實(shí)際應(yīng)用與二次函數(shù)2020-2021年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)高頻考點(diǎn)突破（蘇科版）（解析版）

考點(diǎn)3、實(shí)際問題與二次函數(shù)

知識(shí)框架

列二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)4

實(shí)際問題中自變量的取值

球類運(yùn)動(dòng)軌跡問題

拱橋問題

噴水問題

重難點(diǎn)題型銷售問題（利潤(rùn)問題）

面積問題

分段函數(shù)問題

二次函數(shù)綜合問題

一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)3-1列二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟

1）列二次函數(shù)解決實(shí)際問題的原則，與一元二次方程的實(shí)際問題原則類似：

①根據(jù)題意和實(shí)際問題涉及的類型，建立等量關(guān)系式；

②以利于表示等量關(guān)系式為原則，設(shè)出2個(gè)變量，注意區(qū)分自變量和因變量（與一元二次方程不同的地方）；

③依據(jù)等量關(guān)系式和變量建立函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題；

④解決二次函數(shù)，并解答。

注：一元二次方程通常有2解，但是，應(yīng)檢驗(yàn)方程的2個(gè)根是否都符合實(shí)際情況。

例1.（2020.重慶市初三期中）某商品現(xiàn)在的銷售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件。市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若

果每降價(jià)1元，每星期多少賣20件。已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？

【答案】每件降價(jià)5元利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為：6250元

【解析】①建立等量關(guān)系式：

此題是利潤(rùn)問題，等量關(guān)系式為：總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)X售出的件數(shù)

②設(shè)出2個(gè)變量：

???題目研究總利潤(rùn)，...設(shè)總利潤(rùn)為因變量y,便于研究

???每件的利潤(rùn)與售出的件數(shù)都與商品降價(jià)有關(guān)，，設(shè)每件降價(jià)x元

③建立函數(shù)關(guān)系式：

總利潤(rùn)為：y；每件的利潤(rùn)為：（60-X-40）=（20-x）元；售出的件數(shù)為：（300+20x）件

???函數(shù)關(guān)系式為:y=（20-x）（300+20%）

化簡(jiǎn)得:y=-10x2+100x+6000

④解決二次函數(shù)問題，并解答：

題干求最值，2種方法：

方法一：配方法求最值：函數(shù)配方得：產(chǎn)-100-5）2+6250

...當(dāng)x=5時(shí)，y有最大值，為6250

方法二：利用函數(shù)的性質(zhì)求最值：.?.函數(shù)有最大值

當(dāng)4—2=--限=5時(shí)有最大值，最大值產(chǎn)竺=

.?.降價(jià)5元時(shí)有最大利潤(rùn)，為6250元

答：略

例2.用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀（如圖1）.

科學(xué)原理：如圖2,始終盛滿水的圓體水桶水面離地面的高度為H（單位：m）,如果在離水面豎直距離為h

（單校：cm）的地方開大小合適的小孔，那么從小孔射出水的射程（水流落地點(diǎn)離小孔的水平距離）s（單

位：cm）與h的關(guān)系為s?=4h（H一h）.

應(yīng)用思考：現(xiàn)用高度為20cm的圓柱體望料水瓶做相關(guān)研究，水瓶直立地面，通過連注水保證它始終盛滿水，

在離水面豎直距高h(yuǎn)cm處開一個(gè)小孔.

（1）寫出s?與h的關(guān)系式；并求出當(dāng)h為何值時(shí)，射程s有最大值，最大射程是多少？

（2）在側(cè)面開兩個(gè)小孔，這兩個(gè)小孔離水面的豎直距離分別為a,b,要使兩孔射出水的射程相同，求a,b

之間的關(guān)系式；（3）如果想通過墊高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm,求整高的高度及小孔離水

面的豎直距離.

【答案】（I）『=-4（力一IO）?+400，當(dāng)a=10時(shí)，壬皿=20；（2）6或a+b=20；（3）墊高的高度

為16cm，小孔離水面的豎直距離為18cm

【分析】（1）將s2=4h（20-h瀉成頂點(diǎn)式，按照二次函數(shù)的性質(zhì)得出s2的最大值，再求s2的算術(shù)平方根即可;

（2）設(shè)存在a,b,使兩孔射出水的射程相同，則4a（20-a）=4b（20-b）,利用因式分解變形即可得出答案;

(3)設(shè)墊高的高度為m,寫出此時(shí)s2關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

【解析】解：(l)：s2=4h(H-h),.*.當(dāng)H=20時(shí)，s2mh(20-h)=-4(h-I09+400,

，當(dāng)h=10時(shí),s?有最大值400,...當(dāng)h=10時(shí),s有最大值20cm.

二當(dāng)h為何值時(shí)，射程s有最大值，最大射程是20cm；故答案為：最大射程是20cm.

⑵?.飛2=4〃(20-力),設(shè)存在。，b,使兩孔射出水的射程相同,則有:4a(20-。)=46(20-份,

204-/=204/,/.a2-b2=20a-20b,(a+h)(a-b)=20(a-b),/.(a-h)(a+h-20)=0,；.a-h=0或a+%-20=0,

/.a-h或。+。=20.故答案為：a=h或a+h=20.

20+/77

(3)設(shè)墊高的高度為m,則52=4〃(20+m-h)=—4(〃-------)2+(20+m)2

2

,,20+m,-八cc20+m,?

.,.當(dāng)/z=---2---時(shí)，.絹1m；*ax=20+，〃=20+16；."?=16時(shí)，此時(shí)〃=----2---=18

二墊高的高度為16cm,小孔離水面的豎直距離為18cm.

故答案為：墊高的高度為16cm,小孔離水面的豎直距離為18cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，厘清題中的數(shù)量關(guān)系并明確二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

例3.(2020?浙江省初三二模)為運(yùn)用數(shù)據(jù)處理道路擁堵問題，現(xiàn)用流量4(輛/小時(shí))、速度n(千米/小

時(shí))、密度左(輛/千米)來描述車流的基本特征.現(xiàn)測(cè)得某路段流量9與速度u之間關(guān)系的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下

表：

速度U(千米/小時(shí))....1520324045....

流量q(輛/小時(shí))....105012001152800450....

若己知4、丫滿足形如4=相聲+”U(機(jī)、〃為常數(shù))的二次函數(shù)關(guān)系式，且q、u、k滿足q=H:.根據(jù)

監(jiān)控平臺(tái)顯示，當(dāng)54V410時(shí)，道路出現(xiàn)輕度擁堵，試求此時(shí)密度k的取值范圍是.

【答案】8042490

【分析】利用待定系數(shù)法求出4=-2聲+100丫，將4=可變形為：k=(,將4=-2聲+100丫代入人=(,

再求出當(dāng)54丫410時(shí)，k的取值范圍即可.

【解析】由表格可知函數(shù)^二加聲+^；過(15,1050)、(20,1200),可得：

mxl52+nxl5=1050m=-2ca

<解得八八/.q=-2v+100vVq=vk：.k=—

mx202+nx20=1200n=100"v

將夕=-2寸+100u代入&=殳得：k=&==-2v+l00

vvv

V5<v<10/.80<-2v+100<90,804&490故答案為：80<A:<90

【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，掌握待定系數(shù)法求反函數(shù)的解析

式是解題的關(guān)鍵.

例4.（2020?吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三月考）某一房間內(nèi)A、B兩點(diǎn)之間設(shè)有探測(cè)報(bào)警裝置，小車（不計(jì)大

?。┰诜块g內(nèi)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小車從AB之間（不包括A、B兩點(diǎn)）經(jīng)過時(shí)，將觸發(fā)報(bào)警.現(xiàn)將A、B兩點(diǎn)放置于

平面直角坐標(biāo)系X。'中，（如圖），己知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0,4）,（4,4）,小車沿拋物線丁=奴2―2初—34

（?<0）運(yùn)動(dòng).若小車在運(yùn)動(dòng)過程中觸發(fā)兩次報(bào)警裝置，則。的取值范圍是.

4

【答案】—§<。<一1

【分析】先把拋物線解析式分解因式，得其與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸，再分別代入臨界點(diǎn)的坐標(biāo)（0,4）

和（4,4）,結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)大小與開口大小及與x軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)等即可解答.

【解析】解：拋物線y=a^-2ax■-3a=a（x+l）（x-3）,

.,.其對(duì)稱軸為：x=l,且圖象與x軸交于（一1,0）,（3,0）.

?.?拋物線頂點(diǎn)為（1，-4a）,當(dāng)頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，有-4a=4,則。=一1；

4

當(dāng)拋物線過點(diǎn)（0,4）時(shí)，代入解析式得：-3a=4；,—,

3

由對(duì)稱軸為x=l及圖象與x軸交于（-1,0）,（3,0）可知，

4

當(dāng)-；<a<7時(shí)，拋物線與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)；

3

4

小車在運(yùn)動(dòng)過程中觸發(fā)兩次報(bào)警裝置，則a的取值范圍是一5Va<-1；

4

故答案為：一1va<—1.

【點(diǎn)睛】本題實(shí)質(zhì)是二次函數(shù)圖象與線段交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，需要綜合分析二次函數(shù)開口方向，對(duì)稱軸，與x

軸交點(diǎn)情況等，難度較大.

例5.(2020?四川省中考真題)三孔橋橫截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小完全相同.當(dāng)水面

剛好淹沒小孔時(shí)，大孔水面寬度為I。米，孔頂離水面1.5米；當(dāng)水位下降，大孔水面寬度為14米時(shí)，單個(gè)

小孔的水面寬度為4米，若大孔水面寬度為20米，則單個(gè)小孔的水面寬度為()

A.米B.5女米C.2屈米D.7米

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，可以畫出相應(yīng)的拋物線，然后即可得到大孔所在拋物線解析式，再求出頂點(diǎn)為A的小

孔所在拋物線的解析式，將x=-10代入可求解.

333

設(shè)大孔所在拋物線解析式為y=ax，一，：BC=10,...點(diǎn)B(-5,0),/.0=aX(-5)2+~,Aa=——,

2250

33

大孔所在拋物線解析式為y=-￡x2+^,設(shè)點(diǎn)A(b,0),

則設(shè)頂點(diǎn)為A的小孔所在拋物線的解析式為y=m(x-b)2,

3636

?.?EF=14,...點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-7,.?.點(diǎn)E坐標(biāo)為(-7,-=m(x-b)2,

99

.?.頂點(diǎn)為A的小孔所在拋物線的解析式為y=-5(x-b)

999

,大孔水面寬度為20米，.?.當(dāng)x=70時(shí)，y-：.y-—(x-b)

Axr-V2+b,X2=-fQ+b,.?.單個(gè)小孔的水面寬度=1（*正+b）-（-V2+b）=5J2（米）

2222、

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.

例6.（2020?江蘇省中考真題）加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的顆粒的百分比稱為“可食用率”.在特定條件

下，可食用率》與加工時(shí)間x（單位：min）滿足函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-0.2/+1.5元—2,則最佳加工時(shí)間為

mm.

【答案】3.75

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式直接計(jì)算即可.

2a

今b1.5ru

【解析】：丁=-0.2f+1.5%-2的對(duì)稱軸為*=一五=一五而為=3.75（min）,

故：最佳加工時(shí)間為3.75min,故答案為：3.75.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及求頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸方程等，記住拋物線頂點(diǎn)公式是

解題關(guān)鍵.

例7.（2020?揚(yáng)州市江都區(qū)國(guó)際學(xué)校初二期中）如圖，線段A5的長(zhǎng)為6夜，C為A8上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以

AC、8C為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形△AC￡＞和ABCE,那么OE長(zhǎng)的最小值是.

【答案】3亞

【分析】根據(jù)題意利用等腰直角三角形的特點(diǎn)知道AD=CD,CE=BE,ZACD=ZA=45°,ZECB=ZB=45°,

ZDCE=90°.利用勾股定理得出DE的表達(dá)式，進(jìn)而設(shè)AC=X,BC=&應(yīng)一X,利用配方法即可求出DE的

最小值.

【解析】解：在等腰Rt^ACD和等腰RtZ\CBE中AD=CD,CE=BE,NACD=NA=45°,NECB=NB=45°

/.ZDCE=90°AD2+CD2=AC2,CE2+BE2=CB2.CD2=-AC2,CE2^-CB2,

22

,/DE2=CD2+CE2，:，DE2=-(AC2+C52),

2

設(shè)4C=x,BC=6及一x,即有?！?g[f+(6拒-x)2]=(x-30)2+18,

.??當(dāng)x=3A/2時(shí)，DE2有最小值為18，

.?.當(dāng)AC=3a時(shí)，DE的值最小，即==故答案為：3亞.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的特點(diǎn)及二次函數(shù)求最值的方法，解答的關(guān)鍵是利用設(shè)參法和配方法進(jìn)

行分析計(jì)算.

例8.(2020?山東省中考真題)某快遞公司在甲地和乙地之間共設(shè)有29個(gè)服務(wù)驛站(包括甲站、乙站)，~

輛快遞貨車由甲站出發(fā)，依次途經(jīng)各站駛往乙站，每?？恳徽?，均要卸下前面各站發(fā)往該站的貨包各1個(gè)，

又要裝上該站發(fā)往后面各站的貨包各1個(gè).在整個(gè)行程中，快遞貨車裝載的貨包數(shù)量最多是個(gè).

【答案】210

【分析】根據(jù)理解題意找出題目中所給的等量關(guān)系，找出規(guī)律，寫出貨包數(shù)量的函數(shù)解析式，再根據(jù)二次

函數(shù)最值的求法求出快遞貨車裝載的貨包數(shù)量最多的站.

【解析】當(dāng)一輛快遞貨車?？吭诘趚個(gè)服務(wù)驛站時(shí)，

快遞貨車上需要卸下已經(jīng)通過的(x-1)個(gè)服務(wù)驛站發(fā)給該站的貨包共(x-1)個(gè)，

還要裝上下面行程中要停靠的(n-x)個(gè)服務(wù)驛站的貨包共(n-x)個(gè).

根據(jù)題意，完成下表：

服務(wù)驛站序號(hào)在第X服務(wù)驛站啟程時(shí)快遞貨車貨包總數(shù)

1n-1

2(n-1)-1+(n-2)=2(n-2)

32(n-2)-2+(n-3)=3(n-3)

43(n-3)-3+(n-4)=4(n-4)

54(n-4)-4+(n-5)=5(n-5)

n0

由上表可得y=x(n-x).當(dāng)n=29時(shí),y=x(29-x)=-x2+29x=-(x-14.5)2+210.25,

當(dāng)x=14或15時(shí)，y取得最大值210.

答：在整個(gè)行程中，快遞貨車裝載的貨包數(shù)量最多是210個(gè).故答案為：210.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值在

x=_2時(shí)取得。

2a

知識(shí)點(diǎn)3-2實(shí)際問題中自變量的取值

1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知：函數(shù)的頂點(diǎn)為（-幺,細(xì)二以］,故當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)取得最值，即：

（2〃4〃J2a

①當(dāng)a>0時(shí)，x=-2時(shí)函數(shù)有最小值，最小值產(chǎn)生之

2a4a

②當(dāng)a<0時(shí)，x=-2*時(shí)函數(shù)有最大值，最大值y="2"

2a4a

2）在實(shí)際問題中，由于受自變量取值的限制，自變量有可能無法取到x=-2,這是就需要根據(jù)二次函數(shù)

2a

的性質(zhì)進(jìn)一步分析了。因此，在解決實(shí)際問題中，自變量的取值范圍非常重要，必須要著重考慮，則解決

實(shí)際問題的步驟為：

①根據(jù)題意和實(shí)際問題涉及的類型，建立等量關(guān)系式；

②以利于表示等量關(guān)系式為原則，設(shè)出2個(gè)變量，注意區(qū)分自變量和因變量；

③依據(jù)等量關(guān)系式和變量建立函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題；

④根據(jù)實(shí)際問題，確定自變量的取值范圍；（添加步驟）

⑤解決二次函數(shù)，并解答。

例1.某商品現(xiàn)在的銷售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件。市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若果每降價(jià)1元，每星期多

少賣20件。已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，商務(wù)部規(guī)定商品價(jià)格不得低于56元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？

【答案】每件降價(jià)5元利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為：6250元

【解析】①建立等量關(guān)系式：

此題是利潤(rùn)問題，等量關(guān)系式為：總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)X售出的件數(shù)

②設(shè)出2個(gè)變量：

?.?題目研究總利潤(rùn)，???設(shè)總利潤(rùn)為因變量y,便于研究

???每件的利潤(rùn)與售出的件數(shù)都與商品降價(jià)有關(guān)，設(shè)每件降價(jià)x元

③建立函數(shù)關(guān)系式：總利潤(rùn)：y；每件的利潤(rùn)：（60—工-40）--（20—x）元；售出的件數(shù)：（300+20x）件

.,.函數(shù)關(guān)系式為：產(chǎn)（20-x）（300+20x）化簡(jiǎn)得：y=-10x2+100x+6000

④確定自變量取值范圍：

根據(jù)題意，xW60—56,且x>0,且x為整數(shù).?.自變量的取值范圍為：0WxW4（x為整數(shù)）

⑤解決二次函數(shù)問題，并解答：.?.函數(shù)有最小值

當(dāng)戶-餐=-=5時(shí)有最小值，但是x無法取到5

2a2-(-10)

根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)，當(dāng)x=4時(shí)，有最大值，最大值)=6240

例2.(2020.湖北省初三模擬)受“新冠”疫情的影響，某銷售商在網(wǎng)上銷售A、B兩種型號(hào)的“手寫板”,

獲利頗豐.已知A型，8型手寫板進(jìn)價(jià)、售價(jià)和每日銷量如表格所示：

進(jìn)價(jià)(元/個(gè))售價(jià)(元/個(gè))銷量(個(gè)/日)

A型600900200

8型8001200400

根據(jù)市場(chǎng)行情，該銷售商對(duì)A型手寫板降價(jià)銷售，同時(shí)對(duì)3型手寫板提高售價(jià)，此時(shí)發(fā)現(xiàn)A型手寫板每降

低5元就可多賣1個(gè)，8型手寫板每提高5元就少賣1個(gè)，要保持每天銷售總量不變，設(shè)其中A型手寫板每

天多銷售無個(gè)，每天總獲利的利潤(rùn)為元(1)求y與％之間的函數(shù)關(guān)系式并寫出X的取值范圍；(2)要使

每天的利潤(rùn)不低于234000元，直接寫出》的取值范圍；(3)該銷售商決定每銷售一個(gè)8型手寫板，就捐。

元給(0<aW100)因“新冠疫情”影響的困難家庭，當(dāng)304x440時(shí)，每天的最大利潤(rùn)為229200元，求a

的值.

【答案】(1)y=-1Ox2+900x+220000(04x460),且x為整數(shù)：(2)204x460,且x為整數(shù)：

(3)。=30

【分析】(1)設(shè)A型手寫板每天多銷售％個(gè)，則8型手寫板每天少銷售x個(gè)，根據(jù)總獲利的利潤(rùn)》等于銷

售A型手寫板所獲利潤(rùn)加上銷售B型手寫板所獲利潤(rùn)，根據(jù)每件銷售的利潤(rùn)，每日的銷量都為非負(fù)數(shù)且x為

非負(fù)整數(shù)求出x的取值范圍；(2)結(jié)合(1)將總利潤(rùn)函數(shù)進(jìn)行配方，求出當(dāng)y=234000時(shí)的x值，結(jié)合圖

象得到每天的利潤(rùn)不低于234000元時(shí)的x的取值范圍，進(jìn)而求解；(3)設(shè)捐款后每天的利潤(rùn)為卬元，則

卬=y一(400-x)a,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.

【解析】⑴y=(900-600-5^)(200+X)+(1200-800+5x)(400-x),

x>0

化簡(jiǎn)得，y=-lOx2+900X+220000,由題意知I,<300—5xN0,解得，0<x<60,

400-x>0

故X的取值范圍為04x460且X為整數(shù)；

(2)%的取值范圍為20WXW60,

理由如下：y=-10x2+9()()x+22000()=-1()(x-45,+240250,

當(dāng)"234000時(shí)，-10(x-45)2+240250=234000,

/.(X-45)2=625,*-45=±25,x=20或x=70,

要使y2234(X)0,由圖象知，204x470：

04x460,.?.204x<60,且x為整數(shù)；

(3)設(shè)捐款后每天的利潤(rùn)為卬元，

則w=-10x2+900x+22(XXX)-(4(X)-x)tz=-10x2+(900+a)x+220000—400a,

對(duì)稱軸為x=900+3=45+烏,0<?<100.45+—>45,

202020

拋物線開口向下，當(dāng)304x440時(shí)，w隨X的增大而增大，

當(dāng)x=40時(shí)，w最大，；.一16000+40(900+a)+220000-400a=229200,解得，a=30.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意，列出二次函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，第(2)(3)題

可結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行求解.

例3.(2020.廣東省初三期末)網(wǎng)絡(luò)銷售已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式為了減少農(nóng)產(chǎn)品的庫(kù)存，我市市長(zhǎng)親

自在某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上進(jìn)行直播銷售大別山牌板栗.為提高大家購(gòu)買的積極性，直播時(shí)，板栗公司每天拿出2000

元現(xiàn)金，作為紅包發(fā)給購(gòu)買者.已知該板栗的成本價(jià)格為6元/kg,每日銷售量y(kg)與銷售單價(jià)式元/kg)

滿足關(guān)系式：y=-100x+5000.經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)不低于成本價(jià)格且不高于30元/kg.當(dāng)每日銷售

量不低于-4000kg時(shí)，每千克成本將降低1元設(shè)板栗公司銷售該板栗的日獲利為W(元).(1)請(qǐng)求出日獲

利卬與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式(2)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，銷售這種板栗日獲利最大？最大利潤(rùn)為

多少元？(3)當(dāng)W240000元時(shí)，網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)將向板栗公可收取。元/kg(a<4)的相關(guān)費(fèi)用，若此時(shí)日獲利

的最大值為42100元，求a的值.

…4-100x2+5500x-27000(6<x<10)

【答案】(1)w=\.(2)當(dāng)銷售單價(jià)定為28元時(shí)，日獲利最大,

-lOOx2+56(X)x-320()0(10<x<30)

且最大為46400元；(3)a=2

【分析】(I)首先根據(jù)題意求出自變量x的取值范圍，然后再分別列出函數(shù)關(guān)系式即可；

(2)對(duì)于(1)得到的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式在其自變量取值范圍內(nèi)求出最大值，然后進(jìn)行比較，即可得到結(jié)果;

(3)先求出當(dāng)w=40000,即一1()0/+56()()X—3200()=4()000時(shí)的銷售單價(jià)，得當(dāng)

w>4()()00,20<x<36,從而20Wx<30,得叱=(x—6—a)(—100x+5000)—2000,可知，當(dāng)

x—28+—<2B']',11ax=42100元，從而有(28+5。-6—a1—10028+5。]+5000—2000=42100,

解方程即可得到a的值.

【解析】(1)當(dāng)yN4000,BP-100x+5000>4000,.-.x<10.

.:當(dāng)6WxW10時(shí)，w=(x-6+1)(—1OOx+5000)-2000=-K)0x2+5500%-27000

當(dāng)10<x430時(shí)，w=(x-6)(-100x+5000)-2000=-100x2+5600x-3200().

—1OOf+5500x-27000(6<x<10)

?w=<

-1OOx2+5600x-32000(10<x<30)

(2)當(dāng)6WxW10時(shí)，w=-100x2+55OO.r-27000.

?.?對(duì)稱軸為x=一二=一77手%=E>10,.?.當(dāng)x=10時(shí)，叫皿=5x4000—2000=18000元.

2a2x(-100)2

當(dāng)10<xK30時(shí)，w=-l00x2+5600x-32000.

?.?對(duì)稱軸為X=—2=——5600--28,.?.當(dāng)X=28時(shí)，%=22x2200-2000=46400元.

2a2x(—100)

46400>18000...綜合得，當(dāng)銷售單價(jià)定為28元時(shí)，日獲利最大，且最大為46400元.

(3)40000>18000,「.IO30,則卬=_100?+5600%-32000.

令狡=40000,則一lOOf+560()%—32000=4()000.解得：為=20,々=36.

在平面百角坐標(biāo)系中畫出w,與*的數(shù)東意圖.觀察示意圖可知:w>40000,20<x<36.

2

=(x-6-?)(-100x+5000)-2000--100x+(5600+100tz)x-32000-5000?.

b5600+100a

對(duì)稱軸為％=■-丁==28+-?

2a2x(—100)2

a<4,...對(duì)稱軸x=28+』a<30..,.當(dāng)x=28+!”時(shí)，嗎用=42100元.

22

28+]?！?—100(28+萬(wàn)。1+5000—2000=42100—88“+]72=()，二.=2,4=86.

又a<4,:.a=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和一元二次方程在銷售問題中的應(yīng)用，明確成本利潤(rùn)問題的基本數(shù)量關(guān)系及

二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

重難點(diǎn)題型

題型1.球類運(yùn)動(dòng)軌跡問題

解題技巧：球類運(yùn)動(dòng)與拋物線息息相關(guān)，如運(yùn)動(dòng)軌跡、速度的變化等。在分析球類問題時(shí)，題干一般并未

告知函數(shù)的解析式，僅告知了某些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，因此，球類問題的解題步驟為：

①根據(jù)圖形中的特殊點(diǎn)，利用待定系數(shù)法，求解函數(shù)解析式；②轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題進(jìn)行求解，并解答

1.(2020?吉林省初三二模)如圖，一位籃球運(yùn)動(dòng)員在距離籃圈中心水平距離4.4加處跳起投籃，球沿條拋

物線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)的水平距離為2.4加時(shí)，達(dá)到最大高度4m，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi).已知籃圈中心距離地

面的高度為3%則這位運(yùn)動(dòng)員投跳時(shí)，球出手處距離地面的高度//為m.

【答案】2.56

【分析】先根據(jù)題意抽象出數(shù)學(xué)模型，設(shè)球的運(yùn)動(dòng)軌跡丫=2*2+。代入函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)，求出函數(shù)解析式,

再計(jì)算當(dāng)x=-2.4時(shí)y的值即可求解.

【解析】解：設(shè)球的運(yùn)動(dòng)軌跡y=ax?+c,4.424=2,，y=ax2+c經(jīng)過點(diǎn)(0,4),(2,3),

(■.(c-4

4=c'1

代入可得：仁,，解得：1.y=--x2+4,

3=4a+ca=一一4

iI4

12

當(dāng)x=-2.4時(shí)，y=--（-2.4）+4=2.56,即球出手處距離地面的高度力為2.56m,故答案為：2.56m.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出二次函數(shù)模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建

模的數(shù)學(xué)思想，難度不大，能夠結(jié)合題意利用二次函數(shù)不同的表達(dá)形式求得解析式是解答本題的關(guān)鍵.

2.（2020?山西省初三期末）甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，甲發(fā)出一顆十分關(guān)鍵的球，出手點(diǎn)為尸，羽毛球

123

飛行的水平距離s（米）與其距地面高度〃（米）之間的關(guān)系式為〃=———+—s+—,如圖，已知球網(wǎng)AB

1232

9

距原點(diǎn)5米，乙（用線段表示）扣球的最大高度為丁米，設(shè)乙的起跳點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為機(jī)，若乙原地起

跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗，則機(jī)的取值范圍是.

【答案】5<m<4+-J1

【解析】當(dāng)人=公時(shí)，一份S2+§S+]=（,解得s=4±?;

:扣球點(diǎn)必須在球網(wǎng)右邊，即機(jī)>5,5</n<4+近.

點(diǎn)睛：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用題，求范圍的問題，可以選取h等于最大高度，求自變量的值，再

根據(jù)題意確定范圍.

3.（2020?浙江省鄴州區(qū)宋詔橋中學(xué)初三一模）一名男生推鉛球，鉛球的行進(jìn)高度，（單位：相）與水平距

125

離X（單位：m）之間的關(guān)系為y=一五/+]%+§,鉛球行進(jìn)路線如圖.（1）求出手點(diǎn)離地面的高度.

（2）求鉛球推出的水平距離.（3）通過計(jì)算說明鉛球的行進(jìn)高度能否達(dá)到4".

【答案】（1）1米；（2）鉛球推出的水平距離為10米；（3）鉛球的行進(jìn)高度不能達(dá)到4米

5125

【分析】（l）x=o得>=§；（2）令）=0得：一值f+§x+]=o,解方程，保留正值，即為該男生將鉛球推

125

出的距離;（3）把產(chǎn)4代入，得一萬(wàn)f+§x+§=4,化簡(jiǎn)得f一8X+28=0,方程無解，即可求解.

【解析】⑴把x=0代入丁=一二一+基+=得：y=答：出手點(diǎn)離地面的高度|■米

123333

125

（2）--x2+-x+-=0,解得玉=10,芻=-2（舍去）.?.鉛球推出的水平距離為10米.

125

（3）把y=4代入，得一二f+4,化簡(jiǎn)得丁―8%+28=0,方程無解，

1233

???鉛球的行進(jìn)高度不能達(dá)到4米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)解決實(shí)際問題，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí).

4.（2020?湖州市第四中學(xué)教育集團(tuán)初三月考）如圖，將小球沿某方向擊出時(shí)，小球的飛行路線是一條拋物

線.如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度力（單位：加）與飛行時(shí)間f（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系力=

20f-5p.

（1）求小球飛出1s時(shí)的飛行高度；（2）求小球從飛出到落地要用的時(shí)間.

【答案】（1）15/n；（2）4s

【分析】（1）將t=l代入函數(shù)關(guān)系式即可求解；（2）將h=0代入函數(shù)關(guān)系式即可求解.

【解析】解:⑴當(dāng)f=l時(shí),即仁20義1-5X1=15，〃.答：小球飛行3s時(shí)的高度是15"?；

⑵令〃=20「5/=0解得"=0（舍去），立=4二小球從飛出到落地要用4s.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)和一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵.

5.某乒乓球館使用發(fā)球機(jī)進(jìn)行輔助訓(xùn)練，出球口在桌面中線端點(diǎn)A處的正上方，假設(shè)每次發(fā)出的乒乓球

的運(yùn)動(dòng)路線固定不變，且落在中線上，在乒乓球運(yùn)行時(shí)，設(shè)乒乓球與端點(diǎn)A的水平距離為x（米），與桌面

的高度為J（米），運(yùn)行時(shí)間為7（秒），經(jīng)多次測(cè)試后，得到如下部分?jǐn)?shù)據(jù)：

t（秒）00.160.20.40.60.640.8

X（米）00.40.511.51.62

y（米）0.250.3780.40.450.40.3780.25

（1）當(dāng)f為何值時(shí)，乒乓球達(dá)到最大高度？（2）乒乓球落在桌面時(shí)，與端點(diǎn)A的水平距離是多少？

:

（3）乒乓球落在桌面上彈起后，N與x滿足j=a（x-3）+左①用含a的代數(shù)式表示左；②球網(wǎng)高度為0.14

米，球桌長(zhǎng)（L4x2）米，若球彈起后，恰好有唯一的擊球點(diǎn)，可以將球沿直線扣殺到點(diǎn)A,求a的值.

【答案】（1）t為0.4秒；（2）三米；（3）k=--a，-6-庫(kù)

5410

【解析】（1）由表格中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)t=0.4秒時(shí)，乒乓球達(dá)到最大高度.

（2）由表格中數(shù)據(jù)可判斷，y是x的二次函數(shù)，且頂點(diǎn)為（1,0.45）,

所以可設(shè)y=a（x-1）2+0.45.將（0,0.25）代入y=a（x-1）2+0.45,

得0.25=a（0-1）2+0.45,解得:a=-0.2.Ay=-0.2（x-1）2+0.45.

當(dāng)y=0時(shí)，-0.2（x-1）2+0.45=0,解得x=2.5,或x=-0.5（舍去）.

二乒乓球落在桌面上時(shí)，與端點(diǎn)A的水平距離是2.5米.

（3）①由（2）得，乒乓球落在桌面上時(shí)的坐標(biāo)為（2.5,0）.

將（2.5,0）代入y=a（x-3）2+k,得0=a（2.5-3）2+k,化簡(jiǎn)整理，得k=-1a.

4

②???點(diǎn)A坐標(biāo)為（0,0）,又球網(wǎng)上端中點(diǎn)坐標(biāo)為（1.4,0.14）,故扣殺路線在直線y=5x匕

由①得y=a（x-3）2-1a令a（x-3）2--a=-x,整理，得20ax?-（120a+2）x+175a=0

4410

當(dāng)=（120a+2）2-420a175a=0時(shí)，符合題意，解方程，得a1=4+屆,^-6-435

1010

當(dāng)a=-6+四時(shí),求得x=Y35,不合題意，舍去.當(dāng)a=6岳時(shí),求得*=叵，符合題意.

102102

答：當(dāng)2=22醫(yī)時(shí)，可以將球沿直線扣殺到點(diǎn)A.

10

考點(diǎn)：平面直角坐標(biāo)系、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.

6.（2020?河北初三二模）彈球游戲規(guī)則：彈球拋出后與地面接觸一次，彈起降落，若落入筐中，則游戲成

功.彈球著地前后的運(yùn)動(dòng)軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線.如圖，甲站在原點(diǎn)處，從離地面高度為1機(jī)

的點(diǎn)4處拋出彈球，當(dāng)彈球運(yùn)動(dòng)到最高處，即距離地面2加時(shí)，彈球與甲的水平距離為2m.彈球在B處

著地后彈起，此次彈起的最大高度為原來最大高度的一半，再落至點(diǎn)。處.

（1）求彈球第一次著地前拋物線的解析式（不要求寫出》的取值范圍）（2）若不考慮筐的因素，求彈球第

二次著地點(diǎn)到點(diǎn)。的距離.（3）如果擺放一個(gè)底面半徑為0.5%，高0.5機(jī)的圓柱形筐，且筐的最左端距離

原點(diǎn)9加，那么甲能投球成功嗎？若能，請(qǐng)說說理由；若不能，請(qǐng)移動(dòng)筐使甲投球成功，求筐的移動(dòng)方向及

移動(dòng)距離機(jī)的取值范圍.

【答案】（1）y=-^（X-2）2+2；（2）彈球第二次著地點(diǎn)到點(diǎn)。的距離為（6+2V2）W；（3）"?的取值

范圍為5-3也<m<6-3亞

【分析】（1）由題意可以用頂點(diǎn)式表示拋物線，然后用待定系數(shù)法確定頂點(diǎn)式中的參數(shù)即可得到解答；

（2）同（1）可先求得第二段拋物線的解析式，從而可同函數(shù)圖象的意義算得彈球第二次著地點(diǎn)到點(diǎn)0的距

離：（3）由（2）得到的拋物線解析式可以得到解答.

【解析】（1）由題意可得，彈球第一次著地前拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2）,

故可設(shè)拋物線的解析式為（x-2）2+2,將A（0,1）代入，得“=一!，

4

故彈球第一次著地前拋物線的解析式為產(chǎn)一,（x—2）2+2

4

（2）當(dāng)產(chǎn)0時(shí)，一：（A—2）2+2=0,得4=2+2貶，X2=2—2及，:.B（2+20，0）.

由從點(diǎn)8彈起的最大高度為原來最大高度的一半，可知第二段拋物線的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為I,

故可設(shè)該拋物線的解析式為尸一上（x-b）2+1,

4

將3（2+2及，0）代入，得加=2夜（舍），*2=4+272-

；.）=一；（》一4一2灰）41,且對(duì)稱軸為直線k4+2夜

：.c（6+2V2.0）即OC=（6+20）m.故彈球第二次著地點(diǎn)到點(diǎn)。的距離為（6+2a）m.

（3）當(dāng)x=9時(shí)，尸一1（9-4-272）+1=-0.18<0,故甲不能投球成功.

由上面的計(jì)算可得，篦要沿x軸向左移才能投進(jìn)球.

當(dāng)彈球恰好砸中筐的最左端時(shí)，一；（9-/n-4-2V2）2+1=0.5,

解得見=5—3也，，小=5-血（舍），即當(dāng)帆=5—30時(shí)，彈球恰好砸中筐的最左端，

又：筐的直徑為Im,5—3亞+1=6—3亞,

當(dāng)“7=6—3亞時(shí)，彈球恰好砸中筐的最右端，故，〃的取值范圍為5—3也<m<6-3V2-

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握投球問題中球的運(yùn)動(dòng)軌跡及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解

題關(guān)鍵.

7.（2020?宜春市第四中學(xué)初三月考）甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，羽毛球飛行的路線為拋物線的一部分.如

圖，甲在。點(diǎn)正上方1根的點(diǎn)P發(fā)出一球，羽毛球飛行的高度）（陰）與水平距離X（加）之間滿足函數(shù)表達(dá)式：

y=a（x—4）?+〃，已知點(diǎn)0與球網(wǎng)的水平距離為5m，球網(wǎng)的高度1.55〃?.

（1）當(dāng)。=-與，①求4的值；②通過計(jì)算判斷此球能否過網(wǎng)；（2）若甲發(fā)球過網(wǎng)后，羽毛球飛行到與點(diǎn)

【分析】（1）①將點(diǎn)P（0,I）與。=一二-代入解析式，即可求出h的值；

24

②將x=5代入拋物線解析式，若函數(shù)值y大于1.55,則可以過網(wǎng)，反之則不可以；

（2）將P（0,1）與（7,y）代入函數(shù)解析即可求出a的值.

119

【解析】（1）①當(dāng)。二一二時(shí)，y——T7（x—4）+%

2424''

將點(diǎn)P（0,1）代入解析式得：1=一/（0-4）?+力解得//=：；

Is15

②將x=5代入y=——（%-4）2一+—得：y=——（5-4?2+-=1.625：1.625>1.55，能過網(wǎng)

-24'7324''3

12,

（2）將P（0,1）與（7,y）代入y=a（x-4）-+力得：

「/、2,[_1

a（0-4）+h=la——

,5八2.12,解得（

Q（7-4）+〃=—._215

15I-T

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

題型2.拱橋問題

解題技巧：此類題型，需要我們自己建立合適坐標(biāo)系，然后求解函數(shù)解析式，最后根據(jù)解析式求響應(yīng)問題。

建立坐標(biāo)系原則：縱坐標(biāo)建在對(duì)稱軸上，橫坐標(biāo)依題意，可隨意選擇

優(yōu)點(diǎn)：①頂點(diǎn)坐標(biāo)容易得出，便于利用二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求解解析式；

②函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)解析式可設(shè)為：y=ax2+k

③二次函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，實(shí)際問題方便求解

（2）解題步驟：

①建立合適的坐標(biāo)系（縱坐標(biāo)建在對(duì)稱軸上），得出特殊點(diǎn)的坐標(biāo)值

②利用頂點(diǎn)式求出函數(shù)解析式

③實(shí)際問題，需確定函數(shù)取值范圍

④根據(jù)題干要求，分析二次函數(shù)解析式，求解相應(yīng)內(nèi)容。

1.（2020?江蘇無錫?初三零模）有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位時(shí)寬20m,水位上升3m就達(dá)

到警戒線CD，這時(shí)水面寬度為10m.（1）在如圖的坐標(biāo)系中，求拋物線的解析式.（2）若洪水到來時(shí)，

【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2,設(shè)。（5力），則3（10/-3）,把。、B的坐標(biāo)分別代入即可求出

a,b的值，故可求解；（2）求出拱橋頂。到CD的距離為1,從而得出答案.

【解析】（1）設(shè)所求拋物線的解析式為y=.設(shè)。（5力），則3（103-3）,

o25。=/?,ci=-----,1

把。、8的坐標(biāo)分別代入丫=欠2,得<解得〈25.\y=--X92.

?\QQa=b-3,,.25

i[0=-

(2)=0(5,—1).?.拱橋頂。到C￡>的距離為1,(=5(h).

故再持續(xù)5h到達(dá)拱橋頂.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，將實(shí)際問題抽象成

二次函數(shù)的問題.

2.（2020?東北師大附屬明達(dá)學(xué)校初三二模）如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋

面相交于兩點(diǎn)，拱橋最高點(diǎn)C到AB的距離為4丸AB=12,幾E為拱橋底部的兩點(diǎn)，且DE11AB,若

DE的長(zhǎng)為18加,則點(diǎn)E到直線AB的距離為m

【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，x軸在直線DE匕丁軸經(jīng)過最高點(diǎn)。，設(shè)AB與y軸交于〃，然后

設(shè)該拋物線的解析式為：y=a（x-9）（