數(shù)學(xué)初高中銜接教材

第一篇知識(shí)篇

第一章數(shù)與式

第一講實(shí)數(shù)

接前訓(xùn)練

1.北京市申辦2020年冬奧會(huì),取到了全國(guó)人民的熱情支持，某日北京申奧網(wǎng)站的訪問(wèn)人次為201949,用四舍五

入法取近似值保留兩位有效數(shù)字為（）

A.2.0xl05B.2.0xl06C.2xl05D.0.2xl06

2.計(jì)算|-3|+16+（-2）3+（2008--6tan60。+/=.

]

3.分母有理化:

V3+V22+百

1111

則計(jì)算-------------1------------------1------------------1-…H-----------------------（〃為正整數(shù)）.

i+夜無(wú)+6冊(cè)

4.若實(shí)數(shù)a,仇c滿足(“+l)2+M+2|+d=0,則3+c)〃=.

初高銜接

1.數(shù)系擴(kuò)充

數(shù)的概念是由人類生產(chǎn)、生活的實(shí)踐和科學(xué)研究的需要而逐漸形成和發(fā)展起來(lái)的，隨著科學(xué)的發(fā)展，數(shù)的概念

也取到發(fā)展.

現(xiàn)在我們從“解方程”這個(gè)角度考察數(shù)的發(fā)展過(guò)程.

方程“x+l=0”在正整數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解而在整數(shù)范圍內(nèi)有解，所以把數(shù)的概念從“正整數(shù)”擴(kuò)展到“整數(shù)”,從

而解決了這類方程的解的問(wèn)題

但“2x+l=0”這類方程在整數(shù)范圍內(nèi)還是無(wú)解,把數(shù)的概念從“整數(shù)”擴(kuò)展到“有理數(shù)”，這類方程就變得

有解.

把數(shù)的概念從“有理數(shù)”擴(kuò)展到“實(shí)數(shù)”，可以使“丁=2”這種原來(lái)在有理數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解的方程，在實(shí)數(shù)范

圍內(nèi)變得有解.

但即使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，像V+1=0這種的方程還是無(wú)解，所以人們考慮數(shù)的概念還應(yīng)繼續(xù)發(fā)展，到16世紀(jì)，人

們開(kāi)始引進(jìn)一個(gè)新的數(shù)i,叫“虛數(shù)單位”，并規(guī)定尸=-1,使數(shù)的概念發(fā)展到“復(fù)數(shù)”.這樣,數(shù)的分類表可以擴(kuò)充

為：

啟航一一初高中銜接教程數(shù)學(xué)

「正整數(shù)

「自然數(shù)J

「整數(shù)4i°

-有理數(shù)一i負(fù)整數(shù)

＜實(shí)數(shù)Yl分?jǐn)?shù)

一無(wú)理數(shù)

復(fù)數(shù)＜

、虛數(shù)

由于規(guī)定了i2=-1,那么方程尤2=7就可以變成f=i2,則x=±i,從中x=±i是方程幺=_1的兩個(gè)根，事

實(shí)上,i還具有如下性質(zhì)：

i'=i,

i2=-l,

i'--i2?i=(—l)?i=—i,

i4=(i2)2=(-l)2=l,

?S?4????

r=i?1==i,

i6=(i2)3=(-l)3=-l,

i7=i6?i=(—l)?i=—i,

i8=(i4)2=l,

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b+d)i

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

a+b\_{a+b\\c-di)_(ac+bd)+(be-ad)\

c+dic2-(Ji)2c2+d2

2.集合

在學(xué)習(xí)有理數(shù)一章時(shí)，在教材中出現(xiàn)了諸如“正數(shù)集合”“負(fù)數(shù)集合”“有理數(shù)集合”等概念，那么什么是"集合”

呢？

一般地，某些指定的對(duì)象匯集在一起就成為一個(gè)集合，集合中每一個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素，我們用大寫字

母A,8,C…表示集合.

明確集合中元素的確定性、互異性.集合元素的確定性是指集合中的元素是確定的，即任何一個(gè)對(duì)象都能明確

它是或不是某個(gè)集合的元素，兩者必居其一,它是判斷一組對(duì)象是否形成集合的標(biāo)準(zhǔn)；互異性是指給定的一個(gè)集合

的元素中，任何兩個(gè)元素都是不同的，因而在同一個(gè)集合中，不能重復(fù)出現(xiàn)同一元素，這一點(diǎn)常被我們所忽略.

如圖①，兩個(gè)集合A和8的公共部分中的陰影部分叫做集合A和8的交集，記為AQ3,集合4和8合并到一

起得到的集合叫做集合A和8的并集（如圖②中的陰影部分），記為AU8.

例如A={1,3,5,7},8={2,3,4,5}，則Afi8={3,5},4\JB={1,2,3,4,5,7}.

—2—

例題引路

例1請(qǐng)你根據(jù)虛單位的性質(zhì),計(jì)算：

(1)i4,,+l；(2)i4,,+2；(3)i4,,+3；(4)(l±i)2；

答案(1)i；(2)-1；(3)-i；(4)±2i；(5)0；(6)-1.

例2請(qǐng)解下列問(wèn)題

(1)已知,A=｛3,5,6,9｝,8=｛2,6,7,9｝或An8,AU8.

(2)已知,A=｛直角三角形｝,6=｛等腰三角形｝，求

(3)已知,A=｛銳角三角形｝,8=｛鈍角三角形｝，求AU8.

(4)下列各組對(duì)象中不能構(gòu)成集合的是()

A.高一(1)班全體女生

B.高一(1)班全體學(xué)生家長(zhǎng)

C.高一(1)班開(kāi)設(shè)的所有課程

D.高一(1)班身高較高的男同學(xué)

(5)若以集合5=｛。,Ac｝中的三個(gè)元素為邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)三角形，那么這個(gè)三角形一定不是()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

答案(1)An3=｛6,9｝,AU8=｛2,3,5,6,7,9｝;(2)AnB=｛等腰直角三角形｝;

(3)AUB={斜三角形};(4)D;(5)D

鞏固練習(xí)

2.已知2(Vx+Jy-1+Jz-2)=x+y+z,求x,y,z的值.

3.計(jì)算:晅=(l+2if

2-i3-4i

4.設(shè)A={x|x<5},B={x|x20},tJ=).

5.設(shè)A=｛xlx是平行四邊形｝乃二｛x|x是矩形｝，則AU8=次僅是｝.

第二講整式與分式

接前訓(xùn)練

1.若f—4=0,則代數(shù)式Q+1)2一x(Y+x)_x_7的值為.

啟航一一初高中銜接教程數(shù)學(xué)

2.已知0<a<],則代數(shù)式a—b,a+匕,a+〃，合+匕中,對(duì)任意。力對(duì)應(yīng)代數(shù)式的值最大的是.

3.分解因式:x“-16=；xy1-2xy+x=.

.已知求(—^~~——

4x2+*-6=0,2+x14-x力的值?

U-4x+4Ix-x1)2x

初高銜接

1.乘法公式

我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了一些乘法公式：

平方差公式：34-b)(a-b)=a2-b\

完全平方公式;(a±bY==a2±2ab+b2；

常用變形：。2+h2=(a±h)2+2ab;

(。++(tz—b)"—2CT+2b2;

(〃+b)2-(a-b)2=4ab.

現(xiàn)在我們來(lái)計(jì)算(a+力(/-瑟+〃)等于多少？

由多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，有

33

(a+b)(cr一〃/7+〃)=/一〃%+?！?+。％-加+/?=a+h

即3+b)32—ab+〃)="+/,此公式稱為立方和公式.類似地，我們還可以得出一些常用的公式：

立方差公式:(a-b)(a2+曲+/)=/一從

完全立方公式:(〃+。)3=6?+3//?+3/2+//,(。一。)3=_3a2/?+-b3

三數(shù)和平方公式:(〃+b+c)2=。2+Z?2+/+lab+2hc+2ac

2.分解因式

我們學(xué)過(guò)的因式分解主要方法有:提公因式法、公式法，現(xiàn)在我們介紹分組分解法，十字相乘法、求根公式法.

(I)分組分解法

把式子(a+Z?)(c+d)=ac+ad+be+bd反過(guò)來(lái)，我們有：

ac+ad+be+bd=(a+b)(c+d)

這就是說(shuō),我們將多項(xiàng)式公+〃+歷+兒/進(jìn)行了分解因式，這個(gè)過(guò)程我們可以看成是如下的操作：

ac+ad+bc+bd

=(ac++(he+切)(將原來(lái)的四項(xiàng)分成兩組)

=a(c+d)+b(c+d)(分別提公因式)

=(c+d)(a+b)[提公因式(c+d)]

這樣利用分組來(lái)分解因式的方法稱為分組分解法.

(II)十字相乘法

我們來(lái)討論%2+(。+b)x+ab這類二次三項(xiàng)式的因式分解

—4—

我們注意到：在該多項(xiàng)式中，二次項(xiàng)Y可以分解成兩個(gè)X的積(如圖中左邊的兩個(gè)X),而。人又可以分解成。

與b的積(如圖中右邊的兩個(gè)數(shù)。與匕)，再分別將左上方的X與右下方的。、左下方的X與右上方的。之間用線

段下連并相乘，就得到了關(guān)于X的一次項(xiàng)“龍與人X,它們的和也就是原多項(xiàng)式的中間一項(xiàng)(a+b)x

事實(shí)上：

x2+(a+b)x+ab

=x2+ax+hx+ah

=x(x+a)+/?(x+。)

=(x+a)(x+b)

因此f+3+b)x+a力=(x+a)(x+b)

像上述這種方法，我們稱為十字相乘法.

由上可知，在利用十字相乘法來(lái)分解關(guān)于X的二次多項(xiàng)式時(shí)，可仿照上圖，將X的二次項(xiàng)分解成兩個(gè)一次項(xiàng)的

乘積，寫成兩行(上下對(duì)齊)，再將不含X的項(xiàng)分解成兩個(gè)數(shù)(或式)的乘積，在X的兩個(gè)一次項(xiàng)的右邊寫成兩行,

并將左上與右下、左下與右上用線段相連，使得它們乘積的和等于工的一次項(xiàng).

(III)求根公式法

若關(guān)于X的一元二次方程ax?+bx+c=O(a/0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為A%則二次三項(xiàng)式62+bx+c(〃wO)可分

解為。*一大)(工一工2)?

1

即ax+hx+c=a(x—x,)(x—x2).

3.繁分式

aa-^-b+c

像-這樣，分子或分母中又含有分式的式子叫做繁分式，在化簡(jiǎn)繁分式時(shí)，通常利用分式的基本性

c+db+c

質(zhì)，在分式的分子、分母中，同乘分子、分母的最簡(jiǎn)公分母.如

x\+xX

------?-------=-------

1+x2+x2+x

啟航一一初高中銜接教程數(shù)學(xué)

例題引路

例1計(jì)算：

(1)(y-3)(y?+3y+9)；(2)(1一〃)(1+。)(/+。+1)(。2-a+1)；(3)(a-h+c)2；

(4)已知”+力=3,次>=—1,求I+作的值.

答案(1)y3-27；(2)1一。6；(3)a1+b1+c2-2ab-2bc+lac；(4)36.

例2分解因式：

(1)a2-ab+ac-be；(2)x2-y2+ax+ay；

(3)-n2+2mn,(4)4/-12"+處?-25.

例3分解因式：

(1)d-5x+6；(2)X2+4X-\2；

(3)(x2+x+l)(x2+x+2)-12；(4)xy+x-y-\.

例4在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

(1)x2+2x—l；(2)x2-4xy-4y2

解析(1)令x2+2x-l=0,解為斗=-1+3,玉=-1-應(yīng)，

則/+2*_]=[*_(_[+夜)][工_(-[_及)]

=(x+l-V2)(x+i+>/2).

(2)令犬-4孫-4y2=0(視為關(guān)于X的一元二次方程)，

解為％=(2+20)》,芻=(2-2立)y

則X2—4xy—Ay2=[x-(2+2\[2)y\[x—(2—2y[2)y]

=(x-2y-2五y)(x—2y+2夜)y

點(diǎn)評(píng)：1.若一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)最簡(jiǎn)比為偶數(shù)，則還可用配方法實(shí)施因式分解，不妨一試；

2.對(duì)于兩變?cè)獂,y同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，常用“主元法”視其一變?cè)獮橹髟?，另一元視為“常?shù)”，注意其根有這個(gè)“常數(shù)”.

3.對(duì)于五+bx+c=a(x-X1)(x-X2),注意不忘掉a，如下問(wèn)題:若3,-2是一元二次方程4犬+for+c=0的兩根,

則二次三項(xiàng)式4x2+bx+c=4(x+2)(x-3)(不需求"c)

例5化簡(jiǎn)

3-x32一專

(1)

2x-4

a2-3a

(2)c廠—6a+9

a2-5a

x-35

解:(1)原式=-

2(X-2)

-6-

x-3(x+3)(九-3)

2(x—2)x—2

x-3x-2

-_2(x-2)(x+3)(x-3)

1

=------.

2x+6

(2)原式=.二一3)3+5)(。_6)=上

(。一3)2。(。-5)a-3

點(diǎn)評(píng)：分式運(yùn)算綜合因式分解,除與乘的轉(zhuǎn)化，分式基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用，約分與通分交叉應(yīng)用，達(dá)到化簡(jiǎn)目的.

鞏固練習(xí)

1.計(jì)算(。+2)3-2)(/-2a+4)(/+2a+4)=

2.因式分解:-2/+3x2-x=

/+3/+3a+9=；

x2-4xy-4+4y2=；

2X2-8X+5=_______________

x2+x-3ABC

3.已知----------------------F----------1----------

(x—l)(x—2)(x—3)x—\x-2x-3

求AB,c的值.

4.若小)=三,求/㈤的值.

第三講根式

接前訓(xùn)練

1.分母有理化：/廣4一9。

x/10+V72+36一

2.計(jì)算：(1)廠1廠]

\Ja+ylh4a+&

112

(3)---+-----^+-r=——

1-V31+73V3+1

(_[ZX

(4)—?岸-(7-473)4-(84-476)=________.

(2+庖

初高銜接

我們把形如&(a20)的式子叫做二次根式，把形如心(當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)aNO)的式子叫做〃次根式.

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二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則

(\[a)2=a(a>0)；=\a\;

a&±b\fc=(a±b)4c{c>0)；

4a-\[b=>0,b>0)；

以?(〃20,6>0)

訪=

(Va)2=\[a^(a>0).

重要的概念有:最簡(jiǎn)二次根式,同類二次根式，互為有理化因式、分子有理化，分母有理化.

分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲

我們看下面的例子：

10__12

=a2=a5(a>0),=a4=a3(a>0).

這就是說(shuō)，當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí),要式可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)事的形式.

當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí)，根式也可寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)累的形式，例如：

_21

\Ja^=a3(a>0),\fa=a2(a>0)

m

一般地，我們規(guī)定加=痂(a>0,機(jī),〃是正整數(shù),且〃>1).

正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)基的意義相仿，我們規(guī)定

-1"]*

an=——(a>0,w,neN，且〃>1)

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒(méi)有意義.

規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)需的意義以后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到有理數(shù)指數(shù).

整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于有理指數(shù)基也同樣適用.

例題引路

例1求值：

11-3--

(1)短；(2)I00'1;(3)；(4)偌)，

解析(1)8^=(23r=2^=2'=2.

-1111

(2)1002=—^-=—!—=—

11in

1002(102)2

(3)=(2-2)-3=2(-2)x(_3)=26=64.

—8—

，人(16寸⑶唱)f2Y327

⑷周七J迫=￥-

例2用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式表示下列各式(式中〃?>0)：

(1)m2-4m；(2)/n3'\[tr^；(3)yjtrhjm.

解析(1)tn--j~m=trrtn2=m%=而；

(2)m3-=m^=m§=；

----l2313

(3)yJm\Jm=(m-m2)2=(m2)2=m4.

例3計(jì)算(后-尼卜⑹

解析(瘍-+行.

23

=(5155)+5彳

2￡3|

=53+5，一53子5]

213_|

=534-5^

55

=5/-5*

=1療-療

=|匠-5返

鞏固練習(xí)

2

(2)2752=；(3)傳了~~=

1.求下列各式的值：(1)芯=

33

2春+涓=3,則含考

—.>/3—'Ji\[?>+\p2I,,yxjjL,i-t；

3.已知x="廠,)'=廣廣，求2+丁的值.

A^+V2V3-V2x2V

4.化簡(jiǎn)〃+2G+“-2"

5.已知a=」^,求上「-竺空口的值.

2+，3a+\a--a

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第三章方程與不等式

第四講方程與方程組

接前訓(xùn)練

1.方程x(x+3)=x+3的解是()

A.x=lB.x,=0,x2=-3C.玉=1,々=3D.xt=l,x2=-3

2.一元二次方程5Y-7x+5=0的根的情況是()

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

3.已知|x-2y+3|+(y—g)=0,貝!I_y=.

4.關(guān)于x的方程，一=1的解是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是.

5.方程與主+之二L。的解為_(kāi)_______.

x2-lx-1

初高銜接

§4.1含有字母系數(shù)的一元一次方程

關(guān)于X的方程以二以。力為常數(shù),aw0),冗是未知數(shù),。/是用字母表示的已知數(shù)，。為X的系數(shù)，這個(gè)方程是

含有字母系數(shù)的一元一次方程.

一般地，在含字母系數(shù)的方程中用a,b,c表示已知數(shù)，用x,y,z表示未知數(shù).

含字母系數(shù)的方程的解法與以前學(xué)過(guò)的只含有數(shù)字系數(shù)的方程的解法相同，但必須注意，在方程兩邊同乘(或

除以)一個(gè)含有字母的式子時(shí),這個(gè)式子的值不能等于零.

例題引路

例解方程ax+從=人工+儲(chǔ)伍工與

解：ax-bx=a2-b1

(a-h)x=(a-h)(a+b)

,/a^b9a-b手2,

(a-b)(a+h),

x=---------------=a+b.

a-b

—10—

鞏固練習(xí)

解關(guān)于x的方程上心=2-二m+bwo)

ab

§4.2一元二次方程

1.根的判別式

運(yùn)用配方法可將一元二次方程加+云+c=0("0)變形為：

(x+2丫=匕孚①由a/0,得〃2>0,于是

(2a)

(1)當(dāng)62-4—>0時(shí),方程①的右端為正數(shù)，故原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根占，=一'±，'-4"；

2a

(2)當(dāng)加-4〃c=0時(shí)，方程①的右端為零，故原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根％=x,=-2；

2a

(3)當(dāng)。2—4ac<0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，故原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

由此可知,從-4〃,可以判定一元二次方程ax2+bx+c=0(。+0)的根的情況，通常記“△=從-4ac

綜上所述,一元二次方程or?+bx+c=O(a*O),

當(dāng)△>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：

當(dāng)A<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

上述結(jié)論,反過(guò)來(lái)也成立，即如果一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么△>()；如果有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

那△=()；如果沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么A<0.

例題引路

例1判斷下列方程根的情況(不解方程)

(1)d+3x-4=9：(2)16y2+9=24y；(3)5(x2+l)-7x=0.

注意：判斷時(shí)的前提是標(biāo)準(zhǔn)形式ax2+bx+c=O(a^0)的形式.

例2人取何值時(shí)，方程/-(女_1*+后+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,并求上方程的兩根.

解：△=[-(&-l)『-4(k+2)=公一6%-7,

由題△=&2一64-7=0,即攵=7或％=-1時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

當(dāng)女=7時(shí)，原方程為x2—6x+9=0,對(duì)應(yīng)用=泡=3；

當(dāng)上=一1時(shí)，原方程為9+2*+1=0,對(duì)應(yīng)芭=x2=-1.

啟航一一初高中銜接教程數(shù)學(xué)

鞏固練習(xí)

1.不解方程,判斷下列關(guān)于X的方程根的情況，若方程有實(shí)根,寫出方程的實(shí)數(shù)根.

（1）尤2—3x+4=0；（2）%?—twc-1=0；（3）x2—2x+。=0.

2.已知關(guān)于X的方程2/一（4&+1求+2公-1=0,則攵取何值時(shí)（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程有

兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

2.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

大家知道,一元二次方程以2+法+C=0（。工0）有兩個(gè)實(shí)根為

-b+b"-4ac-b-\lb^-4ac士

石=--------------，X2=---------------，則有：

2a2a

—b+y/h2—4ac-h—\Jh2-4ac2bb

x.+x)=--------------------------F------------------------=—=——

2a2a2aa

2222

-b+\]h-4ac-b-\/h-4ach-(b-4ac)_4QC_c

x.-x=-----------------------------------------=--------------------

122a4a24/a

即一元二次方程ox?+bx+c=0（〃/0）根A4與系數(shù)存在下列關(guān)系:

hc

%+馬二一2,西.+&=上（大前提△=從一4〃?20），也稱韋達(dá)定理.

aa

引申1：二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程f+〃工+4=0則易得

XX

X1+X2=-p,?入2=q，故P=一（芭+工2），4=12?

引申2：以m,々為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是：

2

X一（玉+X2）X+XtX2=0.

引申3:由韋達(dá)定理易得2=一（％+芻）,￡=不》,,故

aa

ax2++c=a（x2+—x+-）

aa

2

=a[x-（玉4-x2）x++x2]

=a（x-x1）（x-x2）.

ax2+灰+。=。0-%）（不一次2）,其中用,工2的方程加+加+。=0兩根.

例題引路

例1已知方程5丁+履—6=0的一個(gè)根是2,求它的另一根及火的值.

解：設(shè)方程另一根為則由根與系數(shù)的關(guān)系可為：

—12—

故方程的另一根為的值為—7,（也可先代2入方程）.

例2利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次2x?+5x+3=0兩根和々的下列代數(shù)式的值:

(1)|%|-；(2)]+與；(3)父+考

%X2

53

=

解：x],x2為方程+5%+3=0的兩根，則%+x2=--^^2,

222

(1)r=|%)-x21(/>0),z=(Xj-x2)=x,—2^X2=($+/)?-4AM

2325乙1日nII1

—A4-—=---6=—，即％—Xy\=—

24411~'2

25_3

x；+x;(%+%)—-A*2425-1213

⑵丁丁(gfa%y99=~9

4

(3)x；+E=(%+x2)(xf+x；—XjX2)

2

=(玉+x2)[(Xj+x2)-3XJX2]

=一沁|)2-3x|]

35

8

-b+db2-4ac-b-yjb2-4ac“2-4a。_VA

點(diǎn)評(píng)I,_司=

2a2a同I小

a

2.細(xì)心地注意到％=-1,^=-1,此題另有解法.

例3求一個(gè)一元二次方程，使其兩根是-3-,2-.

32

例4已知兩個(gè)數(shù)的和為8,積為9,求這兩個(gè)數(shù).

解：由根與系數(shù)的關(guān)系己知，此兩數(shù)即為方程Y-8x+9=0的兩根，解此方程易得芭=4+夕,占=4-近（可

用配方法）.

故此兩個(gè)數(shù)為4+5,4-e.

鞏固練習(xí)

1.若-5是方程5f+法-10=0的一個(gè)根，求方程另一根及b的值.

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2.設(shè)西是方程2d-7x+3=0的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值(1)(2)

---)(---(■々)?

9斗

3.求一個(gè)一元二次方程,使它的兩根是

(1)2,-1；(2)

22

4.已知兩個(gè)數(shù)的和為夜，積為-工,求這兩個(gè)數(shù).

4

5.已知方程/一2》-1=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系求一個(gè)一元二次方程，使它的根是原方程各根的平方.

§4.3簡(jiǎn)單高次方程

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，〃次代數(shù)方程有n個(gè)根(含重根)，有些高次方程，我們可以通過(guò)因式分解達(dá)到降次目的,求出其

解，特別地可根據(jù)方程特征借整體思想用換元法輔助因式分解.

例題引路

例1解方程V-5/_6x=0

解：方程左端可因式分解為x(d-5x-6)=x(x+l)(x-6)

故x(x+l)(x-6)=0,得再=0,x2=-1,x3=6.

例2解方程/-2*2-15=0

解：方程左端可因式分解為，-5)(/+3)

故(%2-5)(爐+3)=0,設(shè)。=5或％2=-3(不合舍去).

X、=非，x?=一岳

例3解方程(6/-7x)2-2(6/-7x)-3=0

解：視6*-7x為一個(gè)整體，因式分解為

(6X2-7X+1)(6X2-7X-3)=0

(fix-l)(x-l)(2x-3)(3%+1)=0

1?31

.?.玉=工，X,=1,x,=-,X

OZJ4

鞏固練習(xí)

解下列方程：

(I)3X3=4X；(2)/-4_?+3犬=0；

(3)X4-10X2+24=0；(4)(x2-5x)2-2x(x-5)-24=0.

—14—

§4.4分式方程和無(wú)理方程

我們知道，分母含有未知數(shù)的方程叫做分式方程；同樣，被開(kāi)方數(shù)含有未知數(shù)的方程叫做無(wú)理方程.

應(yīng)用轉(zhuǎn)化化歸思想處理分式方程、無(wú)理方程的根求解問(wèn)題，分式方程通過(guò)去分母法或換元法轉(zhuǎn)化為整式方程;

無(wú)理方程通過(guò)兩邊平方法或換元法轉(zhuǎn)化為有理方程，換元法后面有專題，此處暫不講述,它們均有驗(yàn)根的重要一環(huán),

分式方程可查最簡(jiǎn)公分母是否為零，無(wú)理方程則代入原方程左、右是否有意義且相等.

例題引路

例1解方程竺。-七w=i+f-

X+1X—1x~—1

解：最簡(jiǎn)公分母為(x+l)(x-1),去分母為：

(3x—l)(x—1)+(x-2)(x+1)=(x+D(x—1)+2

化為x2-3x+2=0,%=1,々=2.

檢驗(yàn)x=1時(shí)，最簡(jiǎn)公分母x2-l=0,x=l為增根，舍去，易得x=2的原方程的根，

故原方程的根為x=2(為什么產(chǎn)生增根,在哪步上產(chǎn)生增根？).

例2解方程J4x+1-2x+l=0

解：移項(xiàng)(為什么移，怎樣移？)得,4x+l=2x-l(隱含2x-l“)

兩邊平方:4x+l=(2x-l)2,4/-8x=0.苦=0,x,=2

代芭=0,迎=2入原方程檢驗(yàn)得西=0為增根,々=2成立.

故原方程的解為x=2,(為什么產(chǎn)生增根，在哪環(huán)節(jié)上產(chǎn)生增根？).

鞏固練習(xí)

1.解方程：

(1)—1=(2)Jl-3x-l=x；(3)^/3x+2-^/^：8=3^/2.

X2-42-X

2.若方程Jx?+2,，=x-2,*有一根為x=1，求實(shí)數(shù)的值.

3.解方程組「二="'

[vx+6+y=2.

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§4.5二元二次方程組

含有兩個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的方程組叫做二元二次方程組.

二元二次方程組的解法：

二元一次方程

(1)，采用代入消元法;

二元二次方程

二元二次方程

(2)，其中至少一個(gè)可因式分解，則轉(zhuǎn)化為

二元二次方程

二元一次方程二元一次方程

兩個(gè)或四個(gè)，求解，集中體現(xiàn)轉(zhuǎn)化解思想.

二元二次方程二元一次方程

例題引路

2

x-5xy+6y2=0①

例1解方程組

x2+/+x-lly-2=0②

x2-5x)'+6y2=0fx-2y=0[x-3y=0

—s或<

+y2+x-lly-2=0[x2+j2+x-]lj-2=0[x2+y2+x-1ly-2=0.

23

=>卜=3；%一.七一

lx=i(%=2

11

Ur

x2+2xy+=9①

例2解方程組

(x-y)2-7(x-y)+10=0②

x2+2xy+y2=9,J(x+y+3)(x+y-3)=0,

(x-y)2-7(x-y)+10=0.^1(^->1-2)(x-y-5)=0.

x+y+3=0或[x+y+3=0或1x+y-3=0戈[x+y-3=0

x-y-2=Q[x-j-5=0jx-y-2=0[%-y-5=0

_5

2/T，1%=4,

=><

5為~4「%1.

2

鞏固練習(xí)

,2:2=5x2-5x-y2-5y=0,

1.解方程組（1）1?(2)

xy=2;/+孫+y2=49

—16-

/-4x-2y+l=0有兩組不相等的實(shí)數(shù)解

2"為什么實(shí)數(shù)時(shí)，方程組

y=kx+2

3.已知方程組有兩組不相等的實(shí)數(shù)解.

[y=kx+\

(1)求左的取值范圍；

(2)記兩組解為["=芭和廠=々，是否存在實(shí)數(shù)左，使設(shè)司+%,+占％=1,若存在,求出左的值;若不存在,說(shuō)明

理由.

第五講不等式與不等式組

接前訓(xùn)練

1.不等式1+士1>生1的非負(fù)整數(shù)解為_(kāi)________.

23

f—1<Y—Z7<9

2.已知不等式組，的解集為3vxvo+2,則a的取值范圍是________.

[3<x<5

3.方程組20的解*'y都是正數(shù)，則整數(shù)k=-

4

4.已知m,n為實(shí)數(shù)，若不等式(2〃?-+3,”-4〃<0的解集為x>—，則不等式(m-4n)x+2m-3n>0的解集

為.

初高銜接

§5.1含參一元一次不等式的解法

解不等式的根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：

\.a>h^>a±c>b±c；

2.a>h,c>0=>ac>he；

3.a>b,c<0=>ac<bc.

例題引路

例1解關(guān)于冗的不等式-2工>2-3機(jī)-如.

解：原不等式可化為(6-2)x>2-3加,以下分類討論：

(1)m—2>0=>m>2時(shí)，—―；

m-2

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（2），〃-2<0=zn<2時(shí),~~—；

m-2

（3）帆一2=0n〃z=2時(shí),O-x>T恒成立,x取全體實(shí)數(shù).

鞏固練習(xí)

解關(guān)于x的不等式3-1）彳一（/-1）>0.

§5.2一元二次不等式的解法

大家知道，對(duì)一元二次方程ov2+6x+c=o（ay：0）與一元二次不等式5Z+bx+c>。（或<0）（aw。），均可

通過(guò)二次函數(shù)y+6x+c（ax0）來(lái)研究，研究函數(shù)往往可以借助于函數(shù)圖像直觀顯現(xiàn)其變化趨勢(shì)和規(guī)律.

l.a,"c,A=Z?2-4ac對(duì)拋物線、=以2+fer+c（awO）的決定作用.

（1）a決定拋物線開(kāi)口方向:a>0,拋物線開(kāi)口向上;a<0,拋物線開(kāi)口向下.

（2）c決定拋物線與y軸交點(diǎn)（0,c）的位置;。>0,交點(diǎn)位于y軸正半軸上;c=0,交點(diǎn)即在原點(diǎn);c<0,交點(diǎn)

在y軸負(fù)半軸上.

（3）b與。聯(lián)合決定拋物線對(duì)稱軸的位置：

2a

a,b同號(hào)，對(duì)稱軸位于y軸左側(cè)且平行于y軸；。=0,拋物線關(guān)于y軸即直線x=0對(duì)稱；a,b異號(hào)，對(duì)稱軸位

于y軸右側(cè)，簡(jiǎn)言之“同左異右

（4）小二片-4ac決定拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程ar?+fex+c=y=0的個(gè)數(shù)）△>0,交X軸于兩個(gè)不同點(diǎn)；

△=0,切x軸于一個(gè)頂點(diǎn)；△<0,與工軸無(wú)交點(diǎn).

綜上四點(diǎn)，一條拋物線大致圖象可以勾畫出來(lái)了.

2.如何利用圖象來(lái)解不等式

顯然，不等式依2+法+。>0（4N0）,相應(yīng)于拋物線y=依2+法+式〃工0）中y>0,圖象上的點(diǎn)P（x,y）,縱坐標(biāo)

為正,對(duì)應(yīng)圖象位于X軸上方的部分，查出相應(yīng)自變量x的取值范圍，即解得一元二次不等式的解集.

不妨設(shè)一元二次方程62+法+,=0（a20）（即丁=0）的兩根和々且芯拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)），

則不等式的解的各種情況如下表：（根據(jù)圖象，不等式大于零看上方,小于零看下方，相應(yīng)地寫出解集，歸納分“兩根之

外”或“兩根之內(nèi)”）.

A>0A=0A<0

y=ax2+bx+cy^^+bx+cy=ax1+bx+c

二次函數(shù)

y=ax2+〃x+c(a>0)

的圖象甘￡衛(wèi)

一元二次方程

有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無(wú)實(shí)根

ax2+Z?x+c=0(a>0)

—18—

的根

2(b

%,工為<X2)x.=x=—

22a

ax2+/?x+c>0(a>0)

{x[x<X]或X>無(wú)2R

的解集計(jì)可｝

ax2+bx+c<0(a>0)

{x\x]<x<x^空集0空集0

的解集

例題引路

例解不等式：(1)3X2-6X+2>0；(2)2X2-3X+2>0；

(3)4X2-4X+1>0；(4)-X2+2X-3>0.

鞏固練習(xí)

解不等式：(I)2X2-3X-2>0；(2)-2X2+6X>2；

(3)X2-2X+1<0；(4)2X2+2X>3.

§5.3絕對(duì)值不等式

我們知道，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離可概述為:若A8是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，它們表示的數(shù)分別是和馬，則A8之間的距

離表示為卜卻="-王|，利用這個(gè)結(jié)論來(lái)解答絕對(duì)值的問(wèn)題.

口..fx>0_^[x<0[x>0_^fx<0

另一方面,|x|>a(a>0)=《