彈性力學(xué)復(fù)習(xí)題

1、彈性力學(xué)的研究對(duì)象、內(nèi)容及范圍彈性力學(xué)是研究在外界因素〔外力、溫度變化〕的影響下，處于彈性階段的物體所產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變及位移。彈性力學(xué)的研究對(duì)象為一般及復(fù)雜形狀的構(gòu)件、實(shí)體結(jié)構(gòu)、板、殼等。2、彈性力學(xué)的根本假設(shè)〔即滿足什么樣條件的物體是我們?cè)趶椥粤W(xué)中要研究的〕均勻性假設(shè)即物體是由同一種材料所組成的，在物體內(nèi)任何局部的材料性質(zhì)都是相同的。〔用處：物體的彈性參數(shù)，如彈性模量E，不會(huì)隨位置坐標(biāo)的變化而變化〕連續(xù)性假設(shè)即物體的內(nèi)部被連續(xù)的介質(zhì)所充滿，沒有任何孔隙存在?！灿锰帲簭椥泽w的所用物理量均可用連續(xù)的函數(shù)去表示〕完全彈性假設(shè)即當(dāng)我們撤掉作用于物體的外力后，物體可以恢復(fù)到原狀，沒有任何的剩余變形；應(yīng)力〔鼓勵(lì)〕與應(yīng)變〔響應(yīng)〕之間呈正比關(guān)系?！灿锰帲嚎梢允褂镁€性虎克定律來(lái)表示應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系〕各向同性假設(shè)即物體內(nèi)任意一點(diǎn)處，在各個(gè)方向都表現(xiàn)出相同的材料性質(zhì)?！灿锰帲何矬w的彈性參數(shù)可以取為常數(shù)〕小變形假設(shè)即在外力的作用下，物體所產(chǎn)生的位移和形變都是微小的?！灿锰帲嚎梢栽谀承┓匠痰耐茖?dǎo)中略去位移和形變的高階微量〕5、平面問(wèn)題的根本方程平面問(wèn)題的根本方程包括：〔1〕平衡方程；〔2〕幾何方程；〔3〕物理方程平面問(wèn)題的根本量有8個(gè)，分別是：3個(gè)應(yīng)力分量：、、；3個(gè)形變分量：、、；2個(gè)位移分量：、〔1〕平衡方程平衡方程描述的是體力分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系；上述平衡方程對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題均適用〔2〕幾何方程幾何方程描述的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系；；〔3〕物理方程物理方程描述的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程為：平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程為：3、彈性力學(xué)的根本量表1直角坐標(biāo)表示的各種根本量情況根本量空間問(wèn)題平面問(wèn)題量綱正負(fù)號(hào)規(guī)定未知量正應(yīng)力、、、[力/長(zhǎng)度-2]正面以坐標(biāo)軸正向?yàn)檎回?fù)面以坐標(biāo)軸負(fù)向?yàn)檎?。剪?yīng)力、、[力/長(zhǎng)度-2]正應(yīng)變、、、無(wú)量綱線段伸長(zhǎng)為正剪應(yīng)變、、無(wú)量綱角度減小為正位移、、、[長(zhǎng)度]沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎矿w力、、、[力/長(zhǎng)度-3]沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎媪?、、、[力/長(zhǎng)度-2]沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?、兩類平面問(wèn)題的概念〔1〕平面應(yīng)力問(wèn)題〔應(yīng)力是平面的；變形是空間的〕如下圖薄板，其方向的尺寸比其他兩個(gè)方向上的尺寸小得多；外力和體力都平行于板面，并且沿著板的厚度沒有變化，這樣的問(wèn)題稱為平面應(yīng)力問(wèn)題?！?〕平面應(yīng)變問(wèn)題假設(shè)物體在方向的尺寸比在其他兩個(gè)方向上的尺寸大得多，如下圖很長(zhǎng)的壩體，外力及體力沿著方向沒有變化，那么這類問(wèn)題稱為平面應(yīng)變問(wèn)題?！?〕兩類平面問(wèn)題的一些特征空間問(wèn)題的根本未知量共有8個(gè)，每個(gè)根本未知量?jī)H僅是坐標(biāo)的函數(shù)。表2兩類平面問(wèn)題的一些特征名稱平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題未知量量未知量量位移、、應(yīng)變、、、、應(yīng)力、、、、外力體力、面力的作用面平行于平面；外力沿板厚均勻分布體力、面力的作用面平行于平面；外力沿軸無(wú)變化形狀向尺寸遠(yuǎn)小于板面尺寸〔等厚度薄板〕向尺寸遠(yuǎn)大于平面內(nèi)的尺寸〔等截面長(zhǎng)柱體〕6、平面問(wèn)題的邊界條件彈性力學(xué)問(wèn)題的邊界條件，簡(jiǎn)單的說(shuō)就是用來(lái)描述彈性體邊界上所受的外部作用。這個(gè)外部作用可以是面力的作用，也可以是對(duì)位移的約束，也可以是兩者的綜合作用。因此對(duì)于彈性體的每一條邊而言，其邊界條件為如下三種類型的其中一種：〔1〕位移邊界條件假設(shè)在彈性體的全部邊界上給定了位移分量和，那么位移邊界條件為：；〔2〕應(yīng)力邊界條件假設(shè)在彈性體的全部邊界上給定了面力分布、，那么應(yīng)力邊界條件為：〔3〕混合邊界條件假設(shè)在彈性體的局部邊界上給定了位移分量和，另外一局部邊界上給定了面力分量、，那么混合邊界條件為：在上：；在上：；〔4〕圣維南原理及其對(duì)邊界條件的簡(jiǎn)化對(duì)于彈性體的邊界而言，如果能在所有的邊界上都可以找到精確滿足以上三種類型之一的邊界條件是最好不過(guò)的情況了。因?yàn)檫@個(gè)時(shí)候我們就可以通過(guò)求解根本方程來(lái)了解彈性體中任意位置處的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。但是對(duì)于具體的問(wèn)題來(lái)說(shuō)，要想使得每條邊上的邊界條件得到完全滿足是非常困難的。邊界條件得不到完全的滿足，就意味著我們得不到彈性體內(nèi)任意位置處的精確解。既然得不到任意位置處的精確解，那么就要考慮是否能在彈性體內(nèi)部的大局部區(qū)域獲得精確的結(jié)果。為實(shí)現(xiàn)這一目的，人們需要找到一種方法去處理不能完全滿足邊界條件的彈性體邊界。而法國(guó)學(xué)者圣維南，就是成功找到了處理方法之一的牛人。圣維南所提出的處理方法，是針對(duì)應(yīng)力邊界條件的。他于1855年提出了這樣一種說(shuō)法：如果將分布在物體的某個(gè)小局部邊界上的面力，替換為與原來(lái)的面力分布方式不同但是靜力等效的另外一種面力，那么，由于進(jìn)行了這種替換而在彈性體內(nèi)部所產(chǎn)生的影響，只局限于這一小局部邊界附近的局部區(qū)域，對(duì)于遠(yuǎn)離這一小局部邊界的區(qū)域，替換所產(chǎn)生的影響可以忽略不計(jì)。7、平面問(wèn)題中的應(yīng)力分析〔1〕過(guò)彈性體中某點(diǎn)的任一斜截面〔該斜截面的法線方向與軸夾角的余弦為；與軸夾角的余弦為〕上的正應(yīng)力、剪應(yīng)力的計(jì)算公式：〔2〕彈性體中任一點(diǎn)處的主應(yīng)力和可由下式求得：〔3〕主應(yīng)力和與軸的夾角和可由下式求得：；〔的方向與的方向互相垂直〕二、平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答前面我們主要建立了平面問(wèn)題的根本方程。對(duì)于平面問(wèn)題而言，根本方程包括2個(gè)平衡方程、3個(gè)幾何方程和3個(gè)物理方程。這8個(gè)方程對(duì)應(yīng)著8個(gè)未知量〔3個(gè)應(yīng)力分量：、、；3個(gè)應(yīng)變分量：、、；2個(gè)位移分量：、〕。彈性力學(xué)要解決的平面問(wèn)題，簡(jiǎn)單說(shuō)就是研究在不同的邊界條件下如何求解這8個(gè)未知量。本局部就是研究在平面直角坐標(biāo)系下，求解這8個(gè)未知量的方法。【通常的求解方法】〔體力是坐標(biāo)的函數(shù)〕-------------------------------------------------------------------------------------------------------1、按位移求解平面問(wèn)題〔位移法〕[詳見書p33圖2-19]位移法的解題思想：以位移分量作為根本未知量，由一些只包含位移分量的微分方程和邊界條件求解出位移分量。位移分量求出來(lái)之后，利用幾何方程求出形變分量，進(jìn)而將形變分量代入物理方程求出應(yīng)力分量。按位移法求解平面問(wèn)題〔平面應(yīng)力問(wèn)題〕，位移分量必須滿足以下全部條件：〔1〕用位移表示的平衡方程〔2〕用位移表示的應(yīng)力邊界條件〔3〕位移邊界條件；總結(jié)：按照位移法求解平面應(yīng)力問(wèn)題，就是要使得位移分量滿足〔1〕中的平衡方程，同時(shí)還要在邊界上滿足邊界條件〔視具體的邊界而定需要滿足應(yīng)力邊界or位移邊界or兩者兼有〕。在求出位移分量以后，即可利用幾何方程求出形變分量，進(jìn)而利用變換后的物理方程〔應(yīng)力用應(yīng)變表示〕求出應(yīng)力分量。當(dāng)問(wèn)題為平面應(yīng)變問(wèn)題時(shí)，注意應(yīng)將上述方程中的；位移法求解平面問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，就是求解滿足上述平衡方程和邊界條件的位移分量u、v，然后利用求解出的位移分量去求解形變分量〔幾何方程〕和應(yīng)力分量〔物理方程〕。2、按應(yīng)力求解平面問(wèn)題〔應(yīng)力法〕[詳見書p37圖2-21]應(yīng)力法的解題思想：以應(yīng)力分量作為根本未知量，由一些只包含應(yīng)力分量的微分方程和邊界條件求解出應(yīng)力分量，再利用物理方程求出形變分量，進(jìn)而利用幾何方程求出位移分量。按應(yīng)力求解平面問(wèn)題〔平面應(yīng)力問(wèn)題〕，應(yīng)力分量必須滿足以下全部條件：〔1〕平衡方程〔2〕相容方程〔3〕應(yīng)力邊界條件〔4〕對(duì)于多連體問(wèn)題，還要考慮位移的單值條件。應(yīng)力法求解平面問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，就是求解滿足上述平衡方程、相容方程及邊界條件的應(yīng)力分量，然后利用求解出來(lái)的應(yīng)力分量去求解形變分量〔物理方程〕和位移分量〔幾何方程〕?！咎厥獾膽?yīng)力法】對(duì)于單連體問(wèn)題而言〔在常體力情況下，利用應(yīng)力法求解平面問(wèn)題時(shí)可以使求解方法得到簡(jiǎn)化〕-------------------------------------------------------------------------------------------------------之前我們討論的體力是坐標(biāo)的函數(shù)，即構(gòu)成彈性體的假設(shè)干個(gè)微小單元體所受到的體力不是相同的。非常體力情況下體力分量是分別關(guān)于x、y的函數(shù)〔、〕。1、常體力情況：構(gòu)成彈性體的假設(shè)干個(gè)微小單元體所受到的體力均相同。常體力情況下，體力分量是兩個(gè)常數(shù)2、在常體力情況下可以對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化的依據(jù)常體力情況下，應(yīng)力的相容方程為：即：那么現(xiàn)在對(duì)于問(wèn)題的求解就轉(zhuǎn)化為求解以下方程的解：①平衡方程：②相容方程：③應(yīng)力邊界條件：；上述方程中均不含有彈性參數(shù)〔、〕，對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題均適用。3、常體力情況下可以做哪些簡(jiǎn)化①、針對(duì)任一彈性體所求解出來(lái)的應(yīng)力分量，適用于具有同樣邊界并且受同樣外力的其他材料的物體?！惨?yàn)榻Y(jié)果與材料的彈性參數(shù)無(wú)關(guān)〕②、針對(duì)平面應(yīng)力問(wèn)題所求出的應(yīng)力分量，也同樣適用于邊界相同、外力相同的平面應(yīng)變問(wèn)題。〔因?yàn)榻Y(jié)果與彈性參數(shù)無(wú)關(guān)，所以無(wú)需進(jìn)行和的替換〕③、對(duì)于應(yīng)力邊值問(wèn)題，可以將彈性體所受體力的作用改換為面力的作用，以便于解答問(wèn)題或試驗(yàn)量測(cè)，從而為試驗(yàn)應(yīng)力分析提供方便。④、可將原來(lái)所要求解的三個(gè)未知的應(yīng)力分量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化只求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù)即可。4、常體力情況下利用應(yīng)力函數(shù)求解平面問(wèn)題在按應(yīng)力求解平面應(yīng)力邊值問(wèn)題時(shí)，只需求出一個(gè)滿足應(yīng)力函數(shù)相容方程的應(yīng)力函數(shù)即可【見下①】。在求出應(yīng)力函數(shù)后，即可利用應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量之間的關(guān)系求解出應(yīng)力分量【見下②】，注意求解出的應(yīng)力分量要在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件【見下③】，對(duì)于多連體問(wèn)題，還要滿足位移的單值條件。①應(yīng)力函數(shù)需要滿足的相容方程為：或?qū)懽鳍趹?yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量之間的關(guān)系為：③由上述關(guān)系式求出的應(yīng)力分量要在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件為：引入應(yīng)力函數(shù)后，就可以將應(yīng)力法中所要求解的三個(gè)方程轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)關(guān)于應(yīng)力函數(shù)的相容方程即可，即使得問(wèn)題得到了簡(jiǎn)化。5、求解應(yīng)力函數(shù)的方法——逆解法與半逆解法既然使用應(yīng)力函數(shù)可以使得問(wèn)題得到較大程度的簡(jiǎn)化，那么如何求解這個(gè)應(yīng)力函數(shù)呢？我們說(shuō)有兩種求解應(yīng)力函數(shù)的方法：逆解法與版逆解法。〔1〕逆解法的求解步驟：①首先找出滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)；②由應(yīng)力函數(shù)求解出應(yīng)力分量③在給定邊界的形狀〔邊界方程〕下，根據(jù)應(yīng)力邊界條件，由應(yīng)力反推出面力。從而得出在此組面力下，其解答就是上述應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力?！?〕半逆解法的求解步驟：①根據(jù)邊界形狀和受力情況，假設(shè)出局部〔或全部〕應(yīng)力分量的形式；②根據(jù)應(yīng)力分量和應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系，由給出的局部的應(yīng)力分量推求出應(yīng)力函數(shù)；③驗(yàn)證推求出的應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程；如不滿足，那么重新回到①；④如滿足，那么根據(jù)應(yīng)力函數(shù)求出其余的應(yīng)力分量；⑤驗(yàn)證全部應(yīng)力分量是否滿足應(yīng)力邊界條件〔對(duì)于多連體問(wèn)題，還需要滿足位移的單值條件〕，如果不滿足，那么重新回到①；如滿足，那么得到問(wèn)題的解答。三、平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答平面極坐標(biāo)問(wèn)題的研究思路與平面直角坐標(biāo)系一樣，也是研究如何求解8個(gè)根本未知量的求解方法。但是由于坐標(biāo)系的變化〔由〔、〕〔、〕〕，因此在平面問(wèn)題中的8個(gè)根本未知量在極坐標(biāo)系中表示為：3個(gè)應(yīng)力分量：、、；3個(gè)形變分量：、、；2個(gè)位移分量：、。平面極坐標(biāo)問(wèn)題也有平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題兩種類型。平面應(yīng)力：如圓環(huán)、圓盤等；平面應(yīng)變：如圓筒〔半平面體視具體情況分析而定〕求解這8個(gè)根本未知量的方程〔即根本方程〕為：〔1〕平衡方程：〔2〕幾何方程：；；〔3〕物理方程〔平面應(yīng)力問(wèn)題〕；；平面應(yīng)變問(wèn)題中的物理方程：將；求解上述8個(gè)方程的方法我們僅介紹了應(yīng)力函數(shù)方法〔體力為零的條件下〕。與平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)力函數(shù)法一樣，在極坐標(biāo)系中，我們需要找出一個(gè)應(yīng)力函數(shù)，然后根據(jù)極坐標(biāo)下應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量之間的關(guān)系得到應(yīng)力分量及相應(yīng)的位移。當(dāng)然，這里的應(yīng)力函數(shù)也不是隨便取一個(gè)就可以，它仍然要滿足相容方程。在極坐標(biāo)下，應(yīng)力函數(shù)所要滿足的相容方程為：應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量之間的關(guān)系為：求解出來(lái)的應(yīng)力分量，同樣需要在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件〔對(duì)于多連體，比方說(shuō)圓筒，還要滿足位移的單值條件〕。在極坐標(biāo)系中，常見的應(yīng)力邊界有：=的〔徑向〕面力分量；=的剪切面力分量或=的〔環(huán)向〕面力分量；=的剪切面力分量對(duì)于具體的問(wèn)題，要根據(jù)所建立的坐標(biāo)系來(lái)寫出應(yīng)力邊界條件。特殊的情況：軸對(duì)稱問(wèn)題在軸對(duì)稱問(wèn)題中，應(yīng)力分量是軸對(duì)稱的，形變分量是軸對(duì)稱的；但是位移分量不一定是軸對(duì)稱的。在彈性體不存在剛體位移或存在軸對(duì)稱約束的情況下，位移分量也是軸對(duì)稱的。軸對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)：軸對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)力分量：軸對(duì)稱問(wèn)題相應(yīng)的位移〔平面應(yīng)力問(wèn)題〕：如果是多連體問(wèn)題，由于位移需要滿足單值條件，故;如果位移也是軸對(duì)稱的，那么有。接觸問(wèn)題：接觸類型：4種〔參見書P103〕對(duì)于兩個(gè)彈性體相互接觸的問(wèn)題，要注意對(duì)于不同的彈性體有不同的彈性參數(shù)和，以及不同的待定常數(shù)A、B、C、H、I、K。對(duì)于接觸問(wèn)題，要注意在接觸面上還有連續(xù)條件，即力和位移都是連續(xù)的。四、空間問(wèn)題的根本理論1、根本方程：平衡方程：幾何方程：；；；；；物理方程〔平面應(yīng)力問(wèn)題〕：2、邊界條件：〔1〕位移邊界條件：；；〔2〕應(yīng)力邊界條件：