有限元非線性

第八章非線性問題8.1兩類非線性問題材料非線性：材料本構(gòu)關(guān)系非線性引起?？煞譃閮深悾海?）非線性彈性問題（橡皮、塑料、土壤等），過程可逆；（2）非線性彈塑性問題：材料屈服以后表現(xiàn)，過程不可逆。二者加載同，卸載不同。幾何非線性：大位移、大轉(zhuǎn)動引起。（板殼結(jié)構(gòu)大撓度問題，鍛壓成型）大位移小應(yīng)變問題材料線性；大位移大應(yīng)變問題材料非線性，雙重非線性。

18.2非線性問題基本解決思路材料非線性：方程形式不變，將材料本構(gòu)關(guān)系線性化，分段求解，將線性問題的方程推廣用于非線性問題。幾何非線性：通常采用增量分析法，建立變化位的平衡方程。有兩種表達(dá)格式：（1）在整個分析過程中參考位保持不變，始終取初始位，稱為完全Lagrange格式；（2）在整個分析過程中參考位不斷被更新，參考前面每一步荷載步開始的位形，稱為修正Lagrange格式。求解方法：直接迭代法(割線剛度法)、N-R法或mN-R法(切線剛度法)、初應(yīng)力法、初應(yīng)變法和增量法（切線、初應(yīng)力、初應(yīng)變增量，主要用于彈塑性分析）。28.3非線性方程求解方法結(jié)構(gòu)整體平衡方程：（1）假定初始近似解：（2）由本構(gòu)關(guān)系求出（3）由平衡方程求得下一步近似解：（4）重復(fù)（2）和（3），直到兩次結(jié)果非常接近。1、直接迭代法（割線剛度）初始線彈性解3RP-δ凸時收斂，凹時可能發(fā)散。42、N-R法（切線剛度）任何具有一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)Ψ(x)，在xn點的一階Taylor展開：非線性方程Ψ(x)=0在xn附近的近似方程是線性方程Newton-Raphson迭代公式5針對結(jié)構(gòu)平衡方程：Ψ(δ)=[K]{δ}-{R}={F(δ)}-{R}=0利用N-R公式，有：每次迭代需要修改K。67迭代過程8修正N-R方法(等剛度法)，每次迭代不改變它的剛度值始終取初始剛度，計算量小，但收斂慢些。9N-R法的另一種改進(jìn)荷載增量法：把荷載分成很多小的荷載步，在每一個荷載步上使用一次或都多次N-R方法。實質(zhì)上是分段線性化。1011123、初應(yīng)力法如果材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以表示成即由應(yīng)變確定應(yīng)力，設(shè)想用具有初應(yīng)力的線彈性物理方程代替上式：調(diào)整初應(yīng)力值，可以做到上述兩式得到的應(yīng)力相同。13式中：[KT]0為結(jié)構(gòu)的起始切線剛度矩陣，{F}為與初應(yīng)力等價的節(jié)點荷載改寫平衡方程14迭代過程彈性解15168.4材料非線性本構(gòu)關(guān)系

8.4.1材料彈塑性行為彈塑性：卸載后存在不可恢復(fù)的殘余變形。它與非線性彈性材料有顯著區(qū)別：加載同，卸載不同。17硬化：屈服后應(yīng)力隨應(yīng)變繼續(xù)增加；卸載后再加載屈服應(yīng)力提高，一般等于卸載時的應(yīng)力。18各種硬化塑性特征各項同性硬化：反向加載的屈服應(yīng)力與正向卸載點應(yīng)力數(shù)字上相等。隨動硬化：卸載點應(yīng)力與反向加載的屈服應(yīng)力絕對值之和等于2倍初始屈服應(yīng)力。混合硬化：介于上二者。19循環(huán)塑性特征循環(huán)硬松弛循環(huán)塑性一般表現(xiàn)20循環(huán)硬化循環(huán)蠕變218.4.2塑性力學(xué)的基本法則

1、米賽斯（VonMises）屈服準(zhǔn)則材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的等效應(yīng)力達(dá)到單向拉伸的屈服極限時，材料開始屈服。于是，米賽斯屈服條件可寫成：式中等效應(yīng)力為幾何上以σ1=σ2=σ3為軸線的圓柱面。22或用一般應(yīng)力表示等效應(yīng)力還可用應(yīng)力偏量表示為式中232、應(yīng)變強(qiáng)化假定材料進(jìn)入屈服后，總應(yīng)變增量可分成彈性的和塑性兩部分對應(yīng)于等效應(yīng)力，定義等效應(yīng)變?yōu)?42、硬化法則各項同性硬化運動硬化Prager，Zeigler修正25對應(yīng)于塑性應(yīng)增量的等效應(yīng)變稱為塑性等效應(yīng)增量，因為塑性變形不產(chǎn)生體積變化，泊松比為0.5，故有材料進(jìn)入屈服以后，進(jìn)行卸載或部分卸載后在加載，新的屈服應(yīng)力僅與卸載前的等效塑性應(yīng)變總量有關(guān)。新的屈服只有當(dāng)?shù)刃?yīng)力適合才發(fā)生。上式為等向硬化材料的米賽斯準(zhǔn)則，反映等向強(qiáng)化材料屈服和強(qiáng)化之間的關(guān)系。H’為強(qiáng)化階段的曲線斜率。26273、普朗特-路斯（Prandtl-Reuss）塑性流動理論

如果將等向強(qiáng)化米賽斯準(zhǔn)則式寫成則F可以看成n維應(yīng)力空間的一個曲面，稱為屈服面。對于金屬一類材料，塑性應(yīng)變增量和屈服面之間存在如下關(guān)系28上式可以解釋為塑性應(yīng)變增量“向量”垂直于n維應(yīng)力空間的屈服面。稱為普朗特-路斯流動法則293、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系當(dāng)應(yīng)力產(chǎn)生一微小增量時，總應(yīng)變增量可分解成彈性的和塑性的兩部分30根據(jù)強(qiáng)化材料米賽斯準(zhǔn)則和普朗特-路斯流動法則上式可化為31等效塑性應(yīng)變增量和總應(yīng)變增量的關(guān)系式[D]P32記增量形式的彈性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系[D]ep

通常稱為彈性矩陣338.5彈塑性問題的求解方法

采用增量法。假設(shè)可以按比例地施加載荷，將結(jié)構(gòu)的彈性極限載荷作為第一個增量，其余的載荷再分成若干等分；如果實際載荷不是按比例施加的，可根據(jù)實際情況確定載荷增量。當(dāng)材料進(jìn)入塑性后，只要載荷增量適當(dāng)小，應(yīng)力增量和應(yīng)變增量的關(guān)系可視為線性，近似地表示成常用的方法有增量切線剛度法、增量初應(yīng)力法等。341、增量切