天津理工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三章習(xí)題答案詳解

第三章多維隨機變量及其分布一、填空題1、隨機點（x,y）落在矩形域［%］<X≤乙，y∣<y≤y2］的概率為F(x2,j2)-F(x2,必)+F(x1,必)一廠(XQ2)?2、（X,V）的分布函數(shù)為∕7（x,y）,則F（-∞?y）=O.3、（X,y）的分布函數(shù)為尸（x,y）,則尸&+O,y）=FV,y）4、（X,y）的分布函數(shù)為尸（x,y）,則尸（國+8）=FX（%）5、設(shè)隨機變量（X,Y）的概率密度為k(6-X-y)0<x<2,2<y<4 1f(χ,y)=<…」 ，則&二一f(χ,y)=<0 其它 ^8^6、隨機變量6、隨機變量（x,y）的分布如下，寫出其邊緣分布.∫÷x/（X）=一°0X8、二維正態(tài)隨機變量（x,y）,X和y相互獨立的充要條件是參數(shù)夕=q.9、假如隨機變量（x,y）的聯(lián)合概率分布為則a,β應(yīng)滿意的條件是_a+β2181111-1-66184 2；若X與y則a,β應(yīng)滿意的條件是_a+β2181111-1-66184 2；若X與y相互獨立，則α=—，〃=—^18^ ^18"10、設(shè)x,y相互獨立，x~N（o,i）,y~N（θ?i）,則（x,y）的聯(lián)合概率密度2 41尸+廠f(x.y)=-e224z=x+y的概率密度fz(Z)=12、設(shè)（ξ、η）的聯(lián)合分布函數(shù)為FD=Vλ+01115777；F所—核x≥O,y≥O則A=_l解：p{x=ι,y=i}=l?oP{x=ι,y=2}=(?ι=!解：X的可能取值為（解：p{x=ι,y=i}=l?oP{x=ι,y=2}=(?ι=!解：X的可能取值為（）,123Y的可能取值為（）,1,2,3p{x=o,y=o}=*3 C23P{X=O,Y=?}=-^P{X=0yY=2}=^-=-^二、證明和計算題1、袋中有三個球，分別標(biāo)著數(shù)字1,2,2,從袋中任取一球，不放回，再取一球，設(shè)第一次取的球上標(biāo)的數(shù)字為X,其次次取的球上標(biāo)的數(shù)字丫，求（x,y）的聯(lián)合分布律.P{X=2yY=1}=---=-323P{X=2,y=2}=-?-=-3232、三封信隨機地投入編號為1,2,3的三個信箱中，設(shè)X為投入1號信箱的信數(shù)，y為投入2號信箱的信數(shù)，求（x,y）的聯(lián)合分布律.

P{X=0,y=3}=fP{X=l,y=0}=93×?P[X=?,Y=?}=-r3×1P{X=l,y=2}=—P{X=l,y=3}=0P{X=2,y=0}C；33P{X=2,y=l}二最P{X=2,y=3}=0聯(lián)解：P{X=2.Y=2]=03、設(shè)P{X==3,Y=3}=0維隨機變量的合P{X=0,y=3}=fP{X=l,y=0}=93×?P[X=?,Y=?}=-r3×1P{X=l,y=2}=—P{X=l,y=3}=0P{X=2,y=0}C；33P{X=2,y=l}二最P{X=2,y=3}=0聯(lián)解：P{X=2.Y=2]=03、設(shè)P{X==3,Y=3}=0維隨機變量的合F(X,y)不可能因P{0<ξ≤2,是某二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)0<η≤l}=F(2,1)-F(0,1)-F(2,0)+F(0,0)=1—1—1+0=-KOF(x,y)不可能是某二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)。4、設(shè)g(x)≥O,且[:g{x)dx=1,有/(χ,y)=<2g(商0,--,0≤X,y<+8+y]其它證明：/(x,y)可作為二維連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)。證明：易驗證f(x,y)≥O,又P+X廣十8 r+8P+0O∫∫f(x,y)dxdy=?[÷x?2g(J∕+y2)tγλ∣x2+y2dxdy=-"Γ°牛力=『g⑺勿=1符合概率密度函數(shù)的性質(zhì)，可以是二維連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)。

5、在［0,兀］上均勻地任取兩數(shù)X與Y,求產(chǎn)｛cos（X+Y）VO）的值。解：/(X,y)=U'°≤">≤",P{Cos(X+y)V0=P{&VX+y<嗎解：/(X,y)=ke-[3x+4y)X>0,y>00其它0,其它 2 2 46、設(shè)隨機變量（ke-[3x+4y)X>0,y>00其它(1)確定常數(shù)& (2)求(x,y)的分布函數(shù)(3)求P{θ<x≤ι,o<y≤2}解：(1)J；力J：ZeT3/4,)公=]k??^dy^e^dx=H—>小后[_：e-3∩∞=A .^=12⑵b(x,y)=fv[vl2e-(3,i+4v)dudv=12?—(1-^-3x)(1- j)JoJo 12=(I-CT”)(1一x>0,γ>0F(x,y)=0(3)P{0<X≤l,0<r≤2}=F(l,2)+F(0,0)-F(1,O)-F(0,2)=(l-e-3)(l-e^8)+O=0.950217、設(shè)隨機變量（x,y）的概率密度為/(χ,y)=X2÷xy/3/(χ,y)=X2÷xy/3O0≤x≤l,0≤y≤2

其它求p{x+y≥i}解：P{X+Y≥?}=∫∫/U,y)d?√y=∫θd?∫?x2解：P{X+Y≥?}=∫∫/U,y)d?√y=∫θd?∫?x2+?√yx÷>?≥l Jflzx4253、J65=(―+— +—X)dx=—J。23 6 728、設(shè)隨機變量（XL）在矩形區(qū)域。=｛（x,y）∣4vxvb,c<yvd｝內(nèi)聽從勻稱分布,（1）求聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度.（2）問隨機變量X,Y是否獨立？解：(1)依據(jù)題意可設(shè)(X,Y)的概率密度為/(χ,y)=<Ma<X<b,c<y<d0其它∫+∞P+X 廣〃f[f(x,y)cbcdy=M?dx?—□0J—00 解：(1)依據(jù)題意可設(shè)(X,Y)的概率密度為/(χ,y)=<Ma<X<b,c<y<d0其它∫+∞P+X 廣〃f[f(x,y)cbcdy=M?dx?—□0J—00 JaJIdy=M(b-a)(d-c)(b-a)(d-c),故/(χ,y)=,1/(/?-a)(d-c)a<x<h,c<y<d其它∕χ(χ)=Jj∕(χ,y)dy=Jdy0(h-a)(cl-c)b-a即?∕x(χ)=0a<x<ba其它r+αo rbΛ(^)=∫/(χ,y)公二JJ-co Jadx(b—a)(d—c)d-c即∕y(y)=1/(d-c)c<y<d其它⑵由于/(x,y)=Λ(Λ).∕r(y),故X與y是相互獨立的.9、隨機變量(X,y)的分布函數(shù)為∕7(x,y)=l-3"x-3^y+3*y,

0,χ≥αy≥°求:

其它(1)邊緣密度；(2)驗證X,Y是否獨立。解：(1)?F(x,y)∕?x=ln3×(3x-3λv),?2F{x.y)∕?x?y=In23×3v^v,f(χ,y)=∫lnf(χ,y)=∫ln23×3^x^yx>Q,Q<y0其它÷x)fx(X)=Λ(y)=Or÷x)fx(X)=Λ(y)=OrJoOln23×3-x^y6∕j=ln3×3^rx>0其它In23×3,vdx=In3x3-',y>O其它(2)由于/(χ,y)=/X(X)?∕y(y),故X與Y是相互獨立的?x≥O,y≥O

其它10、一電子器件包含兩部分，分別以x,y記這兩部分的壽命(以小時記)，設(shè)(x,y)x≥O,y≥O

其它-0.01λA-OoIylA-0?0i(χ+y)—C—C-rC0(1)問X和Y是否相互獨立？ (2)并求P[X>120,Y>120}??:(1)Fx??:(1)Fx(x)=F(x,+∞)=龍≥()X<()∕γ(y)=F(+∞,y)=y≥0y<0易證FX(X)K(y)=&x,y),故X,Y相互獨立.(2)由(I)X,Y相互獨立P{X>120,y>120}=P{X>120}?P{y>120}=[l-P{X≤120}]?[l-P{y≤120}]=[l-Fx(120)][l-∕v(120)]=/24=0.091TOC\o"1-5"\h\zX V11、設(shè)隨機變量(ξ,η)的分布函數(shù)為F(x,y)=A(B+arctg-)(C+arctg2)求：(1)2 3系數(shù)A,B及C的值，(2)g,η)的聯(lián)合概率密度φ(x,y)°解：(1)F(+∞,+∞)=A(B+-)(C+-)=l2 2F(-∞,+∞)=A(B--)(C+-)=02 2F(+∞-∞)=A(B+?(C-?=0乙 乙1 π由此解得A=--,B=C=—,π2 2

(2)φ(x,y)=π2(4+x2)(9+y2)解:(2)φ(x,y)=π2(4+x2)(9+y2)解:X-2-1O12Y~213Pk]_j_1]_Pk]_]_43123244試寫出（x,y）的聯(lián)合分布律.X12Y12Pk11Pt112222求z=x+y的分布律.解：P[X=∣c}=pkZ=O,12…P[Y=∕}=qγ7=0,12…Z=X+Y的分布律為P{Z=i}=Pkqi^i=0,l,2,…Z的全部取值為2,3,4P{Z=2}=P{X=l,y=1}=P{X=l}P{y=l}=g.；=；p{z=3}=p{x=i,v=2}+P{x=2,v=1}

=P[X=↑}P[Y=2}+P{X=2}P{Y=?}=^→^^=^P{Z=4}=P{X=2,y=2}=P{X=2}P{Y=2}=g?g=;x≥0x<0求z=x+y的密度函數(shù).14、x≥0x<0求z=x+y的密度函數(shù).y≥Oy<Oy≥Oy<OΛ(y)=pO∫+8f