高斯小學(xué)奧數(shù)四年級下冊含答案第03講-多人多次相遇與追及

第三講多人多次相遇與追及在之前的課程中，我們已經(jīng)學(xué)過了如何處理兩個對象之間的相遇追及問題．本講我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)過程更為復(fù)雜的三個對象之間的行程問題．本講中畫線段圖非常重要，你還記得畫行程圖要注意什么嗎？例題1有甲、乙、丙三個人，甲每分鐘走40米，乙每分鐘走60米，丙每分鐘走50米．A、B兩地相距2700米．甲從A地，乙、丙從B「分析」全程已知，三個人的速度也都已知，那么甲乙的相遇時間、甲丙的相遇時間都是可以計算出來的．

練習(xí)1有冰冰、雪雪、霜霜三個人，冰冰每秒鐘走4米，雪雪每秒鐘走5米，霜霜每秒鐘走6米．A、B兩地相距990米．雪雪從A地，霜霜、冰冰從B地同時出發(fā)相向而行．請問，雪雪與霜霜相遇之后多少秒又與冰冰相遇？

例題2叮叮、咚咚兩人開車從A地，鐺鐺則從B地同時出發(fā)，相向而行．叮叮的速度為每小時70千米，鐺鐺的速度為每小時50千米．出發(fā)3小時后，叮叮與鐺鐺相遇．又過了1AA地B地叮叮咚咚鐺鐺「分析」請在圖中把過程補全，并標(biāo)出相應(yīng)的數(shù)據(jù)，例如速度、時間、路程等．然后注意分析，看看哪個過程是可以計算的？練習(xí)2小春、小秋兩人從A地，小夏則從B地同時出發(fā)，相向而行．小春的速度為每小時60千米，小夏的速度為每小時40千米．出發(fā)3小時后，小春與小夏相遇．又過了1小時，小秋也與小夏相遇．請問：小秋的速度是多少？例題3甲、乙兩輛汽車的速度分別為每小時52千米和每小時40千米，兩車同時從A地出發(fā)到B地去，出發(fā)6小時后，甲車遇到一輛迎面開來的卡車．又過了1小時，乙車也遇到了這輛卡車．請問：這輛卡車的速度是多少？AA地B地甲車卡車乙車「分析」本題的運動過程和上題類似嗎？請先把圖補充完整，仍然是標(biāo)出數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，看看哪個過程是可以計算的？練習(xí)3甲、乙兩輛汽車的速度分別為每小時60千米和每小時45千米，兩車同時從A地出發(fā)到B地去，出發(fā)7小時后，甲車遇到一輛迎面開來的卡車．又過了1小時，乙車也遇到了這輛卡車．請問：這輛卡車的速度是多少？通過前面幾道例題，同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)解決多人多次的相遇與追及等更為復(fù)雜的行程問題，畫線段圖是相當(dāng)重要的．然而我們不但要學(xué)會畫圖，還要學(xué)會看圖．“橫看成嶺側(cè)成峰”，同一個對象從不同的角度去觀察往往會有不同的認(rèn)識．就像例題4中紅色的那條線段，既可以看成甲、乙兩車的路程差，也可以看成乙車與卡車的路程和．當(dāng)運動過程趨于復(fù)雜時，尤其需要這種從不同角度看待問題的思維習(xí)慣，這樣才能充分利用好題目中的條件．橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同．不識廬山真面目，只緣身在此山中．這是宋代作家蘇軾所著的七言絕句《題西林壁》，詩里所描繪的是廬山的景象．這首詩的寓意并不僅僅止于要從不同的角度來看待問題，它的重點在于后兩句：游人之所以左看右看、上看下看，看到的情景都不一樣，無法看清廬山真面目，就是因為沒能超然于廬山之外統(tǒng)觀全貌．也就是說，當(dāng)我們總是糾纏于問題的復(fù)雜，而無法統(tǒng)觀全局時，就陷入到了問題之中，成了問題的一部分；而如果想要解決問題，就必須從問題中跳出來，以全局的高度來審視問題．這一點對于我們解決較復(fù)雜的問題而言尤為重要．例題4甲、乙、丙三人走路，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走50米，丙每分鐘走40米．如果甲從A地，乙和丙從B地同時出發(fā)相向而行，甲和乙相遇后，過了15分鐘又與丙相遇，求A「分析」請自己畫出詳細(xì)的線段圖，好好分析一下，還能像前面兩個例題那樣一段一段計算嗎？如果不能，該怎么辦呢？

練習(xí)4劉備、關(guān)羽、張飛三人，劉備每分鐘走40米，關(guān)羽每分鐘走60米，張飛每分鐘走50米．如果劉備從A地，關(guān)羽和張飛從B地同時出發(fā)相向而行，劉備和關(guān)羽相遇后，過了10分鐘又與張飛相遇，求A、B兩地間的距離為多少米？上面幾道例題的運動過程是一樣的，在這樣的運動過程里面，會有兩次相遇運動和一次追及運動．在這個運動過程中有一段路程既是路程和又是路程差，需要同學(xué)們格外注意．接下來我們來看一下和速度倍數(shù)相關(guān)的行程問題．大家想象一下，如果甲、乙兩人同時出發(fā)同向前進(jìn)，甲的速度是乙的3倍，那么5分鐘后，甲的路程是乙的幾倍？30分鐘后，甲的路程又是乙的幾倍？2個小時后，甲的路程又是乙的幾倍？其實上述問題的答案都是3倍．不管時間過了多久，只要甲、乙兩人的時間相同，他們路程的倍數(shù)關(guān)系就等于速度的倍數(shù)關(guān)系．例題5AB甲乙丙A、B兩城相距48千米，甲、乙、丙三人分別以每小時4千米、2千米、2千米的速度行走．甲、乙兩人從A城，丙從BAB甲乙丙「分析」速度分別是4、2、2，那么我們可以把三人的路程分別設(shè)為幾份呢？請試著畫出線段圖，標(biāo)份數(shù)進(jìn)行分析．

例題6A、B兩城相距50千米，甲、乙、丙三人分別以每小時4千米、2千米、2千米的速度前進(jìn)．甲、乙兩人從A城，丙從B城同時出發(fā)，相向而行．請問：出發(fā)多長時間后，丙正好在甲和乙的中點？AAB甲乙丙「分析」同上題，還是需要把路程設(shè)份數(shù)，畫出線段圖進(jìn)行分析．但要注意，丙在甲、乙的中點，應(yīng)該是在甲、丙相遇錯開后發(fā)生的．形象的來說，本講行程問題最大的特點就是“繁”——人多、車多、過程多．怎么解決這樣復(fù)雜的問題呢？首先，必須有勇氣，只要有勇氣，你就敢面對這樣的問題，積極開動腦筋去想．其次，必須有耐心，只要有耐心，你就能動手去畫圖，細(xì)致的分析每一組數(shù)量關(guān)系，再花上些時間，題目自然能夠搞定．或許有人會說，這根本不是什么解題技巧，畫線段圖、分析倍數(shù)關(guān)系才是解題．其實，這些只是技巧中的皮毛，真正的技巧是一種智慧，而勇氣和耐心就是這種智慧的內(nèi)涵．課堂內(nèi)外換個角度看問題有這樣一個故事：有個年輕人為貧所困，便向一位老者請教．老者問：“你為什么失意呢？”年輕人說：“我總是這樣窮．”“你怎么能說自己窮呢？你還這么年輕．”“年輕又不能當(dāng)飯吃．”年輕人說．老者一笑：“那么，給你一萬元，讓你癱瘓在床，你干嗎？”“不干．”“把全世界的財富都給你，但你必須現(xiàn)在死去，你愿意嗎？”“我都死了，要全世界的財富干什么？”老者說：“這就對了，你現(xiàn)在這么年輕，生命力旺盛，就等于擁有全世界最寶貴的財富，又怎能說自己窮呢？”年輕人一聽，又找回了對生活的信心．

美國心理學(xué)家艾里斯曾提出一個叫“情緒困擾”的理論．他認(rèn)為，引起人們情緒結(jié)果的因素不是事件本身，而是個人的信念．所以，許多在現(xiàn)實中遭遇挫折的人，往往認(rèn)為“自己倒霉”，“想不通”，這些其實都是本人的片面認(rèn)識和解釋，正是這種認(rèn)識才產(chǎn)生了情緒的困擾．實際情況是，人們的煩惱和不快，常常與自己的情緒有關(guān)，同自己看問題的角度有關(guān)．能否戰(zhàn)勝挫折，關(guān)鍵在于自己要有主心骨，任何情況下都不被一時的失意和不快左右，永遠(yuǎn)懷著希望和信心，就能從逆境和災(zāi)難中解脫出來．

再拿前面提到的那個自認(rèn)為很窮的年輕人來說吧，其實，窮與富只是相對而言，并沒有一個客觀標(biāo)準(zhǔn)．一個人即使沒有多少物質(zhì)財富，但他有青春和生命，有奮發(fā)進(jìn)取的精神狀態(tài)，就不能說他窮．如果一個人熱愛生命，就會感到充實和富有．概而言之，任何事情都不是絕對的，就看你怎么去對待它．作業(yè)小竹、小松兩人從A地，小梅則從B地同時出發(fā)，相向而行．小竹的速度為每小時55千米，小梅的速度為每小時45千米．出發(fā)4小時后，小竹與小梅相遇．又過了1小時，小松也與小梅相遇．A、B兩地相距多少千米？小松每小時走多少千米？

甲、乙兩輛汽車的速度分別為每小時80千米和每小時65千米，兩車同時從A地出發(fā)到B地去，出發(fā)8小時后，甲車遇到一輛迎面開來的卡車，這時乙車與卡車相距多少千米？又過了1小時，乙車也遇到這輛卡車．這輛卡車每小時行多少千米？

哈利、羅恩、赫敏三人，哈利每分鐘走60米，羅恩每分鐘走50米，赫敏每分鐘走45米．如果哈利從A地，羅恩和赫敏從B地同時出發(fā)，相向而行．哈利和羅恩相遇2分鐘后，又與赫敏相遇．當(dāng)哈利和羅恩相遇時，赫敏和羅恩相距多少米？A、B兩地間的距離為多少米？

東、西兩城相距60千米．小明從東向西跑，每小時跑8千米；小光從西向東走，每小時走4千米；小亮騎自行車從東向西，每小時騎行11千米．3人同時動身，途中小亮遇見小光即折回向東騎，遇見了小明又折回向西騎，再遇見小光又折回向東騎，如此不斷往返，直到三人在途中相遇為止．則小亮共行了多少千米？

老賀、老郭和老劉同時出發(fā)，分別以每小時1千米、3千米、1千米的速度前進(jìn)．其中老賀從A出發(fā)往B走，另外兩人則從B出發(fā)往A走．已知A、B兩地相距36千米，在出發(fā)后多少小時，老郭正好在老賀與老劉的中點？第三講多人多次相遇與追及例題1答案：3分鐘詳解：甲和乙相遇時的路程和是2700千米，速度和是100米/分，所以相遇時間是分鐘．甲和丙相遇時的路程和也是2700千米，速度和是90千米/時，所以相遇時間是分鐘，又過了3分鐘甲和丙才相遇．

例題2答案：40千米/時A地B地咚鐺50km/h3h3h3h1h1h70km/h叮詳解：首先畫出線段圖（如下圖），有兩次相遇，其中還隱藏了一次追及問題．

ABA地B地咚鐺50km/h3h3h3h1h1h70km/h叮例題3答案：32千米/時詳解：首先畫出線段圖，包括兩次相遇和一次追及．在這類型的題目中，有一段非常重要的路程（即紅色部分標(biāo)出的）．這段是甲車、乙車6個小時行駛的路程差，也是乙車和卡車1個小時的路程和．如果能夠求出這段路程是多少，就可以將兩個運動過程聯(lián)系起來．甲車和乙車的速度差是12千米/時，6個小時行駛的路程差是72千米．所以乙車和卡車1個小時行駛的路程和是72千米．乙車和卡車的速度和是千米/時．所以卡車的速度是千米/時．AA地B地甲車乙車卡車52千米/時nmi40千米/時nmi6小時6小時6小時1時1時①①①②例題4答案：16500米詳解：畫出線段圖如下，從出發(fā)到①時刻，有甲和乙的相遇、乙和丙的同向行駛，由甲、乙相遇求AB距離、即路程和，速度和已知，需要求時間．乙、丙同向行駛，速度差已知，如果知道路程差就可以求時間．①→②時間內(nèi)，是甲、丙的相遇過程，時間為15分鐘，知道速度和，可得①→②甲、丙路程和為米．接下來的關(guān)鍵和例4是一樣的，路程和同時也是路程差，即乙、丙路程差為1500米，追及時間為分鐘，即從出發(fā)到①時刻共150分鐘，全程為米．BBA乙丙甲50米/分40米/分15分鐘15分鐘60米/分①②①例題5答案：6小時詳解：先將行程圖補充完整（見下圖）．設(shè)甲走了“4”，乙和丙都走了“2”．此時甲在乙、丙中點，所以圖中紅色線段表示的路程是相等的，都是“2”．所以全程是“8”，即48千米，所以“1”是6千米，甲走了“4”是24千米，速度是4千米/時，所以行走時間是6小時．另外一個方法是，乙、丙的速度是一樣的，其實，乙、丙中點始終就是全程的中點．所以甲行駛到乙、丙中點時，甲一定也在全程的中點，所以甲走了24千米，速度是4千米/時，行走時間仍然是6小時．22千米/時AB甲乙丙4千米/時2千米/時48千米“4”“2”“2”“2”“2”例題6答案：10小時詳解：先將行程圖補充完整（見下圖）．設(shè)甲走了“4”，乙和丙都走了“2”．此時丙在甲、乙中點，所以圖中紅色線段表示的路程是相等的，都是“1”．所以全程是“5”，即50千米，所以“1”是10千米．甲走了“4”是40千米，速度是4千米/時，所以行走時間是10小時．AAB甲乙丙50千米“4”2千米/時4千米/時“2”“2”“1”“1”練習(xí)1答案：20分鐘詳解：雪雪和霜霜相遇時的路程和是990千米，速度和是11米/分，所以相遇時間是分鐘．雪雪和冰冰相遇時的路程和也是990千米，速度和是9千米/時，所以相遇時間是分鐘，又過了20分鐘雪雪和冰冰才相遇．

練習(xí)2答案：35千米/時詳解：有兩次相遇，其中還隱藏了一次追及問題．

AB全程：千米

小秋和小夏相遇時間是4小時，他們速度和是：千米/時，

那么小秋的速度是千米/時．

練習(xí)3答案：60千米/時簡答：首先畫出線段圖，包括兩次相遇和一次追及．在這類型的題目中，有一段非常重要的路程（即紅色部分標(biāo)出的）．這段是甲車、乙車7個小時行駛的路程差，也是乙車和卡車1個小時的路程和．如果能夠求出這段路程是多少，就可以將兩個運動過程聯(lián)系起來．甲車和乙車的速度差是15千米/時，7個小時行駛的路程差是105千米．所以乙車和卡車1個小時行駛的路程和是105千米．乙車和卡車的速度和是千米/時．所以卡車的速度是千米/時．A地B地甲車乙車A地B地甲車乙車卡車60千米/時nmi45千米/時nmi7小時7小時7小時1時1時①①①②練習(xí)4答案：9000米簡答：畫出線段圖如下，從出發(fā)到①時刻，有劉和關(guān)的相遇、關(guān)和張的同向行駛，由劉、關(guān)相遇求AB距離、即路程和，速度和已知，需要求時間．關(guān)、張同向行駛，速度差已知，如果知道路程差就可以求時間．①→②時間內(nèi)，是劉、關(guān)的相遇過程，時間為10分鐘，知道速度和，可得①→②；劉、張路程和為米．接下來的關(guān)鍵和例4是一樣的，路程和同時也是路程差，即關(guān)、張路程差為900米，追及時間為分鐘，即從出發(fā)到①時刻共90分鐘，全程為米．BA關(guān)張劉BA關(guān)張劉60米/分50米/分10分鐘10分鐘40米/分①②①作業(yè)1答案：400；35簡答：全程長：千米，小松與小梅用了5小時相遇，所以小松的速度為：千米∕時．作業(yè)2答案：120；55簡答：8小時內(nèi)甲、乙兩車的路程差為千米．甲、乙兩輛車的路程差就是后面1小