太原2021高考模考（二）答案-數(shù)學(xué)（文）

太原市2021年高三年級(jí)模擬考試(二)

數(shù)學(xué)試題(文)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

—.選擇題：ADCCBBADCBCC

二.填空題：13.114.Z15.-216.[2,3)

94

三.解答題：

17.(I)證明：在A43。中，5=1AB-ADsinZBAD=l+^,……3分

&ABD22

由余弦定理得8。2=AB2+AC>2-2AB-AOcosNBAO=3,；……6分

(II)由(I)得BO=瓜，設(shè)NBDC=a(0<a<60°),

由N8CO=120°和正弦定理得一些=———=BD-=2,.....8分

sinasin(60°-a)sin120°

.?.BCCD=2[sina+sin(600-a)]=2sin(a+60°),.....10分

0<a<60°,，、2<sin(a+60°)<1,A/3<BC+CD<2,

BC+CD的取值范圍為(A/3,2］.........12分

18解：(I)由頻率分布直方圖得該樣本中垃圾量為［4,6),［6,8),［8,10),［10,12),

［12,14),［14,16),［16,18］的頻率分別為0.08,0.1,0.2,0.24,0.18,0.12,0.08,

x=5x0.08+7xO.10+9x0.20+llx0.24+13x0.18+15x0.12+17x0.08=11.04?11,

所以當(dāng)天這50個(gè)社區(qū)垃圾量的平均值為11噸；.....4分

(II)由(I)得該樣本中“超標(biāo)”社區(qū)的頻率為0.12+0.08=0.2,所

以這200個(gè)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的概率為0.2,

所以這200個(gè)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)為200x0.2=40；.....7分

(III)由題意得樣本中“超標(biāo)”社區(qū)共有50x(0.12+0.08)=10個(gè)，其中垃圾量為［14,16)的社

區(qū)有50x0.12=6個(gè)，垃圾量為［16,18)的社區(qū)有50x0.08=4個(gè)，按垃圾量用分層抽樣抽取的5

個(gè)社區(qū)中，垃圾量為口4,16)的社區(qū)有3個(gè)，分別記為a,3,c；垃圾量為［16,18)的

社區(qū)有2個(gè)，分別記為d,e,.....9分

從中選取2個(gè)的基本事件為(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),

(c,e),(d,e),共10個(gè)；其中所求事件“至少有1個(gè)垃圾量為［16,18］的社區(qū)”為(a,d),

(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(4,e),共7個(gè)；

所以至少有1個(gè)垃圾量為［16,18)的社區(qū)的概率為〃=0.7......12分

19.(I)證明：設(shè)點(diǎn)G,H分別是CD,CB的中點(diǎn)，連結(jié)EG,FH,GH,

則GH〃/58,且O8=2G”，EFHDB,且DB=2EF,EFHGH,且EF=G”，

EFHG平行四邊形，F(xiàn)HHEG,

CE=DE,：.EG1CD,

平面CDE1平面ABCD,

EGJ?平面ABCD,

FH1平面ABCD,u平面BCF,

平面BCF1平面ABCD：........6分

(II)連結(jié)3G,由(I)得EG，平面ABCD,

直線BE與平面ABCD的所成角為45。，；.NE8G=45。，；.BG=EG,.........8分

設(shè)ACBD=O,連結(jié)OE,易得OEFB是平行四邊形，.?.OE〃B/，

四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且NBAD=60°,

ABCD是邊長為2的等邊三角形，BG=、回，

.--V=y=V=V=-SEG^-S?EG=1..........12分

A-CEFF-ACEB-ACEE-ABC3AABC3ABCD

20.(I)證明：當(dāng)。=1時(shí)，令人(%)=/(%)-g(尤)=x+1-sinx-cosx,xGR,

則h\x)=1-cosx+sinx,

0<x<4h(x)=1-cosx+sinx>0

(1)當(dāng):時(shí)，則',

在［0,工)上單調(diào)遞增，「.力㈤N/z(0)=0,「./(%)Ng(%),.........3分

4

(2)當(dāng)xN：時(shí)，.?/(x)=x+l—亞sin(x+^)2"+1-正>0,/(x)Ng(x)；

綜上所述，當(dāng)。=1時(shí)，不等式/(x)>g(x)在［0,+8)上恒成立；.....5分

71

(II)令r(x)=/(x)-g(x)=t?x+l-sinx-cosx,x>---,

4

則f'(x)=a-cosx+sinx,

(1)當(dāng)xNO時(shí)，由題意得f(x)NO在［0,+8)上恒成立，

r(0)=0,.?.f(0)=?-l?0，1；

當(dāng)a上1時(shí)，由(I)得/(x)=ax+\-sinx-cosx>x+l-sinx-cosx>0,

當(dāng)r(x)>0在［0,+oo)上恒成立時(shí)a>1；.....8分

(2)當(dāng)一%4x<0時(shí)，由題意得f(x)20在［一%,0)上恒成立，

44

r(0)=0,.*.f(O)=tz-l<0,

當(dāng)。<1時(shí)，t(x)=ax+1-sinx-cosx>x+l-sinx-cosx,

由(I)得hf(x)=1-cosx+sinx=1+、/2sin(x——4)<0,

/z(x)在［一匹4,。)上單調(diào)遞減，，/?(x)2％(。)=0，；?，(x)N0，

當(dāng)?)>0在［—21,0)上恒成立時(shí)a<\；11分

4

綜上所述，實(shí)數(shù)a取值的集合為{1}.12分

[九九1

kk

1DAi%=2?2=-N,

1—+Q——U

33

21y,4/

21解：(I)設(shè)。(一，州)，由題意得〈-X2flxroh--,3分

3123

4y2.

1-----?+—―=i,

19a2拉

1

[

■5分

I2

-=4,

(H)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)N,設(shè)直線與x軸相交于點(diǎn)T(xo,O),由題意得TPL3Q,由

(I)得3(2,0),設(shè)P(?3,D，Q(xi，”)，由題意可設(shè)直線AP的方程為x^my-1,

[x^my-2,

|224加2加2-8

由2得(加+4)y-4my=0,：,y\=——或巾=0(舍去)，刈=—.---,7分

I-+y=1"m+4m+4

I4

2cc.8

—3=加一2,；」=3m>

TPVBQ,.-.1|=(-3-^o)(A：i-2)+ryi=0,

2ty28Am〃於+4?

x=+,,=+___?______=0,10分

o3x-233mm1+4~~IK

i

直線PM過定點(diǎn)T(0,0),

，存在定點(diǎn)N(l,0),使得|MN|=1.12分

2.

2，X22

i+1的參數(shù)，消去如曲線C的普通方程為+y?”…3分

?-12

2

2+1

pcos(0+IL)=pcos0-psin0-1=0,

42

fx=pcos0,

<可得直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y-l=0；5分

[y=psin0

|x=J2cos0,兀

(H)由(I)得曲線C的參數(shù)方程可表示為<(0為參數(shù))(0X一+2E,keZ),

[y=sin。2

設(shè)A(J2cos0,sin0),則點(diǎn)A到直線/的距離d=J=2c°s°「sin。..........7分

V22

y/2cos0-sin0=0或、/2cosO-sin0=、/3cos(0+(p)=2(其中tan<p=、/2)(舍去),

sinI20+cos20=1,cos0=±、3

當(dāng)cos6=_l時(shí)，4(4,4)；當(dāng)cos0=—&.時(shí)，A(—"，一“).

10分

333333

23解：(1)當(dāng)m=1時(shí)，原不等式為U+l|+I2x-1|<6,

11

fx<—1,1-1<.x<

或＜22，3分

l-(x+l)-(2x-l)<6

[x+\-(2x-l)<61+2/—1V6,

.?.-2?x<-1或一1<