小學(xué)三年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第4課《植樹與方陣問(wèn)題》試題附答案

小學(xué)三年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第4課《植樹與方陣問(wèn)題》試題附答案

笫四講植樹與方陣問(wèn)題

一、植樹問(wèn)題

要想了解植樹中的數(shù)學(xué)并學(xué)會(huì)怎樣解決植樹問(wèn)題，首先要牢記三要素：①

總路線長(zhǎng).②間距（裸距）長(zhǎng).③棵數(shù).只要知道這三個(gè)要素中任意兩個(gè)要素.就

可以求出第三個(gè)。

關(guān)于植樹的路線，有封閉與不封閉兩種路線。

1.不封閉路線

例：如圖

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間距

\/

總長(zhǎng)

①若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數(shù)比段數(shù)多1.如上圖把總

長(zhǎng)平均分成5段，但植樹棵數(shù)是6棵。

全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距三者之間的關(guān)系是：

棵數(shù)二段數(shù)+1=全長(zhǎng)+株距+1

全長(zhǎng)二株距X（棵數(shù)-1）

株距=全長(zhǎng)+（裸數(shù)-1）

②如果題目中要求在路線的一端植樹，則棵數(shù)就比在兩端植樹時(shí)的棵數(shù)少

1,即裸數(shù)與段數(shù)相等.全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：

全長(zhǎng)二株距X裸數(shù)；

棵數(shù)=全長(zhǎng)一株距；

株距;全長(zhǎng)一棵數(shù)。

③如果植樹路線的兩端都不植樹，則棵數(shù)就比②中還少1棵。

1

例如：在圓、正方形、長(zhǎng)方形、閉合曲線等上面植樹，因?yàn)轭^尾兩端重合

在一起，所以種樹的棵數(shù)等于分成的段數(shù)。如右圖所示。

棵數(shù)二段數(shù)=周長(zhǎng)一株距.

二、方陣問(wèn)題

學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著排叫做列.如果行數(shù)與列數(shù)都相

等，則正好排成一個(gè)正方形，這種圖形就叫方隊(duì)，也叫做方陣（亦叫乘方問(wèn)

題）。

方陣的基本特點(diǎn)是：

①方陣不論在哪一層，每邊上的人（或物）數(shù)量都相同.每向里一層，每

邊上的人數(shù)就少2。

②每邊人（或物）數(shù)和四周入（或物）數(shù)的關(guān)系：

四周人（或物）數(shù)=［每邊人（或物）數(shù)

每邊人（或物）數(shù)=四周入（或物）數(shù)+4+1。

例1有一條公路長(zhǎng)900米，在公路的一側(cè)從頭到尾每隔10米栽一根電線桿，可

栽多少根電線桿？

例2馬路的一邊每相隔9米栽有一棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到501棵樹.問(wèn)

汽車每小時(shí)走多少千米？

例3某校五年級(jí)學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外一層的人數(shù)為60人.問(wèn)方陣外層每邊

有多少人？這個(gè)方陣共有五年級(jí)學(xué)生多少人？

例4晶晶用圍模子擺成一個(gè)三層空心方陣，最外一層每邊有圍模子14個(gè).晶晶

擺這個(gè)方陣共用圍棋子多少個(gè)？

2

例5一個(gè)圓形花壇，周長(zhǎng)是180米.每隔6米種一棵芍藥花，每相鄰的兩棵芍藥

花之間均勻地栽兩棵月季花.問(wèn)可栽多少棵芍藥？多少棵月季？?jī)煽迷录局g的

株距是多少米？

例6一個(gè)街心花園如右圖所示.它由四個(gè)大小相等的等邊三角形組成.已知從每

個(gè)小三角形的頂點(diǎn)開始，到下一個(gè)頂點(diǎn)均勻栽有9棵花.問(wèn)大三角形邊上栽有多

少裸花？整個(gè)花園中共栽多少棵花？

去宰

口

第四講植樹與方陣問(wèn)題

一、植樹問(wèn)題

要想了解植樹中的數(shù)學(xué)并學(xué)會(huì)怎樣解決植樹問(wèn)題，首先要牢記三要素：①

總路線長(zhǎng).②間距（棵距）長(zhǎng).③棵數(shù).只要知道這三個(gè)要素中任意兩個(gè)要素.就

可以求出第三個(gè)。

關(guān)于植樹的路線，有封閉與不封閉兩種路線。

1.不封閉路線

例：如圖

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---------

間距

\/

總長(zhǎng)

3

①若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數(shù)比段數(shù)多1.如上圖把總

長(zhǎng)平均分成5段，但植樹棵數(shù)是6棵。

全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距三者之間的關(guān)系是：

棵數(shù)=段數(shù)+1=全長(zhǎng)+株距+1

全長(zhǎng)二株距X（棵數(shù)-1）

株距:全長(zhǎng)十（裸數(shù)-1）

②如果題目中要求在路線的一端植樹，則棵數(shù)就比在兩端植樹時(shí)的棵數(shù)少

1,即裸數(shù)與段數(shù)相等.全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：

全長(zhǎng)二株距X裸數(shù)；

棵數(shù)=全長(zhǎng)一株距；

株距=全長(zhǎng)一裸數(shù)。

③如果植樹路線的兩端都不植樹，則棵數(shù)就比②中還少1棵。

4

例如：在圓、正方形、長(zhǎng)方形、閉合曲線等上面植樹，因?yàn)轭^尾兩端重合

在一起，所以種樹的裸數(shù)等于分成的段數(shù)。如右圖所示。

棵數(shù)二段數(shù)=周長(zhǎng)一株距.

二、方陣問(wèn)題

學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著排叫做列.如果行數(shù)與列數(shù)都相

等，則正好排成一個(gè)正方形，這種圖形就叫方隊(duì)，也叫做方陣（亦叫乘方問(wèn)

題）。

方陣的基本特點(diǎn)是：

①方陣不論在哪一層，每邊上的人（或物）數(shù)量都相同.每向里一層，每

邊上的人數(shù)就少2。

②每邊人（或物）數(shù)和四周人（或物）數(shù)的關(guān)系：

四周人（或物）數(shù)=［每邊入（或物）數(shù)-1］義4;

每邊人（或物）數(shù)=四周人（或物）數(shù)+4+1。

③中實(shí)方陣總?cè)耍ɑ蛭铮?shù)=每邊人（或物）數(shù)義每邊人（或物）數(shù)。

例1有一條公路長(zhǎng)900米，在公路的一側(cè)從頭到尾每隔10米栽一根電線桿，可

栽多少根電線桿？

分析要以兩棵電線桿之間的距離作為分段標(biāo)準(zhǔn).公路全長(zhǎng)可分成若干段.由

于公路的兩端都要求栽桿，所以電線桿的根數(shù)比分成的段數(shù)多1。

解：以10米為一段，公路全長(zhǎng)可以分成

900-10=90（段）

共需電線桿根數(shù)：90+1=91（根）

答：可栽電線桿91根。

例2馬路的一邊每相隔9米栽有一棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到501棵樹.問(wèn)

汽車每小時(shí)走多少千米？

分析張軍5分鐘看到501棵樹意味著在馬路的兩端都植樹了；只要求出這段

路的長(zhǎng)度就容易求出汽車速度.

5

解：5分鐘汽車共走了：

9X（501-1）=4500（米）,

汽車每分鐘走：4500+5=900（米），

汽車每小時(shí)走：

900X60=54000（米）=54（千米）

列綜合式：

9X（501-1）+5X60+1000=54（千米）

答：汽車每小時(shí)行54千米。

例3某校五年級(jí)學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外一層的人數(shù)為60人.問(wèn)方陣外層每邊

有多少人？這個(gè)方陣共有五年級(jí)學(xué)生多少人？

分析根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：

6

每邊人數(shù)二四周人數(shù)+4+1,可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個(gè)方陣

隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。

解：方陣最外層每邊人數(shù)：60+4+1=16（人）

整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：16X16=256（人）

答：方陣最外層每邊有16人，此方陣中共有256人。

例4晶晶用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個(gè).晶晶

擺這個(gè)方陣共用圍棋子多少個(gè)？

分析方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè).知道最外面一層每邊放14

個(gè)，就可以求第二層及第三層每邊個(gè)數(shù).知道各層每邊的個(gè)數(shù)，就可以求出各層

總數(shù)。

解：最外邊一層棋子個(gè)數(shù)：（14-1）X4=52（個(gè)）

第二層棋子個(gè)數(shù)：（14-2-1）義4=曲（個(gè)）

第三層棋子個(gè)數(shù)：（14-2X2-1）X4=36（個(gè)）.

擺這個(gè)方陣共用棋子：

52+44+36=132（個(gè)）

還可以這樣想：

中空方陣總個(gè)數(shù)二（每邊個(gè)數(shù)一層數(shù)）x層數(shù)x4進(jìn)行計(jì)算。

解：（14-3）X3X4=132（個(gè)）

答：擺這個(gè)方陣共需132個(gè)圍棋子。

例5一個(gè)圓形花壇，周長(zhǎng)是180米.每隔6米種一棵芍藥花，每相鄰的兩棵芍藥

花之間均勻地栽兩棵月季花.問(wèn)可栽多少棵芍藥？多少棵月季？?jī)煽迷录局g的

株距是多少米？

分析①在圓形花壇上栽花，是封閉路線問(wèn)題，其株數(shù)二段數(shù).②由于相鄰

的兩棵芍藥花之間等距的栽有兩棵月季，則每6米之中共有3棵花，且月季花棵

數(shù)是芍藥的2倍。

7

解：共可栽芍藥花：180+6=30（棵）

共種月季花：2X30=60（棵）

兩種花共：30+60=90（棵）

兩棵花之間距離：180+90=2（米）

相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花，所以月季花

的株距是2米或4米。

答：種芍藥花30棵，月季花60棵，兩棵月季花之間距離為2米或4米。

例6一個(gè)街心花園如右圖所示.它由四個(gè)大小相等的等邊三角形組成.已知從每

個(gè)小三角形的頂點(diǎn)開始，到下一個(gè)頂點(diǎn)均勻栽有9棵花.問(wèn)大三角形邊上栽有多

少裸花？整個(gè)花園中共栽多少棵花？

8

（9-2）X3=21（棵）

9

整個(gè)花壇共栽花：48+21=69（棵）

答：大三角形邊上共栽花48棵，整個(gè)花壇共栽花69棵。

習(xí)題四

1.一個(gè)圓形池塘，它的周長(zhǎng)是150米，每隔3米栽種一棵樹.問(wèn)：共需樹苗多

少株？

2.有一正方形操場(chǎng)，每邊都栽種17棵樹，四個(gè)角各種1棵，共種樹多少棵？

3.在一條路上按相等的距離植樹.甲乙二人同時(shí)從路的一端的某一棵樹出

發(fā).當(dāng)甲走到從自己這邊數(shù)的第22棵樹時(shí)，乙剛走到從乙那邊數(shù)的第10棵樹.已

知乙每分鐘走36米.問(wèn)：甲每分鐘走多少米？

4.在一根長(zhǎng)100厘米的木棍上，從左向右每隔6厘米點(diǎn)一個(gè)紅點(diǎn).從右向左每

隔5厘米點(diǎn)一個(gè)紅點(diǎn)，在兩個(gè)紅點(diǎn)之間長(zhǎng)為4厘米的間距有幾段？

三年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第四講植樹與方陣問(wèn)題習(xí)題解答

10

1.提示：由于是封閉路線栽樹，所以棵數(shù)=段數(shù),

150*3=50（裸）。

2.提示：在正方形操場(chǎng)邊上栽樹.正方形邊長(zhǎng)都相等，四個(gè)角上栽的樹是相

鄰的兩條邊公有的一棵，所以每邊栽樹的棵數(shù)為17-1=16（棵），共栽：（17-

1）X4=64（棵）

答：共栽樹64棵。

3.解：甲走到第22棵樹時(shí)走過(guò)了22-1=21（個(gè)）棵距.同樣乙走過(guò)了10-1=

9（個(gè)）裸距.乙走到第10棵樹，所用的時(shí)間為（9X棵距+36）,這個(gè)時(shí)間也是

甲走過(guò)21個(gè)棵距的時(shí)間，甲的速度為：21X棵距