小學(xué)奧數(shù)題庫《幾何》-直線型-燕尾模型-5星題（含解析）

幾何-直線型幾何-燕尾模型-5星題

課程目標(biāo)

知識點考試要求具體要求考察頻率

燕尾模型C1.了解燕尾模型的一般形狀少考

2熟.悉燕尾模型的關(guān)系式

3.能夠靈活運用燕尾模型解決復(fù)雜

的幾何問題

知識提要

燕尾模型

燕尾模型

結(jié)論一⑴合言⑵白黑⑶合器

結(jié)論二受吟

精選例題

燕尾模型

1.如下列圖，三角形4BC中，AF-.FB=BD:DC=CE-.AE=3:2,且三角形4BC的面積是1,

那么三角形ABE的面積為，三角形AGE的面積為，三角形GH/的面積為.

【答案】I'（表

【分析】連接AH、BI、CG.

由于CE:4E=3:2,所以4E=|4C,故

_2_2

SbABE-g^^ABC=5；

根據(jù)燕尾模型,

S〉A(chǔ)CG：S>ABG=CD:BD=2:3,

S&BCG：S?ABG==3:2,

所以

SAACG：SAABG：SABCG=4:6:9,

那么

_4

S&ACG—]9,

_9

S^BCG—訪；

那么

_2_24_8

S^AGE_5-5x]9—95

同樣分析可得S“CH=V，那么

EG:EH=S&ACG：SAACH=4:9,

EG-.EB=S^CG-.S^CB=4:19,

所以

EG-.GH-.HB=4:5:10,

同樣分析可得

AG-.GI-.ID=10:5:4.

所以

_5521

S&BIE—^LBAE-：—X-=

105=?

_5511

S〉GHl~記S&BIE=--X-=

19519,

2.如圖，四邊形4BCD是矩形，E、F分別是AB、BC上的點，且4E==AB,CF=；BC,AF與

CE相交于G,假設(shè)矩形ABCO的面積為120,那么44EG與4CGF的面積之和為.

［答案］15

【分析】方法1：如圖，連接AC、BG.

根據(jù)燕尾模型,工BG：S/JACG=BF:CF=3:1,S^BCG：SAACG=BE:AE=2:1,而S2MBe=

2^ciABCD=60,所以S〃ABG=T7T77^AABC=5X60=30,S/BCG=77T77^AABC=鼻X60=20,

4-5I/十JL/Oi?X（3

那么包）4EG=g^AABG=1。，^ACFG=^ABCG~5,所以兩個二角形的面積之和為15.

方法2：如圖，過F做CE的平行線交48于H,

那么EH:HB=CF:FB=1:3,所以4E=^EB=2EH,AG:GF=AE-.EH=2,即4G=2GF,

所以邑4EG=mx|x|xS44BF=gx；x?RB8=10.且EG=|HF=gx=：EC,故

CG=GE,那么S^CGF=1xgxS/4EG=5.所以兩三角形面積之和為10+5=15.

3.如圖，AABC中BD=2D4,CE=2EB,AF=2FC,那么△4BC的面積是陰影三角形面積

的倍.

【答案】7

【分析】如圖，連接山.

根據(jù)燕尾定理,SAec/:SAAC；=BD-.AD=2:1,S^a-.S^AB!=CF-.AF=1-.2,

所以,SAACI：SABCI：S^ABI=1:2:4,

那么,S48a=i+2+4SAABC=^^^ABC-

同理可知4/^6和4AB”的面積也都等于448c面積的泉所以陰影三角形的面積等于△ABC面

積的1-JX3=；,所以△48c的面積是陰影三角形面積的7倍.

77

4.正六邊形4,A2IA3,A4IA5I。的面積是2009平方厘米，%,B2,B3,B4,B5,分別是正六邊形各

邊的中點.請問下列圖中陰影六邊形的面積是平方厘米.

【答案】1148

【分析】方法一:如下左圖，連接44萬16464,過殳做443的平行線穌E，交4出于

E.因為空白的面積等于△A243G面積的6倍，所以關(guān)鍵求△&43G的面積，在△公4公中用燕

尾模型時，需要知道為。,43。的長度比，根據(jù)沙漏模型得=DE,再根據(jù)金字塔模型得

A1E=A3E,因此41n:公。=1:3,在△①4心中，設(shè)S”142G=1份，那么SA4233G=3份,

S=xX

S—341G=3份，所以SfzGG=j^A,A2A3735s正六邊形=五$正六邊形，

因此S陰影=（1一5x6）S正六邊形=*x2009=1148（平方厘米）.

方法二：既然給的圖形是特殊的正六邊形，且陰影也是正六邊形，我們可以用上圖的割補思路,

把正六邊形分割成14個大小形狀相同的梯形，其中陰影有8個梯形，所以陰影面積為捺x

14

2009=1148（平方厘米）.

5.如圖，三角形4BC的面積是1,E是4C的中點，點。在BC上，S.BD-.DC=1:2,4D與BE交

于點工那么四邊形。FEC的面積等于.

【答案】.

【分析】方法一：如下圖,

BD

根據(jù)燕尾模型,S"BF￡S"BF

S&ACF~DC-2'SdCBF

設(shè)=1份,那么S&.DCF=2份，SAABF=3份，SAAEF=SAEFC=3份，如圖所標(biāo)

所以SDCEF—石SfBC=石?

方法二：如下圖，

連接DE,由題目條件可得到SMBO=3

c_1c_12c_1

、&ADE=2^^ADC=2X=3,

所以尊=0=;,

1

1*11n111°1

S^DEF=2XS&DEB=2X3XS>BEC=2X3X2X$&ABC=石,

而SACDE=|X|XSAABC=所以那么四邊形OFEC的面積等于a

6.如圖，在A/IBC中，點。是邊4c的中點，點E、F是邊BC的三等分點，假設(shè)△ABC的面積為

1,那么四邊形CDMF的面積是.

【答案嗎

【分析】由于點。是邊AC的中點，點E、尸是邊8c的三等分點，如果能求出BN、NM、MD三

段的比，那么說分成的六小塊的面積可以求出來，其中當(dāng)然也包括四邊形CDMF的面積.

連接CM、CN.

根據(jù)燕尾模型，

S&ABM：S&ACM=BF：CF=2:1,

S—CM=2sMOM，

S?ABM=2s-CM=4sMOM，

那么BM=4DM,即

4

那么

BMBF4214

5ABMF=^X—xSABCD=-x-x-=—）

147

J四邊形-2is-30,

另解：得出S-BM=2s-CM=4sMDM后，可得

_1_11_1

S^ADM==耳']=元，

那么

__11_7

S四邊形CDMF=S^ACF-SAADM=W_75=30,

7.如圖，AABC的面積為1,點D、E是8c邊的三等分點，點尸、G是4c邊的三等分點，那么四

邊形/K/H的面積是多少？

【答案嗎

【分析】連接CK、Cl、CJ.

根據(jù)燕尾定理，SAACK：SAABK=CD:BD=1:2,SA4BK：SACBK=4G:CG=1:2,

所以5—以：508E54（；8長=1：2：4,那么SfCK=1+2+4=5'SMGK=&S—CK=￡?

類似分析可得S“/=M

乂SfB/：S^CB/=4F：CF=2:LS^ABJ：S^ACJ=BD:CD=2:1,可得5-夕=［?

那么，s=---=-.

LCUGKKJ42184

根據(jù)對稱性，可知四邊形CE〃/的面積也為"，那么四邊形/K/〃周圍的圖形的面積之和為

84

X2+=,

SCGKJX2+ShAGl+ShABE=^+^575所以四邊形/K/H的面積為1_1=".

8.在△48C中，BD:DC=2:1,AE-.EC=1:3,求。B:OE=?

［答案］8:1

【分析】題目求的是邊的比值，一般來說可以通過分別求出每條邊的值再作比值，也可以通過

三角形的面積比來做橋梁，但題目沒告訴我們邊的長度，所以應(yīng)該通過面積比而得到邊長的

比.此題的圖形一看就聯(lián)想到燕尾定理，但兩個燕尾似乎少了一個，因此應(yīng)該補全，所以第一

步要連接。C.

連接。C.

因為BO:DC=2:1,根據(jù)燕尾定理，SM0B：SMOC=BD:BC=2:1,BPSA40B=2SA40C；

又AE:EC=1:3,所以SA.OC=4sA4OE.那么S—OB=2S^AOC=2X4S^AQE=QSAAQE,

所以。B:OE=S"OB：SAA0E=8:1.

9.如圖，面積為/的三角形ABC中，D、E、F、G、H、/分別是AB、BC、CA的三等分點，求

陰影局部面積.（如果結(jié)果是分數(shù)，將結(jié)果化成最簡分數(shù).）

【答案】蔣

【分析】令B/與CC的交點為M,AF與CC的交點為N,B/與4F的交點為P,B/與CE的交點為Q,

連接4M,BN,CP.

求四邊形AOM/的面積：在△ABC中，根據(jù)燕尾模型，

S?ABM：S&CBM=AI：CI=1：2,

S—CM：SMBM=4"：BD=1:2,

所以

_1

S—BM=4sA4BC，

_11

S—OM==訪S—BC，

_1

SAAIM=適5少8。，

因而四邊形ADM/的面積為一

11_1

適SfBC+適SfBC=

同理可得另外兩個頂點的四邊形面積也是△ABC的g

求五邊形。NPQE的面積：在△ABC中，根據(jù)燕尾模型，

SAABN：S&ACN=BF:CF=1:2,

所以

S&ADN=S2ABN=五SUBG

同理可得

_1

S^BEQ—五S—BU

在△ABC中，根據(jù)燕尾模型,

LABPT-LACP=BF:CF=1:2,

S^ABP：S^CBP=4/：C/=1:2,

所以

_1

S&ABP=mS—8C，

因此五邊形DNPQE的面積為

111_11

g^^ABC―五S—BC—五Sfsc-yog

同理另外兩個五邊形的面積也是「'‘

11

夜S-8C.

所以陰影局部的面積為

1111313

SAABC—3x—SA4BC一3x〔osS&ABC~為S—BC—拓，

1().如下圖，在四邊形ABC。中，AB=3BE,AD=3AF,四邊形4E0F的面積是12,求平行四

邊形80DC的面積.

【答案】24

MBOABDO

【分析】連接AO,BD,根據(jù)燕尾定理S：S=4F:FD=1:2,S&A0D-.ShB0D=AE:BE=

2:1,設(shè)SABEO=1，那么其他圖形面積，如圖所標(biāo)，所以SBOOC=2SAEOF=2x12=24.

11.如圖，面積為1的三角形4BC中，D、E、F、G、H、/分別是48、BC、C4的三等分點，求

中心六邊形面積.

【答案】卷

【分析】設(shè)深黑色六個三角形的頂點分別為N、R、P、S、M、Q,連接CR

在△ABC中根據(jù)燕尾定理，S“ABR：SAACR=BG:CG.=2:1,

^hABR-^^CBR=AI：Cl=1：2

所以SAABR=,SA4BC，I^^SAACSU/SMBLSACQB=b&ABC

所以〃RQS=1-=F

同理SAMNP=]

根據(jù)容斥原理，和上題結(jié)果s六邊形="?亮=卷

12.三角形48c的面積為15平方厘米，。為4B中點，E為4c中點，F(xiàn)為BC中點，求陰影局部的

面積.

【答案】3.125

【分析】令BE與CD的交點為M,CD與EF的交點為N,連接4M,BN.

在44BC中，根據(jù)燕尾定理，SAABM：SABCM=AE:CE=1:1,SAACM：S“BCM=A。:BD=1:1,

所以SAABM=SMCM=S&BCN=gS“BC

由于SMEM=5s4AMe=JS-ABMS,所以SM:ME=2:1

在AEBC中，根據(jù)燕尾定理，SABEN：S.CEN=BF:CF=1:1S?CEN：SACBN=ME:MB=1:2

設(shè)S^CEN=1（份）,那么S4REN=1（份）,S^BCN=2（份）,S^BCE=4（份），

所以S^BCN=yS^BCE=ZSMBC，S&BNE=%SABCE=《SAABC，因為BM:ME=2:1,F為BC中點,

所以S^BMN=^S^BNE=3XQ^^ABC=石SfBc，S&BFN=&S&BNC=2X4=Q^^ABC9

所以S陰影=島+目S-BC=^SXABC=裔X15=3.125（平方厘米）

13.如圖，面積為1的三角形ABC中，D、E、F、G、H、/分別是48、BC、C4的三等分點，求

陰影局部面積.

【答案】葛

【分析】三角形在開會，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！

令B/與CD的交點為M,4尸與。。的交點為N,B/與4尸的交點為P,B/與CE的交點為Q,連接

AM.BN、CP

（1）求S四邊形4DM/：在△ABC中，根據(jù)燕尾定理，S^CBM=A/：C/=1：2S44CM：S^CBM=

AD-.BD=1:2

設(shè)S-BM=1（份）,那么S4CBM=2（份）,SfCM=1（份）,S&ABC=4（份）,

所以S—8M=S“CM=[S—BC，所以S.DM=^^ABM=12^^ABC9Sf/M=

所以S四邊形ADM/=（石+^）S^ABC=

同理可得另外兩個頂點的四邊形面積也分別是△ABC面積的;

6

（2）求S五邊形DNPQE：在△ABC中,根據(jù)燕尾定理SfBN：S—CN=B/7：。尸=1：2S-CN：S"CN=

AD\BD=1:2,

所以SMDN=gSuBN=gX3S2ABC~五S“BC，向理S^BEQ=t^ABC

在△ABC中，根據(jù)燕尾定理S“BP：SMCP=BF：CF=L2,S”BP：SMBP=AI:CI=1:2

所以S-BP=*SAABC

所以S五邊形DNPQE=SfBP-S&ADN-S&BEP=（g一五一五）S4ABC=

同理另外兩個五邊形面積是△ABC面積的喘

所以S陰影=1一打3-裝X3=或

14.如下圖，三角形4BC的面積為1,。、E、F分別是三條邊上的三等分點，求陰影三角形的面

積？

【答案】|

【分析】給中間三角形的3個頂點標(biāo)上字母，如下圖1.

由于。、E、F分別是3條邊上的三等分點，而△ABC的面積為1,所以AABE、4BCF、ACAD

的面積都是（這3個三角形的面積之和就等于大AABC的面積，它們的重疊局部是3個小三角

形：AAME、&BNF、4CPD.因此陰影△MNP的面積就等于這3個小三角形的面積之和.

假設(shè)SACPO="1"，由于。是BC上的三等分點，可知4BPD="2"（如下圖2）?

由燕尾模型可得#=喘=2,所以雇詆="6"；而冷=寒=2,所以SMBP="12"（如下

圖3）.

因此，整個△ABC的面積是“12"+"6"+"2"+T="21",那么T=《，即S"PD=*

類似地，小△BNF和小△AME的面積都是《，那么陰影局部的面積就是5x3=i.

15.如右圖，三角形48c中，AF-.FB=BD.DC=CE-.AE=3:2,且三角形GH/的面積是1,求

三角形4BC的面積.

【答案】19

【分析】連接BG.

S&AGC=6份?

根據(jù)燕尾模型，

SAAGC：S?BGC~“/：FB=3:2=6:4,

S^ABG'S^AGC=BD:DC=3:2=9:6.

得

S&BGC=4（份）,Su%=9（份），

那么S—8C=191份），因此

S—GC_￡

S&ABC19

同理連接4/、CH.

得

SMBH_2S^BIC_￡

S△力BC19S〉A(chǔ)BC19

所以

S〉GHI19—6—6—61

SAABC1919-