四川省涼山州2023屆高三第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題（含答案解析）

四川省涼山州2023屆高三第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)校:.,姓名:班級(jí):考號(hào):

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)z滿足上3=l+i,5是Z的共扼復(fù)數(shù)，則Z+乞等于（）

Z

A.-2iB.一2C.-4iD.-1

2.從某中學(xué)甲、乙兩班各隨機(jī)抽取10名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)，所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如

下,由此可估計(jì)甲，乙兩班同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，則下列結(jié)論正確的是（）

甲班乙班

1512

3206337

63372

218123

392

A.甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)比乙班大

B.甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值比乙班小

C.甲乙兩班數(shù)學(xué)成績(jī)的極差相等

D.甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差比乙班大

設(shè)集合4=卜1,2。博,當(dāng)[3ln4

3.,51,2,Ine，-^―，則的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

4.設(shè)XER,向量"=(%/),^=(1,-1),且a上B，則,一()

A.B.V2C.⑺D.2

5.已知尸為拋物線T：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，過(guò)戶作垂直工軸的直線交拋物線于M、

N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓交y軸于C,D兩點(diǎn),若|8|=26,則7的方程為（）

A.y2=2xB./=4xC.y2=2y/3xD.y2=6x

蓑二”這個(gè)結(jié)論我們可以推廣到

6.一兀二次方程V+bx+c=。的兩根AW滿足

一元三次方程中.設(shè)知七，七為函數(shù)/（力=丁-6爐+1反-6的三個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.xl+x2+x3=-6B.工]冗2+%芻+工2七=-11C.X]X2X3=-6

11111

D-1+針￡=7

7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在其撰寫的《海島算經(jīng)》中給出了著名的望海島問(wèn)題：今有望

海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，今前表與后表三相直.從前表卻行一百二十

三步，人目著地取望島峰，與表末三合.從后表卻行一百二十七步，亦與表末三合.問(wèn)

島高及去表各幾何.這一方法領(lǐng)先印度500多年，領(lǐng)先歐洲1300多年.其大意為：測(cè)

量望海島A8的高度及海島離海岸的距離，在海岸邊立兩等高標(biāo)桿￡>E,FG(AB,DE,

尸G共面，均垂直于地面)，使目測(cè)點(diǎn)”與B,￡)共線，目測(cè)點(diǎn)C與B,尸共線，測(cè)出￡77,

GC,EG,即可求出島高AB和AE的距離(如圖).若OE=FG=3,EH=1,HC=T2,

GC=9,則海島的高43=()

8.如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A/CR中，。是底面正方形4BCD的中心，點(diǎn)

M在。A上，點(diǎn)N在A4上，若ON_LAM,則()

ab,、a,8

9.定義，="-兒，已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)歹!|,且。3=2,0=0,則%=()

cdo"g

A.2&B.±2啦C.4D.±4

10.小明去參加法制知識(shí)答題比賽，比賽共有A,B,C三道題且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果

相互獨(dú)立.己知三道題的分值和小明答對(duì)每道題的概率如表：

A題分值：3分8題分值：3分C題分值：4分

答對(duì)的概率0.60.50.4

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

P(X=3)5c3-11

記小明所得總分為X(分)，則一\_，=()A.1B.-C.—

/IA1u12215

55

D.

~6

已知函數(shù)〃x)=sin2(0x-］J-cos2(<yx+T卜⑷>。)，關(guān)于函數(shù)/(x)有如下四個(gè)

11.

命題:

①/(X)的最小正周期是壬

②若/(x)在x=：處取得極值，則。=1；

③把/(x)的圖象向右平行移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱;

④/(x)在區(qū)間［0,-］上單調(diào)遞減,則上士的最小值為：.

其中真命題的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

12.已知"x)=e*一以有兩個(gè)零點(diǎn)再,々(石＜赴)，g(x)=y---x+1,則()

A.?＜eB.§(^)+§(^)＞0

C.g(x)g(電)＞。D.2g(xj.g(x2)+g(x2)＜。

二、解答題

x+y-2<0

13.設(shè)變量x,y滿足約束條件「->+2之0,則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最小值為

x+2y-2>0

14.2022年卡塔爾世界杯(英語(yǔ)：FIFAWorldCupQatar2022)是第二十二屆世界杯足

球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)

隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，除此之外，卡塔爾世界杯還是首次在北半

球冬季舉行，第二次世界大戰(zhàn)后首次由從未進(jìn)過(guò)世界杯的國(guó)家舉辦的世界杯足球賽.為

了解某校學(xué)生對(duì)足球運(yùn)動(dòng)的興趣，隨機(jī)從該校學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，其中女生

中對(duì)足球運(yùn)動(dòng)沒(méi)興趣的占女生人數(shù)的y,男生有5人表示對(duì)足球運(yùn)動(dòng)沒(méi)有興趣.

4

(1)完成2x2列聯(lián)表，并回答能否有97.5%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生對(duì)足球是否有興趣與性

別有關(guān)“？

有興趣沒(méi)興趣合計(jì)

男60

女

合計(jì)

(2)從樣本中對(duì)足球沒(méi)有興趣的學(xué)生按性別分層抽樣的方法抽出6名學(xué)生，記從這6人中

隨機(jī)抽取3人，抽到的男生人數(shù)為X,求X的分布列和期望

P(K2>k?)0.100.050.0250.010

k。2.7063.8415.0246.635

n{ad-bc)2

K2=

(a+Z>)(c+J)(a+c)(/?+J)*n-a+b+c+d

15.如圖，在直三棱柱ABC-中，AB=CCt=3,BC=4,AC=5,AE=AA\,

。為BC的中點(diǎn).

(1)當(dāng)=g時(shí)，求證：4)〃平面8GE；

(2)若,424直，G。與平面BGE所成的角為，，求sin。的取值范圍.

44

16.在銳角AABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為々/。S-311/4=的00。.

⑴求4

⑵若人=2,求AABC面積的取值范圍.

17.已知A,B分別是橢圓C:++京=1(〃＞匕〉0)的上下頂點(diǎn)，|蜴=2,點(diǎn)11,(■在

橢圓。上，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線/與橢圓C交于x軸上方兩點(diǎn)M,N.若覽.㈱=T,試判斷直線/是否過(guò)定點(diǎn)？

若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，說(shuō)明理由.

18.已知函數(shù)=-(x+l)ln(x+l)+x+f.

⑴g(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，求g(x)的最小值；

(2)己知〃eN",證明：1+1+L+L+，>ln(〃+l)；

(3)若/-xlnx+(2-a)x-120恒成立，求。的取值范圍.

fx=cosa

19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為c(a為參數(shù))，以坐標(biāo)

[y=cos2a

原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為

=V2.

(1)求直線I的直角坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程；

(2)戶是曲線C上的點(diǎn)，求尸到/距離的最大值.

20.已知函數(shù)〃力=上一2用2%+8].

⑴求不等式〃x)49的解集；

(2)若〃力之4-4恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

三、填空題

2i.(i-￡]a+i)6展開式中/的系數(shù)為.(用數(shù)字作答).

22.把正整數(shù)按如下規(guī)律排列：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,..構(gòu)成數(shù)列{q,},

則知=?

2222

23.如圖，已知橢圓a：/表C2:^+^=t(a>b>0,0<t<\).若由橢圓G長(zhǎng)軸

一端點(diǎn)P和短軸一端點(diǎn)。分別向橢圓G引切線融和QT,若兩切線斜率之積等于,

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案:

1.B

【分析】化簡(jiǎn)等式得到z,計(jì)算得到共甑復(fù)數(shù)彳，即可得到z+2的值.

【詳解】解：由題意

在上2=l+i中，

Z

l-3i(l-3i)(l-i)3i2-4i+l=4i+2=

1+i(l+i)(l-i)1-i22

Az=-l+2i

/.z+5=—l—2i—l+2i=—2

故選：B.

2.A

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)中位數(shù)的定義計(jì)算出甲乙兩班的中位數(shù)，比較大小;

B選項(xiàng)，根據(jù)平均數(shù)的定義計(jì)算出甲乙兩班的平均數(shù)，比較出大??；

C選項(xiàng)，根據(jù)極差的定義計(jì)算出甲乙兩班的極差，兩者不相等；

D選項(xiàng)，由莖葉圖分析可得到甲班數(shù)學(xué)成績(jī)更集中在平均數(shù)的周圍，故方差小.

【詳解】甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)中位數(shù)為^^=73,乙班的數(shù)學(xué)成績(jī)中位數(shù)為空2=69.5,

甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)比乙班大，A正確；

,,,,,,,v,,f?,uj,51+60+62+63+73+73+76+81+82+93

甲mr班tT的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為-----------------------------------=71.4,

51+52+63+63+67+72+81+82+83+92

乙班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為=70.6

10

故甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值比乙班大，B錯(cuò)誤;

甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的極差為93-51=42,乙班的數(shù)學(xué)成績(jī)的極差為92-51=41,

故甲乙兩班數(shù)學(xué)成績(jī)的極差不相等，C錯(cuò)誤；

從莖葉圖中可以看出甲班的成績(jī)更加的集中在平均數(shù)71.4的附近，而乙班的成績(jī)更分散,

沒(méi)有集中到平均數(shù)70.6的附近，

故甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差比乙班小，D錯(cuò)誤.

故選：A

3.C

【分析】首先根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，從而得到An8=1l,2,殍

,再求子集個(gè)數(shù)即

答案第1頁(yè)，共17頁(yè)

可.

【詳解】4=卜1,2。1與｝=卜1,1,2,啜,8=｛1,2,1小,牛卜”,2,喈｝,

所以4nB=(1,2,殍｝,AcB的子集個(gè)數(shù)為23=8.

故選：C

4.D

【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求x,再由向量減法的坐標(biāo)表示和模的坐標(biāo)表示求卜-司.

【詳解】因?yàn)?=(x,l),B=(l,-1),且

所以無(wú)5=x-l=0，所以x=l,則6-5=(0,2),可得石|=后萬(wàn)=2.

故選：D.

5.B

【分析】由題意可知圓是以焦點(diǎn)為圓心，。為半徑的圓，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即得.

【詳解】由題可知尸\，0),由v=多可得V=p2,

所以|MN|=2p,所以以MN為直徑的圓的半徑是P,圓心為f［多。)，

解得P=2,

所以拋物線方程V=4x.

故選：B.

6.D

【分析】設(shè)以3+法2+B+d=o(。#0且6//0)的三個(gè)實(shí)根分別為內(nèi),々，不，依題意可得

?(x-xl)(x-x2)(x-x3)=O,再根據(jù)整式的乘法展開，再根據(jù)系數(shù)相等即可判斷.

【詳解】設(shè)公3+加2+3+4=0(。/0且d*0)的三個(gè)實(shí)根分別為王,々,三，

所以。曰)=0,

所以。［*一(石+/)X+3%］。一/)=0,

所以以3一。(西+/+工3)/+。(%工2+工213+%工3)工一61工2工3=°，

所以一〃(芯+x2+Xj)=/?,a{x[x2+x2x3+七芻)=c,-ax^Xy=d,

答案第2頁(yè)，共17頁(yè)

bd_

即X1+x+x=--■—,xx+XX=—,玉/下二一

23a]223aa

…111xx+xx+xx_

所以一+—+―=23l312a

為々工3XMd_

a

b.c一

所以函數(shù)=/一6f+111一6中x+x+x=-—=6,XX+玉X3+X2X3=_=11，

l23a12a

11111

%&毛=-4=6,—+—+—=

~6

玉x2x3

故選：D

7.A

DEEH當(dāng)=器，結(jié)合條件即得.

【分析】由題可得而=而

ABAC

【詳解】由題可知OE//A8,FG//AB,

所以匹=型，——FGGC,

又DE=FG=3,EH=1,HC=12,GC=9,

ABAHABAC

3739

所以罰=

AE+7'南—AE+7+12'

MAE=35,AB=\S.

故選：A.

8.D

【分析】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、所在直線分別為x、>、z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)N（6,”,6）,M（0,0,?/）,其中04m46,0</?<6,由麗.而=0求出機(jī)的

值，即可得解.

【詳解】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC、所在直線分別為了、丫、z軸建立如下圖所

答案第3頁(yè)，共17頁(yè)

則4（6,0,0）、0（3,3,0）,設(shè)點(diǎn)N（6,〃,6）,M（0,0,m）,其中04根<6,0<?<6,

AM=（-6,0,/M）,兩=（3,〃-3,6）,

因?yàn)镺/V_LAM,則麗?奇=3x（-6）+6，〃=0,解得m=3,故DM=3.

故選：D.

9.C

【分析】根據(jù)新定義及等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)算即得.

a.8

【詳解】因?yàn)?=0,

所以64-64=0,即蠟=64,又｛4｝為等比數(shù)列，%=2,

所以“3，“5，%同號(hào)，%=8,又

所以％=4.

故選：C.

10.A

【分析】由概率乘法公式分別求出P（X=3）,P（X=10）,由此可得結(jié)論.

【詳解】由已知P（X=3）=0.6x0.5x0.6+0.4x0.5x0.6=0.3,

p（X=10）=0.6x0.5x0.4=0.12,

_P（X=3）5

所以尸（X=10）=5'

故選：A.

11.C

【分析】由題可得〃X）=COS（25）,根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷①②，根據(jù)圖象變

換規(guī)律及三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷③，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得色41，然后根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性

a2

質(zhì)可判斷④.

【詳解】因?yàn)?（x）=sin2（（yx-5）-cos2（（yx+￡j=c°s20x-sin2（yx=cos（2a>x）,

所以f（x）的最小正周期是勺=二，故①正確；

2a>co

答案第4頁(yè)，共17頁(yè)

若/(X)在處取得極值，則，M=E,keZ,即。=k,keZ,又<y>0,故o=Z,&eN",

故②錯(cuò)誤；

把/(X)的圖象向右平行移動(dòng)卷個(gè)單位長(zhǎng)度，可得

y=cos2a)\x--=cos2cox~—=sin(2s),

?I4a)I2

因?yàn)閟in(-2(yx)=-sin(2g),故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故③正確；

兀

由不￡0,—,可得26yxw0,史竺，又〃x)在區(qū)間0,-上單調(diào)遞減,

_a\aa

則也《冗，即根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知巴士竺=@+竺2],故④正確;

aa2a(ocoa2

所以真命題的個(gè)數(shù)為3.

故選：C.

12.B

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,通過(guò)令〃x)=0,構(gòu)建新函數(shù)〃(x)=F，求導(dǎo)解出"(x)=F的單調(diào)

性，再結(jié)合有兩個(gè)不同零點(diǎn)即可得出〃與e的大小關(guān)系；

對(duì)于選項(xiàng)C,通過(guò)對(duì)g(x)求導(dǎo)得出單調(diào)性，再由對(duì)稱定義得出g(x)關(guān)于(1,0)對(duì)稱，得出

g(xJ<0,且g(w)>0,即可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)D,通過(guò)對(duì)f(x)零點(diǎn)的分析結(jié)合選項(xiàng)A中的證明，得出0<與<1<々，結(jié)合選項(xiàng)C

中的證明利用單調(diào)性得出ga)>g(0)=-g即可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)B,結(jié)合選項(xiàng)C,D中的證明，構(gòu)造新函數(shù)i(x)=/?(x)-M2-x),求導(dǎo)再構(gòu)造得出

i(x)的單調(diào)性即可由0<1<弓于單調(diào)性得出占+々>2,即可證明巧比々離x=1遠(yuǎn)，再結(jié)

合對(duì)稱性得出|g(3)|>|g(xj|,即可判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：

令/(x)=ev-ar=0,

則eA=ax,即a=J,

x

令M1)=J,

答案第5頁(yè)，共17頁(yè)

貝IJ當(dāng)x>l時(shí)〃(x)>0,當(dāng)x<l時(shí)〃(x)<0,

則〃(x)=^在工>1時(shí)單調(diào)遞增，在x<l時(shí)單調(diào)遞減，

則力0).=/z(l)=^-=6,

則當(dāng)f(x)=e工-ar有兩個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)，a>e,

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：

S[x}=----x+\,

則g'(x)=2X-'In2+2'-vln2-l=ln2(2t-1+21)-1,

由基本不等式可得2-+2'-v>2，

則皿2(2-1+21)221|12>1,

則/(">(),則g(x)再定義域上單調(diào)遞增，

v^(x+l)+^(-x+l)=----x-l+l+-^---+x-l+l=O,

則g(x)關(guān)于(1,0)對(duì)稱，

令/(x)=e"-ax=0,則e*=ar,

且由選項(xiàng)A得知a>e,

二當(dāng)/(x)=e*-ar=0時(shí)，解得的x>0,即%、9〉。，

由選項(xiàng)A中可知/?("=?在x>l時(shí)單調(diào)遞增，在x<l時(shí)單調(diào)遞減，

當(dāng)f(x)=e*-ax有兩個(gè)零點(diǎn)<七)時(shí)，

貝I」0v玉<1v電，

則g(%)<0,且g(w)>。,

令[工)=〃(力一力(2-1)，且Ovxvl,

則山)=(1)旨

答案第6頁(yè)，共17頁(yè)

^>/(x)=—(0<x<l),

即/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

vxe(0,l),

:.x<2-x,

則，'(x)<0,

即i(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

.-.z(x)>z(l)=0,

Bp/j(x)>/j(2-x),

?/0<Xj<1,

二.力(不)>力(2-百),

V/2(^)=/2(X2),

.,.力(%)>力(2一百)

??,芍>1,2-%1>1,力⑴在(1,+00)上單調(diào)遞增,

/.x2>2-Xj,gp%,+x2>2,

則々比4離x=l遠(yuǎn)，

則|g(%)|>|g(xj|，

則g(x)+g(匹)>0,

故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：

由選項(xiàng)B中可知ga)<0,且g(w)>o,

則g(,>g(/)<。，

答案第7頁(yè)，共17頁(yè)

故選項(xiàng)c錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D：

2g(Dg(&)+g(X2)=g(W)12ga)+l]

由選項(xiàng)B中可知g(x)再定義域上單調(diào)遞增,且g(w)>0,O<X1<1,

貝Ug(占)>g(o)=-；,

則2g(xJ+l>0,

則2g(xJ-g(毛)+g(w)>0

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常見的解題轉(zhuǎn)化方法：

(1)利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常轉(zhuǎn)化不等式恒成立問(wèn)題，需要注意分類討論與數(shù)

形結(jié)合思想的應(yīng)用；

(2)函數(shù)零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題處理.

難題通常需要多段求導(dǎo)或構(gòu)造函數(shù)，這時(shí)需多注意函數(shù)前后聯(lián)系.

13.|

【分析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合直線在y軸上的截距，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)

解，代入即可求解.

x+y-2<0

【詳解】畫出約束條件，x-y+220所表示的平面區(qū)域，如圖所示，

x+2y-2>0

目標(biāo)函數(shù)2=彳+丫，可化為直線y=-x+z,

當(dāng)直線y=T+z過(guò)點(diǎn)c時(shí)在y上的截距最小，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值,

x+2y-2=024

又由，解得c

x-y+2=0353

所以目標(biāo)函數(shù)Z3N的最小值為Zmm=-：2+34=半2

故答案為：~.

答案第8頁(yè)，共17頁(yè)

14.（1）填表見解析；有97.5%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生對(duì)足球是否有興趣與性別有關(guān)”

（2）分布列見解析；期望為1

【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，再結(jié)合公式求K"分析理解；

（2）根據(jù)分層求得抽取男生2人，女生4人，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.

【詳解】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表:

有興趣沒(méi)興趣合計(jì)

男55560

女301040

合計(jì)8515100

片=100x(55x1。-5x30)2=800.>53

85x15x40x60153

所以有97.5%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生對(duì)足球是否有興趣與性別有關(guān)”.

（2）按照分層抽樣的方法，抽取男生2人，女生4人,

隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,則有:

2"=。)=譬=&=，P(X=1)=^12=K=］，尸(X=2)=C；C；_4_1

-20-5

X的分布列為:

答案第9頁(yè)，共17頁(yè)

i3I

故E(X)=Ox"蚱+2x"l,即X的期望為1.

15.(1)證明見解析

2屈述

⑵

39'IT

【分析】(1)首先取BG中點(diǎn)。，連接O。，0E,。為BC的中點(diǎn)，易證四邊形AOOE為平

行四邊形，從而得到AO〃QE,再利用線面平行的判定即可證明A。〃平面BGE.

(2)以8為原點(diǎn)，BC,84,Bq分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量法求

解即可.

【詳解】(1)取8cl中點(diǎn)0,連接0。，0E,。為8c的中點(diǎn)，如圖所示：

因?yàn)?,。分別為8G和BC的中點(diǎn)，

所以on〃gcG且oo=gcG，

又當(dāng)2時(shí)，E為A4的中點(diǎn)，

所以AE〃gc￡,且AE=gcG，

所以O(shè)￡)〃AE,且OD=AE,

所以四邊形AOOE為平行四邊形，所以AD〃0E,

因?yàn)锳￡>U平面BC|E,OEu平面8C|E,所以4)〃平面8GE.

(2)因?yàn)??=3,BC=4,AC=5,所以A82+8C2=402,^ABIBC.

又因?yàn)槿庵鵄BC-AMG為直三棱柱，

答案第10頁(yè)，共17頁(yè)

所以以8為原點(diǎn)，8cB4,即分別為匹y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

B

（1

所以*0,0,0）,G（4,0,3）,0（2,0,0）,￡（0,3,34）,-<2<

晅=（4,0,3）,BE=（0,3,32）,

設(shè)平面BQE的一個(gè)法向量7=（x,y,z）,

n-BC,=4x+3z=0/、

所以,令x=3,得M=（3,4X,T.

n-BE=y+Az=0

又明=（2,0,3）,

|無(wú)力同6

所以sin?=『4=°,,

同岡V13V16/l2+25

冊(cè)….八「2回3"

X—<2<——,所以sin。eTT-，

44|_3913

所以sin。的取值范圍為孚，孚.

391J

16.⑴A=?

⑵。，2）

【分析】（1）由正弦定理化邊為角后，由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式變形，然后結(jié)合同角

關(guān)系可得A角；

（2）由（1）及已知得3角范圍，利用正弦定理把。表示為8的三角函數(shù)，從而得出c的范

圍，再由三角形面積公式得面積范圍.

答案第II頁(yè)，共17頁(yè)

【詳解】(1)因?yàn)閔-csinA=〃cosC,

由正弦定理得sinB-sinCsinA=sinAcosC,

即sin(A+C)—sin4cosc=sinCsinA,

所以cosAsinC=sinCsinA,

因?yàn)閟inCwO,所以tarv4=l,由Aw(0,?^得A=：.

(2)因?yàn)樨?2,

由正弦定理得＜_2sinC2日吟-8)2(sin%sB-cos*8)=板1岳,

sinBsinBsinBtanB

由當(dāng)-8＜弓可得6＞J,

424

兀兀

所以Be,貝ijtanBw(l,+oo),故cw(虛,2四),

4,2

所以“IBC的面積S=—^csin/l=^-ce(l,2).

22v'

即面積的取值范圍為(1,2),

2

17.⑴W+y2=［；

2

(2)是，直線/過(guò)定點(diǎn)

【分析】(1)由題可得6=1,然后把點(diǎn)1，代入橢圓方程可得4=2,即得;

(2)設(shè)直線y=H+?,聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理法結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得「=立

3

進(jìn)而即得.

【詳解】(1)因?yàn)榫W(wǎng)=2,所以人=1,

又點(diǎn)［L丁J在圖像c上，

所以1+2=1，所以。2=2,

a~2b~

所以橢圓C的方程為工+丁=1；

2

答案第12頁(yè)，共17頁(yè)

(2)由題可設(shè)直線/：y=kx+t,％(9,%),(乂>0,%>0),

y=kx+t

由1X?,得(2公+1#+43+2/-2=0,

—+y2=1

2

貝l]A=8(2公+l-r)>o,

4kt

X]+&=—

2^+1

:2*-2

xx

]2-2如+1

又滿.天=T,即再々+到內(nèi)=一1，

所以為x,+(kX[+/)(Ax,+f)=-l,即(％2+1)X|W+公(X+&)+r=-l

…?分+/

4kt]+產(chǎn)=-1

~2k2+\)'

解得*=g,又x+必2t

>0,即f>0,

~2k2+1

同

所以1=——，y=kx+且

33，

所以直線/過(guò)定點(diǎn)

18.(1)0

(2)證明見解析

⑶(YO,2]

【分析】(1)求出g(x)的表達(dá)式，求導(dǎo)，通過(guò)討論g(x)的單調(diào)性，即可求出g(x)的最小值;

(2)通過(guò)(1)中g(shù)(x)的取值范圍得出xNln(x+l),即可證明不等式；

(3)分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)〃(力=士專工1,通過(guò)(1)中的結(jié)論xNln(x+l),可得

出力(力的取值范圍，即可求得。的取值范圍.

【詳解】(1)由題意，在〃可=；——(x+l)ln(x+l)+x+r中，

所以，^(x)=/z(x)=x-ln(x4-l)-l+l=x-ln(x-bl),

在g(x)=x-ln(x+l)中，x>-l?

答案第13頁(yè)，共17頁(yè)

令g'(x)=O,解得x=0,

又xe(-l,0)時(shí)，g'(x)<0,xe(0,+oo)時(shí)，g'(x)>0,

/.g(x)>g(O)=O,即g(x)的最小值為0.

(2)在g(x)=x-ln(x+l)中，g(x)=x-ln(x+l)>0,

可知x21n(x+l),當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，

.??"wN"時(shí)，In|+1?,即，2In"+1,

nyn)nn

?1111.2.3?〃+l3〃+?z

..1H1—F…H—>In—FIn—F???+In-----=In-,...............=In(7?4-

23n12n(12n)v

???不等式成立.

(3)由題意及(1)(2)得，x>ln(x4-l).

當(dāng)x>0時(shí)，/一xliix+(2—a)x—1之。恒成立,

...不等式X—12+2x72a恒成立,

x

xx-x\nx+2x-\

令〃(戈)=

x

則命題等價(jià)于x?0,y),力(x)1rf“2。

Vx>ln(x+1),Aev>x+l.

/心)=”-1之xhu+Har+21=2,當(dāng)另11V=。，即*=1時(shí)能取等號(hào),

XX

，〃(%)min=2,即Q?2.

???。的取值范圍為(e,2].

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)，二次求導(dǎo)，以及求參數(shù)，具有較強(qiáng)的綜合性.

19.(1)無(wú)+y-2=0,y=2x2-l,xe[-l,l]

Q超

16

答案第14頁(yè)，共17頁(yè)

【分析】（1）利用三角函數(shù)公式和極坐標(biāo)公式代入?yún)?shù)方程即可得到直線/的

直角坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程

（2）根據(jù)尸是曲線C上的點(diǎn)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，寫出點(diǎn)P到直線/的距離的表達(dá)式，求出取值

范圍，即可得到P到/距離的最大值.

【詳解】（1）由題意

在「cos（夕一：）=&中，+=夜，

將產(chǎn)°常、代入上式得：旦+當(dāng)=也，

[psm9=y22'

即直線/的直角坐標(biāo)方程為：x+y-2=0,

fx=cosa

曲線C的參數(shù)方程為《\（a為參數(shù)），

[y=cos2a

/.y=cos2a=2cos%-1,且x=cosae[-l,l],

則曲線C的普通方程為：y=2x2-l,xe[-