微分中值定理在不等式證明中的應用

微分中值定理在不等式證明中的應用摘要：不等式在初等數(shù)學中是最根本的也是最重要的內容之一,微分中值定理也是數(shù)學分析中最重要的定理之一.本文采用舉例的方式歸納了微分中值定理在不等式證明中的幾種常見方法和技巧，總結了微分中值定理在不等式證明中的根本思想和方法。從這些思想和方法中我們可以解決類似的很多問題，對提高證明題和解決問題的能力有很大幫助。關鍵詞：微分中值定理；不等式；證明；應用TheApplicationofMeanValueTheoreminProvingInequalitiesAbstract:InequalitiesisoneofthemostbasiccontentsinElementaryMathematics.MeanValueTheoremwhichiswidelyusedinsolvingmathematicalproblems,isoneofthemostimportanttheoreminMathematicalAnalysis,andisalsotheimportanttoolofresearchmathproblem.ThispapersummarizedsomecommonkindsofmethodsandskillsofapplicationofMeanValueTheoreminproofofInequalitiesbyexemplification,andhighlightedtheelementarythoughtandmethod,contributedimmenselytoimprovingthecapabilityofcertifying.Keywords:MeanValueTheorem;Inequalities;Proof;Application0引言高等數(shù)學中,不等式的證明占有重要的一席之地,與一些計算及應用題相比，不等式的證明對數(shù)學研究者來說一直是難點，主要是在證明的思路或者在函數(shù)的構造上有難度。在研究不等式證明的過程中既開展了學者的數(shù)學思維也培養(yǎng)了邏輯思維方面的能力。不等式的證明方法很多，本文歸納出了幾種利用微分中值定理來證明不等式的常用方法和技巧。1預備知識1.1拉格朗日中值定理假設函數(shù)滿足:在閉區(qū)間連續(xù);在開區(qū)間內可導.那么在內至少存在一點,使。拉格朗日中值定理也稱中值公式或拉格朗日公式,它也經(jīng)常用另一種形式表示，由于是在內的一個中值點,也可表示成的形式,于是定理的結論就可改為在中至少存在一個值,使或。拉格朗日中值定理反映的是函數(shù)或函數(shù)增量和可導函數(shù)的一階導數(shù)符號之間的一種關系，它都是以等式形式存在的，我們要學會觀察拉格朗日中值公式,從而要靈活的理解拉格朗日中值定理在證明不等式中的應用。1.2柯西中值定理設函數(shù)和滿足:在上都連續(xù);在內都可導;和不同時為零;,那么存在,使得：柯西中值定理反映了兩個函數(shù)或兩個函數(shù)增量與它們一階導數(shù)之間的關系，當一個函數(shù)取自變量自身時，它就是拉格朗日中值定理，所以柯西中值定理和拉格朗日中值定理之間有著必然的聯(lián)系,其轉化過程非常巧妙,在研究不等式時,要看清題意,分析題給的條件,確定符合條件所對應的中值定理。2微分中值定理在不等式證明中的應用例1證明:當時,分析：要證不等式即由柯西中值定理有即只要證明，亦即2.1拉格朗日中值定理在不等式證明中的應用利用拉格朗日中值定理(假設經(jīng)過簡單變形,不等式的一端可寫要證明的命題是區(qū)間內至少有一點大于(或小于)零,可以嘗試使用拉格朗日中值定理。例2設,證明：分析：觀察命題結構，可以構造函數(shù),又因為，這可以分區(qū)間應用拉格朗日中值定理。在應用拉格朗日中值定理到:=，，又由于.證明也就迎刃而解了。分析過程我們要學會思考、聯(lián)想和知識遷移。證明：設,那么對于在.由拉格朗日定理知:即由于又所以在應用引理1時，可以先構建輔助函數(shù)，并確定使用拉格朗日中值定理的區(qū)間，對在上使用拉格朗日中值定理，再根據(jù)與之間的關系，對拉格朗日公式加強不等式。對于不能直接應用定理證明的.在利用拉格朗日中值定理進行問題證明時,。主要是構建輔助函數(shù)，先結論出發(fā)，觀察問題特征，分析問題可能用到的輔助函數(shù)，最后對問題作相應的變形，這是構造輔助函數(shù)關鍵，有了輔助函數(shù)就可以直接應用中值定理得出結論。例3設,均在上連續(xù)，證明：分析：在證明不等式過程中，首先要觀察其結果的特征，再分析可能要用的輔助函數(shù)，然后相應的改變命題的形式，這是構造輔助函數(shù)關鍵.我們經(jīng)常會將結果變形處理，如將上式變型等價為：，于是我們先考慮左邊，可以令其為函數(shù)：，通過觀察我們知道在上連續(xù)，在內可導，進而對其求導，結果為：恒成立，這樣的一階導數(shù)都大于0，再通過轉換很快得到結果。積分不等式證明除用傳統(tǒng)證法外，應用微分中值定理去研究，入手會很方便的。證明：由分析知〔1〕由題意知在上連續(xù)，在內可導，那么對進行求導有=〔2〕所以在內，恒成立。由以上條件可知，滿足拉格朗日中值定理，那么存在一點使得：〔3〕由〔1〕〔2〕式知：,又因為,由〔3〕式得〔4〕所以〔5〕由〔4〕,〔5〕式得：即.關于拉格朗日中值定理的證明及應用有許多專門的研究,利用拉格朗日中值定理證明不等式有許多方便之處.在利用拉格朗日中值定理在證明不等式，我們要具備構造函數(shù)的思想。有些不能直接應用定理進行證明，我們可以用適宜的方法，構造其函數(shù)框架，利用拉格朗日中值定理解決問題時,需要構造輔助函數(shù),是證明的關鍵。所以我們要學會去構建輔助函數(shù)。例4設，當時，求證:-.分析：由題意可知，通過變型，不等式可以等價為：，當時結論顯然成立，當時，可以選取兩區(qū)間或，在該區(qū)間上可以構造函數(shù)，那么對其求導為：，，所以,再結合題意，由于條件滿足柯西中值定理，那么就可以利用柯西中值定理進行證明了。證明：由柯西中值定理得,或，即當時，，，即又，故，即-當時，，，即,又,故即-.在應用柯西中值定理時，先可以構造兩個輔助函數(shù)和，并確定它們使用柯西中值定理的區(qū)間；對與在上施用柯西中值定理；再利用與的關系，對柯西公式進行加強不等式。通過分析我們可以知道：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣,其主要是構造好有力的函數(shù)，對應好定理的條件和區(qū)間即可。例5設,證明:分析：觀察命題，可以將命題變型，那么原不等式可以等價于㏑,不等式左邊可看是函數(shù)=與在區(qū)間上的改變量的商,所以此題可以用柯西中值定理去證明。證明:原不等式等價于<㏑,取,,顯然和在閉區(qū)上滿足柯西中值定理條件,存在,那么,即=因為，所以,,從而㏑㏑或-㏑因此-㏑,即.經(jīng)上表達,我們可以看到：研究兩個函數(shù)的變量關系時，我們就會想到柯西中值定理，在用柯西中值定理證明不等式命題時,關鍵是要在對結果進行整理變形的根底上,找出滿足柯西中值定理的那兩個函數(shù)。綜上可知,在應用柯西中值定理時，導數(shù)發(fā)揮了很大的作用了，特別是研究函數(shù)在區(qū)間上的整體形態(tài)時，考慮應用柯西中值定理是最適宜的,且它有著廣泛的應用性。在拉格朗日中值定理中,如果,那么變成羅爾定理;在柯西中值定理中,如果,那么變成拉格朗日定理。因此,拉格朗日中值定理是羅爾定理的延伸推廣,柯西中值定理是拉格朗日定理的延伸推廣。在不等式證明中，它們各具特色，為解題提供有力工具。3微分中值定理的推廣及應用3.1泰勒定理[5]及其應用假設函數(shù)滿足如下條件：在閉區(qū)間上函數(shù)存在直到階連續(xù)導數(shù);在開區(qū)間內存在的階導數(shù)，那么對任何，至少存在一點，使得，其中稱為拉格朗日余項。這就是函數(shù)在點附近的關于的冪函數(shù)展開式，也叫泰勒公式。我們都知道，不等式的證明題型多種多樣,證明方法靈活多變，如果想證明的不等式中或題設中含有一階以上的導數(shù)時,一般利用泰勒定理比擬方便。泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣,隨著研究導數(shù)的深入,高階導數(shù)也經(jīng)常出現(xiàn),然而也正是泰勒中值定理價值表達之處,去分析高階導數(shù)有關問題時,泰勒中值定理的應用非常廣泛。它除了對高階導數(shù)一些簡單的應用外,在證明不等式時應用也很方便。特別在某點的函數(shù)值或高階導數(shù)符號時,用泰勒公式證明某些不等式較為簡便。例6在處滿足Taylor定理,那么有其中在與之間.公式證明不等式時先要把所要證明的不等式簡化，將函數(shù)在某特殊點處展開成Taylor公式，再把公式右邊放大或縮小得到所證不等式,對例1由于故顯然即當時,成立例7[6]設函數(shù)在上具有二階導數(shù)，且,并存在一點，使,證明：至少存在一點使。分析：由題意得，此題是高階不等式的證明，題干中又出現(xiàn)二階導數(shù)，并有具體某點函數(shù)值，就會聯(lián)想到泰勒中值定理，利用某點展開的泰勒展開式去證明。又因為具有二階導數(shù),那么可以將在點展開成為一階泰勒展開式分情況討論來證明。證明：由題可知，將在點展開為一階泰勒公式,在與之間(6)當時，在〔6〕式中取，得,在與之間(7)因為，且,如果，所以由〔7〕式可得：因為，，所以，即存在一點，使得：；如果在〔6〕式中取,得，在與之間〔8〕因為,(由)，且,〔假設〕，所以由〔8〕式可得：因為，，所以，即存在一點，使得：綜上所述：無論為正還是為負，至少存在一點使，命題得證。利用泰勒中值定理證明不等式(特別是某些含抽象函數(shù)的不等式)比擬困難。其原因總體來講有兩種:一是泰勒中值定理的內容本身難理解;二是這種方法證明不等式時對泰勒公式中展開點的選取比擬有講究,對于不同題目的變動不一樣。選取區(qū)間的中點展開是較常見,然后在泰勒公式中取為適當?shù)闹?通過變形,對某些項進行放縮,就可以將多余的項去掉而得所要的不等式。這就是泰勒中值定理的應用思想。例8設在上滿足，證明：分析：通過觀察分析，不等式有一點的特征，可以令進行代換，那么命題等價于，即，那么可以在處展開一階泰勒展開式進行證明。證明：由分析可知，將在處展成一階泰勒公式,在與之間當=時，亦有，在與之間因為,所以，即有從而于是得即有顯然當時，等號成立，命題得證。由以上分析可以知道，泰勒公式揭示了多項式與函數(shù)之間的關系，在研究多項式不等式證明時，經(jīng)常會應用泰勒中值定理，很好的理解泰勒公式,能讓我們解決問題時靈活自如，思路開闊許多。泰勒定理主要是講函數(shù)和導數(shù)的關系，因此,在應用時注意中值定理成立的條件等因素。3.2柯西中值定理的推廣應用例9[8]設函數(shù)在上連續(xù)，在內三階可導，而且，證明至少存在一點∈，使得不等式成立。分析：我們知道此題是建立在經(jīng)典的柯西中值定理的根底上的，是微分中值定理更深入一步的推廣，其應用也是非常的廣泛的。在應用時要仔細觀察條件，通過分析題意及題干的條件可以知道：在區(qū)間連續(xù)，且三階可導，那么本命題條件符合此題的條件，這樣就要想方法構造符合題意的行列式分式函數(shù)，先可以取，由條件可構造函數(shù)=，那么命題的證明就可以解決了。證明：由題意分析可知：先可以取，因為在上連續(xù)，在內可導，那么在上文的定理可知：=即從而由于那么，那么命題得證。比擬經(jīng)典的微分中值定理在應用中總體來講有三種思路：第一積分構造法；第二第三待定因子法;第三原函數(shù)法。這三種方法解決了微積中值定理中相關問題的證明.通過研究已有的柯西中值定理的高階微分形式,結合差分的相關知識,也能解決一些復雜的不等式證明。4結束語當前,微分中值定理證明不等式的運用已經(jīng)成為數(shù)學研究領域中一個被關注的研究課題,受到了學者的普遍重視。作為高等數(shù)學中的重要內容,它具有非凡的研究價值,有助于常量數(shù)學以及變量數(shù)學之間的相互過渡。相較于初等數(shù)學中的常用數(shù)學方法,利用微分中值定理證明不等式可以增強解題的直觀形象