概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2-3

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2-3匯報(bào)人：AA2024-01-19目錄CONTENTS概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量數(shù)字特征大數(shù)定律和中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念參數(shù)估計(jì)方法假設(shè)檢驗(yàn)方法01概率論基本概念樣本空間所有可能結(jié)果的集合，常用大寫字母S表示。事件樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的集合，常用大寫字母A、B等表示?；臼录话粋€(gè)樣本點(diǎn)的事件，是構(gòu)成樣本空間的最小單元。樣本空間與事件030201概率定義及性質(zhì)概率定義事件A發(fā)生的可能性大小的度量，記為P(A)，滿足非負(fù)性、規(guī)范性（P(S)=1）和可列可加性。概率性質(zhì)包括互斥事件的概率加法公式、任意事件的概率減法公式、概率的乘法公式等。在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記為P(A|B)，滿足P(A|B)=P(AB)/P(B)。如果事件A和事件B滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A和事件B是相互獨(dú)立的。條件概率與獨(dú)立性事件的獨(dú)立性條件概率如果事件B1,B2,...,Bn是樣本空間S的一個(gè)劃分，且P(Bi)>0(i=1,2,...,n)，則對任意事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。全概率公式在全概率公式的條件下，可以進(jìn)一步得到P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)，用于在已知某些信息的情況下，更新某事件發(fā)生的概率。貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式02隨機(jī)變量及其分布VS隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)映射到一個(gè)實(shí)數(shù)。隨機(jī)變量分類根據(jù)隨機(jī)變量取值的特點(diǎn)，可以將其分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量兩類。隨機(jī)變量定義隨機(jī)變量定義及分類分布律定義離散型隨機(jī)變量的分布律描述了隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率，通常用概率質(zhì)量函數(shù)（PMF）表示。常見離散型隨機(jī)變量分布二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布等。離散型隨機(jī)變量分布律連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)（PDF）描述了隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率分布情況。概率密度函數(shù)定義正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布隨機(jī)變量函數(shù)是由隨機(jī)變量構(gòu)成的函數(shù)，其取值也是隨機(jī)的。當(dāng)已知隨機(jī)變量的分布時(shí)，可以通過一定的方法求出隨機(jī)變量函數(shù)的分布。例如，通過卷積公式可以求出兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的分布。隨機(jī)變量函數(shù)定義隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)分布03多維隨機(jī)變量及其分布聯(lián)合密度函數(shù)定義對于連續(xù)型二維隨機(jī)變量(X,Y)，其聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)描述了(X,Y)在點(diǎn)(x,y)處的概率密度。性質(zhì)聯(lián)合分布律/密度函數(shù)必須非負(fù)，且其所有可能取值的概率之和/積分為1。聯(lián)合分布律定義對于二維隨機(jī)變量(X,Y)，其聯(lián)合分布律描述了X和Y同時(shí)取值的概率，即P{X=xi,Y=yj}。二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布律/密度函數(shù)

邊緣分布律/密度函數(shù)邊緣分布律定義二維隨機(jī)變量(X,Y)中，X或Y單獨(dú)取值的概率分布律稱為邊緣分布律，即P{X=xi}或P{Y=yj}。邊緣密度函數(shù)定義對于連續(xù)型二維隨機(jī)變量(X,Y)，X或Y單獨(dú)取值的概率密度函數(shù)稱為邊緣密度函數(shù)，即fX(x)或fY(y)。性質(zhì)邊緣分布律/密度函數(shù)可以通過對聯(lián)合分布律/密度函數(shù)進(jìn)行求和/積分得到。在二維隨機(jī)變量(X,Y)中，當(dāng)已知X=xi時(shí)，Y的條件分布律描述了Y在X=xi條件下的取值概率，即P{Y=yj|X=xi}。條件分布律定義對于連續(xù)型二維隨機(jī)變量(X,Y)，當(dāng)已知X=x時(shí)，Y的條件密度函數(shù)描述了Y在X=x條件下的概率密度，即fY|X(y|x)。條件密度函數(shù)定義條件分布律/密度函數(shù)可以通過聯(lián)合分布律/密度函數(shù)和邊緣分布律/密度函數(shù)計(jì)算得到。性質(zhì)條件分布律/密度函數(shù)定義如果二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律/密度函數(shù)可以表示為兩個(gè)邊緣分布律/密度函數(shù)的乘積，即P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}或f(x,y)=fX(x)fY(y)，則稱X和Y是相互獨(dú)立的。性質(zhì)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之間沒有相互影響，一個(gè)隨機(jī)變量的取值不會影響另一個(gè)隨機(jī)變量的取值。相互獨(dú)立隨機(jī)變量04隨機(jī)變量數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望定義數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量取值的平均值，用于描述隨機(jī)變量取值的“中心位置”或“平均水平”。要點(diǎn)一要點(diǎn)二數(shù)學(xué)期望性質(zhì)數(shù)學(xué)期望具有線性性質(zhì)，即對于任意常數(shù)a和b，以及隨機(jī)變量X和Y，有E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。此外，數(shù)學(xué)期望還具有正態(tài)分布的性質(zhì)，即若X服從N(μ,σ^2)分布，則E(X)=μ。數(shù)學(xué)期望定義及性質(zhì)方差定義方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望之差的平方的平均值，用于描述隨機(jī)變量取值的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差定義標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，用于描述隨機(jī)變量取值的波動范圍。協(xié)方差定義協(xié)方差是衡量兩個(gè)隨機(jī)變量變化趨勢的統(tǒng)計(jì)量，如果兩個(gè)隨機(jī)變量同時(shí)向相反方向變化（即一個(gè)增加，另一個(gè)減少），則它們的協(xié)方差為負(fù)值；如果兩個(gè)隨機(jī)變量同時(shí)向相同方向變化（即兩者都增加或兩者都減少），則它們的協(xié)方差為正值。方差、標(biāo)準(zhǔn)差和協(xié)方差要點(diǎn)三相關(guān)系數(shù)定義相關(guān)系數(shù)是衡量兩個(gè)隨機(jī)變量之間線性相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)量，取值范圍為[-1,1]。當(dāng)相關(guān)系數(shù)為1時(shí)，表示兩個(gè)隨機(jī)變量完全正相關(guān)；當(dāng)相關(guān)系數(shù)為-1時(shí)，表示兩個(gè)隨機(jī)變量完全負(fù)相關(guān)；當(dāng)相關(guān)系數(shù)為0時(shí)，表示兩個(gè)隨機(jī)變量不相關(guān)。要點(diǎn)一要點(diǎn)二矩定義矩是描述隨機(jī)變量分布形態(tài)的統(tǒng)計(jì)量，包括原點(diǎn)矩和中心矩。原點(diǎn)矩是隨機(jī)變量取值的k次方與其概率的乘積之和，而中心矩是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望之差的k次方與其概率的乘積之和。協(xié)方差矩陣定義協(xié)方差矩陣是由多個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差組成的矩陣，用于描述多個(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系。協(xié)方差矩陣的對角線元素為各個(gè)隨機(jī)變量的方差，而非對角線元素為不同隨機(jī)變量之間的協(xié)方差。要點(diǎn)三相關(guān)系數(shù)和矩、協(xié)方差矩陣05大數(shù)定律和中心極限定理含義大數(shù)定律是描述隨機(jī)事件在大量重復(fù)試驗(yàn)中呈現(xiàn)出的穩(wěn)定性的一種規(guī)律。表現(xiàn)形式隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于某一常數(shù)，即該隨機(jī)事件發(fā)生的概率。應(yīng)用場景在保險(xiǎn)、金融、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域中，大數(shù)定律被廣泛應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)評估和決策分析。大數(shù)定律含義中心極限定理是概率論中的一組定理，它指出在大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和或平均值的分布將趨向于正態(tài)分布，即使這些隨機(jī)變量本身并不服從正態(tài)分布。表現(xiàn)形式當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，樣本均值的分布將趨近于正態(tài)分布，且樣本均值的期望等于總體均值，樣本均值的方差等于總體方差除以樣本量。應(yīng)用場景中心極限定理在統(tǒng)計(jì)學(xué)中具有重要的地位，它是許多統(tǒng)計(jì)推斷方法的基礎(chǔ)，如置信區(qū)間、假設(shè)檢驗(yàn)等。同時(shí)，在實(shí)際問題中，如質(zhì)量控制、生物醫(yī)學(xué)研究等領(lǐng)域也廣泛應(yīng)用了中心極限定理。中心極限定理06數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念研究對象的全體個(gè)體組成的集合，通常用一個(gè)概率分布來描述?？傮w從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本樣本中包含的個(gè)體數(shù)目，通常用n表示。樣本容量總體與樣本統(tǒng)計(jì)量樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的概率分布，描述了統(tǒng)計(jì)量在多次抽樣中的分布情況。抽樣分布的性質(zhì)包括期望、方差、分布形態(tài)等，決定了統(tǒng)計(jì)推斷的準(zhǔn)確性和可靠性。統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布性質(zhì)這些統(tǒng)計(jì)量都是無偏的、一致的、有效的，且在大樣本情況下具有漸近正態(tài)性。樣本相關(guān)系數(shù)兩個(gè)隨機(jī)變量樣本觀測值之間的線性相關(guān)程度的標(biāo)準(zhǔn)化度量，用于估計(jì)總體相關(guān)系數(shù)。樣本協(xié)方差兩個(gè)隨機(jī)變量樣本觀測值之間的線性相關(guān)程度，用于估計(jì)總體協(xié)方差。樣本均值所有樣本觀測值的算術(shù)平均數(shù)，用于估計(jì)總體均值。樣本方差樣本觀測值與樣本均值之差的平方的平均數(shù)，用于估計(jì)總體方差。常用統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)07參數(shù)估計(jì)方法利用樣本矩來估計(jì)總體矩，從而獲得參數(shù)的估計(jì)值。矩估計(jì)法根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，選擇使得似然函數(shù)達(dá)到最大值的參數(shù)值作為估計(jì)值。最大似然估計(jì)法通過最小化誤差的平方和來尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，從而得到參數(shù)的估計(jì)值。最小二乘法點(diǎn)估計(jì)方法利用樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)區(qū)間，使得這個(gè)區(qū)間以一定的概率包含總體參數(shù)的真值。置信區(qū)間法根據(jù)樣本數(shù)據(jù)確定一個(gè)區(qū)間，使得總體參數(shù)落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率達(dá)到預(yù)定的水平。容忍區(qū)間法在貝葉斯統(tǒng)計(jì)框架下，利用先驗(yàn)信息和樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造參數(shù)的后驗(yàn)分布，并基于后驗(yàn)分布給出參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。貝葉斯區(qū)間估計(jì)法010203區(qū)間估計(jì)方法08假設(shè)檢驗(yàn)方法原假設(shè)與備擇假設(shè)在假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)（$H_0$）通常表示沒有差異或沒有效應(yīng)，而備擇假設(shè)（$H_1$）則表示存在差異或有效應(yīng)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出的用于判斷原假設(shè)是否成立的統(tǒng)計(jì)量。拒絕域是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取值的范圍，當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域時(shí)，我們拒絕原假設(shè)。顯著性水平（$alpha$）是事先設(shè)定的一個(gè)概率值，用于確定拒絕域的大小。P值是在原假設(shè)下，觀察到的樣本數(shù)據(jù)或更極端情況出現(xiàn)的概率。當(dāng)P值小于或等于顯著性水平時(shí)，我們拒絕原假設(shè)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與拒絕域顯著性水平與P值假設(shè)檢驗(yàn)基本原理單個(gè)正態(tài)總體均值假設(shè)檢驗(yàn)當(dāng)總體服從正態(tài)分布，且方差已知時(shí)，可以使用Z檢驗(yàn)對單個(gè)正態(tài)總體均值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。當(dāng)總體方差未知時(shí)，可以使用t檢驗(yàn)。單個(gè)正態(tài)總體方差假設(shè)檢驗(yàn)對于單個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)，可以使用卡方檢驗(yàn)?？ǚ綑z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是樣本方差與總體方差之比，服從卡方分布。