河南省鄭州市第十八中學2023-2024學年高二上學期期末模擬數(shù)學試題（五）

鄭州市第十八中學2023-2024學年度高二上期期末模擬試題五一?單選題1.直線傾斜角的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線傾斜角的定義進行判斷即可.【詳解】當直線與橫軸平行時，直線的傾斜角是，因此直線傾斜角的取值范圍為，故選：C2.根據(jù)下面的圖形及相應的點數(shù)，寫出下列點數(shù)構成數(shù)列的第5項的點數(shù)（）A.32 B.35 C.36 D.42【答案】B【解析】【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)，找出規(guī)律即可得解.【詳解】由題意，，所以，根據(jù)規(guī)律，，所以，故選：B3.設為等比數(shù)列，則“對于任意的，”是“為遞減數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分、必要條件、等比數(shù)列的單調性等知識進行分析，從而確定正確答案.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，若，當時，由得，解得或，若，則，此時與已知矛盾；若，則，此時為遞減數(shù)列.當時，由得，解得或，若，則，此時與已知矛盾；若，則，此時此時為遞減數(shù)列.反之，若為遞減數(shù)列，則，所以“對于任意的，”是“為遞減數(shù)列”的充分必要條件.故選：C4.如圖，已知空間四邊形，M，N分別是邊OA，BC的中點，點滿足，設，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算一步步將向量化為關于，，，即可整理得出答案.【詳解】，，，，.故選：B.5.已知圓，過點作圓的切線，則該切線的一般式方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意點在圓上，故由直線的斜率可得切線的斜率，進而由點斜式化為一般式子即可得解.【詳解】因為圓的圓心坐標為，且點的坐標滿足，這表明點在圓上，所以直線的斜率為，過點的切線的斜率為，所以該切線方程為，化為一般式得.故選：B.6.已知兩點，若直線與線段有公共點，則直線傾斜角的取值范圍為（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直線恒過的定點，根據(jù)斜率公式即可求解.【詳解】由直線，變形可得，由，解得，可得直線恒過定點，則，結合圖象可得：若直線與線段有公共點，則直線斜率的取值范圍為，由斜率定義，可得直線傾斜角的取值范圍為.故選：D.7.若雙曲線上一點到其右焦點的距離是8,則點到其左焦點的距離是（）A.4 B.10 C.2或10 D.4或12【答案】D【解析】【分析】通過對點的位置進行分類討論,再結合雙曲線的定義進行運算即可.【詳解】由雙曲線的方程可得,所以,可得.設右焦點為,左焦點為,當點左支上時,則,所以；當點在右支上時,．故選:D.8.已知數(shù)列滿足，，記的前n項和為，則滿足不等式的最小整數(shù)n的值為（）A.61 B.62 C.63 D.64【答案】C【解析】【分析】對已知式子變形可得則數(shù)列是首項為4，公比為的等比數(shù)列，從而可求出，然后利用分組求和法求出，從而可求出滿足不等式的最小整數(shù)n的值【詳解】∵，∴，∴，又，則數(shù)列是首項為4，公比為的等比數(shù)列，∴，∴，∴，∵，，∴滿足不等式的最小整數(shù)n的值為63.故選：C.二?多選題9.設等差數(shù)列的前項和為，，公差為，，，則下列結論正確的是（）A.B.當時，取得最大值C.D.使得成立的最大自然數(shù)是15【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)已知可判斷，，然后可判斷AB；利用通項公式將轉化為可判斷C；利用下標和性質表示出可判斷D.【詳解】解：因為等差數(shù)列中，，，所以，，，A正確；當時，取得最大值，B正確；，C正確；，，故成立的最大自然數(shù)，D錯誤．故選：ABC．10.已知直線與橢圓交于，兩點，若是直線上一點，為坐標原點，則下列結論正確的有（）A.橢圓的離心率B.C.D.若是橢圓的左右焦點，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程即可求離心率，從而判斷A；根據(jù)直線與橢圓相交弦長求解公式，利用“聯(lián)消判韋”即可求得長，從而判斷B；根據(jù)向量的數(shù)量積結合交點坐標關系即可判斷C；利用對稱性，結合三角形三邊關系即可得最大值，從而判斷D.【詳解】解：由橢圓知，，則，所以，故離心率，故A正確；設，則，所以，則，故，故B正確；則，所以與不垂直，故C不正確；因為是橢圓的左右焦點，所以，若是直線上一點，如圖：設關于直線對稱的點為，設，則，解得，即；則，又由三角形三邊關系可得，又，即，故D正確.故選：ABD.11.已知數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（）A. B.為的最小值C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用和與項的關系，分和分別求得數(shù)列的通項公式，檢驗合并即可判定A;根據(jù)數(shù)列的項的正負情況可以否定B;根據(jù)前16項都是正值可計算判定C;注意到可計算后否定D.【詳解】,,對于也成立，所以，故A正確；當時，,當n=17時,當時，,只有最大值，沒有最小值，故B錯誤；因為當時，,∴，故C正確；，故D錯誤.故選：AC.【點睛】本題考查數(shù)列的和與項的關系，數(shù)列的和的最值性質，絕對值數(shù)列的求和問題，屬小綜合題.和與項的關系,若數(shù)列的前項為正值，往后都是小于等于零，則當時有，若數(shù)列的前項為負值，往后都是大于或等于零，則當時有.若數(shù)列的前面一些項是非負，后面的項為負值，則前項和只有最大值，沒有最小值，若數(shù)列的前面一些項是非正，后面的項為正值，則前項和只有最小值，沒有最大值.12.如圖，在平行六面體中，，，點，分別是棱，的中點，則下列說法中正確的是（）A.B.向量，，共面C.平面D.若，則該平行六面體高為【答案】ACD【解析】【分析】A選項，利用向量的方法證明；B選項，根據(jù)向量共面的基本定理判斷；C選項，利用向量的方法得到，，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明；D選項，將平行六面體的高轉化為正四面體的高，然后利用勾股定理計算.【詳解】設，由題意得，，，所以，故A正確；，若向量，，共面，則存在唯一實數(shù)對，使得，即，而，，不共面，則有，顯然不成立，所以向量，，不共面，故B錯；，，，，所以，，因為，平面，所以平面，故C正確；連接，，，過點作平面于點，由題意得，則三棱錐為正四面體，所以點到平面的距離即為正四面體的高，即平行六面體的高，，，所以平行六面體的高為，故D正確.故選：ACD.三?填空題13.若數(shù)列滿足，則的通項公式是______．【答案】【解析】【分析】利用累加法，結合等差數(shù)列的求和公式即可得解.【詳解】因為，所以，，…，，，所以，，又也滿足上式，所以.故答案為：.14.已知直線和直線，則曲線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是____________．【答案】##【解析】【分析】先設出點的坐標，表示出點到直線和直線的距離之和；再利用幾何意義求解得出答案.【詳解】設點的坐標為則動點到直線的距離為；動點直線的距離為.所以曲線上一動點到直線和直線的距離之和為令，即則的幾何意義是過點的直線在軸上的截距.因為點在曲線上.所以當直線與曲線相切時有最值.因為曲線是以圓心，為半徑圓.則，解得或所以曲線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值為.故答案為：15.已知直線：與：平行，則的值是_______【答案】0【解析】【分析】由兩直線平行計算，再檢驗兩直線是否重合即可.【詳解】若直線：與：平行，則，解得或，當時，兩直線平行；當時，兩直線重合.綜上所述，k的值為0.故答案為：0.16.數(shù)列和數(shù)列的公共項從小到大構成一個新數(shù)列，數(shù)列滿足：，則數(shù)列的最大項等于______.【答案】##1.75【解析】【分析】由條件求數(shù)列的通項公式，再研究數(shù)列的單調性，由此確定其最大項.【詳解】數(shù)列和數(shù)列的公共項從小到大構成一個新數(shù)列為：，該數(shù)列為首項為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以因為所以當時，，即，又，所以數(shù)列的最大項為第二項，其值為.故答案為：.四?解答題17.已知數(shù)列的前n項和為，其中．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．【答案】17.，；18.【解析】【分析】（1）利用之間的關系進行求解即可；（2）利用裂項相消法進行求解即可.【小問1詳解】因為當時，有，所以當時，有，兩式相減，得，當時，由，適合，所以，；【小問2詳解】因，；所以，因此.18.如圖，在底面邊長為1，側棱長為2的正四棱柱中，P是側棱上的一點，（1）試確定m的值，使直線AP與平面所成角為；（2）在線段上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，有？證明你的結論．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用直線與平面所成角的公式求出m的值；（2）假設在線段上存在這樣的點Q，設點Q的橫坐標為x，則，由，即，求出，即可得出答案．【小問1詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則點，，，，，，，，，，由，,知，為平面的一個法向量．設AP與平面所成的角為，則，解得故當時，直線AP與平面所成角為．【小問2詳解】假設在線段上存在這樣的點Q，設點Q的橫坐標為x，則，，依題意，得，即，，解得，當Q為的中點時，滿足題設的要求．19.已知等比數(shù)列的前n項和，為常數(shù).（1）求的值與的通項公式；（2）設，數(shù)列的前n項和為，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用遞推關系與等比數(shù)列的通項公式即可得出；（2）利用錯位相減法求數(shù)列的前項和為即可．【小問1詳解】解：當時，，當時，，是等比數(shù)列，，即，所以，數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】解：由（1）得，，則．．20.如圖，在三棱柱中，所有棱長都為2，且，平面平面，點為的中點，點為的中點．（1）點到直線的距離；（2）求點到平面的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直性質定理證明線面垂直，再得線線垂直，由此建立空間直角坐標系，利用向量方法求點到直線的距離；（2）利用法向量求解點面距.【小問1詳解】由三棱柱中，所有棱長都為2，則四邊形為平行四邊形，且棱長都相等，即為菱形，又都為等邊三角形，連接，所以為等邊三角形，取中點，連接，則，又平面面，平面平面，面，所以平面，則，又因為，所以兩兩垂直.則以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如下圖示，，由則，所以，則，所以點到直線距離為.【小問2詳解】由（1）知，設是平面的一個法向量，則，取，則，又，所以點到平面的距離.21.已知雙曲線的漸近線方程為，且雙曲線C過點.（1）求雙曲線C的方程；（2）若直線與雙曲線C只有一個公共點，求實數(shù)k的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由題意得，解方程組求出，從而可求得雙曲線C的方程，（2）將直線方程代入雙曲線方程中化簡，然后二次項系數(shù)為零和二次項系數(shù)不為零，兩種情況求解即可【小問1詳解】由題意得，解得所以雙曲線方程為.【小問2詳解】由，得，由題意得，解得.當，即時，直線l與雙曲線C的漸近線平行，直線l與雙曲線C只有一個公共點，所以或.22.已知橢圓：的上頂點為，左焦點為，且，在直線上.（1）求的標準方程；（2）設直線與交于，兩點，且四邊形為平行四邊形，求的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的標準方程，利用條件求出，即可得出結果；（2