小學(xué)數(shù)學(xué)5年級培優(yōu)奧數(shù)講義 第05講-長方形、正方形的面積（含解析）

第05講長方形、正方形的面積

0學(xué)習(xí)目標(biāo)

鱉、*

'熟悉掌握基本圖形面積的求法。

?熟悉運(yùn)用分解、平移、合并等技巧成基本圖形，利用長方形、正方形面積計(jì)算公式求解。

下能夠分析圖形的特點(diǎn)，提高幾何圖形的觀察能力和思維轉(zhuǎn)換能力。

f知識梅里

靈、

一、基本公式

長方形的面積=長乂寬正方形的面積=邊長X邊長

掌握并能運(yùn)用這兩個(gè)面積公式，就能計(jì)算它們的面積。但是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，我們常常

會遇到一些已知條件比較隱蔽、圖形比較復(fù)雜、不能簡單地用公式直接求出面積的題目。這就

需要我們切實(shí)掌握有關(guān)概念，利用“割補(bǔ)”、“平移”、“旋轉(zhuǎn)”等方法，使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化

為普通的求長方形、正方形面積的問題，從而正確解答。

二、方法技巧

對于基本的長方形和正方形圖形，可以直接用公式求出它們的面積。對于一些不規(guī)則的比較復(fù)

雜的幾何圖形，我們可以采用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法分解、平移、合并等技巧成基本圖形，利用

長方形、正方形面積計(jì)算的公式求解。

0典例分析

矍*

考點(diǎn)一：分解法

例1、把一張長4米、寬3米的長方形木板，鋸成一個(gè)面積最大的正方形木板，這個(gè)正方形木

板的面積是多少平方米？

例2、已知大正方形比小正方形邊長多2厘米，大正方形比小正方形的面積大40平方厘米。

求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？

例3、求下面圖形的面積。（單位：厘米）

11

44―

例4、下圖中大正方形比小正方形的邊長多4厘米，大正方形的面積比小正方形多96平方厘

米。大正方形和小正方形的面積各是多少？

考點(diǎn)二：平移法

例1、已知兩相同的長方形ABCD和DFEG的長是6,求陰影部分的面積

例2、把20分米長的線段分成兩段，并且在每一段上作一正方形，已知兩個(gè)正方形的面積相

差40平方分米，大正方形的面積是多少平方分米？

2020

例3、有一塊菜地長16米，寬8米。菜地中間留了2條寬2米的路，把菜地平均分成了4塊,

每一塊地的面積是多少？

8米

考點(diǎn)三：合并法

例1、一個(gè)正方形中套著一個(gè)長方形。已知正方形的邊長是16分米，長方形4個(gè)角的頂點(diǎn)恰

好把正方形四條邊都分成兩段，其中長的一段是短的3倍。陰影部分的面積是多少？

例2、一個(gè)長方形與一個(gè)正方形部分重合（如圖），求兩塊陰影部分的面積相差多少？（單位：厘

米）

10

耍實(shí)戰(zhàn)演練

＞課堂狙擊

1、將一塊長3米，寬2米的長方形布剪成一塊面積最大的正方形布，剩下部分的面積是多少

平方米？

2、計(jì)算下圖的面積。

30-20=10

3、一個(gè)邊長為8厘米的正方形，依次連接4邊中點(diǎn)得到第二個(gè)正方形，這樣繼續(xù)下去可以得

到第三個(gè)、第四個(gè)、……求第四個(gè)正方形的面積。

4、長方形ABCD周長為16米，在它的每條邊上各畫一個(gè)以該邊為邊長的正方形，已知這四

個(gè)正方形的面積的和是68平方米，求長方形ABCD的面積

5、正方形ABCD的邊長4厘米，求長方形EFGD的面積

6、一個(gè)大長方形被兩條平行于它的兩條邊的線段分成四個(gè)較小的長方形，其中三個(gè)長方形的

面積如下圖所求，求第四個(gè)長方形的面積。

C

614

E

?35

D

課后反擊

1、下圖是一個(gè)養(yǎng)雞專業(yè)戶用一段長24米的籬笆圍成一個(gè)長方形的養(yǎng)雞場，其中一面利用墻,

求占地面積有多大？

2、三角形EBC的面積是40平方厘米，且陰影部分面積比三角形EFG的面積大10平方厘米。

求平行四邊形ABCD的面積。

3、如下圖，一塊正方形玉米田，邊長是9米。中間有兩條1米寬的小路。求種著玉米的土地

的面積（圖中陰影部分的面積）

8

4、長方形草地ABCD被分為面積相等的甲、乙、丙和丁四份（如右圖），其中圖形甲的長和寬

的比是a：b=2：1,其中圖形乙的長和寬的比是多少？

DbC

直擊賽場

1、如下圖所示，BD,CF將長方形ABCD分成4塊，ADEF的面積是4,ACED的面積是6。

問：四邊形ABEF的面積是多少？

重點(diǎn)回顧

分解、平移、合并三種方法的運(yùn)用

士名師點(diǎn)撥

對于基本的長方形和正方形圖形，可以直接用公式求出它們的面積。對于一些不規(guī)則的比較復(fù)

雜的幾何圖形，我們可以采用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法分解、平移、合并等技巧成基本圖形，利用

長方形、正方形面積計(jì)算的公式求解。

曖^學(xué)霸經(jīng)驗(yàn)

?￡本節(jié)課我學(xué)到

＞我需要努力的地方是

第05講長方形、正方形的面積

教學(xué)目標(biāo)

2熟悉掌握基本圖形面積的求法。

二熟悉運(yùn)用分解、平移、合并等技巧成基本圖形，利用長方形、正方形面積計(jì)算公式求解。

0能夠分析圖形的特點(diǎn)，提高幾何圖形的觀察能力和思維轉(zhuǎn)換能力。

覺知識梅里...

一、基本公式

長方形的面積=長x寬正方形的面積=邊長x邊長

掌握并能運(yùn)用這兩個(gè)面積公式，就能計(jì)算它們的面積。但是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，我們常常

會遇到一些已知條件比較隱蔽、圖形比較復(fù)雜、不能簡單地用公式直接求出面積的題目。這就

需要我們切實(shí)掌握有關(guān)概念，利用“割補(bǔ)”、“平移”、“旋轉(zhuǎn)”等方法，使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化

為普通的求長方形、正方形面積的問題，從而正確解答。

二、方法技巧

對于基本的長方形和正方形圖形，可以直接用公式求出它們的面積。對于一些不規(guī)則的比較復(fù)

雜的幾何圖形，我們可以采用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法分解、平移、合并等技巧成基本圖形，利用

長方形、正方形面積計(jì)算的公式求解。

典例分析

考點(diǎn)一：分解法

例1、把一張長4米、寬3米的長方形木板，鋸成一個(gè)面積最大的正方形木板，這個(gè)正方形木

板的面積是多少平方米？

【解析】要使鋸成的正方形木板面積最大，就要使它的邊長最長，那么只能用原來長方形的寬

為邊長，即正方形的邊長為3米，正方形的面積為3X3=9平方米。

例2、已知大正方形比小正方形邊長多2厘米，大正方形比小正方形的面積大40平方厘米。

求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？

【解析】從圖中可以看出，大正方形的面積比小正方形的面積大出的40平方厘米，可以分成

三部分，其中A和B的面積相等。因此，用40平方厘米減去陰影部分的面積，再除以2就能

得到長方形A和B的面積，再用A或B的面積除以2就是小正方形的邊長。求到了小正方形

的邊長，計(jì)算大、小正方形的面積就非常簡單了

例3、求下面圖形的面積。（單位：厘米）

【解析】這是一個(gè)不規(guī)則圖形，不能直接求出面積，因此需要轉(zhuǎn)換一下，畫一條輔助線，將其

分解成兩個(gè)長方形如右圖。從右圖可以看出左邊長方形的長為4厘米，寬為2厘米，面積為4

X2=8平方厘米。右邊長方形長為3厘米，寬為1厘米，面積為3X1=3平方厘米。故整個(gè)圖

形面積為8+3=11平方厘米

例4、下圖中大正方形比小正方形的邊長多4厘米，大正方形的面積比小正方形多96平方厘

米。大正方形和小正方形的面積各是多少？

L3

【解析】如下圖，把大正方形比小正方形多出的96平方厘米的圖形分成一個(gè)藍(lán)色的正方形和

兩個(gè)同樣的灰色長方形?？梢郧蟪鏊{(lán)色正方形的面積為：4X4=16（平方厘米）；則每個(gè)小長方

形的面積為：（96-16）+2=40（平方厘米）；每個(gè)小長方形的長即所求小正方形圖形的邊長為：40

?4=10（厘米）。所以，所求小正方形的面積為：10X10=100（平方厘米）；所求大正方形的面積

為：（10+4）X（10+4）=196（平方厘米）

考點(diǎn)二：平移法

例1、已知兩相同的長方形ABCD和DFEG的長是6,求陰影部分的面積

【解析】因?yàn)殚L方形ABCD和DFEG相同，所以對角線FD和AC將兩個(gè)長方形分成的4部分

也相同，將DC右側(cè)的陰影部分移到圖形的左上角，則陰影部分的面積就是正方形HGDC的

面積即6X6=36

例2、把20分米長的線段分成兩段，并且在每一段上作一正方形，已知兩個(gè)正方形的面積相

差40平方分米，大正方形的面積是多少平方分米？

A

B：

2020

【解析】我們可以把小正方形移至大正方形里面進(jìn)行分析。兩個(gè)正方形的面積差40平方分米

就是圖中的A和B兩部分，如圖。如果把B移到原來小正方形的上面，不難看出，A和B正

好組成一個(gè)長方形，此長方形的面積是40平方分米，長20分米，寬是40+20=2（分米），即大、

小兩個(gè)正方形的邊長相差2分米。因此，大正方形的邊長就是（20+2）-2=11（分米），面積是11

義11=121（平方分米）

例3、有一塊菜地長16米，寬8米。菜地中間留了2條寬2米的路，把菜地平均分成了4塊,

每一塊地的面積是多少？

【解析】解法一：因?yàn)閮蓷l小路把把菜地平均分成了4快，所以每一小塊長方形菜地的長為:

（16-2）+2=7（米）;寬為：（8-2）+2=3（米）；面積為:7X3=21（平方米）

解法二：如右圖，假設(shè)把兩條小路平移到菜地的上方和左方，路的面積和剩下菜地的面積都不

會發(fā)生改變。去掉小路，剩下菜地面積為：（16-2）X（8-2）=84（平方米），每一小塊菜地面積為:

84+4=21（平方米）

考點(diǎn)三：合并法

例1、一個(gè)正方形中套著一個(gè)長方形。已知正方形的邊長是16分米，長方形4個(gè)角的頂點(diǎn)恰

好把正方形四條邊都分成兩段，其中長的一段是短的3倍。陰影部分的面積是多少？

【解析】如右圖，長方形把正方形中原陰影部分分成了4個(gè)等腰直角三角形，正好可以拼成大、

小兩個(gè)正方形。

觀察上圖，結(jié)合題目已知條件可得，拼成的兩個(gè)正方形的邊長之和就是原正方形的邊長16分

米；拼成的大正方形的邊長是小正方形邊長的3倍。由和倍問題的數(shù)量關(guān)系式，可以求出：拼

得的較小正方形的邊長為：16+（3+1）=4（分米）；較大正方形的邊長為4X3=12（分米）。所以，

原圖中陰影部分面積為：4X4+12X12=160（平方分米）

例2、一個(gè)長方形與一個(gè)正方形部分重合（如圖），求兩塊陰影部分的面積相差多少？（單位：厘

米）

10

【解析】可以看出陰影部分都是不規(guī)則圖形，但是各自合并加一個(gè)空白的重疊部分就是一個(gè)基

本規(guī)則圖形。記大陰影部分面積為S，小陰影部分面積為S2，空白重疊部分為S3。亂-52=（亂+

S3）-（S2+S3）=6X10-5X5=35平方厘米

H實(shí)戰(zhàn)演練

＞課堂狙擊

1、將一塊長3米，寬2米的長方形布剪成一塊面積最大的正方形布，剩下部分的面積是多少

平方米？

【解析】要使剪成的正方形布面積最大，就要使它的邊長最長，那么只能用原來長方形的寬為

邊長，即正方形的邊長為2米，正方形的面積為2X2=4平方米，剩下布的面積就是長方形面

積減去正方形面積=2X3-4=2平方米

2、計(jì)算下圖的面積。

4040

15-15

【解析】這是一個(gè)不規(guī)則圖形，不能直接求出面積，因此需要轉(zhuǎn)換一下，畫一條輔助線，將其

分解成兩個(gè)長方形如右圖。從右圖可以看出左邊長方形的長為4厘米，寬為2厘米，面積為4

X2=8平方厘米。右邊長方形長為3厘米，寬為1厘米，面積為3X1=3平方厘米。故整個(gè)圖

形面積為8+3=11平方厘米

3、一個(gè)邊長為8厘米的正方形，依次連接4邊中點(diǎn)得到第二個(gè)正方形，這樣繼續(xù)下去可以得

到第三個(gè)、第四個(gè)、……求第四個(gè)正方形的面積。

【解析】如下圖，連接任意正方形四邊中點(diǎn)所得的新正方形的面積與剩下四個(gè)三角形的面積之

和相等，即新正方形的面積正好是是原正方形面積的一半。題中原正方形面積為：8X8=64（平

方厘米）。所以，第四個(gè)正方形的面積為：64?2+2+2=8（平方厘米）

4、長方形ABCD周長為16米，在它的每條邊上各畫一個(gè)以該邊為邊長的正方形，已知這四

個(gè)正方形的面積的和是68平方米，求長方形ABCD的面積

EF

【解析】如圖，EF將向右延長，HG向上延長，交于G點(diǎn)，那么正方形EBIG的邊長等于長

方形ABCD周長一半，即8厘米，面積為64平方厘米。長方形ABCD與長方形FDHG的長

和寬是相等的，故面積相等。而正方形ADFE與CDHI的面積之和，等于題中已給的四個(gè)正

方形面積和的一半，即68+2=34平方厘米。64—34=30平方厘米應(yīng)等于長方形ABCD面積

的2倍。所以ABCD的面積是30+2=15平方厘米。。

5、正方形ABCD的邊長4厘米，求長方形EFGD的面積

EE

AZ---------DA/-------------D

【解析】連接AG,三角形AGD面積=；xADXCD=gXDGXFG,故其面積既是正方形ABCD

面積的一半，又是長方形FGDE面積的一半。所以長方形EFGD的面積與正方形ABCD面積

相等為16平方厘米。

6、一個(gè)大長方形被兩條平行于它的兩條邊的線段分成四個(gè)較小的長方形，其中三個(gè)長方形的

面積如下圖所求，求第四個(gè)長方形的面積。

【解析】因?yàn)锳EXCE=6,DEXEB=35,把兩個(gè)式子相乘AEXCEXDEXEB=35X6,而CE

XEB=14,所以AEXDE=35X6+14=15。

課后反擊

1、下圖是一個(gè)養(yǎng)雞專業(yè)戶用一段長24米的籬笆圍成一個(gè)長方形的養(yǎng)雞場，其中一面利用墻,

求占地面積有多大？

6米

【解析】根據(jù)題意，因?yàn)橐幻婵繅Γ詢蓷l長加上一條寬等于24米，寬是6米，所以長是

(24-6)+2=9米。因此占地面積=6X9=54平方米

2、三角形EBC的面積是40平方厘米，且陰影部分面積比三角形EFG的面積大10平方厘米。

求平行四邊形ABCD的面積。

【解析】陰影部分面積之和無法求出，必須力辟蹊徑。陰影部分與三角形EFG各自加一個(gè)空

白的梯形GFCB就是一個(gè)平行四邊形ABCD,一個(gè)三角形EBC。記陰影部分面積之和為S,三

角形EFG面積為S2，梯形面積為S3oS-S2=(S+S3)-(52+S3尸平行四邊形ABCD的面積-三角

形EBC=10平方厘米。平行四邊形面ABCD=10+40=50平方厘米

3、如下圖，一塊正方形玉米田，邊長是9米。中間有兩條1米寬的小路。求種著玉米的土地

的面積(圖中陰影部分的面積)

8

8

【解析】平移下就可以清楚地看到，玉米種植地就是陰影部分的面積，陰影部分邊長均為8,

故陰影部分面積為8X8=64平方米

4、長方形草地ABCD被分為面積