人教版八年級下冊《第17章勾股定理》單元測試卷（解析版）

人教版八年級下冊《第17章勾股定理》單元測試卷

考試時(shí)間90分鐘，滿分100分

班級姓名學(xué)號成績

一.選擇題（共10小題，滿分30分）

1.下列各組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長的是（）

A.4,5,6B.5,7,12C.3,5,bD.1,&,如

2.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,-1）,則點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為（）

A.3B.V3C.V5D.1

3.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角

形.若正方形4、B、C、。的邊長分別是3、5、2、3,則最大正方形￡的面積是（）

4.如圖，以數(shù)軸的單位長度線段為邊作一個(gè)正方形，以1為圓心，正方形對角線長為半徑

畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)4則點(diǎn)A表示的數(shù)是（）

5.若等腰三角形的腰長為13,底邊長為10,則底邊上的高為（）

A.6B.7C.9D.12

6.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方

形.設(shè)直角三角形較長直角邊長為m較短直角邊長為從若時(shí)=8,大正方形的面積為

25,則小正方形的邊長為（）

A.9B.6C.4D.3

7.滿足下列條件的△ABC是直角三角形的是（）

A.NA：NB：NC=3：4：5B.a：b：c—1：2：3

C.ZA=ZB=2ZCD.a=\,h=2,c=?

8.下列說法正確的是（）

A.一個(gè)三角形的三邊長分別為：a,b,c,且“2-b2=c.2,則這個(gè)三角形是直角三角形

B.三邊長度分別為1,1,我的三角形是直角三角形，且1,1,圾是組勾股數(shù)

C.三邊長度分別是12,35,36的三角形是直角三角形

D.在一個(gè)直角三角形中，有兩邊的長度分別是3和5,則另一邊的長度一定是4

9.如圖，一架云梯AB長為25米，頂端A靠在墻AC上，此時(shí)云梯底端B與墻角C距離為

7米，云梯滑動后停在OE的位置上，測得AE長為4米，則云梯底端B在水平方向滑動

10.如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯臺階上鋪地毯，則地毯的長度至少要（）

A.4米B.5米C.6米D.7米

填空題（共8小題，滿分24分）

11.如圖是由三個(gè)直角三角形組成的梯形，根據(jù)圖形，寫出一個(gè)正確的等式

12.已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)P（3,2）和Q（-1,5）,那么PQ=

13.在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=\5,BC：AC=3：4,貝UBC=.

14.已知三角形三邊長分別為5,12,13,則此三角形的最大邊上的高等于

15.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，NAPB=°.

16.如圖，Z\ABC中，AC=5,BC=12,AB=13,以A8為直徑的半圓過點(diǎn)C,再分別以

BC、AC為直徑向上作三個(gè)半圓，則陰影部分面積為.

17.觀察下列式子:

當(dāng)〃=2時(shí)，a—2X2=4,b=22-1=3,c=22+l=5

"=3時(shí)，a—2X3—6,b—32-1=8,c—32+I—10

〃=4時(shí)，a=2X4=8,/?=42-1=15,c=42+l=17…

根據(jù)上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，用含〃（〃》2的整數(shù)）的代數(shù)式表示上述特點(diǎn)的勾股數(shù)〃=,

h=,c=.

18.現(xiàn)有兩根長6分米和3分米的木條，小華想再找一根木條為老師制作一個(gè)直角三角形教

具，則第三根木條的長度應(yīng)該為分米.

三.解答題（共8小題，滿分46分）

19.（5分）如圖，等腰△A8C中，AB=AC=\3cm,BC=\0cm,求△A8C的面積.

A

R

20.(5分)如圖所示，在△A8C中，AD±BC,A8=13,BD=12,CD=?.

(1)求AD的長；

(2)求△ABC的周長.

21.（5分）勾股定理是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要定理之一，這個(gè)定理的驗(yàn)證方法有很多，你能

驗(yàn)證它嗎？請你根據(jù)所給圖形選擇一種方法畫出驗(yàn)證勾股定理的方法并寫出驗(yàn)證過程.

22.（5分）如圖，△/iBC中，AB=4瓜ZABC=45°,。是BC邊上一點(diǎn)，且AO=AC,

若BD-DC=L求。C的長.

23.（6分）平面直角坐標(biāo)系中如果任意兩點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（xi,戶）、（必”），貝UA、

B兩點(diǎn)之間的距離可表示為|A8|=J（x2-Xi）2+（y2-y］）2；在平面直角坐標(biāo)系中.

（1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,4）,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則C、。兩點(diǎn)之間的距離為.

（2）若點(diǎn)E（-2,3）、F（4,-5）,求E、尸兩點(diǎn)之間的距離.

24.（6分）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子BC的長

為17米，此人以1米每秒的速度收繩，7秒后船移動到點(diǎn)。的位置，問船向岸邊移動了

多少米？（假設(shè)繩子是直的）

25.（6分）如圖，有一塊等腰三角形草地，測得腰C4=C8,AB=6米，腰比底邊上的高多

1米，現(xiàn)在園藝師想更換一下草坪，已知每平方米草坪售價(jià)200元，請你幫園藝師計(jì)算一

下全部更換草坪需要少資金？

26.（8分）如圖，已知NM4N=30°,點(diǎn)B在射線AM上，且AB=6,點(diǎn)C在射線AN上.

（1）若AABC是直角三角形，求AC的長；

（2）若△ABC是等腰三角形，則滿足條件的C點(diǎn)有個(gè)；

（3）設(shè)BC=x,當(dāng)△ABC唯一確定時(shí).，直接寫出x的取值范圍.

?N

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題）

1.下列各組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長的是（）

A.4,5,6B.5,7,12C.3,5,5D.1,弧,?

【分析】如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角

形，最長邊所對的角為直角.由此判定即可.

【解答】解：A、?；52+42￥62,...三條線段不能組成直角三角形，故A選項(xiàng)錯誤；

B、?.?52+72=122,.?.三條線段不能組成直角三角形，故B選項(xiàng)錯誤；

C,V32+（V7）2/52,.?.三條線段不能組成直角三角形，故C選項(xiàng)錯誤；

D,Vl2+（&）2=2,.?.三條線段能組成直角三角形，故。選項(xiàng)正確；

故選：D.

2.已知點(diǎn)力的坐標(biāo)為（2,-1）,則點(diǎn)4到原點(diǎn)的距離為（）

A.3B.V3C.V5D.1

【分析】易得點(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)的絕對值與到原點(diǎn)的距離構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理

求解即可.

【解答】解：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,7）到原點(diǎn)。的距離：。1=62+12=遙.

故選：C.

3.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角

形.若正方形A、B、C、。的邊長分別是3、5、2、3,則最大正方形E的面積是（）

【分析】根據(jù)勾股定理分別求出不G的面積，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【解答】解：由勾股定理得，正方形尸的面積=正方形A的面積+正方形B的面積=32+52

=34,

同理，正方形G的面積=正方形C的面積+正方形D的面積=22+32=13,

正方形E的面積=正方形F的面積+正方形G的面積=47,

故選：D.

4.如圖，以數(shù)軸的單位長度線段為邊作一個(gè)正方形，以I為圓心，正方形對角線長為半徑

畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)A,則點(diǎn)4表示的數(shù)是（）

【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)A表示

的數(shù)即可.

【解答】解：???正方形的邊長為1,

?*-BC={]2+]2=&,

即|A-

故點(diǎn)A表示1-V2.

故選：C.

5.若等腰三角形的腰長為13,底邊長為10,則底邊上的高為（）

A.6B.7C.9D.12

【分析】在等腰三角形的腰和底邊高線所構(gòu)成的直角三角形中，根據(jù)勾股定理即可求得

底邊上高線的長度.

【解答】解：如圖：

AB=AC=13,BC=10.

△ABC中，AB=AC,AD1BC；

：.BD=DC=^BC=5；

2

為△ABC中，AB=13,BD=5；

由勾股定理，得：A￡>=：7AB2-BD2=V132-52=12,

故選：D.

6.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方

形.設(shè)直角三角形較長直角邊長為小較短直角邊長為江若浦=8,大正方形的面積為

25,則小正方形的邊長為()

【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長為：a-b,根據(jù)勾股定理以及題目給出的已

知數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長.

【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：a-b,

?.,每一個(gè)直角三角形的面積為：L〃=JLX8=4,

22

：.4xXab+(a-b)2=25,

2

(a-h)2=25-16=9,

??〃-b='3,

故選：D.

7.滿足下列條件的△ABC是直角三角形的是()

A.NA：NB：ZC=3：4：5B.a：b：c=\：2：3

C.NA=NB=2NCD.(I=1,b=2,c=yf^

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理判斷A、C即可；根據(jù)勾股定理的逆定理判斷3、。即可.

【解答】解：A、VZA：NB：ZC=3：4：5,NA+NB+NC=180°,

AZA=45°,ZB=60",ZC=75°,

.二△ABC不是直角三角形；

8、Vl2+22^32,

...△ABC不是直角三角形；

C、VZA=ZS=2ZC,/A+N2+/C=180°,

.?./A=NB=75°,/C=37.5°,

...△48C不是直角三角形；

D、V12+（遍）2=22,

.?.△ABC是直角三角形.

故選：D.

8.下列說法正確的是（）

A.一個(gè)三角形的三邊長分別為：a,b,c,且次-/=02,則這個(gè)三角形是直角三角形

B.三邊長度分別為1,1,我的三角形是直角三角形，且1,1,如是組勾股數(shù)

C.三邊長度分別是12,35,36的三角形是直角三角形

D.在一個(gè)直角三角形中，有兩邊的長度分別是3和5,則另一邊的長度一定是4

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義及勾股定理的知識分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【解答】解：4、一個(gè)三角形的三邊長分別為：?,6,C,且“2-廿=c.2,則這個(gè)三角形

是直角三角形，正確，符合題意；

B、因勾股數(shù)必須都是整數(shù)，故原命題錯誤，不符合題意；

C、"：122+352^362,

.?.三邊長度分別是12,35,36的三角形是直角三角形錯誤，不符合題意；

D、在一個(gè)直角三角形中，有兩邊的長度分別是3和5,則另一邊的長度是4或癡，故

錯誤，不符合題意，

故選：A.

9.如圖，一架云梯AB長為25米，頂端A靠在墻AC上，此時(shí)云梯底端8與墻角C距離為

7米，云梯滑動后停在OE的位置上，測得AE長為4米，則云梯底端B在水平方向滑動

了（）米

B.6C.8D.10

【分析】由題意知，AB=OE=25米，CB=7米，則在直角△ABC中，根據(jù)A8,8c可

以求AC,在直角△COE中，可以求CE,則BD=OC-8。即為題目要求的距離.

【解答】解：在直角△ABC中，已知AB=25米，8c=7米,

;MC=VAB2-BC2=V252-72=24米'

在直角△€1￡>￡中，已知CE=CE+E4=24米，OE=AB=25米，AE=4米,

，CE=AC-AE=20米,

ACD=：VDE2-CE2=：V252-202=15米，

：.BD=\5-7=8米

故云梯底端B在水平方向滑動了8米,

故選：C.

10.如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯臺階上鋪地毯，則地毯的長度至少要（）

C.6米D.7米

【分析】先求出AC的長，利用平移的知識可得出地毯的長度.

【解答】解：在Rt^ABC中，IC={AB2_BC2=4米,

故可得地毯長度=AC+8C=7米,

故選：D.

填空題（共8小題）

11.如圖是由三個(gè)直角三角形組成的梯形，根據(jù)圖形，寫出一個(gè)正確的等式

a

b

ab

【分析】該圖形的面積與3個(gè)直角三角形組成一個(gè)直角梯形，根據(jù)三角形的面積公式、

梯形的面積公式進(jìn)行解答.

【解答】解：依題意得：Ac2+AflZ?=A(a+b)(a+b),

2222

整理，得

c^—cP+b2.

故答案是：c2=a2+b2,.

12.已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)P(3,2)和Q(-l,5),那么P0=5.

【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式直接計(jì)算即可.

【解答】解：：尸(3,2)和Q(-1,5),

。。={(3+1產(chǎn)+(5-2)2=5,

故答案為：5

13.在中，ZC=90°,A8=15,BC-AC=3：4,則BC=9.

【分析】設(shè)BC=3x,AC=4x,又其斜邊A8=15,再根據(jù)勾股定理即可得出答案.

【解答】解：設(shè)BC=3x,AC=4x,又其斜邊AB=15,

.,.9?+16?=152,

解得：x=3或-3(舍去)，；.BC=3x=9.

故答案為：9.

14.已知三角形三邊長分別為5,12,13,則此三角形的最大邊上的高等于空..

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，利用它的面積：斜邊義高+2

=短邊X短邊+2,就可以求出最長邊的高.

【解答】解：:52+122=132,

.??根據(jù)勾股定理的逆定理，aABC是直角三角形，最長邊是13,

設(shè)斜邊上的高為力，則

%ABC=』X5x12=』xUh,

22

解得：仁絲，

13

故答案為也.

13

15.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，NAPB=135°.

【分析】延長AP交格點(diǎn)于。，連接BD,根據(jù)勾股定理得到P￡>2=BD2=1+22=5,尸解

=12+32=10,求得夕^^+力小二^解，于是得到/PDB=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和

三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：延長AP交格點(diǎn)于￡),連接8。,

則PD2=BD2=l2+22=5,PB2=l2+32=10,

:.PD2+DB2=PB2,

:.NPDB=90°,

：.ZDPB=45°,

AZAPB=135°.

故答案為：135.

D

rr———?

::△:

AB

16.如圖，AABC中，AC=5,8c=12,4B=13,以AB為直徑的半圓過點(diǎn)C,再分別以

BC、AC為直徑向上作三個(gè)半圓，則陰影部分面積為30.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可求4A8c是直角三角形，再根據(jù)面積的和差關(guān)系可求

陰影部分的面積.

【解答】解：；52+122=169=印，

...△ABC是直角三角形，

sAn（12）2+』n（"）2_[21T（逆）2-2X5X12]=3O.

2222222

故答案為：30.

17.觀察下列式子：

當(dāng)〃=2時(shí)，。=2義2=4,0=22-1=3,C=22+1=5

〃=3時(shí)，a=2X3=6,fe=32-1=8,c=32+I=10

〃=4時(shí),Q=2X4=8,b=42-1=15,c=42+l=17***

根據(jù)上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，用含的整數(shù)）的代數(shù)式表示上述特點(diǎn)的勾股數(shù)。=j_，

b=n2-1>c—n2+l

【分析】由〃=2時(shí)，67=2X2=4,6=22-1=3,C=22+1=5；〃=3時(shí)，〃=2X3=6,b

=32-1=8,C=32+1=10；〃=4時(shí),“=2X4=8,/?=42-1=15,c=42+l=17…得出〃

=2〃，b=n2-1,c=n2+l,滿足勾股數(shù).

【解答】解：?.?當(dāng)〃=2時(shí)，々=2X2=4,8=22-1=3,C=22+1=5

〃=3時(shí)，a=2X3=6,b=31-1=8,c=32+l=10

〃=4時(shí),Q=2X4=8,fe=42-1=15,c=42+l=17,??

工勾股數(shù)。=2〃,b=n2-1,c=n2+l.

故答案為：2鹿，n2-1,n2+l.

18.現(xiàn)有兩根長6分米和3分米的木條，小華想再找一根木條為老師制作一個(gè)直角三角形教

具，則第三根木條的長度應(yīng)該為3垂或3近分米.

【分析】根據(jù)勾股定理解答即可.

【解答】解：第三根木條的長度應(yīng)該為再^或后，=的應(yīng)分米；

故答案為：3或3、/^.

三.解答題（共8小題）

19.如圖，等腰△ABC中，AB=AC=\3cmfBC=\Gcm,求△ABC的面積.

【分析】過點(diǎn)A作AO_L8C交8c于點(diǎn)O,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出8。，根據(jù)勾股定理

求出AD,根據(jù)三角形面積公式求出即可.

【解答】解：過點(diǎn)A作AOLBC交8c于點(diǎn)。，

"：AB=AC=l3cm,BC=\Ocm,

:?BD=CD=5cm,AZ)_LBC,

由勾股定理得：AD=^132_52=12Cem),

.'.△ABC的面積=>lxBCX4￡)=_lx10X12=60Cem2).

22

20.如圖所示，在△ABC中，AD1.BC,48=13,80=12,CO=?.

(1)求AO的長；

(2)求△ABC的周長.

A

【分析】(1)根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案；

(2)根據(jù)勾股定理求出4C,根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可.

【解答】解：(1)在中，-Q={AB2_BD2=5：

(2)在RtZVLDC中，ACj/嚶2=2百,

則△ABC的周長=A8+BC+AC=13+12+?+2彼=25+晶+2丘

21.勾股定理是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要定理之一,這個(gè)定理的驗(yàn)證方法有很多，你能驗(yàn)證它嗎？

請你根據(jù)所給圖形選擇一種方法畫出驗(yàn)證勾股定理的方法并寫出驗(yàn)證過程.

【分析】根據(jù)正方形的面積等于四個(gè)直角三角形的面積與正方形面積的即可得出結(jié)論

【解答】解：則由圖形可知：（4+6）2-4*_1^6=42+廿+2"-4xLb=c2,

22

整理得：?2+fe2=?.答案不唯一.

22.如圖，△A8C中，A8=4夜，NABC=45°,。是BC邊上一點(diǎn)，且A￡>=AC,若BD

-DC=1.求DC的長.

【分析】過點(diǎn)4作AE_LBC于點(diǎn)E,則N4EB=90°,DE=CE,結(jié)合/A8C=45°可得

出/BAE=45°,進(jìn)而可得出AE=BE,在RtZ\ABE中，利用勾股定理可求出BE的長，

即BD+JLDC=4,結(jié)合BD-DC=1可求出DC的長.

2

【解答】解：過點(diǎn)A作AEL8c于點(diǎn)E,如圖所示.

'：AD=AC,AE1BC,

N4E8=90°,DE=CE.

；NABC=45°,

：.ZBAE=45°,

：.AE=BE.

在RtZ\ABE中，AB=4M，

：.A修+BE=A用,即BE2+BE2=（4亞）2,

：.BE=4,

：.BD+^DC=4.

2

又；BD-DC=l,

：.DC+]+^DC=4,

2

：.DC=2.

A

23.平面直角坐標(biāo)系中如果任意兩點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(xi,戶)、(X2,”)，則A、B兩

點(diǎn)之間的距離可表示為|AB|=J(x2_X[)2+(y2_y[)2；在平面直角坐標(biāo)系中.

(1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,4),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則C、。兩點(diǎn)之間的距離為

(2)若點(diǎn)E(-2,3)、F(4,-5),求E、F兩點(diǎn)之間的距離.

【分析】(1)因?yàn)?。為原點(diǎn)所以可知0坐標(biāo)為(0,0),再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算

即可；

(2)直接代入兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可.

【解答】解：(1)為原點(diǎn)，

二0坐標(biāo)為(0,0),

?.,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,4),

.，?CO=V(3-0)2+(4-0)2=5,

故答案為：5；

(2),?點(diǎn)E(-2,3)、尸(4,-5),E,F兩點(diǎn)之間的距離可表示為=

22

yj(x2--al)+(y2-yl)'

A￡F=V(-2-4)2+(3+5)2=^^=1°-

24.如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子BC的長為17

米，此人以1米每秒的速度收繩，7秒后船移動到點(diǎn)。的位置，問船向岸邊移動了多少

米？(假設(shè)繩子是直的)

【分析】在Rt^ABC中，利用勾股定理計(jì)算出A8長，再根據(jù)題意可得CD長，然后再

次利用勾股定理計(jì)算出AD長，再利用BD^AB-AD可得BD長.

【解答】解：在RtaABC中：

\'ZCAB=90°,8c=17米，AC=8米，

AAB=7BC2-AC2=15（米）'

???此人以1米每秒的速度收繩，7秒后船移動到點(diǎn)D