一元一次方程教材分析及命題技術培訓

楚才程碩一、對課本的分析

人教版新課標的主要內容：

1、一元一次方程的引入、定義、一元一次方程解的定義；等式的性質；

2、解一元一次方程；

3、一元一次方程的應用問題。本章知識結構圖：

〔1〕利用一元一次方程解決問題的根本過程實際問題

數學問題〔一元一次方程〕數學問題的解(x=a)實際問題的答案設未知數列方程解方程檢驗本章知識結構圖：〔2〕本章知識安排的前后順序由于教材中列方程解應用題是始終貫穿于全章的主線，對一元一次方程的有關概念和解法的討論，都是先給出實際問題，然后根據實際問題列出一元一次方程，再進行方程解法〔例如移項、合并同類項、去括號、去分母等〕的教學，難點過于集中，不利于學生對方程解法的理解和掌握，所以建議應把解決實際問題先往后挪，讓學生好好掌握解方程的方法。本章知識結構圖：〔2〕本章知識安排的前后順序教師用書上的知識結構圖：一元一次方程等式的性質結合實際問題討論解方程〔合并與移項〕解一元一次方程的一般步驟對利用一元一次方程解決實際問題進行進一步探究

實際問題結合實際問題討論解方程〔去括號與去分母〕本章知識結構圖：〔2〕本章知識安排的前后順序建議修改為：一元一次方程等式的性質方程的解法〔合并與移項〕解一元一次方程的一般步驟利用一元一次方程解決實際問題簡單實際例子方程的解法〔去括號與去分母〕二、教學分析

課時安排：〔一元一次方程預設課時18節(jié)〕一元一次方程的引入和定義，等式性質：2課時一元一次方程的解法：6課時一元一次方程的應用：7課時匯總或驗收：3課時二、教學分析具體教學建議：這局部知識在2021年中考考試說明中的要求：方程：體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型；方程的解：了解方程的解的概念，經歷用觀察、畫圖或計算器等手段估計方程解的過程，運用方程的解的概念解決相關問題；一元一次方程：體會一元一次方程是從實際問題中抽象出的數學模型，感受用數學模型解決問題的思想，會根據實際問題列一元一次方程；一元一次方程的解法：經歷求一元一次方程的解的過程，理解解法中各個步驟的依據，能熟練掌握一元一次方程的解法；會求含有字母系數〔無需討論〕的一元一次方程的解；二、教學分析課程學習目標：1．經歷“把實際問題抽象為數學方程〞的過程，體會方程是刻畫現實世界的一種有效的數學模型，了解一元一次方程及其相關概念，認識從算式到方程是數學的進步。2．通過觀察、歸納得出等式的性質，能利用它們探究一元一次方程的解法。3．了解解方程的根本目標〔使方程逐步轉化為x=a的形式〕，熟悉解一元一次方程的一般步驟，掌握一元一次方程的解法，體會解法中蘊涵的化歸思想。4．能夠“找出實際問題中的數和未知數，分析它們之間的關系，設未知數，列出方程表示問題中的等量關系〞，體會建立數學模型的思想。5．通過探究實際問題與一元一次方程的關系，進一步體會利用一元一次方程解決問題的根本過程〔見上圖〕，感受數學的應用價值，提高分析問題、解決問題的能力。1、方程的定義、等式性質：

1、方程的定義、等式性質：

再定義一元一次方程“只含有一個未知數且未知數的次數是1的整式方程〞；直接給出：使方程成立的未知數的值叫“方程的解〞；只有一個未知數的方程的解也叫方程的根；求方程解的過程叫“解方程〞。如何解方程是初中代數非常重要的內容，在求出未知數值的過程中，需要理論的支持，要保證每一步變形后得到的新方程的解和原方程的解必須是相同的。用什么做理論支持？可以提醒學生回憶小學學過的等式性質，復習“等式的性質〞。等式性質1：等式兩邊加〔或減〕同一個數〔或式子〕，結果仍相等。等式性質2：等式兩邊乘同一個數、或是除以同一個不為零的數，結果仍相等。注意等式性質2與1的區(qū)別，方程兩邊加減的可以是數或式子，而乘除只能是數，不能是式子。2、解一元一次方程：

課時安排給了6節(jié)，重點是能正確解出一元一次方程。由于絕大局部學生在小學學過解一元一次方程，對方程過程的講解可以直接進行，并提醒學生每個步驟的依據是等式性質。在一開始講解如何解方程的時候，建議老師們從簡單題入手，不要太著急，把每個步驟帶著學生夯實，急于求成有時會埋下隱患。

2、解一元一次方程：

課時安排給了6節(jié)，重點是能正確解出一元一次方程。由于絕大局部學生在小學學過解一元一次方程，對方程過程的講解可以直接進行，并提醒學生每個步驟的依據是等式性質。在一開始講解如何解方程的時候，建議老師們從簡單題入手，不要太著急，把每個步驟帶著學生夯實，急于求成有時會埋下隱患。常見的錯誤有：(1)移項不變號導致錯誤；(2)解簡易方程時常出現的錯誤；(3)去分母時漏乘不含分母的項，尤其項為1時；(4)對方程的本質理解不清，如：解方程：，寫成：原方程=，注意關系和關系之間不能用“等號〞連接。

(5)錯的最多是去括號時的符號運算。為保證解的正確，在平時練習中最好能養(yǎng)成學生將“解〞代回原方程檢驗的習慣，也可以讓學生們自己總結解方程時易犯的錯誤。3、一元一次方程的應用問題：

課時安排給了7節(jié)，這一局部應該是整章的重點和難點，是以后學習的根底，也是中考的考點，應給予重視。我認為可以將應用問題分成兩類：一是依題意列方程解決常規(guī)應用題，二是利用一元一次方程解決生活中的實際問題。前者是學生在小學常見的，他們很擅長列算式解決，后者更加靈活有挑戰(zhàn)性，為近幾年中考所青睞。對于第一類依題意列方程解決常規(guī)應用題主要是“通過分析，找出等量關系，列出方程〞，但是這種說法太抽象含混，可操作性差，對于較為簡單的問題我們可以換種說法：“分析題目內容，利用一個未知量，依題意用兩種方法表達成代數式，中間用等號連接可成方程〞。找準等量關系是列方程解應用題的重要環(huán)節(jié)。在教學中要著重分析量、未知量之間的關系，善于把握規(guī)律，歸納類型，甚至借助形象的圖表幫助發(fā)現等量關系。列方程是將等量關系“符號化〞。3、一元一次方程的應用問題：對常規(guī)問題可以分以下幾局部認識：〔1〕直接由題目找出等量關系：有和差倍分問題、盈虧問題、勞力調配問題、產品配套問題、比賽積分問題等等。這類問題比較簡單，等量關系明顯、可以直接列方程。對于這類問題也可以設計一些問題讓學生討論解決，讓數學問題更貼近生活。例如：小明和小寧在課外學習中，用20張白卡紙做包裝盒，每張白卡紙可以做盒身2個或者做盒底蓋3個，現一個盒身和2個盒底蓋恰好做成一個包裝盒，為了充分利用材料，使做成的盒身和底蓋正好配套，小明和小寧設計了如下方案：〔方案一〕把這些白卡紙分成兩局部，一局部做盒身，一局部做底蓋；〔方案二〕先把一張白卡紙適當套裁出一個盒身和一個盒蓋，余下白卡紙分成兩局部，一局部做盒身，一局部做底蓋。想一想，小明和小寧設計的方案是否可行，誰的更好？

3、一元一次方程的應用問題：對常規(guī)問題可以分以下幾局部認識：〔2〕經典問題：工程問題：全部工作量=各局部工作量之和=1；工作量=工作效率工作時間；工作效率是工作時間的倒數?！泊蜃謫栴}、注〔排〕水問題可類比工程問題分析求解。〕行程問題：相遇問題：相遇時間速度和=路程和；追及問題：追及時間速度差=被追及距離；航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度水流速度；順水速度+逆水速度=2水流速度〔飛行問題與此同類?！抄h(huán)形跑問題：同向跑相當于追及問題，異向跑相當于相遇問題；車上〔離〕橋的問題：與常規(guī)行程問題的不同點在于其中有一個物體是靜止的〔橋〕。車上橋指車頭接觸橋到車尾接觸橋的一段過程，所走路程為一個車長；車離橋指車頭離開橋到車尾離開橋的一段過程，所走路程為一個車長；車過橋指車頭接觸橋到車尾離開橋的一段過程，所走路程為一個車長+橋長。

3、一元一次方程的應用問題：對常規(guī)問題可以分以下幾局部認識：〔3〕探究數的問題：多位數的表示：如〔a、b、c、d均為大于或等于0而小于10的整數〕年齡問題、探究規(guī)律的問題都可以歸結成數的問題，要求學生學會用整體代換的方法解決數字問題。

例題1：一個四位數的首位數字是7，如果把首位上的數字放在個位上，那么所得到的新的四位數比原四位數的一半多3，求原四位數。分析：設原四位數的后三位數為x，那么原四位數為71000+x，新四位數為10x7，得方程為：71000+x=2(10x+73)，解之有x=368，所求四位數為7368。

例題2：有一數列，按規(guī)律排成是：1、3、7、11、，〔1〕求這數列中第100個數；〔2〕2005、2007是否是這列數的數，假設是，是第幾個數？假設不是，請說明理由。分析：由數列得一般性規(guī)律為4n5，〔1〕當n=100時得395，〔2〕設2005是這數列中的數，那么有4n5=2005，解得n=502.5，因502.5不是整數，故不是數列中的數，同理可以判斷2007是這個數列中的數，且是第503個數。

3、一元一次方程的應用問題：對常規(guī)問題可以分以下幾局部認識：〔4〕營銷和儲蓄問題：打折銷售：如進價a元、售價b元、利潤p元、利潤率w，那么有商品打x折是指按定價的銷售；〔1+提價的百分數〕原價=現價；銷售利潤=商品售價商品進價；

儲蓄問題：我國從1999年底開始征收利息稅，即征收所得利息的20%，教育儲蓄和購置國庫券不需要納利息稅，做題時可按題目給的利息稅來計算。利息=本金利率期數。納稅問題也屬此類，答題要注意分清納稅數額、稅率和納稅方式。

3、一元一次方程的應用問題：對常規(guī)問題可以分以下幾局部認識：〔4〕營銷和儲蓄問題：還可以把問題設計成探究問題，比方應用“打折〞“講價〞，帶出活潑的課堂氣氛，讓學生感悟數學在生活中的應用。例如：某服裝在銷售中只要高出進價的20%便可盈利，但商家常以高出進價50%---100%標價，假設你準備買一件標價為200元的服裝，應如何還價？分析：計算進價在100—133元之間，因商家要保證20%的差價，因此在120—160之間還價。課堂教學可以設計成讓學生討論。

3、一元一次方程的應用問題：對常規(guī)問題可以分以下幾局部認識：〔5〕等積變形：在圖形形狀改變時其面積或是體積不變。例1：如圖，一個長方形恰分成六個正方形，其中最小的正方形面積為1，求這個長方形的面積。

分析：設正方形E的邊長為x，那么正方形D、C、B的邊長分別為〔x+1〕,(x+2)，(x+3)，原長方形的長為〔3x+1)，寬為(2x+3)，由題意可得：3x+1=2x+5，解之有x=4，所求面積為143。3、一元一次方程的應用問題：對常規(guī)問題可以分以下幾局部認識：〔5〕等積變形：在圖形形狀改變時其面積或是體積不變。例2：將圖〔1〕三角形紙片沿虛線疊成圖〔2〕，原三角形圖〔1〕的面積是圖〔2〕〔粗實線圖形〕面積的1.5倍，圖〔2〕中陰影局部的面積之和為1，求重疊局部的面積。

分析：設重疊局部面積為x，將折疊復原后，原三角形的面積是〔2x+1〕，圖〔2〕中粗實線局部面積是〔x+1〕,依題有1.5(x+1)=2x+1，解得x=1。3、一元一次方程的應用問題：第二類問題，即實際問題與一元一次方程：課本安排了三個探究問題：“銷售中的盈虧〞、“油菜種植的計算〞、“球賽積分表問題〞。這局部教學為老師們提供了較大的發(fā)揮空間，可以設計不同的教學方法，比方由學生自由討論解決問題。例1：某校科技小組的學生在3名老師帶著下，準備前往某公園考察。當地有甲、乙兩家旅行社，其定價都一樣，但表示對師生都有優(yōu)惠。甲旅行社表示帶隊老師免費，學生按8折收費；乙旅行社表示師生一律按7折收費。經核算，甲、乙兩家旅行社的實際收費正好相同。第一個問題：問該科技小組共有多少學生？第二個問題：假設小組增加學生人數，那么選哪家旅行社較合算？第三個問題：老師人數變?yōu)?人，打折情況不變，選擇哪家旅行社合算？進一步思考：利用第一問的結論，當甲、乙旅行社價格一樣時，老師人數與學生人數比為1/7，現老師人數減為2人，可以推算出學生人數為14人時甲、乙旅行社價格一樣。為什么會有這樣的結論呢？楚才程碩一、對課本的分析本章是初中階段“空間與圖形〞領域的起始章，主要內容是圖形的初步認識。在前兩個學段，學生已了解了一些簡單幾何體和平面圖形的根本特征，但較為淺薄，本章從大量的實例入手，通過實物和具體模型，讓學生了解從物體外形抽象出來的幾何體、平面、直線和點等概念，能識別一些根本幾何體〔長方體、正方體、棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等〕。初步了解立體圖形與平面圖形的概念．在此根底上，通過從不同方向看立體圖形和展開立體圖形等活動，在立體圖形與平面圖形的轉換中開展學生的空間觀念。本章知識結構圖：

二、教學分析課時安排：〔圖形認識初步預設課時15節(jié)〕多姿多彩的圖形：4課時直線、射線、線段：2課時角的度量、比較、運算：6課時匯總或驗收：3課時二、教學分析本章重、難點：二、教學分析教學內容具體安排：教學內容課時具體課時安排教學目標4.1多姿多彩的圖形4（1）生活中的立體圖形利用教學媒體展示生活中的立體圖形（2）由立體圖形到視圖指導學生畫出從不同方向看一些基本幾何體以及它們的簡單組合得到的平面圖形；了解直棱柱、圓柱、圓錐的展開圖（3）由視圖到立體圖形組織學生以小組合作形式制作立體模型，融合“課題學習”讓學生能根據展開圖想象相應的幾何體，（4）點、線、面、體通過實物和具體模型，引導學生從物體外形抽象出幾何體、平面、直線和點等概念，介紹點的幾何語言表示二、教學分析教學內容具體安排：教學內容課時具體課時安排教學目標4.2直線、射線、線段2（1）線的概念要求學生掌握直線、射線、線段的幾何語言表示掌握公理：兩點確定一條直線（2）線段的比較會用量度或尺規(guī)比較兩條線段的長短介紹線段的中點，并要求用幾何語言表示（3）兩點間的距離會用尺規(guī)畫一條線段等于已知線段能根據語句畫出相應的圖形掌握公理：兩點之間，線段最短二、教學分析教學內容具體安排：教學內容課時具體課時安排教學目標4.3角6（1）角的概念與線的學習類比，學習角的概念、角的比較、角平分線的概念，要求學生會用幾何語言表述（2）角的比較（3）角的運算認識度、分、秒，并會進行簡單的換算，會計算角度的和與差（4）余角和補角的概念及性質了解余角和補角的概念，并能用幾何語言描述知道“等角的補角相等”“等角的余角相等”的性質二、教學分析二、教學分析教學建議：教學過程中，應該先注意小學階段的學習根底，按課程標準的要求把握好教學要求，不要刻意拔高。具體在下面幾個環(huán)節(jié)作好教學工作：1〕看圖教材起始的幾句話就明確說出：“數學關注的是物體的形狀、大小、和位置，而其顏色、重量、材料等那么是其它學科所關注的〞，開篇就提出了在數學中研究“形〞的注重點和關注的目標，明確地告訴同學們，數學中研究幾何就是要研究形狀和位置關系。所以在看圖欣賞如此多姿多彩的圖形的時候，特別要關注的除了圖形的美之外，尤其要關注圖形之間的形狀和位置關系。二、教學分析教學建議：教學過程中，應該先注意小學階段的學習根底，按課程標準的要求把握好教學要求，不要刻意拔高。具體在下面幾個環(huán)節(jié)作好教學工作：2〕讀圖在認真看圖、努力尋找圖形之間形狀和位置關系的根底上，教學中要重視讓學生多從事一些動手操作、觀察、區(qū)分等學習活動，給學生提供一些現實的圖形作為學習材料，開展數學交流，引導他們在觀察圖形的活動中分析和討論圖形和圖形之間的位置關系，比方線段之間、各個面之間、圖形的邊之間的位置關系，學習尋找圖形之間的異同，獲得建立幾何圖形的知識和技能。有意的去引導學生慢慢忽略圖形的其它非數學特征，進入初步的抽象化，為建立點、線、面、體等概念打好根底。二、教學分析教學建議：教學過程中，應該先注意小學階段的學習根底，按課程標準的要求把握好教學要求，不要刻意拔高。具體在下面幾個環(huán)節(jié)作好教學工作：2〕讀圖教材在編寫過程中也遵循著這樣的規(guī)律：最開始的幾幅圖形是實物照片，是作為題頭圖片要學生欣賞的；接著就是在4.1.1對帳篷、茶葉盒、金字塔的數學抽象，做出了三棱柱、六棱柱、棱錐這三種典型的數學圖形〔線條圖〕，并且有虛線和實線的區(qū)分，立體感強；接著在練習中只給出線條圖形要學生思考相關問題，說明平面圖形在立體圖形中的位置，初步涉及平面和立體的關系；接著在4.1.2開始討論抽象的概念點、線、面、體。正式從“欣賞〞美麗的圖片進入到真正的數學活動，“研究〞根本的數學概念和數學實事。二、教學分析教學建議：教學過程中，應該先注意小學階段的學習根底，按課程標準的要求把握好教學要求，不要刻意拔高。具體在下面幾個環(huán)節(jié)作好教學工作：3〕識圖要通過對豐富的實例的剖析，認識一些常見的幾何圖形，脫離開實例抽象出點、線、面、體，進一步認識點、線、面、體。在平面圖形和立體圖形相互轉換的過程中，初步建立空間觀念，開展幾何直覺；進一步認識直線、射線、線段和角，理解它們的概念，了解有關的一些性質，并能初步應用。認識圖形之間的聯系，認識概念之間的聯系和區(qū)別。二、教學分析教學建議：教學過程中，應該先注意小學階段的學習根底，按課程標準的要求把握好教學要求，不要刻意拔高。具體在下面幾個環(huán)節(jié)作好教學工作：3〕識圖這個過程在教學中特別要注意兩點：一是平面圖和立體圖之間的聯系，以及如何轉換，尋找一些實物圖片和圖形要學生進行操作，加深對展開圖和立體圖的認識，并交給一些根本的方法。比方教材中有正方體的展開圖的學習內容，在教學調查中老師們都感到這局部內容學生學習感到不太容易，好似只要是展開成六個正方形都是可以圍成正方體的。為了進一步加深學習效果，可以要學生自己剪出習題中的平面紙形再試折是否可以復原成正方形，也可以在學習過后作為課后探究對下面問題進行分析：二、教學分析教學建議：教學過程中，應該先注意小學階段的學習根底，按課程標準的要求把握好教學要求，不要刻意拔高。具體在下面幾個環(huán)節(jié)作好教學工作：3〕識圖例：六個正方體A,B,C,D,E,F的可見局部如圖，右邊給出的展開圖是其中兩個正方體的側面展開圖，那么它是正方體____和____的側面展開圖。

二、教學分析教學建議：教學過程中，應該先注意小學階段的學習根底，按課程標準的要求把握好教學要求，不要刻意拔高。具體在下面幾個環(huán)節(jié)作好教學工作：3〕識圖

分析：這一問題可用以下方法加以解答：

1)

將展開圖〔圖1〕圍成正方體時，右下角的正方形A的上邊應與正方形B的右邊重合，所以可將A逆時針旋轉90度，得到圖2

2)

將展開圖〔圖1〕圍成正方體時，正方形A的右邊應與正方形C的左邊重合，所以可將A向左平移，得到圖3。由圖3觀察六個正方體此題就簡單多了，正確答案應為C和E。

二、教學分析教學建議：教學過程中，應該先注意小學階段的學習根底，按課程標準的要求把握好教學要求，不要刻意拔高。具體在下面幾個環(huán)節(jié)作好教學工作：3〕識圖

二是學生對概念的理解，要特別注意認識各個概念的區(qū)別和共同點，比方線段和射線、線段和直線、射線和直線的關系；角概念的實質；各種角的概念、角的書寫等，都是學生在學習中容易出錯的地方。將教材問題稍加推廣，我們可以要學生探究如下形式的問題:例:如圖，C、D、E是線段AB上的三個點，圖中共有多少條線段？

方法：1.以線段的端點為順序來數

2.以根本線段的數量為順序來數

3.遞推法二、教學分析教學建議：教學過程中，應該先注意小學階段的學習根底，按課程標準的要求把握好教學要求，不要刻意拔高。具體在下面幾個環(huán)節(jié)作好教學工作：3〕識圖推廣：直線上有n個點時，可以確定多少條線段？總結：當直線上有n個點時，可以確定n(n-1)/2

條線段。與之類比，繼續(xù)可以向學生提出以下問題：

①

從一點引n條射線,共構成多少個角?

②

平面上有n個點,經過每兩個點作一條直線,最多能做多少條直線?

③

平面上有n條直線,最多能有多少個交點?

④在一個平面上,假設一個角內有n條射線,可以構成多少個角?

注：第④題學生在練習時，錯誤較多，大多數學生照搬n(n-1)/2

的結論，未意識到此時構成角的邊數為(n+2)條。

二、教學分析教學建議：教學過程中，應該先注意小學階段的學習根底，按課程標準的要求把握好教學要求，不要刻意拔高。具體在下面幾個環(huán)節(jié)作好教學工作：4〕想圖教科書中，設置了很多習題，一般都是需要看了問題后先在腦袋里想象立體圖形的“樣子〞來答復，比方三視圖。也設置了許多“思考〞“探究〞等欄目，如從一些圖案中發(fā)現平面圖形；畫出由9個正方體組成的立體圖形從不同方向看到的平面圖形；探索一些常見幾何體的展開圖；通過觀察思考生活中的現象得到關于直線、線段的性質；探索畫一個角等于角的方法等等。通過這些“探究點〞，鼓勵學生勤思考、勤動手、多交流。其中，動手操作是學習開始階段重要的一環(huán)，它可以幫助學生認識圖形，豐富直觀，驗證學生的空間想象。只有真正的有了一定的想象能力，學習幾何才可以說是開始了。要想象圖形，在教學的開始階段，應鼓勵學生先動手、觀察，后分析、思考，逐步過渡到先思考、后動手驗證，做到腦中有圖，并能將腦中的圖在筆下畫出來。教材中這類的練習很多，教學的關鍵是教師不要包辦代替孩子的思維和想象，要做到腦中有圖需要一個比較長的過程。

二、教學分析教學建議：教學過程中，應該先注意小學階段的學習根底，按課程標準的要求把握好教學要求，不要刻意拔高。具體在下面幾個環(huán)節(jié)作好教學工作：5〕說圖學習是需要交流的，學生學習幾何要能看懂、會分析、有思想，更重要的還需要能夠用語言文字和他人進行交流，進行數學交流。幾何圖形是“空間與圖形〞的研究對象，對它的一般描述表示是按“幾何模型→圖形→文字→符號〞這種程序進行的。其中，圖形是將幾何模型第一次抽象后的產物，也是形象、直觀的語言；文字語言是對圖形的描述、解釋與討論；符號語言那么是對文字語言的簡化和再次抽象。顯然，首先建立的是圖形語言，其次是文字語言，再次是符號語言，最后形成的應是對于對象的三種數學語言的綜合描述，有了這種整體認識，三種語言到達融匯貫穿的程度，就能根本把握對象了。在教學中要有意識的加強學生說數學的能力訓練，從直觀看到的圖象，經過內心的分析和抽象，說出或者寫出其數學關系，準確地答復數學問題。要落實好的著重點是平時學生對物體描述的準確和課堂上學生答復以下問題的數學化，以及學生作業(yè)的標準化。前提是對數學對象的準確認識以及對數學概念的準確理解！

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