應(yīng)變能密度的分析

3.2彈性應(yīng)變能密度函數(shù)彈性應(yīng)變能密度函數(shù)的定義彈性體受外力作用后，不可防止地要產(chǎn)生變形，同時外力的勢能也要產(chǎn)生變化。根據(jù)熱力學的觀點，外力所做的功，一局部將轉(zhuǎn)化為彈性體的動能，一局部將轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；同時，在物體變形過程中，它的溫度也將發(fā)生變化，或者從外界吸收熱量，或者向外界發(fā)散熱量。現(xiàn)分析彈性體內(nèi)任一有限局部∑的外力功和內(nèi)能的變化關(guān)系，設(shè)彈性體內(nèi)取出局部Σ的閉合外表為S，它所包圍的體積為V。以δW表示外力由于微小位移增量在取出局部Σ上所作的功，δU表示在該微小變形過程中取出局部Σ的內(nèi)能增量，δK表示動能增量，δQ表示熱量的變化〔表示為功的單位〕，根據(jù)熱力學第一定律，那么有δW＝δK＋δU－δQ我們首先假設(shè)彈性體的變形過程是絕熱的，也就是假設(shè)在變形過程中系統(tǒng)沒有熱量的得失。再假設(shè)彈性體在外力作用下的變形過程是一個緩慢的過程，在這個過程中，荷載施加得足夠慢，彈性體隨時處于平衡狀態(tài)，而且動能變化可以忽略不計〔這樣的加載過程稱為準靜態(tài)加載過程〕，那么根據(jù)上式表示的熱力學第一定律，外力在變形過程中所做的功將全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能儲存在彈性體內(nèi)部。這種貯存在彈性體內(nèi)部的能量是因變形而獲得的，故稱之為彈性變形能或彈性應(yīng)變能。由于彈性變形是一個沒有能量耗散的可逆過程，所以，卸載后，彈性應(yīng)變能將全部釋放出來。下面，推導單位體積彈性應(yīng)變能的表達式。仍以X、Y、Z表示單位體積的外力，表示作用在彈性體內(nèi)取出局部Σ外表上單位面積的內(nèi)力。對上述的準靜態(tài)加載過程，可以認為彈性體在外力作用下始終處于平衡狀態(tài)。外力所作的功W包含兩個局部：一局部是體力X、Y、Z所作的功W1，另一局部是面力所作的功W2，它們分別為〔3.30〕以及〔3.31〕于是，有〔3.32〕因此，外力由于微小位移增量在取出局部Σ上所作的功δW可以表示為〔3.33〕將平衡微分方程〔1.66〕和靜力邊界條件〔1.68〕代入上式，并利用散度定理，上式可化為〔3.34〕利用幾何方程〔2.12〕，并注意到，最終可推得相應(yīng)的內(nèi)能增量δU為〔3.35〕定義函數(shù)u0(εij)，使之滿足〔3.36〕該定義式稱為格林〔Green〕公式。將它代入式〔3.35〕，有〔3.37〕由上式可以看出，函數(shù)u0(εij)表示單位體積的彈性應(yīng)變能，故稱之為彈性應(yīng)變能密度函數(shù)〔或彈性應(yīng)變比能函數(shù)〕，簡稱為應(yīng)變能。由于彈性應(yīng)變能密度函數(shù)表示彈性體的內(nèi)能概念，因此，它必然是一個勢函數(shù)，故也稱之為彈性勢函數(shù)。對式〔3.36〕取積分，可得〔3.38〕這里，u0(εij)和u0(0)分別表示物體變形之后和未變形時的彈性應(yīng)變能密度。通常，取u0(0)=0，于是有〔3.39〕根據(jù)格林公式〔3.36〕，假設(shè)u0(εij)的具體函數(shù)形式能夠確定的話，那么，彈性體的應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系也就完全確定了。這說明，彈性應(yīng)變能密度函數(shù)是彈性材料本構(gòu)關(guān)系的另一種表達形式。假設(shè)假設(shè)u0(εij)對εij有二階以上的連續(xù)偏導數(shù)，那么由格林公式〔3.36〕，可進一步推得〔3.40〕上式就稱為廣義格林公式。將式〔3.3〕代入廣義格林公式，可得〔3.41〕這就證明了各向異性彈性體獨立的彈性常數(shù)只有21個。以上我們討論的是彈性體的準靜態(tài)加載過程，如果彈性體在外力作用下處于運動狀態(tài)，同樣可以證明，彈性應(yīng)變能密度函數(shù)仍具有式〔3.39〕所表示的形式。此外，還可以證明，對于變形過程是等溫的情形，彈性應(yīng)變能密度函數(shù)也可以近似地表示為式〔3.39〕的形式。線彈性體的彈性應(yīng)變能密度函數(shù)對線彈性體，它的應(yīng)力與應(yīng)變之間呈線性關(guān)系，如式〔3.2〕所示，因此，由式〔3.39〕可以發(fā)現(xiàn)，彈性應(yīng)變能密度函數(shù)u0(εij)一定是應(yīng)變張量分量的二次齊次函數(shù)。根據(jù)齊次函數(shù)的歐拉〔Euler〕定理，有〔3.42〕代入格林公式〔3.36〕，得〔3.43〕這就是線彈性體彈性應(yīng)變能密度函數(shù)u0(εij)的最一般表達形式。對于各向同性彈性體，那么有〔3.44〕或〔3.45〕從表達式〔3.44〕或式〔3.45〕中可得到一個重要的結(jié)論：各向同性彈性體的彈性應(yīng)變能密度函數(shù)恒為正，而且分別為εij和σij的二次齊函數(shù)。假設(shè)將式〔3.45〕分別對各個應(yīng)力分量求偏導數(shù)，那么可推得〔3.46〕上式說明：對彈性勢函數(shù)u0(σij)求各個應(yīng)力分量的偏導數(shù)，就可以得到相應(yīng)的各個應(yīng)變張量分量。從彈性應(yīng)變能密度函數(shù)u0(εij)出發(fā)，我們還可以求出整個彈性體的總應(yīng)變能U。設(shè)一個彈性體的體積為V，那么整個彈性體的總應(yīng)變能U為 ,&nbs,p;&,;nbs,p;〔3.47〕以下，列出幾個各向同性彈性體常用的應(yīng)變能表達式：體變能和畸變能的概念在介紹體變能和畸變能的概念之前，我們首先對各向同性彈性體的本構(gòu)方程〔3.21〕作一有意義的分解，即把應(yīng)力張量和應(yīng)變張量都分解為球量和偏量兩個局部σij＝sij﹢σmδijεij＝eij﹢εmδij這里，σm＝σii/3＝(σx＋σy＋σz)/3為平均應(yīng)力或靜水應(yīng)力，εm＝εii/3＝(εx＋εy＋εz)/3為平均正應(yīng)變。于是，式〔3.21〕就改寫為利用體積模量K=(3λ+2μ)/3，那么上式變?yōu)閟ij﹢σmδij＝2μεij+3Kεm〔3.48〕將式〔3.26〕代入上式，可得〔3.49〕由此可見，對各向同性彈性體，其變形可以分為相互獨立的兩個局部：一局部是由各向相等的正應(yīng)力〔靜水應(yīng)力〕引起的相對體積變形〔體積應(yīng)變〕；另一局部那么是由應(yīng)力偏量作用所引起的物體幾何形狀的變化〔即畸變〕?，F(xiàn)考察各向同性彈性體在兩種特殊的應(yīng)力狀態(tài)作用下的彈性應(yīng)變能：一種對應(yīng)的應(yīng)力張量是球量，另一種對應(yīng)的應(yīng)力張量是偏量。由于在以應(yīng)力球張量描繪的應(yīng)力狀態(tài)作用下，各向同性彈性體僅產(chǎn)生體積變化，所以，稱與之對應(yīng)的彈性應(yīng)變能為體變能；而在以應(yīng)力偏量描繪的應(yīng)力狀態(tài)作用下，各向同性彈性體僅產(chǎn)生幾何形狀的變化，所以，稱與之對應(yīng)的彈性應(yīng)變能為畸變能〔或形變能〕。根據(jù)各向同性彈性體的彈性應(yīng)變能密度函數(shù)的表達式〔3.44〕，可推得單位體積的體變能〔體變比能〕u