廣義胡克定律

§10.4空間應(yīng)力狀態(tài)及廣義胡克定律一、空間應(yīng)力狀態(tài)簡介當單元體上三個主應(yīng)力均不為零時的應(yīng)力狀態(tài)稱為空間應(yīng)力狀態(tài)，也稱為三向應(yīng)力狀態(tài)。本節(jié)只討論在主應(yīng)力σ1、σ2、σ3的條件下，單元體的最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。先研究一個與σ1平行的斜截面上的應(yīng)力情況，如圖10-16(a)所示。該斜面上的應(yīng)力σ、τ與σ1無關(guān)，只由主應(yīng)力σ2、σ3決定。于是，可由σ2、σ3確定的應(yīng)力圓周上的點來表示平行于σ1某個斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。同理，在平行于σ2或σ3的斜面上的應(yīng)力σ、τ，也可分別由〔σ1、σ3〕或〔σ1、σ2〕確定的應(yīng)力圓來表示。這樣作出的3個應(yīng)力圓稱作三向應(yīng)力圓，如圖10-16〔d〕所示。當與三個主應(yīng)力均不平行的任意斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力必然處在三個應(yīng)力圓所圍成的陰影范圍之內(nèi)的某一點D。D點的縱橫坐標值即為該斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。由于D點確實定比擬復(fù)雜且不常用，在此不作進一步介紹。圖10-16圖10-16空間應(yīng)力狀態(tài)及其應(yīng)力圓二、最大、最小正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力從圖10-16(d)看出，在三個應(yīng)力圓中，由σ1、σ3所確定的應(yīng)力圓是三個應(yīng)力圓中最大的應(yīng)力圓，又稱極限應(yīng)力圓。畫陰影線的局部內(nèi)，橫坐標的極大值為Al點，而極小值為B1點，因此，單元體正應(yīng)力的極值為：σmax=σ1，σmin=σ3單元體中任意斜面上的應(yīng)力一定在σ1和σ3之間。而最大剪應(yīng)力那么等于最大應(yīng)力圓上Gl點的縱坐標，即等于該應(yīng)力圓半徑：Gl點在由σ1和σ3所確定的圓周上，此圓周上各點的縱橫坐標就是與σ2軸平行的一組斜截面上的應(yīng)力，所以單元體的最大剪應(yīng)力所在的平面與σ2軸平行，且與σ1和σ3主平面交450。三、廣義胡克定律在研究單向拉伸與壓縮時，已經(jīng)知道了在線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系，滿足胡克定律〔a〕此外，軸向變形還將引起橫向尺寸的變化，橫向線應(yīng)變根據(jù)材料的泊松比可得出：〔b〕在純剪切的情況下，根據(jù)實驗結(jié)果，在剪應(yīng)力不超過剪切比例極限時，剪應(yīng)力和剪應(yīng)變之間的關(guān)系服從剪切胡克定律，即或〔c〕對于復(fù)雜受力情況，描述物體一點的應(yīng)力狀態(tài)，通常需要9個應(yīng)力分量，如圖10.1所示。根據(jù)剪應(yīng)力互等定律，τxy=－τyx，τxz=－τzx，τyz=－τzy，因而，在這9個應(yīng)力分量中只有6個是獨立的。這種情況可以看成是三組單向應(yīng)力〔圖10-17〕和三組純剪切的組合。對于各向同性材料，在線彈性范圍內(nèi)，處于小變形時，線應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān)，與剪應(yīng)力無關(guān)；而剪應(yīng)變只與剪應(yīng)力有關(guān)，與正應(yīng)力無關(guān)，并且剪應(yīng)力只能引起與其相對應(yīng)的剪應(yīng)變分量的改變，而不會影響其它方向上的剪應(yīng)變。因此，求線應(yīng)變時，可不考慮剪應(yīng)力的影響，求剪應(yīng)變時不考慮正應(yīng)力的影響。于是只要利用〔a〕、〔b〕、〔c〕三式求出與各個應(yīng)力分量對應(yīng)的應(yīng)變分量，然后進行疊加即可。圖10-17應(yīng)力分解如在正應(yīng)力σx單獨作用時(圖10-17(b))，單元體在x方向的線應(yīng)變；在σy單獨作用時(圖10-17(c))，單元體在x方向的線應(yīng)變?yōu)椋?；在σz單獨作用時(圖10-17(d))，單元體在x方向的線應(yīng)變?yōu)?；在σx、σy、σz共同作用下，單元體在x方向的線應(yīng)變?yōu)椋和?，可求出單元體在y和z方向的線應(yīng)變εy和εz。最后得〔10-9〕對于剪應(yīng)變與剪應(yīng)力之間，由于剪應(yīng)變只與剪應(yīng)力有關(guān)，并且剪應(yīng)力只能引起與其相對應(yīng)的剪應(yīng)變分量的改變，而不會影響其它方向上的剪應(yīng)變。因而仍然是〔c〕式所表示的關(guān)系。這樣，在xy、yz、zx三個面內(nèi)的剪應(yīng)變分別是〔10-10〕公式〔10-9〕和〔10-10〕就是三向應(yīng)力狀態(tài)時的廣義胡克定律。當單元體的六個面是主平面時，使x、y、z的方向分別與主應(yīng)力σ1、σ2、σ3的方向一致，這時有廣義胡克定律化為：〔10-11〕ε1、ε2、ε3方向分別與主應(yīng)力σ1、σ2、σ3的方向一致，稱為一點處的主應(yīng)變。三個主應(yīng)變按代數(shù)值的大小排列，ε1≥ε2≥ε3，其中，ε1和ε3分別是該點處沿各方向線應(yīng)變的最大值和最小值。圖10-18主應(yīng)力單元體四、體積應(yīng)變圖10-18主應(yīng)力單元體單位體積的改變稱為體積應(yīng)變〔體應(yīng)變〕。圖10-18所示的主單元體，邊長分別是dx、dy和dz。在3個互相垂直的面上有主應(yīng)力σ1、σ2和σ3。單元體變形前的體積為:v=dxdydz;變形后的體積為：v1=〔dx+ε1dx)(dy+ε2dy)(dz+ε3dz)那么體積應(yīng)變?yōu)椋郝匀ジ唠A微量，得〔10-12〕將廣義胡克定律式(10-11)代入上式，得到以應(yīng)力表示的體積應(yīng)變〔10-13〕令〔10-14〕那么〔10-15〕式中：稱為體積彈性模量，σm稱為平均主應(yīng)力。公式〔10-15〕說明，體積應(yīng)變θ與平均主應(yīng)力σm成正比，即體積胡克定律。單位體積的體積改變只與三個主應(yīng)力之和有關(guān)，至于三個主應(yīng)力之間的比例對體積應(yīng)變沒有影響。假設(shè)將圖10-19〔a〕中所示單元體分解為〔b〕和〔c〕兩種情況的疊加，在〔c〕圖中，由于各面上的主應(yīng)力為平均主應(yīng)力，該單元體各邊長按相同比例伸長或縮短，所以單元體只發(fā)生體積改變而不發(fā)生形狀改變。在圖〔b〕中，三個主應(yīng)力之和為零，由式〔10-13〕可得其體積應(yīng)變θ也為零，說明該單元體只發(fā)生形狀改變而不發(fā)生體積改變。由此可知，圖〔a〕所示的單元體的變形將同時包括體積改變和形狀改變。圖10-19單元體應(yīng)力的組合圖10-19單元體應(yīng)力的組合五、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的彈性變形比能彈性變形比能是指物體在外力作用處于彈性狀態(tài)下，在單位體積內(nèi)儲存的變形能。在單向應(yīng)力狀態(tài)下，當應(yīng)力σ與應(yīng)變ε滿足線性關(guān)系時，根據(jù)外力功和應(yīng)變能在數(shù)值上相等的關(guān)系，導(dǎo)出變形比能的計算公式為在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的單元體的變形比能為將將廣義胡克定律(10.11)式代入上式，經(jīng)過整理后得出：〔10-16〕式〔10-16〕就是在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下桿件的彈性變形比能計算公式。由于單元體的變形包括體積改變和形狀改變，所以變形比能也可以看成由體積改變比能和形狀改變比能這兩局部的組合。式中：為體積改變比能，為形狀改變比能。對于圖〔10-19〔c〕〕中的單元體，各面上的正應(yīng)力為：，將σm代入式〔10-16〕得體積改變比能：〔10-17〕形狀改變比能：〔10-18〕例10-7如圖10