矢量分析與場論

復(fù)習(xí)

矢量分析

場論

1

（一）矢量分析

1—目_只有大小而沒有方向的量

一、林里：

（長度、時(shí)間、電壓、體積、溫度、電量等）

麗看關(guān)示交看云而訪疊

二、矢量:

（力、速度、電場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等）電

①矢量的表示:E、￡或OPE

兩海需盾一O首

②矢量的大小:

（|E|、E、|E|或|OP|）

單位長度矢量：E。，（。|=1

③矢量的方向:

E=\E\E°

2

（一）矢量分析

三、矢量的坐標(biāo)表示：

①直角坐標(biāo)系:

+Ne

3

（'一）矢量分析

三、矢量的坐標(biāo)表示：

（一'）矢量分析

三、矢量的坐標(biāo)表示：

③球坐標(biāo)系:

A.

Ner+/乂0，0+4夕36,o

[Ax=^4rsinAecosA

yAy=ArsinAgsinA^

、4=4cos/。

2222

>CAr=Ax+Ay+Az

yygA^=Ay/Ax

〔cos

0<Ar<+000<A^<2TI0<A°v/

（一）矢量分析

四、矢量的加法：

[①三角形法則：2+B=C

②交換律:

^4+B=：B+^4

③結(jié)合號(hào)：_____

N+（石+C）=（N+石）+C

④分配律：____

kQA+B）=kA+kB

⑤減法：一一一一

N—刀=N+（一3）

6

（一）矢量分析

五、矢量標(biāo)法：

（1）標(biāo)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）：

N?8=N*cos（N,萬）

①交換律：A-B=B-N

②分配律：N?（石+C）=N?3+N?C

③與數(shù)量點(diǎn)積:（7L4）?B=4（N?刀）

④特殊的點(diǎn)積：同向、反向、正交

7

(一)矢量分明

五、矢量的乘法：(1)標(biāo)量積、內(nèi)積、點(diǎn)積：

⑤在坐標(biāo)系內(nèi)計(jì)算點(diǎn)積：

直角坐標(biāo)：N=N/+4j+

-―---_-_

B=BiXBi+ZBk

--

A?B=('Nxex+Nyey+Nzez),(JBxex+Ayey+萬zez)

=NxBx+NyByz+NzB

柱坐標(biāo)：小+N石

B=ApBp+A?0B0zZ

球坐標(biāo)：N?B=A,BjAeB「AE

8

（一）矢量分析八c

五、矢量的乘法：

（2）矢量積、叉積：-

=AxB_----------/

①大?。篭C\=ABsin（A.B）

方向：右手定則

②分配律：Nx（刀+C）=Nx4+NxC

③與數(shù)量叉積：（癡X方”（1x0

④特殊的大積：____

平行：AxB=O正交：|/xB|=48

('一)矢量分析

五、矢量的乘法：(二)矢量積、叉積：

⑤不服從交換律：AXB=-(BXAY

■⑥在坐標(biāo)系內(nèi)計(jì)算叉積：

e

xyZ

A.

A=(NB—N67)e

AxB=AXAyyzzyx

R+(NB—NB

BBvzxxz7y

Xyz

十(N

x6y-ABy^xez

10

(二)場論

1.場的分類

1/標(biāo)量場：如：溫度場T(x,y,z)、密度場/Xx,y,z)

＜空間任一點(diǎn)都有一標(biāo)量值0夕是空間坐標(biāo)(、時(shí)間)的函數(shù)。

、矢量場：如：速度場v(x.y,z)，力場尸(x,y,z)

【空間任一點(diǎn)都有一矢量7,*空間坐標(biāo)(、時(shí)間)的函數(shù)。

■■■MM■■■MM■■■MM■■■MHMMMB■■■■■■MH

,動(dòng)態(tài)場：場量與時(shí)間有關(guān)(時(shí)變場)

\f(x.y,z,t),A(x.y,z.t)

、靜態(tài)場：場量與時(shí)間無關(guān)(恒定場)

/(x,J7,z),A(x,y.z)11

）場論

場的表示方法:矢量場

標(biāo)量場IN（x,y,z）=4（X,y,z）e*+4,（x，y，z）￡

1.數(shù)學(xué)法：f=f(x,y,z)1_

'+NJ>N4

1

2.圖示法：1

u(x,y,z):等值面、等值線L4（X^Z）:矢線一切向T場量的方向，

1

；疏密程度T場量的大小。

u(x,y,z)=cx

u(x,y,z^^^

u(x,y,z)=c3

■r

y_一

______________________je

1

2、標(biāo)量場的梯度

①方向?qū)?shù):

設(shè)舛,方向?qū)?shù)表示°沿某一方向I的變化率:

dcpdcpdcpdcp

-----=------coscc+------cos（3+-----cosy

dldxdvdz

Sep_dcp_dcp_

V=(-e+-e--+-----e)?(cosoce+cos/3e+cosye)

Xy_J、Xyz

dxdyoz

z

e

②梯度grad(p>V(p：

立dcp_dcp_dcp_oay

V(p=-----ex+-----e+-----e

dxxdyydz

Xa

哈密頓算子廠三￡己d一。一

X+一%十一氣

梯度噂為矢量，d其x大小%最大變Sz化率，方向?yàn)樵龃笞羁斓姆较颉?/p>

任一點(diǎn)的梯度垂直于過此點(diǎn)的等值線（面）的方向。13

2、標(biāo)量場的梯度

，標(biāo)量場的梯度函數(shù)建立了標(biāo)量場與矢量場的

聯(lián)系，這一聯(lián)系使得某一類矢量場可以通

過標(biāo)量函數(shù)來研究，或者說標(biāo)量場可以通

過矢量場的來研究。

?標(biāo)量場的梯度垂直

于通過該點(diǎn)的等值

面（或切平面）

梯度運(yùn)算的基本公式

「▽o=O

I

\ZU"="

v("土i"土i

|("V)=v"

[vr(")=/(")▽"

VXV。=0

15

份JLI

計(jì)算場/(r)=xfz在A=ax+2ay+2az方向的方向?qū)?shù)

及在點(diǎn)(2,1,0)處，在5=2%-與+2能方向的方向?qū)?shù)。

dfdfdf

解:Nf=a----+a-----+a_-----=aV2Z+?2XVz+UXV2

人vy/rxvy./7乙J

oxoyoz

Z122

a,=—=a—+a—+a-

電二+上平+?中

dA333

B212

一=%—a—+%-

B333

222

=一y2z-一xyz+—xy

"I(2,1,0)(2,1,。)333

（二）場論

3、矢量場的散度:

1.矢量場的通量:

^A=AXe^+Ae^+Are7,通量。表示通過某一表面S的矢量

線的根數(shù)：

0=JA/S=\A-dSA

通過某一閉合面S的通量①為:

-dAdA

①=§N?dS=f(--+—+

JsJ"dxdy

z

2.散度div7、V-A：

0

\ds

dASN6Ay

▽?N=lim+xy+Z

△Vf0AKdxdydz

矢量場中某點(diǎn)的散度為標(biāo)量，是點(diǎn)的空間位置的函數(shù)。

17

通量的物理意義：以流體為例，若

每秒有凈流量流出,每秒有凈流量流每秒流入包面和流出包面

包面內(nèi)有正源入，包面內(nèi)有負(fù)的凈流量相等，包面內(nèi)無

源源，或正源與負(fù)源相等

V?v>0

V?v<0V?v=0

該點(diǎn)看負(fù)源

該點(diǎn)有正源該點(diǎn)無源18

M

思考：矢量場散度的性質(zhì)：p

a.一個(gè)矢量場的散度在空間構(gòu)成一個(gè)標(biāo)量場。

Q

b.?空間有矢量場的凈通量發(fā)出

有矢量線從該點(diǎn)開始V?A>

?空間有矢量場的凈通量匯入有散場

/

有矢量線在該點(diǎn)終止——▽?Nv0（Q點(diǎn)）/

?空間沒有矢量線的發(fā)出或匯入

無散場

矣哥'殘枚枚導(dǎo)通過^▽?N=0（M點(diǎn)）一、

19

了矢量-里4人心O

例__1_._2_考慮一個(gè)氣筒，突然打開氣門，被壓縮的空氣的流

速將是越靠近氣門越大。設(shè)秘=處左1，求V”。

dv

解:V?v=-----=k

dx

表明氣筒內(nèi)各點(diǎn)都存在著密度為人的氣流。

例L3想象一個(gè)爆炸的氣球，設(shè)某點(diǎn)處氣體的流速同

該點(diǎn)與源點(diǎn)的距離成正比，為》(r)=a,左/，求V”。

22

解：▽…U

r2drr2dr

表明空間各點(diǎn)都存在著密度為北的氣流。

（二）場論

4、矢量場的旋度：

①矢量場的環(huán)量:

設(shè)力=4￡+41環(huán)量廠表示沿某閉合曲線L的線積

分：。

r=于/cos3dl=

21

4、矢量場的旋度：

②環(huán)量的物理意義：

r=fN?d/wO--------表明C包圍渦旋源

r=fN?d/=O--------表明c不包含渦旋源

例：流速場

水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)

流體做渦旋運(yùn)動(dòng)

F=0,無渦旋運(yùn)動(dòng)

八夕，有產(chǎn)生渦旋的源2

旋度的定義:

對(duì)M點(diǎn)，仿照散度的定義，取

fA?dl

lim------------環(huán)流面密度）

Asfo(/)AS

顯然，上面的算式與積分路徑的選取有關(guān)

A?AlA?dlA?61

JJjg

lim--------------<lim-二-----------<lim--------------

△s-o(M)ASASFO(M)AS△SfO(〃)AS

23

-.-了型八叮

定義：rotA=nmax{lim----------}(rotation)

△SfO(M)AS

其中〃是最大環(huán)流密度所在環(huán)路的單位法線方向

而與〃相垂直的面則稱為渦旋面或旋渦面

如上、.七分別是,在

則

ASASX”)AS%、町上的投影

A?Al)4?d/

C2

rot4.〃3=lim--r-o-t--A---?-n2lim

△sfo(M)ASASfO(M)AS

24

正交系中，矢量場力在任意點(diǎn)M點(diǎn)的旋度可定義為:

『4?d/

rotA=a]lim-------------+a2lim-------------+a3lim-------------

3-0(/)AS]wowA§2AS3^0(M)AS3

式中AS]、AS、AS3分別是任意環(huán)路所圍成的面在與

坐標(biāo)面、散坐標(biāo)面和〃3坐標(biāo)面上的投影，其邊界分別

。2彳口。3。

25

（二）場論

4、矢量場的旋度:

③旋度rot/、VXA：

aee

yz

f/?成ddd

rotA--VxA—lim-"一=———

AS-^OASdxdxdx

AAA

Xyz

dAy

6A巴一dAdAdA

NXzX

=(Tq+(―)e

K+(/N

dzdxdx

矢量場中某點(diǎn)的旋度為矢量，是點(diǎn)的空「明立置的函數(shù)。

方向：是使環(huán)量密度取最大值的曲面元晶的方向

大?。涵h(huán)量密度的最大值26

渦旋場歹

F?dl>0

力做正功，歹與。方向大體一致，動(dòng)能增加

fF?d7<0

J。

戶做負(fù)功，歹與。方向大體相反，動(dòng)能減小

JG?d/>0

c\

fG?d/<0

C2

G?d/=RG?d/=0

J+C2

27

（二）場論

28

6、亥姆霍茲定理

①^量場和源的鎏系

「無旋場：一個(gè)矢量場凡對(duì)任意閉合路徑都有

p/?d/=0=VxK）—F=Nf

I無散場：一個(gè)矢量場凡對(duì)任意閉合面都有

Ifb?dS=0▽?萬=0E=>F=VXy4

［若VKF=0,則V?后0——散度源（通量源）

若V?尸=0,則VxAO——旋度源（渦旋源）

源是場的因，場同源一起出現(xiàn)。

29

6、亥姆霍茲定理

①矢量場和源的關(guān)系

例：判斷矢量場的性質(zhì)

▽,尸=0V-FMV-F=0

Vx產(chǎn)=0VXF=：0vXFM

30

6、亥姆霍茲定理

亥姆霍茲定理的基本內(nèi)容

1.一個(gè)矢量場只可能有兩種源---旋度源和散度源）

此外，再無其它類型的源。

2.若在給定邊界空間中，一個(gè)矢量場的旋度和散度

都給定了，則該矢量場的解是唯一確定的。

矢

量

矢^^4的通

—電荷密力

量源密度

唯

在電磁場中

已知一矢量Z的旋----------—電流密度J一

度源密度地

確

匚場域邊界條件

「場域邊界條件定

6、亥姆霍茲定理

③矢量場的基本方程

F=F"FC（Vx巧三0▽?/C三0）

若已知

V?Fj=pVxFC=J

貝Ufv>F=V>F=p

〈微分形式的基本方程

[VxF-VXJF（,=J

dS=[pdV

JV

積分形式的基本方程

d/=J?dS

Js32

6、亥姆霍茲定理

④三種特殊形式的場

1.平行平面場：如果在經(jīng)過某一軸線（設(shè)為z軸）的一族平行平面上，場F的

分布都相同，即尸/叼9，則稱這個(gè)場為平行平面場。

2.軸對(duì)稱場：如果在經(jīng)過某一軸線（設(shè)為z軸）的一族子午面上，場產(chǎn)的分布

都相同，即吃的。），則稱這個(gè)場為軸對(duì)稱場。

3.球面對(duì)稱場：如果在一族同心球面上（設(shè)球心在原點(diǎn)），場廠的分布都相

同，即尸/九則稱這個(gè)場為球面對(duì)稱場。

課堂練習(xí)題（一）

思考題：

1、標(biāo)量場的梯度、矢量場的散度、旋度的物

理意義

2、亥姆霍茲定理的內(nèi)容和意義

34

課堂練習(xí)題r二）

2、證明:

VxV=0

V?VxN=0

式中：

。=0(x,y,z)

A-Axex+Ayey+Azez

35

，___________L2、標(biāo)量場的梯度

設(shè)有一個(gè)標(biāo)量場〃（KZ,y）（標(biāo)量函數(shù)），從場中某

點(diǎn)M位移歷到鄰近的另一點(diǎn)時(shí)函數(shù)值從u變?yōu)椤?小卜則

比值多就是標(biāo)量場函數(shù)在M點(diǎn)處沿方向?qū)?shù)，如下圖

（II

■2、標(biāo)量場的梯度

dududndu八du一一

——=------=—cos，=一a-a

dldndldndn

kdii_flii—―一

令°=丁?！▌t—=G-cij,或du=G?dl

dndl

可見，標(biāo)量場u在M點(diǎn)沿島方向的方向?qū)?shù)等于矢

量G在此方向上的投影（分量），我們稱矢量G為U在

M點(diǎn)的梯度（giadient）,記為gr猛du,即：

4=（嶺/〃）?訪所以,gradu=—atl

__________________dn

37

2、標(biāo)量場的梯度

,_dudu_du

在直角坐標(biāo)系中:￡rcichi—ci—+ci------Fci—

Jxdxy@,z&

定義算符▽（稱為哈密頓Himiilton算符）：

V=t7------FU------FCl—

出了&氣

d_d_d'

graclu-ci+a”+a7n=V?/

號(hào)rdxY0J；

38

§1.3標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度

三、梯度的性質(zhì)

?標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點(diǎn)的

方向一該點(diǎn)場變化最大（增大）的方向，

數(shù)值一變化最大方向上場的空間變化率。

?標(biāo)量場在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方

向上的投影。

39

四、梯度運(yùn)算的基本公式

「▽o=O

I

\ZU"="

v("土i"土i

|("V)=v"

[vr(")=/(")▽"

VXV。=0

40

二.矢量場的散度

1.散度的定義：?

divN=lim―-

△T—>O

2.散度的數(shù)學(xué)計(jì)算式:y

穿出左、右面的通量為：

dAy

—A,AxAz+(A,+------Ay)AxAz

^dy

dAy

------△x△y△n

Sy

木出上、下面的通量為:

dAz

—A_AxAy+(A_+-----Az)AxAy

dzy

=------AxAj?Az-

dz

穿出前、后面的通量為:

5A.dA

—AvAj;Az+(Ax+—Ax)AyAz=------△JV△y△n

dxdx

udASAdA

pN?dS=(——-+——-+------)△x△y△n

sdxdydz

中N?dSdAdAQA

divN=lim-------------------++

Ar->o△bdxdySz42

fN?dSdA

8Ay8Az

divA.=lim——-+------+

AT—>0ATBxSydz

ddd

=(va----+a-----+aA+aAV?A

xy一)?(?XXy+a/Z/)=

dxdydzy

3d3

式中▽=a---

x+ay-----+ciz-----

ix-ByBz

定義為矢量微分算子。

43

圓柱系中:

1。(Q/q)1UA隼dA

V?A=------------------+-------------+------

pdppdcpdz

球系中:

L『(J/,)]O(sin6AQ]"

V?A2+.*.

,drrsin0d0rsin0d(p

44

1.5矢量場的環(huán)量和施度斯托克斯定理

一.矢量場的環(huán)量（環(huán)流）7

1.矢量場做功：J尸?d，

2.環(huán)流的定義：r=pn?d，=p/cos夕d/

直角系中

>A?dl—，(/xdx+Aydy+A_dz)

cJcXy

圓柱系中')A?dl=f(/pd夕+x?dcp+Adz)

球系中fA?dl=+A0rA6+ArsinOdcp)

Jc廠045

|fll.5失量場的環(huán)量和施度斯托克斯定理

二.矢量場的旋度

1.旋度的定義：

對(duì)點(diǎn)，仿照散度的定義,

1M取

?d/

lim------------(―環(huán)流面密度)

△5-0(”)AS

顯然，上面的算式與積分路徑的選取有關(guān)

i>A?dlP力?d/A?61

Jg

lim--------------<lim---------------<lim--------------

△S—0(M)ASASfO(M)ASASfO(M)AS

46

pZ?d/

定乂!rotA=nmax{lim-----------}(rotation)

△SfO(M)AS

其中〃是最大環(huán)流密度所在環(huán)路的單位法線方向

而與〃相垂直的面則稱為渦旋面或旋渦面

如上、.七分別是,在

則

ASASX”)AS%、町上的投影

A?Al

rot4.〃3=lim--r-o-t--A---?-n2lim

△sfo(M)ASASfO(M)AS

47

正交系中，矢量場力在任意點(diǎn)M點(diǎn)的旋度可定義為:

『4?d/

rotA=a]lim-------------+a2lim-------------+a3lim-------------

3-0(/)AS]wowA§2AS3^0(M)AS3

式中AS]、AS、AS3分別是任意環(huán)路所圍成的面在與

坐標(biāo)面、散坐標(biāo)面和〃3坐標(biāo)面上的投影，其邊界分別

。2彳口。3。

48

1.5矢量場的環(huán)量和施度斯托右斯定理

2.旋度的數(shù)學(xué)計(jì)算式：

設(shè)M點(diǎn)在環(huán)路1-2-3-4-5-6-1所

張的一個(gè)面上，該面在直角系x

三個(gè)坐標(biāo)面上的投影分別為2

C—M345M—ASX

j—M561M—八4

C—M123M—AS

由圖可知:

(N?d/=J?d/+pN?d/+pN?d/

CJCJc

xyz

49

Sydz

4

dAdA

z一）5

Sydz

aAy

M

fN?dZ5

dAz4

lim

ASxfodz50

△sXSy

A?dl

_____________dAdA

可得:lim-1-------

△Sy-。AS

ydzdx

A?d/

dAydA

lim-----------

△Sz-oA5dxdy

dA

dAzdAyx,zdAdAdA

rotA=a—)+u(v

」y--)+--)

dydzdzdxdxSy

ddd

=(\aX—+—+az—7)x(xaxAx+ayAy+azAz7)

dxdydz..

aaa

Xyz

ddd

=▽xN=———

dxdydz

51

AXAyAz

rotz4=▽xN

在正交坐標(biāo)系中

ahah

a】g2233

1aaa

▽xN=------

小2〃3dexdede3

44卜3A3

注意：行列式只能對(duì)第一行展開,

展開中對(duì)第三行元素求導(dǎo)

52

paa

「cpz

aa

dcpdz

7pAcpAz

p

ad

dcpdz

pAA

「cpz

53

球坐標(biāo):

arra0nrsinOa(p

1ddd

Vx4=----------

r2sin0drd0dcp

ArrAnBrsmOA(p

r2sin。rsin3r

ddd

drd0d(p

ArrA0arsinOA(p

54

22

.5H="J?+ayy+a2z沿著盯面上的一個(gè)閉合

回路c的線積分。如圖所示］再計(jì)算Vx4。

解：回路。在xQy面上，dz=O

22

A?d/=xdx+ydy

222

242

A?dl=xdx+ydy+y?2歹十歹)dy

o0

32363

Xy0

+——+(一十一）=0

3