《如何求極限》課件

《如何求極限》ppt課件目錄contents極限的定義極限的求解方法極限的應(yīng)用特殊函數(shù)的極限極限的注意事項01極限的定義函數(shù)極限的描述性定義當(dāng)自變量趨近某一值時，函數(shù)值趨于某一確定值。函數(shù)極限的精確定義對于任意小的正數(shù)$varepsilon$，存在某個正數(shù)$delta$，當(dāng)$0<|x-x_0|<delta$時，有$|f(x)-L|<varepsilon$。函數(shù)極限的定義03極限的局部性函數(shù)在某點的極限只與該點附近的函數(shù)值有關(guān)，而與遠離該點的函數(shù)值無關(guān)。01極限的唯一性若函數(shù)在某點的極限存在，則該極限值是唯一的。02極限的保號性若函數(shù)在某點的極限大于0，則函數(shù)在該點的值也大于0；反之亦然。極限的性質(zhì)123函數(shù)在某點的極限存在，則該點附近必須存在定義。函數(shù)在某點的極限存在，則該點附近的變化趨勢必須確定。函數(shù)在某點的極限存在，則該點附近的函數(shù)值必須收斂。極限存在的條件02極限的求解方法方法概述通過因式分解、約分、有理化等代數(shù)手段，化簡函數(shù)，從而找到極限。適用范圍適用于能通過代數(shù)手段化簡的極限問題。實例求lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)，可通過因式分解化簡為lim(x→2)(x+2)=4。代數(shù)法030201在一定條件下，對函數(shù)的分子分母分別求導(dǎo)，并取極限。方法概述適用范圍實例適用于0/0型或∞/∞型的極限問題。求lim(x→0)sinx/x，使用洛必達法則得到lim(x→0)cosx=1。030201洛必達法則方法概述在一定條件下，將無窮小量替換為等價的無窮小量。適用范圍適用于與無窮小量有關(guān)的極限問題。實例求lim(x→0)(1-cosx)/x^2，使用等價無窮小代換法得到lim(x→0)x^2/2=0。等價無窮小代換法01方法概述利用泰勒公式展開函數(shù)，并取極限。02適用范圍適用于需要展開到高階的極限問題。03實例求lim(x→0)(1-x)^(1/x)，使用泰勒公式展開得到lim(x→0)e^(-1)=1/e。泰勒公式法03極限的應(yīng)用在連續(xù)復(fù)利中的應(yīng)用連續(xù)復(fù)利公式通過極限的概念，推導(dǎo)出了連續(xù)復(fù)利公式，該公式描述了在連續(xù)復(fù)利情況下，本金在無限時間內(nèi)的增長情況。連續(xù)復(fù)利的應(yīng)用連續(xù)復(fù)利公式在金融、投資等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如計算投資回報、評估資產(chǎn)增長等。瞬時速度是物體在無限短時間內(nèi)的平均速度，通過極限的概念，可以推導(dǎo)出瞬時速度的公式。瞬時速度在彈性碰撞中，兩個物體在碰撞后的速度與碰撞前的速度之比是一個常數(shù)，這個常數(shù)可以通過極限的概念來推導(dǎo)。彈性碰撞在物理中的應(yīng)用在經(jīng)濟學(xué)中，無窮大和無窮小的概念被用來描述經(jīng)濟現(xiàn)象的極限情況，如無窮大收入和無窮小收入。邊際分析是經(jīng)濟學(xué)中一個重要的分析方法，它涉及到對經(jīng)濟變量變化趨勢的極限情況的考慮，如邊際成本和邊際收益。在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用邊際分析無窮大和無窮小的概念04特殊函數(shù)的極限無窮大與無窮小是極限概念中的重要概念，它們描述了函數(shù)在某個點或某個變化過程中的行為。無窮大是指函數(shù)在某點處的值趨向于正無窮或負無窮，而無窮小則是指函數(shù)在某點處的值趨向于0。無窮大與無窮小之間存在密切關(guān)系，例如在求極限時，有時需要利用它們的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化和化簡。無窮大與無窮小的關(guān)系指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的極限指數(shù)函數(shù)是指數(shù)為其自變量的函數(shù)，常見的形式為a^x（a>0且a≠1）。02冪函數(shù)是指數(shù)為其自變量的函數(shù)的指數(shù)的函數(shù)，常見的形式為x^a。03在求指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的極限時，需要了解它們的性質(zhì)和變化規(guī)律，例如指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、冪函數(shù)的收斂性等。01對數(shù)函數(shù)的極限性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)類似，例如對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、收斂性等。在求對數(shù)函數(shù)的極限時，需要了解對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律，以便進行正確的計算和推理。對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，常見的形式為log_a(x)（a>0且a≠1）。對數(shù)函數(shù)的極限05極限的注意事項在求極限的過程中，需要注意初始值的選擇。不同的初始值可能導(dǎo)致極限值不同，因此需要選擇合適的初始值以獲得正確的極限結(jié)果。初始值問題在選擇初始值時，應(yīng)遵循一些原則，如選擇易于計算或觀察的值，避免選擇會導(dǎo)致復(fù)雜計算或無法確定極限值的初始值。初始值選擇原則初始值問題VS無窮小量是指在某個過程中逐漸趨近于零的量。在求極限的過程中，有時需要比較不同無窮小量的階數(shù)，以確定它們對極限值的影響。無窮小量階數(shù)的比較比較無窮小量的階數(shù)可以幫助我們更好地理解極限的行為。例如，當(dāng)兩個無窮小量是同階時，它們對極限值的影響是等效的；當(dāng)它們的階數(shù)不同時，高階無窮小量對極限值的影響更大。無窮小量的概念無窮小量的比較極限具有四則運算性質(zhì)，即對于兩個函數(shù)的極限，它們的基本運算性質(zhì)（加、減、乘、除）仍然適用。這使得我們在求極限時可以運用這些性質(zhì)簡化計算。在應(yīng)用極限的四