數(shù)理統(tǒng)計(jì)全集

數(shù)理統(tǒng)計(jì)全集匯報(bào)人：AA2024-01-19contents目錄數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)方差分析回歸分析時(shí)間序列分析統(tǒng)計(jì)決策與貝葉斯統(tǒng)計(jì)01數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念研究對(duì)象的全體個(gè)體組成的集合，通常用一個(gè)大寫(xiě)字母表示，如$X$?？傮w從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本通常用小寫(xiě)字母表示，如$x_1,x_2,ldots,x_n$。樣本樣本中個(gè)體的數(shù)目，用$n$表示。樣本容量總體與樣本統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布統(tǒng)計(jì)量樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征。常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)量有樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差等。抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的概率分布。由于樣本是隨機(jī)的，因此統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)的，具有一定的概率分布。常見(jiàn)的抽樣分布有$chi^2$分布、$t$分布、$F$分布等。正態(tài)分布一種連續(xù)型概率分布，具有鐘形曲線。正態(tài)分布的參數(shù)包括均值$mu$和標(biāo)準(zhǔn)差$sigma$，常用符號(hào)$N(mu,sigma^2)$表示。一種連續(xù)型概率分布，用于描述多個(gè)獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的平方和的分布。$chi^2$分布的參數(shù)為自由度$nu$，常用符號(hào)$chi^2_{nu}$表示。一種連續(xù)型概率分布，用于描述正態(tài)總體中樣本均值與總體均值的差異。$t$分布的參數(shù)為自由度$nu$，常用符號(hào)$t_{nu}$表示。一種連續(xù)型概率分布，用于描述兩個(gè)獨(dú)立$chi^2$分布隨機(jī)變量的比值。$F$分布的參數(shù)為兩個(gè)自由度$nu_1$和$nu_2$，常用符號(hào)$F_{nu_1,nu_2}$表示。$chi^2$分布$t$分布$F$分布常用統(tǒng)計(jì)分布02參數(shù)估計(jì)定義點(diǎn)估計(jì)是用樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)總體參數(shù)，因?yàn)闃颖窘y(tǒng)計(jì)量為數(shù)軸上某一點(diǎn)值，估計(jì)的結(jié)果也以一個(gè)點(diǎn)的數(shù)值表示，所以稱(chēng)為點(diǎn)估計(jì)。方法點(diǎn)估計(jì)的方法主要有矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法。矩估計(jì)法是通過(guò)樣本矩來(lái)估計(jì)總體矩的方法，而最大似然估計(jì)法則是通過(guò)最大化似然函數(shù)來(lái)得到參數(shù)的估計(jì)值。性質(zhì)點(diǎn)估計(jì)具有無(wú)偏性、有效性和一致性等性質(zhì)。無(wú)偏性是指估計(jì)量的期望值等于被估計(jì)參數(shù)的真實(shí)值；有效性是指無(wú)偏估計(jì)量中方差最小的估計(jì)量；一致性是指當(dāng)樣本量趨于無(wú)窮大時(shí)，點(diǎn)估計(jì)量的值趨近于被估參數(shù)的真實(shí)值。點(diǎn)估計(jì)定義區(qū)間估計(jì)是在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間通常由樣本統(tǒng)計(jì)量加減估計(jì)誤差得到。方法區(qū)間估計(jì)的方法主要有置信區(qū)間法和預(yù)測(cè)區(qū)間法。置信區(qū)間法是通過(guò)構(gòu)造一個(gè)包含被估參數(shù)的置信區(qū)間來(lái)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)；預(yù)測(cè)區(qū)間法則是通過(guò)構(gòu)造一個(gè)包含未來(lái)觀測(cè)值的預(yù)測(cè)區(qū)間來(lái)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。性質(zhì)區(qū)間估計(jì)具有置信水平和區(qū)間寬度等性質(zhì)。置信水平是指總體參數(shù)落在某一置信區(qū)間的概率；區(qū)間寬度則反映了估計(jì)的精度和可靠性。區(qū)間估計(jì)無(wú)偏性一個(gè)好的估計(jì)量應(yīng)該具有無(wú)偏性，即其期望值應(yīng)該等于被估參數(shù)的真實(shí)值。一致性當(dāng)樣本量趨于無(wú)窮大時(shí)，一個(gè)好的估計(jì)量應(yīng)該趨近于被估參數(shù)的真實(shí)值，即具有一致性。穩(wěn)健性穩(wěn)健性是指當(dāng)總體分布與假設(shè)分布有較小偏離時(shí)，估計(jì)量的性能不會(huì)受到太大影響。一個(gè)具有穩(wěn)健性的估計(jì)量能夠在一定程度上抵抗異常值或離群點(diǎn)對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響。有效性在具有無(wú)偏性的估計(jì)量中，方差最小的估計(jì)量被認(rèn)為是最有效的。估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)03假設(shè)檢驗(yàn)決策規(guī)則根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值和顯著性水平，決定是否拒絕原假設(shè)。假設(shè)的設(shè)立根據(jù)研究問(wèn)題設(shè)立原假設(shè)（H0）和備擇假設(shè)（H1），原假設(shè)通常是研究希望推翻的假設(shè)，備擇假設(shè)則是研究希望證實(shí)的假設(shè)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的選擇根據(jù)研究設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)類(lèi)型選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，如z檢驗(yàn)、t檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)等。顯著性水平的設(shè)定通常選擇0.05或0.01作為顯著性水平，表示當(dāng)p值小于該水平時(shí)，拒絕原假設(shè)?；驹砼c步驟單樣本t檢驗(yàn)用于比較樣本均值與已知總體均值是否有顯著差異。單樣本z檢驗(yàn)當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時(shí)，用于比較樣本均值與總體均值是否有顯著差異。符號(hào)檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)單個(gè)樣本中位數(shù)是否與某個(gè)已知值有顯著差異。單樣本假設(shè)檢驗(yàn)雙樣本假設(shè)檢驗(yàn)獨(dú)立雙樣本t檢驗(yàn)用于比較兩個(gè)獨(dú)立樣本均值是否有顯著差異。配對(duì)雙樣本t檢驗(yàn)用于比較同一組受試者在不同條件下的兩個(gè)相關(guān)樣本均值是否有顯著差異。雙樣本z檢驗(yàn)當(dāng)兩個(gè)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時(shí)，用于比較兩個(gè)獨(dú)立樣本均值是否有顯著差異。Mann-WhitneyU檢驗(yàn)用于比較兩個(gè)獨(dú)立樣本的中位數(shù)是否有顯著差異，不要求數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。04方差分析實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)收集單因素實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，隨機(jī)分組，收集各組數(shù)據(jù)。F分布與F檢驗(yàn)構(gòu)建F統(tǒng)計(jì)量，服從F分布，通過(guò)F檢驗(yàn)判斷因素的顯著性。方差分析的基本思想通過(guò)比較不同組間的方差與組內(nèi)的方差，判斷因素對(duì)結(jié)果是否有顯著影響。單因素方差分析03F分布與F檢驗(yàn)構(gòu)建兩個(gè)F統(tǒng)計(jì)量，分別檢驗(yàn)兩個(gè)因素的主效應(yīng)和交互效應(yīng)的顯著性。01實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)收集雙因素實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，考慮兩個(gè)因素對(duì)結(jié)果的影響，收集各組數(shù)據(jù)。02雙因素方差分析的基本思想分別考慮兩個(gè)因素的主效應(yīng)和交互效應(yīng)對(duì)結(jié)果的影響。雙因素方差分析在方差分析的基礎(chǔ)上，對(duì)多個(gè)組進(jìn)行兩兩比較，判斷哪些組之間存在顯著差異。多重比較在進(jìn)行多重比較前，需要進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)，判斷各組方差是否相等。方差齊性檢驗(yàn)常用的多重比較方法有LSD法、S-N-K法、Tukey法等，根據(jù)具體情況選擇合適的方法進(jìn)行比較。多重比較方法多重比較與方差齊性檢驗(yàn)05回歸分析一元線性回歸模型描述兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系，通過(guò)最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。模型建立假設(shè)檢驗(yàn)預(yù)測(cè)與控制對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，判斷自變量對(duì)因變量是否有顯著影響。利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制，分析自變量變化對(duì)因變量的影響。030201一元線性回歸123多元線性回歸模型描述多個(gè)自變量與一個(gè)因變量之間的線性關(guān)系，通過(guò)最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。模型建立在多元回歸分析中，選擇合適的自變量是關(guān)鍵，可采用逐步回歸等方法進(jìn)行變量選擇。變量選擇對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，判斷各自變量對(duì)因變量的影響程度，并利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)。假設(shè)檢驗(yàn)與預(yù)測(cè)多元線性回歸非線性模型當(dāng)自變量與因變量之間呈現(xiàn)非線性關(guān)系時(shí)，需采用非線性回歸模型進(jìn)行擬合。曲線擬合方法常見(jiàn)的曲線擬合方法有最小二乘法、最大似然法等，可根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的方法。模型評(píng)估與檢驗(yàn)對(duì)擬合的曲線模型進(jìn)行評(píng)估和檢驗(yàn)，判斷模型的擬合優(yōu)度和預(yù)測(cè)能力。非線性回歸與曲線擬合03020106時(shí)間序列分析時(shí)間序列定義時(shí)間序列是指按時(shí)間順序排列的一組數(shù)據(jù)，通常用于描述某個(gè)變量隨時(shí)間變化的過(guò)程。時(shí)間序列組成要素時(shí)間序列通常由趨勢(shì)、季節(jié)變動(dòng)、循環(huán)波動(dòng)和不規(guī)則波動(dòng)等要素組成。時(shí)間序列數(shù)據(jù)類(lèi)型時(shí)間序列數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，也可以是離散的，常見(jiàn)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)包括股票價(jià)格、氣溫、銷(xiāo)售額等。時(shí)間序列基本概念平穩(wěn)時(shí)間序列定義平穩(wěn)時(shí)間序列是指其統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間變化的時(shí)間序列。自回歸模型是一種用時(shí)間序列的過(guò)去值來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)值的模型，常用于平穩(wěn)時(shí)間序列的建模和預(yù)測(cè)。移動(dòng)平均模型是一種用時(shí)間序列的過(guò)去隨機(jī)干擾項(xiàng)的線性組合來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)值的模型，也常用于平穩(wěn)時(shí)間序列的建模和預(yù)測(cè)。自回歸移動(dòng)平均模型是自回歸模型和移動(dòng)平均模型的結(jié)合，能夠更全面地描述平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特性。自回歸模型（AR）移動(dòng)平均模型（MA）自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA）平穩(wěn)時(shí)間序列模型非平穩(wěn)時(shí)間序列定義：非平穩(wěn)時(shí)間序列是指其統(tǒng)計(jì)特性隨時(shí)間變化的時(shí)間序列。差分運(yùn)算：差分運(yùn)算是將非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列的常用方法，通過(guò)對(duì)原序列進(jìn)行差分運(yùn)算，可以消除趨勢(shì)和季節(jié)變動(dòng)等因素的影響。自回歸積分滑動(dòng)平均模型（ARIMA）：自回歸積分滑動(dòng)平均模型是一種適用于非平穩(wěn)時(shí)間序列的模型，通過(guò)差分運(yùn)算將非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列，再運(yùn)用自回歸移動(dòng)平均模型進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)。季節(jié)性自回歸積分滑動(dòng)平均模型（SARIMA）：季節(jié)性自回歸積分滑動(dòng)平均模型是ARIMA模型的擴(kuò)展，適用于具有季節(jié)性特征的非平穩(wěn)時(shí)間序列的建模和預(yù)測(cè)。非平穩(wěn)時(shí)間序列模型07統(tǒng)計(jì)決策與貝葉斯統(tǒng)計(jì)010203決策問(wèn)題三要素統(tǒng)計(jì)決策問(wèn)題包含三個(gè)基本要素，即決策空間、損失函數(shù)和行動(dòng)空間。決策空間是指所有可能采取的決策構(gòu)成的集合；損失函數(shù)用于度量不同決策導(dǎo)致的損失；行動(dòng)空間是指所有可能的狀態(tài)或結(jié)果構(gòu)成的集合。風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)是描述決策后果的數(shù)學(xué)工具，通常表示為損失函數(shù)的期望值。在統(tǒng)計(jì)決策中，風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)用于評(píng)估不同決策方案的優(yōu)劣。最優(yōu)決策最優(yōu)決策是指在給定風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)下，使期望損失達(dá)到最小的決策。尋找最優(yōu)決策是統(tǒng)計(jì)決策的核心任務(wù)。統(tǒng)計(jì)決策基本原理先驗(yàn)分布01在貝葉斯統(tǒng)計(jì)中，先驗(yàn)分布表示在觀測(cè)數(shù)據(jù)之前對(duì)未知參數(shù)的主觀信念或認(rèn)識(shí)。先驗(yàn)分布可以是基于歷史數(shù)據(jù)、專(zhuān)家意見(jiàn)或其他信息來(lái)源得到的。后驗(yàn)分布02后驗(yàn)分布是在觀測(cè)到數(shù)據(jù)后，對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行更新的分布。它綜合了先驗(yàn)信息和當(dāng)前觀測(cè)數(shù)據(jù)的信息，反映了我們對(duì)未知參數(shù)的新認(rèn)識(shí)。貝葉斯估計(jì)03貝葉斯估計(jì)是指利用后驗(yàn)分布對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)或區(qū)間估計(jì)的方法。常見(jiàn)的貝葉斯估計(jì)方法有最大后驗(yàn)估計(jì)、后驗(yàn)中位數(shù)估計(jì)等。貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷方法要點(diǎn)三哲學(xué)觀點(diǎn)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)基于頻率學(xué)派的觀點(diǎn)，認(rèn)為參數(shù)是固定的、未知的常數(shù)，而數(shù)據(jù)是隨機(jī)的；貝葉斯統(tǒng)計(jì)基于貝葉斯學(xué)派的觀點(diǎn)，認(rèn)為參數(shù)也是隨機(jī)的，其不確定性可以通過(guò)概率分布來(lái)描述。要點(diǎn)一要點(diǎn)二推斷方法經(jīng)典統(tǒng)計(jì)主要依賴(lài)于