專題04 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（解析版）-備戰(zhàn)2024年高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)真題分類匯編

專題04指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)考點(diǎn)一：指數(shù)1．（2023春·福建）已知，，則的值為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】D【詳解】因?yàn)?，，所?故選：D2．（2022春·天津）已知，，則的值為（

）A． B．2 C．8 D．15【答案】D【詳解】.故選：D考點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．（2023·北京）已知函數(shù)，則的最小值是（

）A．2 B．1 C．－2 D．－1【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，，，有最小值1；當(dāng)時(shí)，，，有最小值-1；所以的最小值是-1.故選：D2．（2023·河北）已知函數(shù)．若函數(shù)的最大值為1，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，令，則，當(dāng)時(shí)，，解得.故選：B3．（2023·河北）已知函數(shù)．關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性，下列判斷正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】A【詳解】令，函數(shù)可化為為，因?yàn)楹瘮?shù)開口向上，對(duì)稱軸為，即.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增.故選：.4．（2023·河北）已知函數(shù)．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，給出下列不等式：①；②；③；④．其中恒成立的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，令，則，令，可得，令，則函數(shù)有兩個(gè)不同的正零點(diǎn)，所以，，解得，由題意可知，、是關(guān)于的二次方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，所以，，所以，，可得，①對(duì)；由韋達(dá)定理可得，則，所以，，②對(duì)；，③對(duì)；，④對(duì).故選：D.5．（2023春·浙江）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)椋?，所以函?shù)為奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故BC錯(cuò)誤；當(dāng)趨向正無窮時(shí)，顯然的分子增長快于分母增長，趨向正無窮，故A正確B錯(cuò)誤.故選：A6．（2023春·湖南）為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒.已知在藥熏過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（單位：mg）與時(shí)間t（單位：h）的關(guān)系如圖所示，函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)）.據(jù)測定，當(dāng)室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量降到0.25mg以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室.從藥熏開始，至少經(jīng)過小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室，則（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，代入解析式得，得，令，解得，即，，故選；C7．（2022·北京）已知函數(shù)，，則（

）A．有最大值，有最小值 B．有最大值，無最小值C．無最大值，有最小值 D．無最大值，無最小值【答案】C【詳解】在上是增函數(shù)，所以最小值為，沒有最大值.故選：C8．（2022秋·浙江）函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：由，得函數(shù)是以為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，且函數(shù)為減函數(shù)，故D選項(xiàng)符合題意.故選：D.9．（2022春·廣西）函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】令，則，故函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是.故選：B.10．（2021春·河北）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由得，，則，根據(jù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，即的解集為，故選：C11．（2021春·浙江）已知函數(shù)，，則的圖象不可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】定義域?yàn)镽.因?yàn)椋詾榕己瘮?shù).，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)的圖像，只能選D.故選:D12．（2021秋·浙江）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：由指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，進(jìn)而得，即.故選：A.13．（2021春·福建）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋詥握{(diào)遞增，且恒過點(diǎn)，故A為正確答案.故選：A14．（2021秋·河南）函數(shù)的圖象關(guān)于（

）A．y軸對(duì)稱 B．直線對(duì)稱C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D．直線對(duì)稱【答案】A【詳解】，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱．故選：A．15．（2021秋·廣西）函數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．4【答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)的最大值為.故選：D.16．（2021·北京）下列各點(diǎn)中，在函數(shù)的圖象上的點(diǎn)是（

）A．（0，0） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2）【答案】A【詳解】解：因?yàn)?，所以，故函?shù)過點(diǎn).故選：A.17．（2021·北京）已知，則（

）A．a(chǎn)＞b＞2 B．b＞a＞2 C．a(chǎn)＜b＜2 D．b＜a＜2【答案】A【詳解】故選：A18．（2023春·湖南）已知函數(shù)（，且）的圖象過點(diǎn)，則.【答案】2【詳解】將代入得，故答案為：219．（2022春·浙江）已知函數(shù)，對(duì)于任意的，都存在，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【答案】【詳解】，，由題意得故答案為：20．（2021·貴州）已知函數(shù)（且），，則函數(shù)的解析式是.【答案】【詳解】由已知可得，因此，.故答案為：.21．（2023春·浙江）已知函數(shù)，.(1)若是奇函數(shù)，求a的值并判斷的單調(diào)性（單調(diào)性不需證明）；(2)對(duì)任意，總存在唯一的，使得成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)，在上單調(diào)遞增(2)【詳解】（1）∵為奇函數(shù)，則，解得.此時(shí)，又，又的定義域?yàn)?，此時(shí)為奇函數(shù)所以若為奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，又為定義在上的連續(xù)函數(shù)，故在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，∴.①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，∴，，∴.②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴，，∴.③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴，，不成立.綜上可知，.22．（2023春·福建）函數(shù)，.(1)求函數(shù)的定義域；(2)若為奇函數(shù)，求m的值；(3)當(dāng)時(shí)，不等在恒成立，求k的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）依題意可得，解得，所以的定義域?yàn)?（2）若為奇函數(shù)，所以，，所以，所以，所以.（3）當(dāng)時(shí)，,所以不等式在恒成立，即，即，令，，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)取等，所以.故k的取值范圍為.23．（2022春·浙江）已知函數(shù)，其中.(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：函數(shù)存在唯一零點(diǎn)；(3)設(shè)，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【詳解】（1）因?yàn)椋?，可得，所以，即，又，所以；?）證明：因?yàn)楹瘮?shù)，其中，所以在上單調(diào)遞增，且，，所以由零點(diǎn)存在定理，得在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)存在唯一零點(diǎn)；（3）證明：若，則，所以，又，，所以，令，又，所以的圖象開口向上，對(duì)稱軸，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.24．（2022秋·福建）已知函數(shù)．(1)從中選擇一個(gè)函數(shù)，判斷其奇偶性，并證明你的結(jié)論；(2)若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)若選，則為奇函數(shù)；若選，則為偶函數(shù).(2)【詳解】（1）解：若選，則為奇函數(shù)，證明如下：因?yàn)榍叶x域?yàn)镽，所以為奇函數(shù)；若選，則為偶函數(shù)，證明如下：因?yàn)榍叶x域?yàn)镽，所以為偶函數(shù)；（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)有零點(diǎn)，所以方程，即有解，因?yàn)?，所以，，所以，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)三：對(duì)數(shù)1．（2023·北京）（

）A．－100 B．100 C．－2 D．2【答案】D【詳解】；故選：D.2．（2022春·貴州）（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【詳解】解：.故選：D3．（2021春·天津）已知，，則的值為（

）A． B．a(chǎn)b C． D．【答案】D【詳解】顯然；故選：D.4．（2021秋·浙江）（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】.故選：B.5．（2021秋·貴州）（

）A．5 B．3 C．2 D．0【答案】B【詳解】.故選：B6．（2023·山西）若f（10x）＝x，則f（5）＝．【答案】lg5【詳解】試題分析：令10x＝t，則，∴，∴f（5）＝lg57．（2023春·新疆）已知函數(shù)，則．【答案】2【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：28．（2022春·遼寧）計(jì)算的值為．【答案】【詳解】解：故答案為：9．（2021秋·青海）已知，則．【答案】100【詳解】由，則故答案為：10010．（2023春·浙江）計(jì)算，.【答案】【詳解】，.故答案為：；考點(diǎn)四：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．（2023·北京）將函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】將函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù).故選：B.2．（2023·河北）已知函數(shù)，則的最小值是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為1.故選：C3．（2023·江蘇）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以.故選：A.4．（2023春·浙江）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意知，且，故函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B.5．（2023春·福建）圖象中，最有可能是的圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因此函?shù)的圖象總在y軸右側(cè)，選項(xiàng)ABD不滿足，C滿足.6．（2023·廣東）已知函數(shù)，若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，．故選：D．7．（2022·北京）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得.故選：A8．（2022·山西）函數(shù)的圖像是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由于函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象左移一個(gè)單位而得到，函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)是，故函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)是，即函數(shù)的圖象與軸的公共點(diǎn)是，顯然四個(gè)選項(xiàng)只有A選項(xiàng)滿足.故選：A.9．（2022秋·浙江）若對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，可得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，令，則在上恒成立，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以.故選：A10．（2022·湖南）函數(shù)曲線恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)恒過點(diǎn)，所以函數(shù)曲線恒過點(diǎn).故選：C11．（2021·貴州）函數(shù)的圖象經(jīng)過（

）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（2，0）【答案】C【詳解】解方程，得.所以函數(shù)的圖象過定點(diǎn).故選：C.12．（2021秋·貴州）函數(shù)的圖象大致（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，根?jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可得A正確.故選：A.13．（2021秋·青海）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得，解得，所以定義域?yàn)?故選：D14．（多選）（2022春·浙江）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列實(shí)數(shù)可以作為值的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【詳解】設(shè)，要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，則需在上單調(diào)遞增，且在上恒成立，，解得：，則選項(xiàng)中可以作為的值的是和.故選：CD.15．（2022·山西）已知函數(shù)，若，則．【答案】-7【詳解】詳解：根據(jù)題意有，可得，所以，故答案是.16．（2022春·浙江）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．則．【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，解得.所以.故答案為：17．（2021春·福建）函數(shù)是（填寫“奇”或“偶”）函數(shù).【答案】奇【詳解】，解得，即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.，即函數(shù)為奇函數(shù).故答案為：奇18．（2021秋·河南）函數(shù)的值域是.【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)和在上都是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，所以，，函數(shù)值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?9．（2021秋·廣東）已知函數(shù)；設(shè)，則.【答案】【詳解】,,故答案為：20．（2023春·新疆）已知函數(shù).(1)求的定義域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性.【答案】(1)(2)為奇函數(shù).【詳解】（1）對(duì)于函數(shù)，有，可得，解得或，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，故函?shù)為奇函數(shù).21．（2021秋·福建）已知四個(gè)函數(shù)：，，，.(1)從上四個(gè)數(shù)選擇一個(gè)函數(shù)，判斷其奇偶性，并加以證明；(2)以上四個(gè)中，是否滿足其圖象與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的函數(shù)?若存在，寫出滿足條件的一個(gè)函數(shù)，并證明；若不存在，說明理由.【答案】(1)答案見解析；(2)存在滿足條件，理由見解析.【詳解】（1）且定義域?yàn)?，為奇函?shù)；且定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)；且定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)；且定義域?yàn)镽，為偶函數(shù).（2）對(duì)于：當(dāng)時(shí)，在上遞減，上遞增且最小值，而當(dāng)x<0時(shí)函數(shù)值恒為負(fù)數(shù)，故其與有兩個(gè)公共點(diǎn)，不合題設(shè)；對(duì)于：，易知在R上遞增且值域?yàn)?，故其與沒有公共點(diǎn)，不合題設(shè)；對(duì)于：根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：在R上遞增且值域?yàn)?，故其與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題設(shè)；對(duì)于：，故其與沒有公共點(diǎn)，不合題設(shè)；綜上，存在符合要求的函數(shù).22．（2021·湖北）關(guān)于函數(shù)有以下三個(gè)結(jié)論:（1）是偶函數(shù)；（2）在上是增函數(shù)；（3）有兩個(gè)零點(diǎn)．試分別判斷這三個(gè)結(jié)論是否正確，并說明理由．【答案】（1）錯(cuò)誤；（2）正確；（3）錯(cuò)誤；理由解析.【詳解】（1）由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不是偶函數(shù)；（2）因?yàn)?，在上成立，所以在上是增函?shù)，故正確；（3）令，則或，解得，所以有一個(gè)零點(diǎn)，故錯(cuò)誤．考點(diǎn)五：指數(shù)對(duì)數(shù)比較大小1．（2023·河北）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知，∵指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?，∴，即又∵?duì)數(shù)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，∴，即，即.綜上所述，，，的大小關(guān)系為.故選：C.2．（2023·山西）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以，即，所以，故選：A3．（2023·江蘇）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】；；，所以.故選：A4．（2023春·湖南）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由冪函數(shù)的性質(zhì)得，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，即，故選：D5．（2023春·新疆）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：C.6．（2023·云南）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，，即，所以.故選：A7．（2022·山西）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，.故選：B.8．（2022春·浙江），則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：,故選：C9．（2022秋·福建）已知測的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，

，，；故選：D.10．（2021春·河北）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，則，又，所以；而，所以.故選：B.11．（2021秋·吉林）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如下圖，作函數(shù)的圖象由圖可知，當(dāng)時(shí)，，即.故選：D.12．（2021春·福建）已知，，，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，因此?故選：B.13．（2021秋·福建）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題設(shè)，，，，又在定義域上遞增，∴.故選：C.14．（2021秋·廣東）已知a=0.23，b=0.32，c=0.33，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A．a(chǎn)＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜b＜c【答案】A【詳解】解：因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，所以，又在定義域上單調(diào)遞增，所以，所以，即故選：A15．（2021秋·廣西）下列數(shù)中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且，∴.故選：D.16．（2021·貴州）下列各式錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．D．【答案】C【詳解】對(duì)A,因?yàn)闉樵龊瘮?shù),故正確.對(duì)B,因?yàn)闉闇p函數(shù),故正確對(duì)C,因?yàn)闉闇p函數(shù),故,故C錯(cuò)誤.對(duì)D,因?yàn)闉樵龊瘮?shù),故正確故選C17．（2021秋·貴州）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由已知得，，且，，所以，故選：A.考點(diǎn)六：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解1．（2023·北京）函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】C【詳解】令，則；故選：C.2．（2023春·浙江）已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】設(shè)，則，令，即，轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)，畫出圖像如圖所示：

由圖像可知，，所以函數(shù)有一個(gè)解，有三個(gè)解，故的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4個(gè).故選：故選：C3．（2023春·新疆）函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A． B．C．0 D．1【答案】C【詳解】令，得，故函數(shù)的零點(diǎn)是0.故選：C4．（2022春·天津）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)【答案】B【詳解】因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù).又，，由零點(diǎn)存在定理可知在存在零點(diǎn)，故選B.5．（2022秋·福建）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，又，，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是，故選：B.6．（2022·湖南）函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)闉樵龊瘮?shù),且,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).故選B7．（2021春·天津）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)【答案】B【詳解】函數(shù)是上的增函數(shù)