2022年湖南省衡陽市高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（一）（一模）（附答案詳解）

2022年湖南省衡陽市高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（一）（一模）

一、單選題（本大題共16小題，共80.0分）

1.設(shè)全集U={xeN|-2<x<4},A=[0,2},則(：〃1為()

A.{1,3}B.[0,1,3}C.{-1,1,3)D.{-1,04,3}

2.復(fù)數(shù)z=3+i,則W(z+i)=()

A.10B.7+6iC.9+3iD.ll+3i

3.（a—x）（2+x）6的展開式中好的系數(shù)是12,則實數(shù)a的值為（）

A.4B.5C.6D.7

4.如圖1,在高為九的直三棱柱容器4BC-4B1G中，AB=AC=2,4B_LAC.現(xiàn)往該

容器內(nèi)灌進一些水，水深為2,然后固定容器底面的一邊4B于地面上，再將容器傾

斜，當(dāng)傾斜到某一位置時，水面恰好為4當(dāng)。（如圖2）,則容器的高無為（）

5.第24屆冬奧會奧運村有智能餐廳4、人工餐廳B,運動員甲第一天隨機地選擇一餐

廳用餐，如果第一天去4餐廳，那么第二天去4餐廳的概率為0.7；如果第一天去B餐

廳，那么第二天去4餐廳的概率為0.8.運動員甲第二天去A餐廳用餐的概率為（）

A.0.75B.0.7C.0.56D.0.38

6.對于函數(shù)/'（x）=（sinx+cosx）2+V3cos2x,有下列結(jié)論：

①最小正周期為兀；

②最大值為3；

③減區(qū)間為成+kng+kn］（J<.GZ）；

④對稱中心為（-，+kn,0）（k6Z）.

則上述結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

7.已知兩條直線小2%—3y+2=0,l2：3x-2y+3=0,有一動圓(圓心和半徑都

在變動)與5％都相交，并且小G被截在圓內(nèi)的兩條線段的長度分別是定值26,24,

則動圓圓心的軌跡方程為()

A.(y—I)2—x2=65B.x2—(y—l)2=65

22

C.y2一(％+i)2=65D.(%+l)-y=65

8.已知等比數(shù)列各項均為正數(shù)，且滿足：0<QiV1,%7a18+1VQ”+018<2,

記〃=。1。2…。九，則使得〃>1的最小正數(shù)幾為()

A.36B.35C.34D.33

9.集合{y|y=sinx]=()

A.RB.{x|-1<%<1]

C.{x|0<x<1}D.{x\x>0}

10.若曲線y=e"T+"二在點(1,1)處的切線與直線ax+y=0平行，則a=()

A.-1B.1C.-2D.2

11.已知sin工=在，貝kosx=()

43、，

A.7B.1C.1\D.\7

9339

12.2021年10月16日0時23分，搭載神舟十三號載人飛船的長征二號F遙十三運載火箭,

在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心按照預(yù)定時間精準(zhǔn)點火發(fā)射，順利將翟志剛、王亞平、葉光富

3名航天員送入太空，飛行乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿成功.火箭在發(fā)射時會產(chǎn)

生巨大的噪音，已知聲音的聲強級d(x)(單位：dB)與聲強x(單位：147m2)滿足

d(x)=103嬴.若人交談時的聲強級約為50dB,且火箭發(fā)射時的聲強與人交談時

的聲強的比值約為1。9,則火箭發(fā)射時的聲強級約為()

A.130dBB.140dBC.150dBD.160dB

13.已知函數(shù)/(乃=2*一會+年蕓，則()

A.f(l)+/(-l)<0B./(-2)+/(2)>0

C./(I)-/(-2)<0D./(-I)+/(2)>0

14.2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節(jié)氣的方式

開始倒計時創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾.衡陽市某中學(xué)為了弘揚我國二十四節(jié)氣文

化，特制作出“立春”、“驚蟄"、"清明"、“立夏”、“芒種”、“小暑”六

張知識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“驚蟄”兩塊展板

相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？()

A.192B.240C.120D.288

第2頁，共37頁

15.設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F,點P為C上的任意點，若點A使得|4P|+|PF|的最

小值為4,則下列選項中，符合題意的點4可為（）

A.（4,2）B.（4,4）C.（3,3）D.（3,4）

16.在正方體4BC?！?dāng)。［。］中，點P滿足瓦F=x+y+z瓦百，且x+y+

z=1,若二面角a-PDi-C的大小為%0為4AC。1的中心，則sin4PDi。=（）

A.立B.漁C.邁D.更

6633

二、多選題（本大題共8小題，共40.0分）

17.某地為響應(yīng)“扶貧必扶智，扶智就是扶知識、扶技術(shù)、扶方法”的號召，建立農(nóng)業(yè)

科技圖書館，供農(nóng)民免費借閱，收集了近5年借閱數(shù)據(jù)如表:

年份20162017201820192020

年份代碼支12345

年借閱量y（萬冊）4.95.15.55.75.8

根據(jù)上表，可得y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y=o.24x+a，下列結(jié)論正確的有（）

A.a=4.68

B.借閱量4.9,5.1,5.5,5.7,5.8的75%分位數(shù)為5.7

C.y與x的線性相關(guān)系數(shù)r>0

D.2021年的借閱量一定不少于6.12萬冊

18.設(shè)拋物線C：y2=8》的焦點為產(chǎn)，準(zhǔn)線為，，點M為C上一動點，E（3,l）為定點，則

下列結(jié)論正確的有（）

A.準(zhǔn)線I的方程是y=-2

B.以線段MF為直徑的圓與y軸相切

C.|ME|+|MF|的最小值為5

D.尸|的最大值為2

19.下列結(jié)論正確的有（）

A,若"標(biāo)>inb2,則2間>21bl

B.若震>號,則2a<2b

C.若b>a>e（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則心<ba

D.若0<2a<b<3—a?,則s譏a<sin：

20.對圓周率兀的計算幾乎貫穿了整個數(shù)學(xué)史.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德(公元前287-公

元前212)借助正96邊形得到著名的近似值：予我國數(shù)學(xué)家祖沖之(430-501)得出

近似值箸，后來人們發(fā)現(xiàn)忱-篙|<IO：,這是一個“令人吃驚的好結(jié)果”.隨著

科技的發(fā)展，計算〃的方法越來越多.已知兀=

3.141592653589793238462643383279502…，定義/(磔⑺GN)的值為乃的小數(shù)點

后第n個位置上的數(shù)字，如=f(4)=5,規(guī)定f(0)=3.記尸(n)=f(n),

產(chǎn)+i(n)=產(chǎn)ss))(keN*),集合4為函數(shù)產(chǎn)(7i)(n6N)的值域，則以下結(jié)論正

確的有()

A.Ai=｛0,12,3,4,5,6,7,8,9｝

B.&=｛123,4,5,6,9｝

C.對V/c€N*,1GAk

D.對VkeN*,4k中至少有兩個元素

21.復(fù)數(shù)z=x+yi,x,yeR,xy0,則下列選項一定正確的是()

A.z+zERB.z—zERC.zz￡RD.|

22.下列選項中，與“/>%”互為充要條件的是()

A.x>1B.2x2>2X

1

C.-<1D.|x(x-1)|=x(x-1)

23.已知雙曲線C：捺一\=1(￡1>0/>0)的左焦點為尸，過點F作C的一條漸近線的

平行線交C于點4交另一條漸近線于點艮若而=2而，則下列說法正確的是()

A.雙曲線C的漸近線方程為y=±2x

B.雙曲線C的離心率為我

C.點4到兩漸近線的距離的乘積為9

D.。為坐標(biāo)原點，則tan0OB=^

4

24.數(shù)列｛an｝滿足，ax=a,2%+1-ana”+i=1,貝?。?)

A.數(shù)列｛a"可能為常數(shù)列

B.當(dāng)a=0時，數(shù)列｛六｝前10項之和為-55

C.當(dāng)a=K時,a“的最小值為9

D.若數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，貝必<1

第4頁，共37頁

三、填空題(本大題共8小題，共40.0分)

25.曲線y=熱在點(一1,-2)處的切線方程為.

26.如圖，在四面體ABCD中，ZMBD和△BCD都是等腰直

角三角形，AB=V2,^BAD=乙CBD=p平面48。1〃

平面CBC,則四面體ABCD外接球的表面積為./

27.已知雙曲線馬一l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為Fi、尸2,過原點的直線L與

a2bz

雙曲線在第一象限和第三象限的交點分別為4B,4&4F2=60°,四邊形力&BF2的

周長p與面積S滿足p2=等s,則該雙曲線的離心率為.

28.已知奇函數(shù)/(x)在區(qū)間(一8,0)上是增函數(shù)，且f(-2)=-1,/(1)=0,當(dāng)x>0,

y>0時,都有f(xy)=/(x)+/(y)，則不等式log3，(x)+1|<0的解集為______?

29.已知五=(3,4),K=(2,%)，若EJL&則|方|=.

30.已知x>0,y>0,x4-i=4y-y2,則x+j.

31.已知點A(V5,1),點P在圓/+y2=i上，則直線4P傾斜角的最大值為.

32.已知函數(shù)“x)=sinx+H|cosx|，寫出函數(shù)f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間;當(dāng)

xe[0,a]時，函數(shù)/(%)的值域為[1,2],貝b的取值范圍是.

四、解答題(本大題共12小題，共140.0分)

33.在^ABC中，內(nèi)角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,ZR?1?=，bsinA=4(sinAcosC+

cosAsinC).

(1)求a的長度；

(2)求△ABC周長的最大值.

34.如圖，圓柱的軸截面4BCD是正方形，點E在底面圓周上,

AF1DE,尸為垂足.

(I)求證：AFLDB.

(II)當(dāng)直線。E與平面ABE所成角的正切值為2時，

①求二面角E-DC-8的余弦值；

②求點B到平面CDE的距離.

35.新冠疫情在西方國家大流行，國際衛(wèi)生組織對某國家進行新型冠狀病毒感染率抽樣

調(diào)查.在某地抽取n人，每人一份血樣，共n(n€N*)份，為快速有效地檢驗出感染

過新型冠狀病毒者，下面給出兩種方案：

方案甲：逐份檢驗，需要檢驗n次；

方案乙：混合檢驗，把受檢驗者的血樣分組，假設(shè)某組有卜(46/7*,卜22)份，分別

從k份血樣中取出一部分血液混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果為陰性，則說明這k個人

全部為陰性，因而這k個人的血樣只要檢驗這一次就夠了；若檢驗結(jié)果為陽性，為

了明確這k個人中究竟哪些人感染過新型冠狀病毒，就要對這k個人的血樣再逐份檢

驗，因此這化個人的總檢驗次數(shù)就為/c+1.

假設(shè)在接受檢驗的人中，每個人血樣檢驗結(jié)果是陽性還是陰性是相互獨立的，且每

個人血樣的檢驗結(jié)果是陽性的概率為p(0<p<1).

(I)若n=5,p=0.2,用甲方案進行檢驗，求5人中恰有2人感染過新型冠狀病毒

的概率；

(n)記§為用方案乙對k個人的血樣總共需要檢驗的次數(shù).

①當(dāng)k=5,p=0.2時，求E(f);

②從統(tǒng)計學(xué)的角度分析，p在什么范圍內(nèi)取值，用方案乙能減少總檢驗次數(shù)？

第6頁，共37頁

（參考數(shù)據(jù)：0.84=0.41,0.85=0.33,0.86=0.26）

nn

36.已知數(shù)列｛即｝，｛%｝滿足的瓦+即-速2+…+%垢=2-1-1,其中an=2.

(I)求瓦，厲的值及數(shù)列｛與｝的通項公式；

(n)令d=空泮，求數(shù)列｛0｝的前n項和.

Dn°n+1

37.如圖，已知橢圓C：捺+\=1(。＞匕＞0)內(nèi)切于矩形486,對角線4C,BD的斜

率之積為一過右焦點F(l,0)的弦交橢圓于M,N兩點，直線N。交橢圓于另一點P.

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(口)若麗=；1前，且gw4W±求APMN面積的最大值.

38.已知函數(shù)/(%)=e"T—ax.

(I)討論/(%)的單調(diào)性；

2

(口)若/"(X)-/29對于任意%>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

39.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=夜，b=V5,c=1.

(1)求sinA,sinB,sinC中的最大值;

(2)求4c邊上的中線長.

40.已知數(shù)列｛an｝的前n項和為%，的=3,Sn=l+an+1.

(1)證明：數(shù)列｛Sn-1｝為等比數(shù)列；

1

(2)記數(shù)歹式至｝的前n項和為Tn,證明：Tn<l.

第8頁，共37頁

41.如圖，正四面體ABC。，E為AB的中點.

(1)證明：平面ECDJ■平面4BC；

42.甲、乙運動員進行乒乓球友誼賽，每場比賽采用5局3勝制(即有一運動員先勝3局即

獲勝，比賽結(jié)束).比賽排名采用積分制，積分規(guī)則如下：比賽中，以3：0或3：1取

勝的運動員積3分，負者積。分，以3：2取勝的運動員積2分，負者積1分，已知甲、

乙兩人比賽，甲每局獲勝的概率為土

(1)甲、乙兩人比賽1場后，求甲的積分X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)甲、乙兩人比賽2場后，求兩人積分相等的概率.

43.已知橢圓E：5+，=1(￡1>/7>0)的右焦點為尸、過尸的直線與橢圓后交于點4、8、

當(dāng)直線AB的方程為y=x-當(dāng)時，直線4B過橢圓的一個頂點.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點M(四,0),若|M川=2|MB|,求直線AB的斜率.

44.已知函數(shù)f(x)=——kx-1.

(1)若k=l,求/Q)在(0,+8)上的單調(diào)性；

(2)試確定k的所有可能取值，使得存在t>0,對Vxe(0,t),恒有|/(x)|</.

第10頁，共37頁

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：?.?全集U={xeW|-2<x<4}={0,1,2,3},A={0,2},

CuA={1,3}.

故選:A.

利用補集定義能求出QA

本題考查集合的運算，考查補集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是

基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解："z=3+i,

???z=3—i>

???z(z+i)=(3-i)(3+t+i)=(3-i)(3+2i)=9+2+3i=11+3i.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合共規(guī)復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的乘法法則，即可求解.

本題主要考查共拆復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的乘法法則，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：???(a-x)(2+%)6的展開式中道的系數(shù)是a?C"2—廢X2?=12,

???a=6,

故選：C.

由題意，利用二項式展開式的通項公式，求得實數(shù)a的值.

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：在圖1中P水=3X2X2X2=4,

在圖2中，卜水=VABC^A1B1C1-VC.A1B1C1=1x2x2x/i-ix|x2x2x/i=

4

■--h=4,h=3.

3

故選：A.

利用兩個圖形裝水的體積相等即可求解.

本題主要考查等體積法的應(yīng)用，空間想象能力的培養(yǎng)等知識，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：設(shè)4表示第i天甲去4餐廳用餐，(i=1,2),

設(shè)為表示該生第一天去B餐廳用餐，則0=&UBi，且為,當(dāng)互斥，

由題意得P(a)=P(BJ=0.5,PQ421Al)=0.7，P(A2IB1)=0.8,

???運動員甲第二天去4餐廳用餐的概率為：

P(A2)=PQ4i)P(42l&)+P(8i)P(A2|Bi)=0.5x0.7+0.5x0.8=0.75.

故選：A.

第2天去哪家餐廳用餐的概率受第1天在哪家餐廳用餐的影響，利用全概率計算公式能求

出運動員甲第二天去4餐廳用餐的概率.

本題考查概率的求法，考查全概率公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

［解析］解：/(%)=(sinx+cosx)2+V3cos2x=sin2x+cos2x+2sinxcosx+

y/3cos2x=1+sin2x+>/3cos2x=1+2sin(2x+g),T=*=兀，①正確；

當(dāng)2x+W=：+2/c7r,1€2時/。)?1女=3,②正確；

令］+2/CTT<2%+^<|TT+2/CTT,k&Z,解得名+kn<x<^-+kn,k€Z,因此減

區(qū)間為哈+女兀,"eZ),③正確;

令2x+W=Ekez,解得x=—>mkEZ,此時f(x)=l,④錯誤.

故選：c.

將/'(x)=(sinx+cosx)2+V5cos2x化簡后即可判斷其周期，最大值，減區(qū)間和對稱中

第12頁，共37頁

心.

本題考查了三角函數(shù)的化簡及相關(guān)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：設(shè)動圓圓心P(x,y),半徑為r,則P到，1的距離刈=與詈,P到%的距離

._|3x-2y+3|

因為3%被截在圓內(nèi)的兩條線段的長度分別是定值26,24,

:.2yjr2—dl=26,2J/一■—24，

2

化簡后得戶-dl=169,r-d22=144,

相減得退-我=25,將心=年詈，

d2=%等利代入后化簡可得。+1產(chǎn)-y2=65.

故選：D.

利用點到直線距離公式與圓內(nèi)弦長與半徑關(guān)系即可求解.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：由的7al8+1<的7+%8得：(<117-l)(a18-1)<0,

.<1或［的7>1

"ta18>l^ta18<r

van>0,0<<1,

?**0V。17V1V。18，

又???的7a18+1V2,Qi7a18<1，

2xaa17

???T33=(a1a33)T=(a17)T=Q衿<1?T34=(i34)=(%7al8)"<1，.5=

3535

(即。35”=(居8)、=噬"1，

則使得7；>1的最小正數(shù)幾為35,

故選：B.

先由已知條件判斷出。17,Q18,出7%8的范圍，即可判斷出使得〃>1的最小正數(shù)九的數(shù)

值.

本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.

9【答案】B

【解析】解:集合{y|y=sinx]={x|-1<x<1).

故選：B.

直接利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：三角函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬

于基礎(chǔ)題.

10.【答案】C

【解析】解：/(x)=ex-1+的導(dǎo)數(shù)為/''(%)=ex~x+：,

可得曲線在點(1,1)處的切線斜率為k=1+1=2,

由切線與直線ax+y=0平行，可得k=-a,

即—a=2,解得a=-2,

故選：C.

求得f(x)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，運用有斜率的兩直線平行的條件：斜率相等，解方

程可得a的值.

本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查兩直線平行的條件，考查方程思想和運算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】A

【解析】解：因為sin^=在，

43

所以cos個=1-2sin2-=1—2x(―)2=

24v373

所以COSX=2cos2|-1=2X(|)2—1=—

故選:A.

由已知利用二倍角公式即可求解.

本題主要考查了二倍角公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

第14頁，共37頁

12.【答案】B

【解析】解：設(shè)交談時的聲強為X,則50=10句康，

X=IO?

所以火箭發(fā)射時的聲強為：10-7x109=1()2,

故火箭發(fā)射時聲強級為：d(x)=10加馬葭=140,

故選:B.

利用題中的公式，直接將數(shù)據(jù)代入即可解出.

本題考查了對數(shù)的運算，學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)/(%)=2、表+Ig蕓，

由F>0,解得一3<x<3,即函數(shù)的定義域為(一3,3),

3-X

又“-x)=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

在區(qū)間(—3,3)上，y=2'、丫=一會和'=電塞都是增函數(shù)，

則函數(shù)f(%)在(-3,3)上為增函數(shù).

對于4,函數(shù)/(x)為定義域為(一3,3)的奇函數(shù)，則/⑴+f(-1)=0,A錯誤;

對于B,函數(shù)/(x)為定義域為(一3,3)的奇函數(shù)，貝行(-2)+/(2)=0,B錯誤;

對于C,/(1)-/(-2)=/(1)+/(2)>0,C錯誤;

對于。,/(一1)+/(2)=/(2)-/(1)>0,。正確.

故選：C.

根據(jù)題意，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性和單調(diào)性，由此判斷各選項即可.

本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意不同的放置方式有福房-2&=240.

故選：A.

把立春和驚蟄捆綁計算六張知識展板的放置方法減去把立春、驚蟄、清明捆綁計算六張

知識展板放置方法可得答案.

本題考查排列組合應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】C

【解析】解：因為拋物線C：y2=4x,

所以F(1,O),準(zhǔn)線方程為x=—L

過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q,則有|PQ|=|PF|,

所以|4P|+|PF|=\AP\+\PQ\,

當(dāng)4P,Q三點共線時，|4P|+|PQ|取最小值為|4(2|=/-(-1)=/+1=4,

所以g=3,

又因為4點必在拋物線內(nèi)部才滿足，(4在拋物線外部時，當(dāng)4P,F三點共線時，\AP\+

|P可取最小值為NH，此時無選項.)

故選：C.

過P作準(zhǔn)線的垂線,垂足為Q,則有|4P|+\PF\=\AP\+\PQ\,當(dāng)4,P,Q三點共線時,

|4P|+|PQ|取最小值，求解最小值即可.

本題考查了拋物線的定義，也考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

16.【答案】D

【解析】解：設(shè)正方體48CD-&B1GD1中心為。1，

:點P滿足^7=%罰+y時+且％+y+

Z=1,

pe平面AC%,

???平面2CD1n平面&PD1=PD「由正方體性質(zhì)得

當(dāng)。_1_平面4皿，且&。n平面4coi=。，

作0Q1DiP于Q,連接OB〉則1BiQ,D】P10Q,

BiQn0Q=Q,

DrP.?.481(2。即為8:1-「。1一。的平面角，二481(2。=三,

設(shè)正方體棱長為1,Rt△BiOQ中,當(dāng)。=|”2+#+12=苧,

第16頁，共37頁

在RtAOQDi中，0。1=梟&=彳，

???sinZ-PD1D——漁.

1ODj3

故選：D.

設(shè)正方體中心為01，先根據(jù)條件得PW平面AC。1，作。QI。4于Q,連接QB「推導(dǎo)出

。止1面。。當(dāng)，從而48過0是二面角Bi-PDi-C的平面角，由此能求出sin”。。

本題考查空間角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知

識，考查運算求解能力，是中檔題.

17.【答案】ABC

【解析】解：對于Ax=1x(1+24-3+4+5)=3,y=1X(4.9+5.1+5.5+5.7+

5.8)=5.4,

vy關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為;=0.24%+a，

[5.4=0.24X3+cr解得a=4.68，故A正確，

對于B,5X75%=3.75,

故借閱量4.9,5.1,5.5,5.7,5.8的75%分位數(shù)為5.7,故8正確，

對于C,rozq〉。，

y于x的線性相關(guān)系數(shù)r>0,故C正確，

對于D,線性回歸方程為y=0,24x+4.68，當(dāng)久=6時，y=6.12，

故2021年的借閱量約為6.12萬冊，故。錯誤.

故選：ABC.

對于4結(jié)合線性回歸方程的性質(zhì)，即可求解，對于B,結(jié)合75%分位數(shù)的定義，即可

求解，對于C,結(jié)合相關(guān)系數(shù)的定義，即可求解，對于D,將x=6代入對應(yīng)的線性回歸

方程，即可求解.

本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】BC

【解析】解：拋物線C：y2=8x的焦點為

F(2,0),準(zhǔn)線為2：x=-2,故A錯誤；

設(shè)MF的中點為N,可得|M用=

m+2=2?等，即N到y(tǒng)軸的距離是|MF|的

一半，

則以線段MF為直徑的圓與y軸相切，故B正

確；

設(shè)M在準(zhǔn)線上的射影為H,由|ME|+|MF|=

\ME\+\MH\,

當(dāng)E,M,H三點共線時，|ME|+\取得最小值，且為3+2=5,故C正確；

由|ME|-|MF|W|EF|,當(dāng)M為EF的延長線與拋物線的交點時，取得最大值|EF|,且為

7(3-2)2+(1-0)2=V2,故。錯誤.

故選：BC.

求得拋物線的準(zhǔn)線方程可判斷4由拋物線的定義和直線與圓相切的性質(zhì)可判斷B；由

拋物線的定義和三點共線取得最值的性質(zhì)可判斷C；由三點共線取得最值的性質(zhì)可判斷

D.

本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，以及三點共線取得最值的性質(zhì)，考查方程思想和

運算能力、推理能力，屬于中檔題.

19.【答案】AD

【解析】解:由)小>阮&2可得02>匕2,即同>網(wǎng)，而y_2%是增函數(shù)，所以2間>2間

成立，故A正確；由瞿〉胃，可得高>點故網(wǎng)>同，所以2a<2&不成立，如a=l,

b=-2,故B錯誤；

43

當(dāng)b=4,Q=3時，滿足b>a>ef3=81>4=64,故心<6。不成立，故C錯誤；

由0<2a<b<3—可知0<2a<b<3,所以0<。<?<m<壬

而、=sinx在％e(0,彳)上單調(diào)遞增，所以s譏a<sin故。正確.

故選：AD.

根據(jù)對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及不等式性質(zhì)判斷4由特殊值判斷B；,根據(jù)正弦

函數(shù)在(0弓)上的單調(diào)性判斷D.

第18頁，共37頁

本題考查了對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及不等式性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】AC

【解析】解：對于4由題意，集合人為函數(shù)尸5)56N)的值域，所以集合為為函數(shù)

產(chǎn)(n)的值域,

所以由產(chǎn)(n)=/(n)可得：/1(1)=/(1)=1,尸(6)=/(6)=2,產(chǎn)(9)=/(9)=3,

產(chǎn)(2)=/(2)=4,產(chǎn)(4)=/(4)=5,尸(7)=f(7)=6,產(chǎn)(13)=/(13)=7,尸(11)=

/(II)=8,產(chǎn)(5)=/(5)=9,產(chǎn)(32)=/(32)=0,故A[={0,1,234,5,6,7,8,9},故

A正確；

對于&由題意，集合心為函數(shù)產(chǎn)⑺(neN)的值域，所以集合/為函數(shù)產(chǎn)⑺的值域，

規(guī)定/(0)=3,記產(chǎn)(n)=/(n),/k+1(n)=產(chǎn)(f(n))(k6N*),

所以/3(n)=/2(/(n)),

令/(n)=m,Tn€{0,1,234,5,6,7,8,9},則/3(n)=/?(7n)=尸(/(機))，

因為f(0)=3,f(1)=l,/(2)=4,f(3)=l,/(4)=5,f(5)=9,f(6)=2,f(7)=6,

/(8)=5,/(9)=3,

所以產(chǎn)(0)=r(/(0))=f(3)=1)72(1)=f】(f⑴)=/(l)=1.

產(chǎn)(2)=尸(/(2))=f(4)=5,f2(3)=戶(f(3))=/(l)=1,

產(chǎn)(4)=尸。(4))=f(5)=9,/⑸=尸(65))=/(9)=3,

尸(6)=尸口⑹)=f(2)=4,嚴(7)=尸口⑺)=/(6)=2,

產(chǎn)(8)=尸(f(8))=/(5)=9,嚴(9)=尸(f(9))=f(3)=1,

所以產(chǎn)(n)的值域為口,2,3,4,5,9},故8錯誤；

對于C：因為=所以戶+1(1)=產(chǎn)(八1))=...=尸(y(i))=/(i)=i,

所以對VkeN*,16Ak,故C正確；

對于。：由C的推導(dǎo)可知：尸+1(1)=嚴。。))=...=產(chǎn)丁(1))=/(1)=1,

因為尸5)=f(n),fk+1(n)=/k(/(n))(fceN*)，

所以尸o(n)=/9(/(n)),

令〃n)=m,me{0,1,2,3,4,5,678,9},則產(chǎn)。(n)=f9(m)=/8(/(m)),

因為f(0)=3,f(1)=l,/(2)=4,f(3)=l,/(4)=5,f(5)=9,f(6)=2,f(7)=6,

/(8)=5,f(9)=3,

所以尸(0)=/8(/(0))=?8(3)=〃(/(3))=產(chǎn)⑴=i,

r(2)=f8(/(2))=巴4)=產(chǎn)Q(4))=產(chǎn)(5)=/6(/(5))=尸(9)=/5(/(9))=

產(chǎn)⑶=尸(/(3))="⑴=尸⑶=?、?=/8⑴=1,

尸(4)=/8(/(4))=/8(5)=尸。(5))=尸⑼="(/(9))=產(chǎn)⑶=⑶)=

尸⑴=1，

f%5)=嚴(/(5))=U。)=產(chǎn)(/(9))=尸⑶="丁(3))=/⑴=-，

r(6)=/8(/(6))=U(2)=產(chǎn)(/(2))=尸⑷=f6(f(4))=f6(5)=f5(f(5))=

戶(9)=產(chǎn)(f(9))=尸(3)=f9(7)=f8a(7))=尸(6)=f7(/(6))=/7(2)=

尸。⑵)="(4)=f5(f(4))=尸(5)=尸。⑸)=尸(9)=-9(8)=/8。勒=

f8(5)=『(/⑸)=尸(9)="(〃9))=嚴(3)=尸(-3))=r(1)=1,/丁9)=

/8(7(9))=/8(3)=/7(/(3))=/7(1)=1,

即k=10時，尸。(n)的值域為{1},故。錯誤.

故選：AC.

對于4根據(jù)定義，直接求出4={0,1,2,3,45678,9},即可判斷；

對于B：根據(jù)定義，直接求出/^(n)的值域為口,2,3,4,5,9},即可判斷；

對于C：求出產(chǎn)+i(l)=尸(/(1))=…=產(chǎn)(/(1))=/(1)=1,即可判斷；

對于D：求出k=10時，"(n)的值域為{1},即可否定結(jié)論.

本題考查了合情推理，屬于難題.

21.【答案】AC

【解析】解：復(fù)數(shù)z=x+yi,x,y€R,xy0,即％,y*0.

z+z=x+yi+x—yi=2xER>z—z=x+yi—(x—yi)=2yigR,

zz=(x+yi)(x—yi)=x2+y2G7?>

Z_x+yi(x+yi)2_，-y2+2秒j0R

zx-yi(x-yi)(x+yi)x2+y2x2+y2

故選：AC.

利用復(fù)數(shù)的運算法則、共規(guī)復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)及其有關(guān)知識即可判斷出正誤.

本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、共貌復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)及其有關(guān)知識，考查了推理能力與計

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

22.【答案】BC

第20頁，共37頁

【解析】解：??,/>%,

:.x<0或%>1,

v2*>2*,解得/>%,即x<0或%>1,

X-<1,X--1<0,—X<0,解得x<0或x>l,

由|x(x-1)1=x(x-1)可得-1)>0,解得％<0或x>1,

???根據(jù)充要條件的定義可判斷得出：BC選項符合，

故選：BC.

求解不等式得出相應(yīng)的解集，利用充要條件的定義判斷即可.

本題考查了充要條件的定義，關(guān)鍵轉(zhuǎn)化為集合的關(guān)系判斷即可，求解不等式，屬于基礎(chǔ)

題.

23.【答案】BCD

【解析】解：設(shè)直線F4的方程為y=3。+c)，與漸近線y=-《X聯(lián)立可得8(三,弓)，

因為方=2屈，貝必(1拳勺，

將4的坐標(biāo)代入雙曲線的方程：鳥—昌=1,

9a29a2

可得c2=3a2,可得離心率e=(=8，所以B正確；

所以漸近線的方程為：丫=±2%=±立三％=±夜垢所以4不正確；

4到兩條漸近線的距離did?=叫北猊::苗詠=警=寰=?,所以C正確；

AB==

k0A=_J=一^^a‘，所以.kAB=-1,

Zun“

所以。|。*=杵+c，1佃=?甘+|02+琮一勺2=,

故tan乙4。8=照=￡所以。正確；

\OA\4

故選：BCD.

由題意設(shè)直線凡4的方程，與另一條漸近線聯(lián)立求出B的坐標(biāo)，再由題意可得4的坐標(biāo)，

將4的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，可得a,b的關(guān)系，進而求出漸近線的方程，判斷4不正

確；求出離心率，可判斷8正確；求出點4到兩條漸近線的距離的乘積可判斷C正確;

再求出直線044B的斜率，可得直線。4AB垂直，并求出|。川，|AB|的值，進而求出

4AOB的正切值，判斷。正確，選出正確的結(jié)論.

本題考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用及點到線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

24.【答案】ABD

【解析】解：即=a,2azi+]-。九。九+1=1,

l—2+an_an_1

Jttn+1l-1=-----1=------=----,f

2-an2-an2-an

對于選項A：當(dāng)a=l時，有2a2-。2=1，@2=1，

二。3=/=1，&4=±=1,類比得數(shù)列｛斯｝為常數(shù)列，故選項人正確,

對于選項以當(dāng)a=°時,有一=言=去

二數(shù)列｛六｝是以±=T為首項，-1為公差的等差數(shù)列，

Qn-1

二數(shù)列｛乙｝前10項之和為ioX(-1)+竽x(-1)=-55,故選項B正確，

an~~1N

對于選項C：當(dāng)。="時，數(shù)列｛七｝是以六=日為首項，-1為公差的等差數(shù)列,

???當(dāng)n=7時，0有最小值，。7=-77+1=-L故選項C錯誤,

n13—14

對于選項。：若數(shù)列｛。工為遞增數(shù)列，則由4可知a41，

由B可知數(shù)列｛二1三｝是以1夫=1*為首項，-1為公差的等差數(shù)列,

?.?｛%｝為遞增數(shù)列，???三<1，

???a<1,故選項￡)正確，

故選：ABD.

當(dāng)a=l時可得。2=1，。3=1,類比得數(shù)列｛斯｝為常數(shù)列，可判斷4,利用構(gòu)造法可得

數(shù)列｛±｝是以七為首項，一1為公差的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的前n項和公式和

0n—1U1-1

通項公式可判斷B,C,D.

本題主要考查了數(shù)列的遞推式，考查了等差數(shù)列的定義和通項公式，以及前n項和公式，

第22頁，共37頁

屬于中檔題.

25.【答案】5%-y+3=0

【解析】解：y=￡*，可得、'=五餐，

XA?3人丁。，

所以ylx-i=5，

所以曲線y=會在點(一1,一2)處的切線方程為：y+2=5(x+1),

即5x-y+3=0.

故答案為：5x-y+3=0.

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，然后求解切線方程.

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，是基礎(chǔ)題.

26.【答案】8TT

【解析】解：根據(jù)題意設(shè)外接球的球心為。，

如圖所示：

由于，△48。和4BCD都是等腰直角三角形，AB=a,乙BAD=kCBD=p平面4BD1

平面CBD,

所以，根據(jù)直角三角形中的關(guān)系，

確定外接球的球心為0，

故三棱錐的外接球的半徑為R,

所以BD=BC=2,

故R=R=gV22+22=V2,

所以S球=4-7T-(V2)2=87r.

故答案為：8兀.

首先根據(jù)三棱錐體確定球的球心位置，進一步求出球的半徑，最后求出球的表面積.

本題考查的知識要點：三棱錐和外接球的關(guān)系，球的半徑的求法，球的表面積公式，主

要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

27.【答案展

【解析】解：如圖,

由題知，\AF1\-\AF2\=2a,四邊形4F/a的是平行四邊形，\^\+\AF2\=^,

聯(lián)立解得，\AF1\=a+l，\AF2\=l-a,

v0傷=60。，.??四邊形班利的面積S=圣班||4尸2|=曰((一a?),

...p2=萼5,；.p2=T^q《_a2),即p2=64a2,

由|F#2『=M0|2+|4尸2『一M&IMF2I=(M&I-|咽1)2+m\AF2\,

可得4c2=4a2+--a2=3a2+4a2=7a2,

16

哈:，得e=3?

故答案為：立.

2

由題知，\AF.\-\AF2\=2a,再由四邊形4&8七的周長為P，可得4&1+|4尸2|=今求

出|明|=。+(,|4F2|=.a,結(jié)合面積公式以及已知條件求出7a2=”,然后求解

雙曲線的離心率.

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.

第24頁，共37頁

28.【答案】(一4,一2)U(-2,-l)U&l)uC《)

【解析】解：不等式Iog3，(x)+11<o等價為o<yL

lf")+i|<i，T

即0</(%)+1<1或一1</(x)+1<0,

即一1</(X)<0或一2</(x)<—1,,??二

-3-2/4O~7123-x

???/(%)是奇函數(shù)，且且/(-2)=-1,/(I)=0,一74

???/(2)=1,——-2-/---------------------

???當(dāng)%>0,y>0W/(xy)=/(x)+f(y),

?,?函數(shù)/(乃為對數(shù)函數(shù)模型，

即當(dāng)工>。時,設(shè)/(%)=logax,

???奇函數(shù)/(%)在區(qū)間(-8,0)上是增函數(shù),

二函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)，

則Q>1,

v/(2)=l,.-./(2)=loga2=l,則a=2,

即當(dāng)％>0時,f(x)=log2x,

若％VO,則一%>0,貝行(一%)=log式-%)=—/(%)，

即/(%)=-1%(一%)，%V0，

則函數(shù)/(x)的圖象如圖：

若x>0,由-1V/(%)<0或一2V/(%)<一1得一1<log2x<?；蛞?<log2x<-1,

B|j1<x<1或;<%<|,

若x<0,由一1<<(%)<0或一2</(x)<一1得一1<-log2(-x)<0或一2<

-log2(-x)<-1,

即0Vlog2(-x)<1或1Vlog2(-x)<2,

即1V—%<2或2V-x<4,

即一2<xV—1或一4<xV—2,

綜上不等式的解集為(-4,-2)U(-2,-l)U&1)U

故答案為：(一4,-2)U(-2,-1)U(i,1)U(；［).

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式進行轉(zhuǎn)化，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系以及抽象函

數(shù)關(guān)系，利用特殊值法進行求解即可.

本題主要考查不等式的求解，根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為對數(shù)函數(shù)模型是解決本題的關(guān)

鍵.根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合數(shù)形結(jié)合進行求解是解決本題的突破點.

29.【答案】|

【解析】解：根據(jù)題意，五=(3,4),3=(2j),

若五1則五?另=6+4%=0,解可得％=-|,

則3=(2,-)則|行|=+

故答案為：

根據(jù)題意，由數(shù)量積的坐標(biāo)計算公式求出x的值，即可得了的坐標(biāo)，進而計算可得答案.

本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及向量模的計算，屬于基礎(chǔ)題.

30.【答案】3

【解析】解：%>0,?,?%+：N2〃=4,當(dāng)且僅當(dāng)％=2時等號成立，.,.%+：N4,

y>0,.%4y-y2=-(y-2)2+4<4,此時y=2,

?,?%+￡=4y—y2=4,x=y=2,

.2Q

-?x+-=3,

y

故答案為：3.

利用基本不等式求最值得到x+^>4,利用二次函數(shù)求最值得到4y-y2<4,即可得

到答案.

本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，二次函數(shù)求最值，屬于中檔題.

31.【答案】g

【解析】解：設(shè)直線4P的斜率為k,傾斜角為a,

方程為：y—1=k(x—V3)=>fcx—y+1—V3k=0，

當(dāng)直線4P是圓/+*=i的切線時，

有譬^=1今k=0或k=所以有0</c<V3,

第26頁，共37頁

即0Wtana<V3=>0<a<p

直線4P傾斜角的最大值會

故答案為:小

根據(jù)圓的切線性質(zhì)進行求解即可.

本題主要考查圓的幾何性質(zhì)，圓中的最值與范圍問題等知識，屬于中基礎(chǔ).

32.【答案】［—黑］［py］

【解析】解：當(dāng)一］+2kn<x<^4-2/c7r,fcGZ時,/(%)=sinx+V3cosx=2s譏(％+§,

當(dāng)］+2kn<%<y+2kn,keZ時，/(%)=sinx-\［3cosx=2sm(x-》

令