量子力學(xué)課件

§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋

一波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋

對(duì)物質(zhì)波的理解，由於受經(jīng)典概念的影響，曾存在著激烈的爭(zhēng)論。這些爭(zhēng)論主要有：

1.電子波包｛擴(kuò)散

部分電子

2.大量電子組成的波｝（誤解）

3.M..Born的幾率波有關(guān)實(shí)驗(yàn)：子彈水波光波電子｝雙縫衍射子彈：P=P1+P2波：I≠I1+I2電子：｛1。與宏觀粒子運(yùn)動(dòng)不同。2。電子位置不確定。3。幾率正比於強(qiáng)度，即波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：波函數(shù)在空間某一點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對(duì)值的平方）和在該點(diǎn)找到粒子的幾率成正比。結(jié)論：數(shù)學(xué)表達(dá)：歸一化：說明：(1)即使要求波函數(shù)是歸一化的，它仍然有一個(gè)位相因數(shù)不能確定。(2)有些波函數(shù)不能(有限地)歸一。例如平面波。此時(shí)代表“相對(duì)幾率密度”。二.自由粒子的波函數(shù)一般地，我們用複數(shù)形式則自由粒子的平面波

粒子具有波動(dòng)性，它的運(yùn)動(dòng)可用一個(gè)波函數(shù)來描述。自由粒子，能量，動(dòng)量是常數(shù)，運(yùn)動(dòng)方向不變，與之相聯(lián)系的波頻率，波長(zhǎng)，傳播方向固定，是一個(gè)平面波：遮住縫1遮住縫2雙縫都打開遮住縫1遮住縫2雙縫都打開2.2測(cè)不準(zhǔn)原理

一.宏觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)確定，各種力學(xué)量同時(shí)具有確定值。但微觀粒子的運(yùn)動(dòng)從根本上講不具有這種特點(diǎn)。共軛量二.量子力學(xué)中的測(cè)量過程海森伯1927年1.海森伯觀察實(shí)驗(yàn)2.測(cè)量過程

被測(cè)對(duì)象和儀器，測(cè)量過程即相互作用過程，其影響不可控制和預(yù)測(cè)。

三.一對(duì)共軛量不可能同時(shí)具有確定的值是微觀粒子具有波動(dòng)性的必然結(jié)果。

並不是測(cè)量方法或測(cè)量技術(shù)的缺陷。而是在本質(zhì)上它們就不可能同時(shí)具有確定的值§2.3態(tài)迭加原理

測(cè)不準(zhǔn)原理和態(tài)迭加原理是量子力學(xué)的兩個(gè)基本原理，反映了微觀粒子運(yùn)動(dòng)的根本特性，是和量子力學(xué)對(duì)微觀粒子描述的整個(gè)數(shù)學(xué)框架相一致的。首先我們就應(yīng)該指出，本節(jié)所講的內(nèi)容是比較抽象和難於理解和接受的。因?yàn)樗从车奈⒂^粒子的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)是和你們頭腦中經(jīng)典物理圖象和思考方式格格不入的。也正因如此，它反映了微觀粒子的運(yùn)動(dòng)如何與經(jīng)典物理的圖象形成尖銳的矛盾，並反映出它運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)特性。一.態(tài)及態(tài)函數(shù)給出儘管粒子的位置不確定（我們不能要求它確定，這是微觀粒子的本質(zhì)），但它的幾率分佈是完全確定的，我們?cè)谝葬徇€將證明，此時(shí)粒子的能量，動(dòng)量等各種可觀測(cè)量的觀測(cè)值及其幾率分佈也是完全確定的。因此，我們把由描述的粒子的狀態(tài)稱為量子態(tài)或簡(jiǎn)稱態(tài)（各力學(xué)量的值不確定，但它的可能值及其分佈幾率是確定的），而把稱為態(tài)函數(shù)。經(jīng)典物理中，波的迭加只不過是將波幅迭加（波幅代表實(shí)際物體的運(yùn)動(dòng)等），並在合成波中出現(xiàn)不同頻率的波長(zhǎng)的子波成分。微觀粒子的波動(dòng)性的迭加性其實(shí)質(zhì)是什麼呢？經(jīng)典物理中，波函數(shù)的最本質(zhì)的性質(zhì)是迭加性。對(duì)微觀粒子的波動(dòng)性，從電子衍射實(shí)驗(yàn)知，其實(shí)質(zhì)也是波的迭加性。二.態(tài)迭加原理

|ψ|2=|c1ψ1+c2ψ2|2

=(c1*ψ1*+c2*ψ2*)(c1ψ1+c2ψ2)=|c1ψ1|2+|c2ψ2|2+c1*c2ψ1*ψ2+c1c2*ψ1ψ2*當(dāng)然，幾率的相干迭加是電子衍射實(shí)驗(yàn)所揭示的直接結(jié)果。但是，既然微觀粒子的波函數(shù)是態(tài)函數(shù)，在這裏迭加性就具有更深刻的意義。設(shè)ψ1，ψ2

是體系的兩個(gè)狀態(tài)，則迭加性表明：

ψ=c1ψ1+c2ψ2

也是體系的可能狀態(tài)。此時(shí)粒子出現(xiàn)的幾率是：

量子力學(xué)的態(tài)迭加原理，導(dǎo)致了粒子各種力學(xué)量觀測(cè)值的不確定性，是由微觀粒子的波粒二性所決定的。

態(tài)迭加原理是由波的迭加性和波函數(shù)完全描述一個(gè)微觀體系的狀態(tài)這兩個(gè)概念的概括。但是，對(duì)於體系的其他力學(xué)量，如力學(xué)量，如果在ψ下的值是a1,在ψ2

下的值是a2，則在ψ=c1ψ1+c2ψ2的態(tài)，它的值可能是a1,也可能是a2，而測(cè)得a1，a2的相對(duì)幾率是完全確定的。

態(tài)迭加原理的表述：若ψ1，ψ2是體系的兩個(gè)可能狀態(tài)，那麼它們的線性迭加ψ=c1ψ1+c2ψ2也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。三.動(dòng)量的幾率分佈在電子衍射實(shí)驗(yàn)中，電子在晶體表面反射後，以各種不同的動(dòng)量運(yùn)動(dòng)。動(dòng)量確定的粒子的狀態(tài)為：可以證明，任何波函數(shù)都可以看作是不同動(dòng)量的平面波的迭加：而在晶體表面反射後的晶電子狀態(tài)為各種值的狀態(tài)的迭加。為粒子的動(dòng)量的相對(duì)幾率其中：而：因此，和是同一狀態(tài)的兩種不同的描述方法。同樣，給定後，完全確定。由此看出：給定後，完全確定；和互為付氏變換?！?.4薛定諤方程

本節(jié)我們討論粒子狀態(tài)隨時(shí)間變化所遵從的規(guī)律，即薛定諤方程。

應(yīng)該明確，薛定諤方程是量子力學(xué)的最基本方程，也是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)。我們並不能從一個(gè)更基本的假設(shè)來推導(dǎo)或證明它。其正確性只能靠實(shí)踐來檢驗(yàn)。我們只是用一個(gè)比較簡(jiǎn)單的辦法來引述它。1.薛定諤方程應(yīng)滿足下列條件：a)含的偏微分方程

b)是線性方程c)只含基本常數(shù)，不含狀態(tài)參數(shù)。2.自由粒子滿足的方程對(duì)自由粒子：∴3.力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)粒子的波動(dòng)方程能量關(guān)係：4.三個(gè)算符2.5粒子流密度和粒子數(shù)守恆定律1.幾率流密度向量利用薛定諤方程：令則連續(xù)性方程幾率流密度向量品質(zhì)密度品質(zhì)流密度電流密度二.波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件在變化範(fàn)圍內(nèi)原式可積1.有界2.波函數(shù)及其一階偏導(dǎo)單值3.及連續(xù)

§2.6定態(tài)薛定諤方程一.穩(wěn)定勢(shì)場(chǎng)中的薛定諤方程帶入薛定諤方程並分離變數(shù)

如果不含時(shí)間，則薛定諤方程可用分離變數(shù)法求解。設(shè)其特解為即而解出令稱為哈密頓算符。稱為定態(tài)薛定諤方程。

求解定態(tài)薛定諤方程，我們得到體系（原方程）的一系列特解

從數(shù)學(xué)上講，對(duì)任何值，定態(tài)薛定諤方程都有解，但並非對(duì)一切E值的解都滿足物理上的要求，即波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件。這樣只有一些特定的En

對(duì)應(yīng)的解ψn

才滿足物理上的要求。我們把這些特定的En

稱為體系的品質(zhì)本征值。而對(duì)應(yīng)的波函數(shù)ψn

稱為能量本征函數(shù)。定態(tài)薛定諤方程也就稱為的本征方程。二.定態(tài)1.它描寫的粒子的品質(zhì)En是確定的。2.位置的幾率分佈不隨時(shí)間變化。3.幾率密度向量亦與時(shí)間無關(guān)。而原方程的一般解可由特解迭加而成

用波函數(shù)描寫的狀態(tài)稱為定態(tài)。因?yàn)橐葬?，我們還要證明，此時(shí)4.任何力學(xué)量的原場(chǎng)值不隨時(shí)間變化。

5.任何力學(xué)量取各種可能觀測(cè)值的幾率分佈不隨時(shí)間變化。習(xí)題：52頁1.2第二章小結(jié)一.微觀體系的狀態(tài)由一個(gè)波函數(shù)完全描述。

當(dāng)給定體系的波函數(shù)，則體系的各種力學(xué)量的可能觀測(cè)值及可測(cè)得的幾率便完全確定。描述的特點(diǎn)波恩的幾率解釋二.測(cè)不準(zhǔn)原理1.測(cè)不準(zhǔn)原理

2.量子力學(xué)中的測(cè)量過程

“儀器”和被測(cè)量體系見得相互作用過程。測(cè)量過程對(duì)體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)存在不可控制和不可預(yù)測(cè)的干擾。

3.微觀體系的各種力學(xué)量不可能同時(shí)具有確定值，是微觀粒子運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)屬性。它並不是測(cè)量方法或?qū)嶒?yàn)技術(shù)的缺陷所造成的；是微觀粒子具有波動(dòng)性的必然結(jié)果。a.波動(dòng)性的實(shí)質(zhì)即態(tài)迭加性。b.波函數(shù)型即三.態(tài)迭加原理1.微觀粒子波動(dòng)性的實(shí)質(zhì)是態(tài)的迭加

衍射花樣的形成並不是由不同電子之間的干涉形成的，而是由電子的不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間的迭加而形成的，是電子與自身的干涉。2.態(tài)迭加原理=波的迭加+波狀態(tài)

迭加態(tài)中體系部分地處於某一個(gè)態(tài)，任何一個(gè)態(tài)可分解為不同態(tài)的迭加。本征態(tài)及把給定態(tài)分解為本征態(tài)的迭加。態(tài)迭加原理與測(cè)不準(zhǔn)原理。動(dòng)量的幾率分佈四.薛定諤方程2.當(dāng)時(shí)1.由定態(tài)薛定諤方程確定3.波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件4.本征值，本征函數(shù)，本征方程5.波函數(shù)與量子化6.定態(tài)性質(zhì)第二章完§3.1一維無限深勢(shì)阱一、一維無限深勢(shì)阱和方勢(shì)阱一維問題的實(shí)際背景是平面型固體器件例如“超晶格”，以及從高維問題約化下來的一維問題。一維無限深勢(shì)阱的勢(shì)能函數(shù)是：|x|＜a;|x|≥a.U(x)={0+∞在勢(shì)阱外，必有：

|x|>a在勢(shì)阱內(nèi)，滿足方程:

顯然E必須>0，所以記那麼方程變成：

它的一般解是：這三段的解必須在x=±a處銜接起來。在勢(shì)能有無限大跳躍的地方，銜接條件只有本身的連續(xù)性。所以現(xiàn)在因而，有兩種情形的解：所以，（1）

(偶宇稱)(2)所以，（奇宇稱）二者合起來可寫為：波函數(shù)的歸一化是：所以，（與n無關(guān)）最後，波函數(shù)是：

§3.2線性諧振子一維量子諧振子問題

這裏，含V′(0)的一次項(xiàng)由於平衡位置V′(0)=0而消失，在經(jīng)典力學(xué)中，一維經(jīng)典諧振子問題是個(gè)基本的問題，它是物體在勢(shì)（或勢(shì)場(chǎng)）的穩(wěn)定平衡位置附近作小振動(dòng)這類常見問題的普遍概括。在量子力學(xué)中，情況很類似。一維量子諧振子問題也是個(gè)基本的問題，甚至更為基本。因?yàn)樗粌H是微觀粒子在勢(shì)場(chǎng)穩(wěn)定平衡位置附近作小振動(dòng)一類常見問題的普遍概括，而且更是將來場(chǎng)量子化的基礎(chǔ)。

眾所周知，當(dāng)粒子在勢(shì)場(chǎng)的平衡位置附近作小振動(dòng)時(shí)，勢(shì)場(chǎng)V(x)總可作泰勒展開並只取到最低階不為零的項(xiàng)。設(shè)平衡位置x0=0，並選取能量尺度的原點(diǎn)使V（0）=0，則也由於是穩(wěn)定振動(dòng)而有V′(0)＞0。除非振動(dòng)的幅度較大，否則不必考慮展開式中非簡(jiǎn)諧的高階項(xiàng)。這類問題的物理例子比如，原子核內(nèi)核子（質(zhì)子或中子）的簡(jiǎn)諧振動(dòng)、原子和分子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)、固體晶格上原子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)、甚至一個(gè)多自由度系統(tǒng)在其平衡態(tài)附近的小漲落小振動(dòng)，在通過引入簡(jiǎn)正座標(biāo)後也可以化為一系列退耦的一維振子之和，即可近似為線性諧振動(dòng)的迭加。一.方程的化簡(jiǎn)線性諧振子的勢(shì)能函數(shù)是：其中ω是諧振子的固有圓頻率。所以薛定諤方程是：在方程中做如下的無量綱化變換：

則方程變成：

當(dāng)ξ→±∞時(shí)，方程變?yōu)椋何覀儼l(fā)現(xiàn)它有近似解：

但是應(yīng)該舍去。所以再進(jìn)行變換：

可得關(guān)於H(ξ)的如下方程：二.Hermitian多項(xiàng)式可以用級(jí)數(shù)法求解H(ξ)的方程，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：只要H(ξ)是“真”無窮級(jí)數(shù)，那麼在x→±∞的時(shí)候H(ξ)就→eξ2,仍然使ψ(ξ)發(fā)散。能夠避免這種情形出現(xiàn)的唯一出路是級(jí)數(shù)“中止”或“退化”為多項(xiàng)式，而這就要求只能取一些特殊的值。設(shè)要求H(ξ)是ξ的n次多項(xiàng)式，那麼就必須讓

λ=2n+1n=0,1,2,3…

這樣，我們首先得到了能量本征值：現(xiàn)在H(ξ)的方程成為：

而不難驗(yàn)證下麵的函數(shù)正滿足這個(gè)方程:它稱為n次Hermitian多項(xiàng)式。頭五個(gè)Hermitian多項(xiàng)式是:三.線性諧振子的能級(jí)和波函數(shù)1.我們把線性諧振子的能級(jí)和波函數(shù)總結(jié)如下。能級(jí)是：對(duì)應(yīng)的波函數(shù)是：

Nn是歸一化常數(shù)，利用特殊積分

可得

2.討論

(1)能級(jí)是等間隔的；(2)零點(diǎn)能是；(3)能級(jí)的宇稱偶奇相間，基態(tài)是偶宇稱,即ψn(-x)=(-1)ψn(x)(4)ψn(x)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)。

n四.幾率分佈:

在經(jīng)典力學(xué)中,在ξ到ξ+dξ之間的區(qū)域內(nèi)找到質(zhì)點(diǎn)的幾率ω(ξ)dξ與質(zhì)點(diǎn)在此區(qū)域內(nèi)逗留的時(shí)間dt成比例:T是振動(dòng)週期。因此有即幾率密度與質(zhì)點(diǎn)的速度成反比。對(duì)於經(jīng)典的線性諧振子，ξ=asin(ωt+δ),在ξ點(diǎn)的速度為所以幾率密度與成比例。

§3.3勢(shì)壘貫穿一、方勢(shì)壘1.方勢(shì)壘是：

0axU0U(x)其特點(diǎn)是：(1)對(duì)於勢(shì)阱，波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處趨於零，能譜是分立的。但對(duì)於勢(shì)壘，波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處不為零。下麵將看到，粒子能量可取任意值。(2)按照經(jīng)典力學(xué)觀點(diǎn)，若E<U0,則粒子不能進(jìn)入勢(shì)壘,在x=0處全被彈回；若E>U0,則粒子將穿過勢(shì)壘運(yùn)動(dòng)。但從量子力學(xué)的觀點(diǎn)，由於粒子的波動(dòng)性，此問題將與波透過一層介質(zhì)相似，總有一部分波穿過勢(shì)壘，而有一部分波被反射回去。因此，討論的重點(diǎn)是反射和透射係數(shù)。

如果將此問題推廣到三維，顯然它是散射問題。二、方勢(shì)壘的穿透

(1)E>U0

的情況：薛定諤方程為則其解為這裏，?？紤]到時(shí)間因數(shù)，因此代表向右運(yùn)動(dòng)的波數(shù)為K的平面波，則是向左運(yùn)動(dòng)的平面波。在I、II兩個(gè)區(qū)域記憶體在向左運(yùn)動(dòng)的反射波。而在III區(qū)中則只存在向右運(yùn)動(dòng)的透射波，不存在向左運(yùn)動(dòng)的反射波。利用在X=±a邊界上波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)連續(xù)的邊界條件，得由此可得易得到入射波、透射波和反射波的幾率流密度為：

透射係數(shù)與反射係數(shù)為：(2)E<U0的情況：此時(shí)方程為：其中，。在粒子從左方入射時(shí)有：讓

和在x=0和x=a處連續(xù),我們得到4個(gè)方程，從中可以解出B、C、F、G對(duì)A的比。結(jié)果是：所以反射係數(shù)和透射係數(shù)分別是：討論：（1）R+D=1，即是幾率守恆。（2）在E<U0時(shí)D≠0,這是經(jīng)典力學(xué)不能解釋的，稱為量子隧道效應(yīng)，或勢(shì)壘貫穿。（3）如果條件>>1成立（相當(dāng)於E很小）,則

式中D0是常數(shù)，它的數(shù)量級(jí)接近於1。由此很容易看出，透射係數(shù)隨勢(shì)壘的加寬或加高而減小。對(duì)勢(shì)壘高度（U0）、寬度（a）和粒子能量（E）非常敏感。應(yīng)用：隧道二極體、掃描隧道顯微鏡、電子冷發(fā)射。（4）對(duì)於任意形狀的勢(shì)壘U（x）:右圖所示為一任意形狀的勢(shì)壘，我們可以把這個(gè)勢(shì)壘看作是許多方形勢(shì)壘組成的，每個(gè)方形勢(shì)壘寬為dx,高為U(x)。能量為E的粒子在x=a處射入勢(shì)壘U(x),在x=b處射出,即U(a)=U(b)=E。0adxbxU(x)E由式可得粒子貫穿每個(gè)方形勢(shì)壘的透射係數(shù)為：貫穿勢(shì)壘U(x)的透射係數(shù)應(yīng)等於貫穿所有這些方形勢(shì)壘的透射係數(shù)之積，即粒子在能量E小於勢(shì)壘高度時(shí)仍能貫穿勢(shì)壘的現(xiàn)象，稱為隧道效應(yīng)。§3.4一維週期勢(shì)、能帶週期勢(shì)：一、Floquet定理：在週期場(chǎng)中，薛定諤方程的能量本征函數(shù)有且僅有兩個(gè)獨(dú)立的解Ψ1和Ψ2，並滿足下列性質(zhì)：證明：若Ψ(x)為薛定諤方程的能量本征函數(shù),則Ψ(x+a)應(yīng)為方程對(duì)應(yīng)於同一能量的解的本征函數(shù)。設(shè)U1(X)、U2(X)為薛定諤方程的獨(dú)立能量本征函數(shù)，因二次方程只有兩個(gè)獨(dú)立的解，故有：3.設(shè)Ψ(x)為週期場(chǎng)中同一能量的任意解:由此可求出λ的兩個(gè)根λ1λ2，並求出兩組A、B，使二、Bloch定理週期性勢(shì)場(chǎng)中的波函數(shù)可以寫為如下形式：

其中是週期函數(shù)：這種形式的波函數(shù)稱為Bloch波。它可以看作是週期函數(shù)Φk(x)調(diào)製的平面波exp(iKx)，所以稱為Bloch波數(shù)。注意，與平面波的波數(shù)不同，Bloch波數(shù)沒有的絕對(duì)意義，而且粒子的能量和的關(guān)係也不是。三、週期性勢(shì)場(chǎng)中的能帶結(jié)構(gòu)週期性勢(shì)場(chǎng)的最重要的特徵就是其中的能量允許值構(gòu)成能帶，它兼有離散譜和連續(xù)譜的特徵。我們用一個(gè)例子來說明。

Kronig-Penney模型。這個(gè)模型中的週期性勢(shì)場(chǎng)是方勢(shì)阱-勢(shì)壘。在第一個(gè)週期（0<x<a）中，其他地方的U(X)按週期性條件外推。能量E選擇為0<E<U0。記那麼方程是：所以在0<x<a中，在其他週期內(nèi)的解可以借助於Floquet定理得出，例如在a<x<2a中，二、分析：（1）能級(jí)是量子化的，En∝n。E1最低但不等於0，這個(gè)狀態(tài)稱為基態(tài)，E1稱為零點(diǎn)能。(2)波函數(shù)是駐波。(3)態(tài)的宇稱是偶奇相間，基態(tài)為偶宇稱。(4)波函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)為n-1。

2

第四章態(tài)和力學(xué)量的表像

在前面，我們基本是用座標(biāo)函數(shù)描述體系的狀態(tài)並討論其性質(zhì)的，但正如在經(jīng)典力學(xué)中我們可以選擇不同的座標(biāo)來描述粒子的運(yùn)動(dòng)一樣，量子力學(xué)中我們也可以選用其他變數(shù)的波函數(shù)來描述體系的狀態(tài)。量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表像。以前所採(cǎi)用的表像是座標(biāo)表像。這一章我們討論其他表像，並介紹文獻(xiàn)中常用的狄喇克符號(hào)。一、座標(biāo)表像的波函數(shù)——

§4.1態(tài)的表像

是位置幾率二、動(dòng)量表像的波函數(shù)——

和可以互求，它們包含同樣多的資訊。我們稱這樣做是變換到了動(dòng)量表像,可以稱為動(dòng)量表像中的“波函數(shù)”基諧振子基點(diǎn)：三、表像的波函數(shù)（為任意力學(xué)量）

§4.2算符的矩陣表示在座標(biāo)表像中：在表像中：於是有：可見必是一矩陣。一、算符的矩陣表示以

um*

乘以上式並積分，得寫成矩陣形式如下1.以二階矩陣為例：2.厄密共軛矩陣和厄密矩陣厄密共軛矩陣是厄密共軛算符的對(duì)應(yīng)物。對(duì)任意算符A得到下述矩陣元之間的關(guān)係二、厄密算符的矩陣

於是我們知道，一個(gè)矩陣取其厄密共軛，相當(dāng)於矩陣轉(zhuǎn)置後再取複共軛。即當(dāng)一個(gè)矩陣等於它的厄密共軛矩陣，即滿足條件時(shí)，稱厄密自共軛矩陣，簡(jiǎn)稱厄密矩陣。由(4.2-6)式和(4.2-8)式可知，厄密矩陣的矩陣元滿足下述關(guān)係這一式子意味著，厄密矩陣的對(duì)角元（）為實(shí)數(shù)；而其餘的各個(gè)非對(duì)角元素，對(duì)於主對(duì)角線是複數(shù)共厄反射對(duì)稱的。量子力學(xué)中要用厄密算符來描寫力學(xué)量，所以同它們對(duì)應(yīng)的矩陣必是厄密矩陣。由於厄密矩陣的對(duì)角元是實(shí)數(shù)，由此也可得到厄密算符的本征值必定是實(shí)數(shù)的結(jié)論。厄密算符的矩陣是厄密矩陣：三、算符在自身表像中為對(duì)角陣在其自身表像中的矩陣元因此我們常說表像為以為對(duì)角線的表像。在，為對(duì)角的表像即以，的共同本征函數(shù)為基矢的表像。四、連續(xù)譜在連續(xù)譜情況下，所有矩陣都是象徵性的?！?.3量子力學(xué)公式的矩陣表示一、平均值公式（不顯含t）二、薛定諤方程左邊乘以並積分：三、本征方程1.本征方程2.求解本征值和本征矢將(4.3-9)式中等號(hào)右邊部分移至左邊，得：方程（4.3-10）是一個(gè)線形齊次代數(shù)方程組：這個(gè)方程組有非零解的條件是係數(shù)行列式等於零，即：方程（4.3-11）稱為久期方程。求解久期方程可得到一組λ值它們就是F的本征值。把求得的λi

分別代入（4.3-10）式中就可以求得與這λi

對(duì)應(yīng)的本征矢其中i=1,2,…n,…。四、例題設(shè)已知在和的共同表像中，算符和的矩陣分別為求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)，最後將和對(duì)角化。解：（1）求的本征值和本征函數(shù)。設(shè)在和的共同表像中，的本征函數(shù)為，為所對(duì)應(yīng)的本征值。本征方程為即齊次方程有非零解的條件是係數(shù)行列式等於零，即展開後整理得即即的本征值為利用歸一化條件，確定常數(shù)a1.

因此，對(duì)應(yīng)於m=0的本征函數(shù)是利用歸一化條件求a3.即因此，對(duì)應(yīng)於m=0的本征函數(shù)為利用歸一化條件求a2,即因此對(duì)應(yīng)於m=-1的本征函數(shù)為（2）求的本征值和本征函數(shù)設(shè)的本征函數(shù)為，對(duì)應(yīng)於。即令，並將的矩陣形式代入本征方程，即有b1,b2,b3有非零解的條件是由此得m=0,±1.對(duì)應(yīng)於所以同樣步驟得(3)將、對(duì)角化所謂對(duì)角化，即將、變換到自身的表像中去，這裏s為么正變換矩陣,即將在和的共同表像中的本征函數(shù)按列排成矩陣而得：於是變換矩陣R具有如下性質(zhì)：是轉(zhuǎn)置矩陣，I是單位矩陣)因?yàn)镽*=R（實(shí)數(shù)），所以：（R+是共軛矩陣）滿足上式的矩陣是么正矩陣對(duì)於，么正變換為於是§4.4狄喇克(Dirac)符號(hào)在幾何或經(jīng)典力學(xué)中，常用向量形式討論問題而不指明坐標(biāo)系。同樣，量子力學(xué)中描寫態(tài)和力學(xué)量，也可以不用具體表像。這種描寫的方式是狄喇克最先引用的，這樣的一套符號(hào)就稱為狄拉克符號(hào)。微觀體系的狀態(tài)可以用一種向量來表示，它的符號(hào)是，稱為刃矢（右矢），簡(jiǎn)稱為刃，表示某一確定的刃矢A，可以用符號(hào)。微觀體系的狀態(tài)也可以用另一種向量來表示，這種向量符號(hào)是，稱為刁矢（左矢），簡(jiǎn)稱為刁。表示某一確定的刁矢B可以用符號(hào)。刃和刁是兩種性質(zhì)不同的向量，兩者不能相加，它們?cè)谕环N表像中的相應(yīng)分量互為共厄複數(shù)。刃和刁二者的關(guān)係是：對(duì)於兩個(gè)態(tài)和，定義代表一個(gè)複數(shù)，稱為二者的內(nèi)積，並且

又，假定

態(tài)的歸一是兩態(tài)正交是

Hermitian算符滿足條件

所以是實(shí)數(shù)。本征方程是平均值公式是:基向量集的正交歸一性可表為態(tài)向量在表像中的分解是

算符F在表像中的矩陣元是

S-方程

現(xiàn)將一些公式的通常寫法與用狄拉克符號(hào)的寫法對(duì)照如下：

典型例題用座標(biāo)輪換的方法，寫出時(shí)，的全部本征函數(shù)，用球函數(shù)表達(dá)。例1、解：我們知道的全部本征函數(shù)為：上面是的一組本征函數(shù)。根據(jù)問題的對(duì)稱性，當(dāng)?shù)娜≈低瑯佑?，而的本征函?shù)，由上式將z換為x,x換為y,y換為z得到，用表示：同樣的想法，通過同樣的方法，可找到對(duì)於的的全部本征函數(shù)，即滿足對(duì)於所得（）的全部本征函數(shù)的正確性，我們可以驗(yàn)證。例如對(duì)於即的確是的本征函數(shù)，本征值是。選用不同的表像來描寫態(tài)函數(shù)和經(jīng)典力學(xué)中選用不同的座標(biāo)來表示一向量是完全類同的：選定力學(xué)量（表像）相當(dāng)於選定某種座標(biāo)，的本征函數(shù){}相當(dāng)於座標(biāo)的基矢，而{}相當(dāng)於向量在基矢上的投影（分量）事實(shí)上，我們把以力學(xué)量本征函數(shù)為基矢構(gòu)成的空間稱為Hilbert空間，而把量子態(tài)稱為態(tài)向量。並表示為：

四、Hilbert（希耳伯特）空間及波函數(shù)近似方法：微擾與變分微擾方法：與時(shí)間無關(guān)（定態(tài)微擾） 與時(shí)間有關(guān)（量子躍遷）定態(tài)微擾：簡(jiǎn)並、非簡(jiǎn)並第五章微擾理論一、適用條件求解定態(tài)薛定諤方程比較複雜，無法直接求解，若可將其分成兩部分§5.1非簡(jiǎn)並的定態(tài)微擾 的本征值和本征函數(shù)可以求出，則方程（1）就可以通過逐步近似的方法求解。二、微擾論的基本方程設(shè)的本征值和本征函數(shù)已經(jīng)全部求出：的本征方程（1）式變?yōu)椋涸O(shè)某一個(gè)能級(jí)是非簡(jiǎn)並的，只有一個(gè)與它對(duì)應(yīng)，加上“微擾”後，

將待求的寫成的線性迭加：將（5）式代入（4）式，得到

由於，的主要成分顯然就是，因此（5）式中。這個(gè)判斷是使用逐步近似法的基礎(chǔ)。用某一個(gè)左乘（6）式並積分得到用左乘（6）式並積分就得到(8)和(9)式是嚴(yán)格的，它們和（6）式等價(jià)。(8)、(9)式中是“表像”中的矩陣元在(8)、(9)式中略去所有與有關(guān)的項(xiàng)，就得到零級(jí)近似：(8)式中略去最小的第三項(xiàng)即項(xiàng),即得的一級(jí)近似(9)式中略去最小的項(xiàng)，即項(xiàng)，並在右端用作為的近似，就得到的一級(jí)近似將(12)式，並代入(8)式，即得的二級(jí)近似將(12)式，並代入(5)式，即得的一級(jí)近似（13)、(14)式就是非簡(jiǎn)並態(tài)微擾論的主要結(jié)果。(13)式右端各項(xiàng)通常稱為的零級(jí)近似，一級(jí)修正和二級(jí)修正:(14)式中項(xiàng)稱為的一級(jí)修正(13)、(14)式成立的條件（逐步近似法適用的條件）為如果緊靠著存在別的，即使，微擾論也不適用。試用微擾論求能級(jí)的變化，並與精確解比較。例

帶電量為e的一維諧振子，受到恒定弱電場(chǎng)的微擾 作用解1的本征值和本征函數(shù)是能級(jí)的一級(jí)修正就是在中的平均值為求能級(jí)的二級(jí)修正和波函數(shù)的一級(jí)修正，需要計(jì)算可利用（一）簡(jiǎn)並微擾理論（二）討論§5.2簡(jiǎn)並微擾理論假設(shè)En(0)是簡(jiǎn)並的，那末屬於H(0)的本征值En(0)有k個(gè)歸一化本征函數(shù)：|n1>,|n2>,......,|nk><n

|n

>=

滿足本征方程：於是我們就不知道在k個(gè)本征函數(shù)中究竟應(yīng)取哪一個(gè)作為微擾波函數(shù)的0級(jí)近似。所以在簡(jiǎn)並情況下，首先要解決的問題是如何選取0級(jí)近似波函數(shù)的問題，然後才是求能量和波函數(shù)的各級(jí)修正。0級(jí)近似波函數(shù)肯定應(yīng)從這k個(gè)|n

>中挑選，而它應(yīng)滿足上節(jié)按

冪次分類得到的方程：共軛方程（一）簡(jiǎn)並微擾理論根據(jù)這個(gè)條件，我們選取0級(jí)近似波函數(shù)|ψn(0)>的最好方法是將其表示成k個(gè)|n

>的線性組合，因?yàn)榉凑?級(jí)近似波函數(shù)要在|n

>(

=1,2,...,k)中挑選。|ψn(0)>已是正交歸一化係數(shù)c

由

一次冪方程定出左乘<n

|得：得：上式是以展開係數(shù)c

為未知數(shù)的齊次線性方程組，它有不含為零解的條件是係數(shù)行列式為零，即解此久期方程可得能量的一級(jí)修正En(1)的k個(gè)根：En

(1),

=1,2,...,k.因?yàn)镋n

=En(0)+E(1)n

所以，若這k個(gè)根都不相等，那末一級(jí)微擾就可以將k度簡(jiǎn)並完全消除；若En

(1)有幾個(gè)重根，則表明簡(jiǎn)並只是部分消除，必須進(jìn)一步考慮二級(jí)修正才有可能使能級(jí)完全分裂開來。為了確定能量En

所對(duì)應(yīng)的0級(jí)近似波函數(shù)，可以把E(1)n

之值代入線性方程組從而解得一組c

(

=1,2,...,k.)係數(shù)，將該組係數(shù)代回展開式就能夠得到相應(yīng)的0級(jí)近似波函數(shù)。為了能表示出c

是對(duì)應(yīng)與第

個(gè)能量一級(jí)修正En

(1)的一組係數(shù)，我們?cè)谄渖霞由辖菢?biāo)

而改寫成c

。這樣一來，線性方程組就改寫成：（1）新0級(jí)波函數(shù)的正交歸一性1.正交性取複共厄改記求和指標(biāo)，

，

（二）討論對(duì)應(yīng)於En

=En(0)+En

(1)和En

=En(0)+En

(1)的0級(jí)近似本征函數(shù)分別為：由(3)式上式表明，新0級(jí)近似波函數(shù)滿足正交條件。2.歸一性對(duì)於同一能量，即角標(biāo)

=

，則上式變?yōu)椋篍q.(3)和Eq.(4)合記之為：由於新0級(jí)近似波函數(shù)應(yīng)滿足歸一化條件，（2）在新0級(jí)近似波函數(shù)|ψn

(0)>為基矢的k維子空間中，H’從 而H的矩陣形式是對(duì)角化的。證：上式最後一步利用了Eq.(5)關(guān)係式。所以H’在新0級(jí)近似波函數(shù)為基矢的表像中是對(duì)角化的。[證畢]因?yàn)镠0在自身表像中是對(duì)角化的，所以在新0級(jí)近似波函數(shù)為基矢的表像中也是對(duì)角化的。當(dāng)

=

時(shí)，上式給出如下關(guān)係式：也就是說，能量一級(jí)修正是H’在新0級(jí)波函數(shù)中的平均值。這一結(jié)論也是預(yù)料之中的事。求解簡(jiǎn)並微擾問題，從本質(zhì)上講就是尋找一麼正變換矩陣S，使H’從而H對(duì)角化。求解久期方程和線性方程組就是尋找這一麼正變換矩陣的方法。5.3氫原子一級(jí)Stark效應(yīng)（1）Stark效應(yīng)氫原子在外電場(chǎng)作用下產(chǎn)生譜線分裂現(xiàn)象稱為Stark效應(yīng)。我們知道電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ庫侖場(chǎng)作用，造成第n個(gè)能級(jí)有n2度簡(jiǎn)並。但是當(dāng)加入外電場(chǎng)後，由於勢(shì)場(chǎng)對(duì)稱性受到破壞，能級(jí)發(fā)生分裂，簡(jiǎn)並部分被消除。Stark效應(yīng)可以用簡(jiǎn)並情況下的微擾理論予以解釋。（2）外電場(chǎng)下氫原子Hamilton量取外電場(chǎng)沿z正向。通常外電場(chǎng)強(qiáng)度比原子內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度小得多，例如,強(qiáng)電場(chǎng)≈107伏/米，而原子內(nèi)部電場(chǎng)≈1011伏/米，二者相差4個(gè)量級(jí)。所以我們可以把外電場(chǎng)的影響作為微擾處理。（3）H0的本征值和本征函數(shù)下麵我們只討論n=2的情況，這時(shí)簡(jiǎn)並度n2=4。屬於該能級(jí)的4個(gè)簡(jiǎn)並態(tài)是：（4）求H’

在各態(tài)中的矩陣元由簡(jiǎn)並微擾理論知,求解久期方程,須先計(jì)算出微擾Hamilton量H’

在以上各態(tài)的矩陣元。我們碰到角積分<Yl'm'|cosθ|Ylm>需要利用如下公式：於是:由簡(jiǎn)並微擾理論知,求解久期方程,須先計(jì)算出微擾Hamilton量H’

在以上各態(tài)的矩陣元。我們碰到角積分<Yl'm'|cosθ|Ylm>需要利用如下公式：欲使上式不為0，由球諧函數(shù)正交歸一性要求量子數(shù)必須滿足如下條件：僅當(dāng)Δ

=±1,Δm=0時(shí)，H’的矩陣元才不為0。因此矩陣元中只有H’12,H’21不等於0。因?yàn)樗杂股鲜讲粸?，由球諧函數(shù)正交歸一性要求量子數(shù)必須滿足如下條件：（5）能量一級(jí)修正將H’

的矩陣元代入久期方程：解得4個(gè)根：由此可見，在外場(chǎng)作用下，原來4度簡(jiǎn)並的能級(jí)E2(0)在一級(jí)修正下，被分裂成3條能級(jí)，簡(jiǎn)並部分消除。當(dāng)躍遷發(fā)生時(shí)，原來的一條譜線就變成了3條譜線。其頻率一條與原來相同，另外兩條中一條稍高於一條稍低於原來頻率。（6）求0級(jí)近似波函數(shù)分別將E2(1)的4個(gè)值代入方程組：得四元一次線性方程組E2(1)=E21

(1)=3eεa0

代入上面方程，得：所以相應(yīng)於能級(jí)E2(0)+3eεa0

的0級(jí)近似波函數(shù)是：

E2(1)=E22(1)=-3eεa0

代入上面方程，得：所以相應(yīng)於能級(jí)E(0)2-3eεa0

的0級(jí)近似波函數(shù)是：E2(1)=E23(1)=E24(1)=0，代入上面方程，得：因此相應(yīng)與E2(0)的0級(jí)近似波函數(shù)可以按如下方式構(gòu)成：我們不妨仍取原來的0級(jí)波函數(shù)，即令：上述結(jié)果表明，若氫原子處於0級(jí)近似態(tài)ψ1(0),ψ2(0),ψ3(0),ψ4(0),那末，氫原子就好象具有了大小為3ea0的永久電偶極矩一般。對(duì)於處在ψ1(0),ψ2(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場(chǎng)方向平行和反平行；而對(duì)於處在ψ3(0),ψ4(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場(chǎng)方向垂直。我們不妨仍取原來的0級(jí)波函數(shù)，即令：（7）討論上述結(jié)果表明，若氫原子處於0級(jí)近似態(tài)ψ1(0),ψ2(0),ψ3(0),ψ4(0),那末，氫原子就好象具有了大小為3ea0的永久電偶極矩一般。對(duì)於處在ψ1(0),ψ2(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場(chǎng)方向平行和反平行；而對(duì)於處在ψ3(0),ψ4(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場(chǎng)方向垂直。（一）能量的平均值（二）<H>與E0的偏差和試探波函數(shù)的關(guān)係（三）如何選取試探波函數(shù)（四）變分方法（五）實(shí)例微擾法求解問題的條件是體系的Hamilton量H可分為兩部分其中H0的本征值本征函數(shù)已知有精確解析解，而H’很小。如果上面條件不滿足，微擾法就不適用。這時(shí)我們可以採(cǎi)用另一種近似方法—變分法?！?.4變分法微擾法求解問題的條件是體系的Hamilton量H可分為兩部分設(shè)體系的Hamilton量H的本征值由小到大順序排列為：E0<E1<E2<......<En<......|ψ0>|ψ1>|ψ2>.........|ψn>......上式第二行是與本征值相應(yīng)的本征函數(shù)，其中E0、|ψ0>分別為基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)。（一）能量的平均值為簡(jiǎn)單計(jì)，假定H本征值是分立的，本征函數(shù)組成正交歸一完備系，即設(shè)|ψ>是任一歸一化的波函數(shù)，在此態(tài)中體系能量平均值：證：則這個(gè)不等式表明，用任意波函數(shù)|ψ>計(jì)算出的平均值<H>總是大於（或等於）體系基態(tài)的能量，而僅當(dāng)該波函數(shù)等於體系基態(tài)波函數(shù)時(shí)，平均值<H>才等於基態(tài)能量。若|ψ>未歸一化，則插入單位算符 由上面分析可以看出，試探波函數(shù)越接近基態(tài)本征函數(shù)，<H>

就越接近基態(tài)能量E0.那末，由於試探波函數(shù)選取上的偏差[|ψ>-|ψ0>]會(huì)引起[<H>-E0

]的多大偏差呢？ 為了討論這個(gè)問題，我們假定已歸一化的試探波函數(shù)為：顯然|

>有各種各樣的選取方式，通過引入α|

>就可構(gòu)造出在|ψ0>附近的有任意變化的試探波函數(shù)。能量偏差：（二）<H>與E0

的偏差 和試探波函數(shù)的關(guān)係其中α是一常數(shù)，|ψ>是任一波函數(shù)，滿足|ψ0>所滿足的同樣的邊界條件。[結(jié)論]上述討論表明，對(duì)本征函數(shù)附近的一個(gè)任意小的變化，本征能量是穩(wěn)定的。因此，我們選取試探波函數(shù)的誤差不會(huì)使能量近似值有更大的誤差。這也就是說，

是小量，|ψ>與|ψ0>很接近，則<H>與E0更接近。當(dāng)且僅當(dāng)|ψ>=|ψ0>時(shí)，才有<H>=E0可見，若

是一小量，即波函數(shù)偏差[|ψ>-|ψ0>]=

|

>是一階小量，那末是二階小量。試探波函數(shù)的好壞直接關(guān)係到計(jì)算結(jié)果，但是如何選取試探波函數(shù)卻沒有一個(gè)固定可循的法則，通常是根據(jù)物理上的知覺去猜測(cè)。（1）根據(jù)體系Hamilton量的形式和對(duì)稱性推測(cè) 合理的試探波 函數(shù)；（2）試探波函數(shù)要滿足問題的邊界條件；（3）為了有選擇的靈活性，試探波函數(shù)應(yīng)包含一個(gè)或 多個(gè)待調(diào)整的參數(shù)，這些參數(shù)稱為變分參數(shù)；（4）若體系Hamilton量可以分成兩部分H=H0+H1，而H0的本征函數(shù)已知有解析解，則該解析解可作為體系的試探波函數(shù)。（三）如何選取試探波函數(shù)例：一維簡(jiǎn)諧振子試探波函數(shù)一維簡(jiǎn)諧振子Hamilton量：其本征函數(shù)是：下麵我們根據(jù)上面所述原則構(gòu)造試探波函數(shù)?？蛇x取如下試探波函數(shù)：A——?dú)w一化常數(shù)，

是變分參量。選取這樣的試探波函數(shù)是因?yàn)?.φ(x)是光滑連續(xù)的函數(shù)；2.關(guān)於x=0點(diǎn)對(duì)稱，滿足邊界條件 即當(dāng)|x|→∞時(shí)， ψ→0；3.φ(x)是高斯函數(shù)，高斯函數(shù)有很好的性質(zhì)， 可作解析積分，且有積分表可查。有了試探波函數(shù)後，我們就可以計(jì)算<H>能量平均值是變分參數(shù)λ的函數(shù)，欲使<H(λ)>取最小值，則要求：上式就可定出試探波函數(shù)中的變分參量λ取何值時(shí)<H(λ)>有最小值。（四）變分方法對(duì)一維簡(jiǎn)諧振子試探波函數(shù)，前面已經(jīng)給出了可能的形式。下麵我們就使用這種試探波函數(shù)，應(yīng)用變分法求解諧振子的基態(tài)近似能量和近似波函數(shù)。例1.（五）實(shí)例1.對(duì)試探波函數(shù)定歸一化係數(shù)：2.求能量平均值使用試探波函數(shù)：3.變分求極值代入上式得基態(tài)能量近似值為：這正是精確的一維諧振子基態(tài)能量。這是因?yàn)槿魧⒋朐囂讲ê瘮?shù)，得：正是一維諧振子基態(tài)波函數(shù)。此例之所以得到了正確的結(jié)果，是因?yàn)槲覀冊(cè)谶x取試探波函數(shù)時(shí)要盡可能的通過對(duì)體系物理特性（Hamilton量性質(zhì)）的分析，構(gòu)造出物理上合理的試探波函數(shù)。解2精確解本征值和本征函數(shù)如何變化？

散射是量子力學(xué)的另一類基本實(shí)際問題，它研究粒子間的碰撞過程。即，具有足夠能量的入射粒子轟擊被研究的靶（如原子、原子核等）結(jié)果是入射粒子被散射到各個(gè)方向。

散射過程可以用粒子的狀態(tài)是否因碰撞而發(fā)生改變而區(qū)分為兩種類型：

1、

一種碰撞的結(jié)果，粒子間只有動(dòng)量交換，而粒子的內(nèi)部狀態(tài)不變，這類散射稱為彈性散射。

2、另一種，碰撞使粒子的內(nèi)部狀態(tài)發(fā)生改變，如粒子被激發(fā)、碎裂等，這類散射稱為非彈性散射。

研究散射的意義：碰撞的具體情況與粒子本身的結(jié)構(gòu)及它們之間的相互作用性質(zhì)密切相關(guān)，通過對(duì)散射結(jié)果的分析，可以探知粒子的結(jié)構(gòu)，推動(dòng)基礎(chǔ)理論的發(fā)展。人們之所以能從原子到誇克這樣一個(gè)層次一個(gè)層次地深入認(rèn)識(shí)物質(zhì)的結(jié)構(gòu)，在很大程度上，是依賴於對(duì)散射的研究。

一、散射截面散射過程的示意圖如下所示

在理論上計(jì)算粒子被散射（θ,φ

）方向上單位立體角中的幾率，是研究散射問題的中心課題。

設(shè)入射粒子在單位時(shí)間通過單位面積的粒子數(shù)為J

，

J稱為入射粒子流密度。設(shè)單位時(shí)間裏被散射到（θ,φ

）方向的立體角

dΩ中的粒子數(shù)為dN

。

顯然，

dN正比於dΩ，

也正比於J

我們定義：

dN與JdΩ的比值為粒子散射到（θ,φ

）方向的幾率。

（1）我們稱

為微分散射截面。將它對(duì)整個(gè)立體角

積分，得到總散射截面。

下麵討論，如何用量子力學(xué)計(jì)算微分截面。

二、散射問題的邊界條件散射振幅按照量子力學(xué)，粒子的位置幾率分佈由波函數(shù)決定，因而求粒子被散射後的位置幾率，就歸結(jié)為通過薛定諤方程求散射後的波函數(shù)。

1.

系統(tǒng)的定態(tài)方程設(shè)兩個(gè)粒子將的相互作用勢(shì)能為，則求解系統(tǒng)的薛定諤方程可歸結(jié)為求解定態(tài)方程：這是一個(gè)二體運(yùn)動(dòng)方程，它可化為兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，一個(gè)描述質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)描述粒子之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。若選用質(zhì)心坐標(biāo)系，則只需討論粒子之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程：

（2）上式中是折合品質(zhì)，

是散射粒子相對(duì)靶粒子的位置矢徑，

是相對(duì)運(yùn)動(dòng)的能量。在實(shí)驗(yàn)上

是通過加速入射粒子而確定的，計(jì)算中作為已知條件應(yīng)用。

2.時(shí)波函數(shù)的漸進(jìn)形式

前面已知指出，在遠(yuǎn)離散射中心觀察，粒子作自由運(yùn)動(dòng)。於是，當(dāng)時(shí)，波函數(shù)應(yīng)由兩部分組成，一部分是描述沿Z方向運(yùn)動(dòng)的入射粒子的平面波；另一部分是描述粒子被散射後從散射中心向外發(fā)散的球面出射波，即其中為波矢。

對(duì)於彈性散射，粒子散射後能量不變，而且散射前後都假定了粒子在自由狀態(tài)，因而散射前後，波矢的大小不變。

球面波的振幅

與

有關(guān)，是因?yàn)榱Ｗ颖簧⑸涞讲煌较虻膸茁什灰粯?。於?/p>

當(dāng)時(shí)，波函數(shù)的一般漸進(jìn)形式為或者令

，上式可寫成

(4)這就是散射問題中求解定態(tài)方程(3)的邊界條件。稱為球面散射波的振幅。在這一條件下解方法(3)式，就可以求得在具體勢(shì)能場(chǎng)中的散射的。3.的意義

在(4)式中，第二項(xiàng)的絕對(duì)值平方?jīng)Q定了散射粒子在空間的分佈，在r很大時(shí)，在方向觀測(cè)到的粒子數(shù)密度為由此進(jìn)一步可知，單位時(shí)間內(nèi)，在方向附近，穿過面元的粒子數(shù)為

()(5)這也就是單位時(shí)間內(nèi)散射到立體角中的粒子數(shù)。上式中v為粒子速度。又由於入射粒子流密度將上式和(5)式代入(1)式，可得散射微分截面為

(6)可見：微分散射截面由球面散射波的振幅決定。通常稱函數(shù)為散射振幅小結(jié)：散射問題粒子被散射到方向單位立體角中的幾率而這個(gè)幾率用散射微分截面來表徵所以，整個(gè)問題的關(guān)鍵是取散射振幅。求解散射問題有很多方法：如分波法、格林函數(shù)法、波恩近似法等，但每種方法都有其適用範(fàn)圍三、波恩近似令,(7)

則方程(3)改寫成(8)我們?cè)谝环N最簡(jiǎn)單的情況下討論方程(8)的近似解法，這就是假定入射粒子的能量很大，以至可以將它與靶粒子的相互作用勢(shì)能看成是微擾，利用波恩近似方法（見書）。最後，我們可以得到散射振幅為

(9)若用向量表示波矢的改變(10)它的大小為(11)於是(9)式寫成(12)其中特例：如果場(chǎng)是中心對(duì)稱的，則只依賴於的大小，於是可以由(12)式得：(13)其中

于是散射截面為

注意：波恩近似的適用範(fàn)圍：入射粒子能量很高而相互作用較小，則波恩近似較好。

第七章自旋與全同粒子

我們已經(jīng)知道，從薛定諤方程出發(fā)可以解釋許多微觀現(xiàn)象，例如計(jì)算諧振子和氫原子的能級(jí)從而得出它們的譜線頻率，計(jì)算離子被勢(shì)場(chǎng)散射時(shí)的散射截面以及原子對(duì)光的吸收和發(fā)射係數(shù)等。計(jì)算結(jié)果在相當(dāng)精確的範(fàn)圍內(nèi)與實(shí)驗(yàn)符合。但是這個(gè)理論還有較大的局限性。首先，薛定諤方程沒有把自旋包含進(jìn)去，因而用前面的理論還不能解釋牽涉到自旋的微觀現(xiàn)象，如塞曼效應(yīng)等。此外，對(duì)於多粒子體系（原子、分子、原子核、固體等等），前面的理論也不能處理。

§7.1電子的自旋

一、提出電子自旋的依據(jù)1、1912年反常塞曼效應(yīng)，特別是氫原子的偶數(shù)重磁場(chǎng)譜線分裂，無法用軌道磁矩與外磁場(chǎng)相互作用來解釋，因?yàn)檫@只能分裂譜線為（2n+1）重，即奇數(shù)重。2、原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)。比如，對(duì)應(yīng)於氫原子2p→1s的躍遷存在兩條彼此很靠近的兩條譜線，鹼金屬原子光譜也存在雙線結(jié)構(gòu)等3、斯特恩—蓋拉赫實(shí)驗(yàn)（1922年）基態(tài)銀原子束通過不均勻磁場(chǎng)後，分離成朝相反方向的兩束。如圖：結(jié)論：除具有軌道角動(dòng)量外，電子還應(yīng)具有自旋角動(dòng)量。自旋是一種相對(duì)論量子效應(yīng)，無經(jīng)典對(duì)應(yīng)。針對(duì)以上難以解釋的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，1925年烏侖貝克和高德施密特提出假設(shè)：(1)每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量s，它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：(2)每個(gè)電子具有自旋磁矩Ms，它和自旋角動(dòng)量s的關(guān)係是二、電子自旋的假設(shè)§7.2電子自旋算符和自旋函數(shù)電子具有自旋角動(dòng)量這一特性純粹是量子特性，它不可能用經(jīng)典力學(xué)來解釋。自旋角動(dòng)量也是一個(gè)力學(xué)量，但它和其他力學(xué)量有根本的差別：一般力學(xué)量都可表示為座標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù)，自旋角動(dòng)量則與電子的座標(biāo)和動(dòng)量無關(guān)，它是電子內(nèi)部狀態(tài)的表徵，是描寫電子狀態(tài)的第四個(gè)變數(shù)。一、自旋算符自旋角動(dòng)量滿足的對(duì)易關(guān)係是：由於在空間任意方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值，所以和三個(gè)算符的本征值都是，它們的平方就都是：所以，令將上式與軌道角動(dòng)量平方算符的本征值比較，可知s與角量子數(shù)相當(dāng)，我們稱s為自旋量子數(shù)。但這裏s只能取一個(gè)數(shù)值，即s=1/2.二、泡利算符為簡(jiǎn)便起見，引進(jìn)一個(gè)算符，它和的關(guān)係是將（7.2-6）式代入（7.2-1）式，得到所滿足的對(duì)易關(guān)係：並且有：的分量之間具有反對(duì)易關(guān)係：三、電子自旋態(tài)的表示方法考慮了電子的自旋，電子的波函數(shù)應(yīng)寫為：由於只能取兩個(gè)數(shù)值。所以（7.2-11）式實(shí)際上上可以寫為兩個(gè)分量我們可以把這兩個(gè)分量排成一個(gè)二行一列的矩陣：於是，總的歸一化表示為：

在有些情況下，不含自旋或?yàn)榭臻g部分和自旋部分之和，的本征函數(shù)可分離變數(shù)求解。四、泡利（Pauli）矩陣在與的共同表像中令由即可得出於是，為厄米矩陣：則而亦即同樣可求出：利用習(xí)慣上?。海?.2-18）（7.2-19）將（7.2-19）式代入（7.2-16）式和（7.2-17）式得到的結(jié)果便是泡利矩陣泡利矩陣自旋算符（7.2-20）（7.2-21）自旋算符用矩陣（7.2-21）表示後，自旋算符的任一個(gè)函數(shù)也表示為二行二列的矩陣：算符在態(tài)中，對(duì)自旋求平均的結(jié)果是算符在態(tài)中，對(duì)坐標(biāo)和自旋同時(shí)求平均的平均值是§7.3簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)1896年塞曼（P.Zeeman）發(fā)現(xiàn)：置於強(qiáng)磁場(chǎng)中的原子（光源）發(fā)出的每條光譜線都分裂為三條，間隔相同。為此獲1902年諾貝爾物理獎(jiǎng)。因?yàn)椴槐匾胱孕?，所以洛侖茲很快作出了?jīng)典電磁學(xué)解釋。稱為正常塞曼效應(yīng)。無外磁場(chǎng)

加強(qiáng)磁場(chǎng)正常塞曼效應(yīng)

一、強(qiáng)磁場(chǎng)中的正常塞曼效應(yīng)類氫（或鹼金屬）粒子：一、強(qiáng)磁場(chǎng)中的正常塞曼效應(yīng)類氫（或鹼金屬）粒子：能量本征方程為：也是的本征函數(shù)。在強(qiáng)磁場(chǎng)中，因?yàn)橥獯艌?chǎng)很強(qiáng)，可以略去自旋軌道耦合。波函數(shù)中自旋和空間部分可以分離變數(shù)。哈密頓量H的本征態(tài)可選為守恆量完全集（H,L2,Lz,Sz)的共同本征態(tài)。能量的本征值為：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，討論：（1）躍遷規(guī)則：（2）每條光譜線都分裂為三條，間隔相同Larmor頻率：

（3）不引入自旋也可解釋正常塞曼效應(yīng)。雖然能級(jí)，但對(duì)譜線分裂無影響。鈉黃線的正常塞曼分裂加強(qiáng)磁場(chǎng)589.3nm3p3s未加磁場(chǎng)ms=–1/2ms=+1/210-101-1

1897年普雷斯頓（T.Preston）發(fā)現(xiàn)：當(dāng)磁場(chǎng)較弱時(shí)，譜線分裂的數(shù)目可以不是三條，間隔也不盡相同。在量子力學(xué)和電子自旋概念建立之前，一直不能解釋。稱為反常塞曼效應(yīng)（複雜塞曼效應(yīng)）。

二、弱磁場(chǎng)中的反常塞曼效應(yīng)§7.4兩個(gè)角動(dòng)量的耦合一、基本對(duì)易關(guān)係以表示體系的兩個(gè)角動(dòng)量算符，它們滿足角動(dòng)量的一般對(duì)易關(guān)係：和是相互獨(dú)立的，因而的分量和的分量都是可對(duì)易的：以表示與之和：稱為體系的總角動(dòng)量，它滿足角動(dòng)量的一般對(duì)易關(guān)係：此外，還有一些其他的對(duì)易關(guān)係：二、無耦合與耦合表像以表示和的工同本征矢：以表示和的工同本征矢：因?yàn)橄嗷?duì)易，所以它們的共同本征矢：組成正交歸一的完全系。以這些本征矢作為基矢的表像稱為無耦合表像，在這個(gè)表像中，都是對(duì)角矩陣。另一方面算符也是相互對(duì)易的，所以它們有共同本征矢,j和m表明和的對(duì)應(yīng)本征值依次為和:組成正交歸一完全系，以它們?yōu)榛傅谋硐穹Q為耦合表像。概括起來講如下：1、無耦合表像基底：

維數(shù)：封閉關(guān)係：

只對(duì)作用，

只對(duì)作用。2、耦合表像基底：

不能區(qū)分角動(dòng)量1和2了！

封閉關(guān)係：

3、無偶合表像基底與偶合表像基底的變換

對(duì)於確定的j1和j2,在維子空間，上式中稱為向量耦合係數(shù)或克來布希—高登（Clebsch—Gordon）係數(shù)表像變換矩陣元，不改變維數(shù)：①無耦合表像→耦合表像②耦合表像→無耦合表像三、的本征值對(duì)於確定的和，總角量子數(shù)的