2023-2024學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部為3，則（

）A． B． C．1 D．52．已知全集,則（

）A． B． C． D．3．已知傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，則（

）A．6 B．8 C．12 D．244．美學(xué)四大構(gòu)件是：史詩、音樂、造型（繪畫、建筑等）和數(shù)學(xué).素描是學(xué)習(xí)繪畫的必要一步，它包括了明暗素描和結(jié)構(gòu)素描，而學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)素描最重要的一步.某同學(xué)在畫“切面圓柱體”（用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體）的過程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個橢圓（如圖所示），若“切面”所在平面與底面成角，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．中國古代數(shù)學(xué)瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，其中底面，底面扇環(huán)所對的圓心角為，扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑之比為1∶2，在上且為靠近的三等分點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知雙曲線的一條漸近線方程是分別為雙曲線的上，下焦點，過點且垂直于軸的垂線在軸右側(cè)交雙曲線于點，則（

）A． B． C． D．7．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點為，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點為橢圓與雙曲線的交點，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．正方體的棱長為為棱中點，為正方形內(nèi)（舍邊界）的動點，若，則動點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對得2分．9．直線，圓，下列結(jié)論正確的是（

）A．直線恒過定點B．直線與圓必有兩個交點C．直線與圓的相交弦長的最大值為D．當(dāng)時，圓上存在3個點到直線距離等于110．設(shè)是空間中兩兩夾角均為的三條數(shù)軸，分別是與軸正方向同向的單位向量，若，則把有序數(shù)對叫作向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若向量，向量，則B．若向量，向量，則C．若向量，向量，則當(dāng)且僅當(dāng)時，D．若向量，向量，向量，則二面角的余弦值為11．經(jīng)過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，設(shè)，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．面積的最小值為8C．以焦半徑為直徑的圓與直線相切D．12．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn):平面上到兩定點距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是一個圓心在直線上的圓,該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息解決下面的問題:在長方體中,,點在棱上,,動點滿足為棱的中點,為的中點.以為原點,所在的直線為軸,軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.下列說法正確的是（

）A．若點只在平面內(nèi)運動,則點所形成的阿氏圓的半徑為B．若點只在平面內(nèi)運動,則△的面積最小值為C．類比阿氏圓定義,點在長方體內(nèi)部運動時,的軌跡為球面的一部分D．若點在平面內(nèi)運動,則點到平面的距離最小值為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把正確答案寫在答題卡相應(yīng)題的橫線上13．已知直線與直線平行，則實數(shù)．14．若空間三點，則點到直線的距離為．15．線段是圓的一條直徑，且是圓上的任意兩點，，動點在線段上，則的取值范圍．16．已知是雙曲線的左，右焦點，的一條漸近線的方程為，且到的距離為3，為的第一象限上的一點，點的坐標(biāo)為為的平分線，則．四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟．17．已知(1)過點A作直線，交直線和直線于兩點，A為線段的中點．求直線的方程；(2)若圓的圓心在直線上，圓經(jīng)過點．求圓的方程．18．在中，角的對邊分別為.(1)求角的大??；(2)若，求周長的最大值．19．《中華人民共和國愛國主義教育法》已由中華人民共和國第十四屆全國人民代表大會常務(wù)委員會第六次會議于2023年10月24日通過，現(xiàn)予公布，自2024年1月1日起施行．甲，乙兩同學(xué)組成“星隊”參加黑龍江省“愛國主義教育法”知識競賽．現(xiàn)有A，B兩類問題，競賽規(guī)則如下：①競賽開始時，每個同學(xué)先從A類問題中隨機(jī)抽取一個問題進(jìn)行回答，答錯的同學(xué)本輪競賽結(jié)束；答對的同學(xué)再從B類問題中隨機(jī)抽取一個問題進(jìn)行回答，無論答對與否，本輪競賽結(jié)束．②若在本輪競賽中“星隊”同學(xué)合計答對問題的個數(shù)不少于3個，則“星隊”可進(jìn)入決賽．已知甲同學(xué)能答對A類中問題的概率為，能答對類中問題的概率為．乙同學(xué)能答對A類中問題的概率為，能答對類中問題的概率為．(1)設(shè)“甲同學(xué)答對0個，1個，2個問題”分別記為事件，求事件的概率；(2)求甲乙兩同學(xué)組成“星隊”能進(jìn)入決賽的概率．20．已知雙曲線的離心率為，過點．(1)求雙曲線的方程；(2)若過點的直線與交于兩點均在軸上方），點在線段上，且滿足．證明：在定直線上．21．圖1是直角梯形，，，，，，在線段上，且，以為折痕將折起，使點到達(dá)的位置，且，如圖2．

圖1

圖2(1)求證：平面平面(2)在棱上存在點，使得銳二面角的大小為，求到平面的距離．22．已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2．(1)求拋物線的方程；(2)為上異于原點的兩點，以為直徑的圓過焦點，求最小值．1．C【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念即可得解.【詳解】因為，又的虛部為3，則，故.故選：C.2．B【分析】解絕對值不等式與一元二次不等式,再根據(jù)集合的交集與補(bǔ)集運算計算即可.【詳解】由得或，或，由得所以故選:B.3．C【分析】設(shè)出點后，求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再利用拋物線的焦點弦長公式可求得線段的長【詳解】設(shè)點、，拋物線的焦點為，由于直線過點，且該直線的傾斜角為，斜率為1，則直線的方程為，聯(lián)立方程，消去并整理得，，由韋達(dá)定理可得，由拋物線的焦點弦長公式可得故選：C.4．A【分析】取過橢圓長軸與圓柱的軸在的截面，設(shè)圓柱的底面半徑為，計算出橢圓的長軸長和短軸長，可取得的值，由此可求得橢圓的離心率.【詳解】取過橢圓長軸與圓柱的軸在的截面，如下圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為，可知，截面為直角梯形，不妨設(shè)、為直角腰，過點作，垂足為點，由題意可知，橢圓的短軸長為，則，“切面”所在平面與底面所成的角等于，所以，，則，，因此，該橢圓的離心率為.故選：A.5．D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線所成角的余弦值.【詳解】以底面圓弧的圓心O為原點，CD為x軸，BA為y軸，過圓心O垂直于底面的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑之比為1∶2，，則有，，，在上且為靠近的三等分點，則，，，異面直線與所成角的余弦值為.故選：D6．A【分析】根據(jù)條件求出以及，再直接求即可.【詳解】因為一條漸近線方程是，所以，設(shè)，又，得，所以.故選：A.7．D【分析】設(shè)P為第一象限的交點，由橢圓和雙曲線的定義結(jié)合勾股定理化簡得到，再利用柯西不等式即可得解.【詳解】依題意，不妨設(shè)P為第一象限的交點，，則，因為在中，，所以，即，則，即，所以，即，由柯西不等式得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時滿足，所以的最大值為.故選：D.8．A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)列等式，得到點的軌跡方程，理解方程含義為線段，結(jié)合圖形得到端點坐標(biāo)，求解.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,,則，.因為，所以，所以，所以點的軌跡為上底面中的一條線段.易知點的軌跡所在直線與上底面正方形的邊的交點坐標(biāo)分別為，所以動點的軌跡長度為故選：A9．ABD【分析】利用直線過定點的求解方法求出定點即可判斷A；判斷定點與圓的位置關(guān)系即可判斷直線與圓的位置關(guān)系；利用相交弦最長的是直徑即可判斷C；利用圓心到直線的距離為1，再結(jié)合圖形即可判斷D.【詳解】將直線的方程化為，令，解得，所以直線恒過定點，選項A正確；圓的方程化為，圓心，半徑2，直線恒過定點到圓心的距離為，所以定點在圓C內(nèi)，故而直線與圓必有兩個交點，所以選項B正確；直線與圓的相交，相交弦最長的是直徑，故而相交弦長的最大值為4，所以選項C錯誤；當(dāng)時，直線，圓心到直線的距離為1，如圖所示，x軸與圓的兩個交點O、B到直線的距離為1；又因為圓半徑為2，所以直線與圓的交點A到直線的距離為1，故而圓上存在3個點到直線距離等于1，選項D正確.故選：ABD10．BD【分析】根據(jù)題意直接計算進(jìn)而判斷A；通過空間直角坐標(biāo)系數(shù)量積的運算法則計算B；根據(jù)題意直接判斷C；根據(jù)題中的概念判斷得到三棱錐是棱長為1的正四面體，再結(jié)合二面角定義法求解方法進(jìn)行求解判斷D.【詳解】對于A，若向量，向量，則，故A錯誤；對于B，若向量，向量，此時在空間直角坐標(biāo)系中，故B正確；對于C，若向量，向量，由于題目沒有明確的關(guān)系，所以不能判斷時與的關(guān)系，故C錯誤；對于D，若向量，向量，向量，則三棱錐是棱長為1的正四面體，如圖所示，取中點，連接，在等邊中，易知，,則即為二面角的平面角，在中，由余弦定理得，，所以二面角的余弦值為，故D正確.故選：BD11．BC【分析】求拋物線的焦點和準(zhǔn)線，設(shè)直線為，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得，，進(jìn)而結(jié)合拋物線方程和定義逐項分析判斷.【詳解】由題意可知：拋物線的焦點，準(zhǔn)線為，顯然直線的斜率不為0，且可以不存在，此時直線與拋物線必相交，設(shè)直線為，聯(lián)立方程，消去x得，則，，對于選項A：，故A錯誤；對于選項B：，原點到直線的距離，所以面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以面積的最小值為8，故B正確；對于選項C：由題意可知：線段的中點，則到y(tǒng)軸的距離為，所以以焦半徑為直徑的圓與直線相切，故C正確；對于選項D：因為，即，故D錯誤；故選：BC.12．BC【分析】當(dāng)點只在平面內(nèi)運動時,可簡化為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的距離問題,通過兩點間的距離公式化簡運算即可判斷項；當(dāng)點在長方體內(nèi)部運動時,通過空間直角坐標(biāo)系得相關(guān)點的坐標(biāo),借助空間中兩點的距離公式,化簡整理可得點的軌跡方程,即可判斷項；當(dāng)點在平面內(nèi)運動時,可借助項中點的軌跡方程得此時的軌跡方程,再根據(jù)空間中點到平面的距離運算即可判斷項.【詳解】在平面內(nèi),設(shè)點由得即所以若點只在平面內(nèi)運動,則點所形成的阿氏圓的半徑為且當(dāng)點時,△的面積最小為故錯誤,正確；當(dāng)點在長方體內(nèi)部運動時,設(shè),由得即的軌跡為球面的一部分,故正確；當(dāng)點在平面內(nèi)運動時,設(shè)由得即設(shè)平面的法向量為則令則所以點到平面的距離為由得所以點到面的距離最小值為故錯誤.故選：BC.本題考查空間動點軌跡問題,考查了轉(zhuǎn)化思想,計算能力,屬于中檔題.13．##【分析】由兩直線平行的條件，列方程求實數(shù)的值并檢驗.【詳解】直線與直線平行，則有，即，解得或.經(jīng)檢驗：當(dāng)時，兩直線重合，舍去，符合題意，所以.故答案為.14．【分析】借助空間向量求點到直線的距離即可得.【詳解】，，則，則.故答案為.15．【分析】根據(jù)數(shù)量積的線性運算可得，計算圓心O到直線CD的距離，根據(jù)點P在線段CD上，求出的取值范圍，即可求解.【詳解】由題意知，連接，為的中點，則，可得，又因為，則圓心O到直線CD的距離為，由點P在線段CD上可知，則，所以，即的取值范圍為.故答案為.16．【分析】根據(jù)題意結(jié)合漸近線的知識可得，再利用角平分線的性質(zhì)以及雙曲線的定義可得，結(jié)合余弦定理運算求解即可.【詳解】因為雙曲線的焦點在x軸上，取其中一條漸近線為，即，到漸近線的距離，由題意可得：，可得，則，因為為的平分線，則，即，又因為，可得，所以.故17．(1)(2)【分析】（1）設(shè)，，結(jié)合中點坐標(biāo)公式求，進(jìn)而可求直線方程；（2）先求線段的垂直平分線方程，進(jìn)而結(jié)合圓的性質(zhì)求圓心和半徑，即可圓的方程.【詳解】（1）設(shè)直線與直線交點，直線與直線交點，由題意可得：，解得，即，所以直線的方程為，即.（2）由題意可知：直線的斜率，線段的中點為，可知線段的垂直平分線方程為，即，聯(lián)立方程，解得，可得圓的圓心為，半徑為，所以圓的方程為.18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用三角恒等變換運算求解即可；（2）法一：利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換以及正弦函數(shù)的有界性分析求解；法二：利用余弦定理結(jié)合基本不等式運算求解.【詳解】（1）因為，即，可得又因為，則，可得，且，可得.（2）法一：由正弦定理可得，則，可得，因為，則，可得，所以周長的最大值為法二：由余弦定理可得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，解得，所以周長的最大值為.19．(1)，，(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合獨立事件概率乘法公式運算求解；（2）設(shè)“乙同學(xué)答對1個，2個問題”分別記為事件，設(shè)事件表示“星隊能進(jìn)入決賽”，可知，根據(jù)獨立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式運算求解.【詳解】（1）因為甲同學(xué)能答對A類中問題的概率為，能答對類中問題的概率為，所以，，．（2）設(shè)“乙同學(xué)答對1個，2個問題”分別記為事件，因為乙同學(xué)能答對A類中問題的概率為，能答對類中問題的概率為，可得，設(shè)事件表示“星隊能進(jìn)入決賽”，可得，所以“星隊”能進(jìn)入決賽的概率為.20．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的性質(zhì)列式求即可；（2）設(shè)直線方程為，，聯(lián)立方程可得韋達(dá)定理，不妨設(shè)，由，整理得，結(jié)合韋達(dá)定理即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題中條件可知，解得，所以雙曲線的方程為．（2）由題意直線斜率存在，設(shè)直線方程為，，聯(lián)立方程，消整理得，顯然，則，可得，，由題意可得：，解得，不妨設(shè)，因為，即，可得，解得，所以在直線上.方法點睛：求解定值問題的三個步驟（1