(科氏加速度的方向是確定的),再求解加速度未知量,切向加速度如果是未知量,其指向可以預(yù)先假設(shè)。由于

加速度合成定理的矢量表達(dá)式中一般都包含四個(gè)以上的矢量,通常采用矢量投影法求解未知量。

但投影時(shí)要注意:

①選擇合適的投影軸,使投影軸與其中一個(gè)未知量的方向垂直,這樣可使投影后得到的方程中只包含一個(gè)未知數(shù)。

②矢量方程向坐標(biāo)軸上投影時(shí),要注意矢量投影的正確應(yīng)用,即要將表達(dá)式兩邊的矢量同時(shí)向投影軸投影。投影與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正,反之為負(fù)。

思考題

7-1何謂點(diǎn)的牽連速度和牽連加速度?有人說(shuō):“由于牽連運(yùn)動(dòng)是動(dòng)系相對(duì)靜系的運(yùn)動(dòng),因此牽連速度、牽連加速度就是動(dòng)系相對(duì)靜系的速度和加速度”。對(duì)嗎?為什么?

7-2曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng),如思考題7-2圖所示。(a)、(b)兩圖中哪一種分析正確?

(1)以