新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第9章統(tǒng)計(jì)9.1隨機(jī)抽樣9.1.2分層隨機(jī)抽樣9.1.3獲取數(shù)據(jù)的途徑學(xué)案新人教A版必修第二冊(cè)

9．1.2分層隨機(jī)抽樣9．1.3獲取數(shù)據(jù)的途徑課標(biāo)要求1．通過實(shí)例，了解分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和適用范圍．2．了解分層隨機(jī)抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法．掌握分層隨機(jī)抽樣的樣本均值．3．知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑，包括：統(tǒng)計(jì)報(bào)表和年鑒、社會(huì)調(diào)查、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、普查和抽樣、互聯(lián)網(wǎng)等．素養(yǎng)要求1．在分層隨機(jī)抽樣的實(shí)施過程中，掌握分層隨機(jī)抽樣的抽樣步驟，發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．在學(xué)習(xí)獲取數(shù)據(jù)的途徑過程中，掌握獲取數(shù)據(jù)的方法，發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)1分層隨機(jī)抽樣一般地，按_一個(gè)或多個(gè)__變量把總體劃分成若干個(gè)_子總體__，每個(gè)個(gè)體_屬于且僅屬于__一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行_簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣__，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為_總樣本__，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣．(1)每一個(gè)子總體稱為層，在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為_比例分配__.(2)如果總體分為2層，兩層包含的個(gè)體數(shù)分別為M，N，兩層抽取的樣本量分別為m，n，兩層的樣本平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，兩層的總體平均數(shù)分別為eq\o(X,\s\up6(－))，eq\o(Y,\s\up6(－))，總體平均數(shù)為eq\o(W,\s\up6(－))，樣本平均數(shù)為eq\o(w,\s\up6(－)).則eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))，eq\o(W,\s\up6(－))＝eq\f(M,M＋N)eq\o(X,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(Y,\s\up6(－)).由于可用每層的樣本平均數(shù)，估計(jì)每層的總體平均，故可用eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up6(－))估計(jì)總體平均數(shù)eq\o(W,\s\up6(－)).(3)在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，可以直接用樣本平均數(shù)eq\o(w,\s\up6(－))估計(jì)總體平均數(shù)eq\o(W,\s\up6(－)).[拓展]分層隨機(jī)抽樣的步驟、特點(diǎn)及公平性(1)分層隨機(jī)抽樣的操作步驟為：①根據(jù)已掌握的信息，將總體分成互不相交的層；②根據(jù)總體中的個(gè)體數(shù)N和樣本量n計(jì)算抽樣比k＝eq\f(n,N)；③確定第i層應(yīng)該抽取的個(gè)體數(shù)目ni≈Ni×k(Ni為第i層所包含的個(gè)體數(shù)，ni為第i層所抽取的個(gè)體數(shù))，各Ni之和為N；④在各個(gè)層中按步?、壑写_定的數(shù)目在各層中隨機(jī)抽取個(gè)體，合在一起得到容量為n的樣本．(2)分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：①適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況；②更充分地反映了總體的情況；③等可能抽樣，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性都相等．(3)分層隨機(jī)抽樣的公平性：在分層隨機(jī)抽樣的過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是相同的，與層數(shù)及分層無關(guān)．(4)分層隨機(jī)抽樣下總體平均數(shù)的估計(jì)在分層隨機(jī)抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n.我們用X1，X2，…，XM表示第1層各個(gè)個(gè)體的變量值，用x1，x2，…，xm表示第1層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2層各個(gè)個(gè)體的變量值，用y1，y2，…，yn表示第2層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值，則第1層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為eq\x\to(X)＝eq\f(X1＋X2＋…＋XM,M)＝eq\f(1,M)eq\i\su(i＝1,M,X)i，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xm,m)＝eq\f(1,m)eq\i\su(i＝1,m,x)i.第2層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為eq\x\to(Y)＝eq\f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,N,Y)i，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i.總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為eq\x\to(W)＝eq\f(\i\su(i＝1,M,X)i＋\i\su(i＝1,N,Y)i,M＋N)，eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(\i\su(i＝1,m,x)i＋\i\su(i＝1,n,y)i,m＋n).在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，eq\f(m,M)＝eq\f(n,N)＝eq\f(m＋n,M＋N)，eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\o(w,\s\up6(－)).因此，在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù)eq\o(w,\s\up6(－))估計(jì)總體平均數(shù)eq\x\to(W).練一練：某單位有職工160人，其中業(yè)務(wù)員104人，管理人員32人，后勤服務(wù)人員24人，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣法從中抽取一容量為20的樣本，則抽取管理人員有(B)A．3人 B．4人C．7人 D．12人[解析]由eq\f(20,160)＝eq\f(1,8)，設(shè)抽取管理人員x人，則eq\f(x,32)＝eq\f(1,8)，得x＝4.故選B.知識(shí)點(diǎn)2獲取數(shù)據(jù)的途徑獲取數(shù)據(jù)的基本途徑有_通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)__、_通過試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)__、_通過觀察獲取數(shù)據(jù)__、_通過查詢獲得數(shù)據(jù)__等．練一練：為了研究近年我國(guó)高等教育發(fā)展?fàn)顩r，小明需要獲取近年來我國(guó)大學(xué)生入學(xué)人數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)，他獲取這些數(shù)據(jù)的途徑最好是(D)A．通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù) B．通過試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)C．通過觀察獲取數(shù)據(jù) D．通過查詢獲得數(shù)據(jù)[解析]因?yàn)榻陙砦覈?guó)大學(xué)生入學(xué)人數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)有所存儲(chǔ)，所以小明獲取這些數(shù)據(jù)的途徑最好是通過查詢獲得數(shù)據(jù)．題型探究題型一分層隨機(jī)抽樣概念典例1(1)某政府機(jī)關(guān)在編人員共100人，其中副處級(jí)以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級(jí)部門為了了解該機(jī)關(guān)對(duì)政府機(jī)構(gòu)改革的意見，要從中抽取20人，用下列哪種方法最合適(D)A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)C．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 D．分層隨機(jī)抽樣(2)分層隨機(jī)抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個(gè)體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個(gè)個(gè)體構(gòu)成樣本，所以分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體被等可能抽取，必須進(jìn)行(C)A．每層等可能抽樣B．每層可以不等可能抽樣C．所有層按同一抽樣比等可能抽樣D．所有層抽取的個(gè)體數(shù)量相同[分析]是否適合用分層隨機(jī)抽樣，首先判斷總體是否可以“分層”．[解析](1)總體由差異明顯的三部分構(gòu)成，應(yīng)選用分層隨機(jī)抽樣．(2)為了保證每個(gè)個(gè)體等可能的被抽取，分層隨機(jī)抽樣時(shí)必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽取．[歸納提升]1.使用分層抽樣的前提分層隨機(jī)抽樣的總體按一個(gè)或多個(gè)變量劃分成若干個(gè)子總體，并且每一個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，而層內(nèi)個(gè)體間差異較?。?．使用分層隨機(jī)抽樣應(yīng)遵循的原則(1)將相似的個(gè)體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則．(2)分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能抽取，需遵循在各層中進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，每層樣本量與每層個(gè)體數(shù)量的比等于抽樣比．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?(1)下列問題中，適合用分層隨機(jī)抽樣抽取樣本的是(B)A．學(xué)校從10個(gè)優(yōu)秀節(jié)目中抽取3個(gè)參加縣元旦晚會(huì)B．某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280戶，低收入的家庭95戶，為了了解生活購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本C．某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名，為了解學(xué)生的期末復(fù)習(xí)情況，擬抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查D．某啤酒廠質(zhì)檢員從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量(2)某校有高一學(xué)生400人，高二學(xué)生380人，高三學(xué)生220人，現(xiàn)教育局督導(dǎo)組欲用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取50名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，則下列判斷正確的是(D)A．高一學(xué)生被抽到的可能性最大B．高二學(xué)生被抽到的可能性最大C．高三學(xué)生被抽到的可能性最大D．每位學(xué)生被抽到的可能性相等[解析](1)A中總體所含個(gè)體無差異且個(gè)數(shù)較少，適合用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；C中總體雖然分男、女兩個(gè)層，但是要了解期末復(fù)習(xí)情況，沒有必要采取分層隨機(jī)抽樣；D中總體所含個(gè)體無差異，不適合用分層隨機(jī)抽樣；B中總體所含個(gè)體差異明顯，并且要了解購(gòu)買能力，與收入關(guān)系密切，適合用分層隨機(jī)抽樣．(2)分層抽樣在每一層中的抽樣比是相同的，所以每位學(xué)生被抽到的可能性相等.題型二分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用典例2一個(gè)單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50歲及50歲以上的有95人．為了了解這個(gè)單位職工與身體狀態(tài)有關(guān)的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取100名職工作為樣本，職工年齡與這項(xiàng)指標(biāo)有關(guān)，應(yīng)該怎樣抽?。縖解析]用分層隨機(jī)抽樣來抽取樣本，步驟如下：(1)分層．按年齡將500名職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲的職工；50歲及50歲以上的職工．(2)確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)．抽樣比為eq\f(100,500)＝eq\f(1,5)，則在不到35歲的職工中抽取125×eq\f(1,5)＝25(人)；在35歲至49歲的職工中抽取280×eq\f(1,5)＝56(人)；在50歲及50歲以上的職工中抽取95×eq\f(1,5)＝19(人)．(3)在各層分別按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取樣本．(4)匯總每層抽樣，組成樣本．[歸納提升]分層隨機(jī)抽樣的步驟對(duì)點(diǎn)練習(xí)?某校500名學(xué)生中，有200人的血型為O型，有125人的血型為A型，有125人的血型為B型，有50人的血型為AB型．為了研究血型與色弱的關(guān)系，需從中抽取一個(gè)容量為20的樣本．怎樣抽取樣本？[解析]用分層隨機(jī)抽樣抽取樣本．∵eq\f(20,500)＝eq\f(1,25)，即抽樣比為eq\f(1,25)，∴200×eq\f(1,25)＝8,125×eq\f(1,25)＝5,50×eq\f(1,25)＝2.故O型血抽取8人，A型血抽取5人，B型血抽取5人，AB型血抽取2人.題型三分層抽樣的相關(guān)計(jì)算典例3(1)交通管理部門為了解機(jī)動(dòng)車駕駛員(簡(jiǎn)稱駕駛員)對(duì)某新法規(guī)的知曉情況，對(duì)甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)做分層隨機(jī)抽樣調(diào)查，假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，則這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為(B)A．101 B．808C．1212 D．2012(2)將一個(gè)總體分為A，B，C三層，其個(gè)體數(shù)之比為5∶3∶2，若用分層隨機(jī)抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從C中抽取_20__個(gè)個(gè)體．(3)分層隨機(jī)抽樣中，總體共分為2層，第1層的樣本量為20，樣本平均數(shù)為3，第2層的樣本量為30，樣本平均數(shù)為8，則該樣本的平均數(shù)為_6__.[解析](1)因?yàn)榧咨鐓^(qū)有駕駛員96人，并且在甲社區(qū)抽取的駕駛員的人數(shù)為12人，所以四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的比例為eq\f(12,96)＝eq\f(1,8)，所以駕駛員的總?cè)藬?shù)為(12＋21＋25＋43)÷eq\f(1,8)＝808(人)．(2)∵A，B，C三層個(gè)體數(shù)之比為5∶3∶2，又有總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，∴分層隨機(jī)抽樣應(yīng)從C中抽取100×eq\f(2,10)＝20(個(gè))個(gè)體．(3)eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(20,20＋30)×3＋eq\f(30,20＋30)×8＝6.[歸納提升](1)進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常用到的兩個(gè)關(guān)系①eq\f(樣本量n,總體的個(gè)數(shù)N)＝eq\f(該層抽取的個(gè)體數(shù),該層的個(gè)體數(shù))；②總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比．(2)樣本的平均數(shù)和各層的樣本平均數(shù)的關(guān)系為：eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up6(－)).對(duì)點(diǎn)練習(xí)?(1)我國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣(B)A．104人 B．108人C．112人 D．120人(2)某學(xué)校高一年級(jí)在校人數(shù)為600人，其中男生320人，女生280人，為了解學(xué)生身高發(fā)展情況，按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取50名男生身高為一個(gè)樣本，其樣本平均數(shù)為170.2cm，抽取50名女生身高為一個(gè)樣本，其樣本平均數(shù)為162.0cm，則該校高一學(xué)生的平均身高的估計(jì)值為_166.4_cm__.[解析](1)由題意可知，這是一個(gè)分層隨機(jī)抽樣的問題，其中北鄉(xiāng)可抽取的人數(shù)為300×eq\f(8100,8100＋7488＋6912)＝300×eq\f(8100,22500)＝108.(2)由題意可知，eq\o(x,\s\up6(－))＝170.2，eq\o(y,\s\up6(－))＝162.0且M＝320，N＝280，所以樣本平均數(shù)eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(320,320＋280)×170.2＋eq\f(280,320＋280)×162.0≈166.4(cm)，故該校高一學(xué)生的平均身高的估計(jì)值為166.4cm.易錯(cuò)警示忽略抽樣的公平性致錯(cuò)典例4某單位有老年人28人、中年人54人、青年人81人，為了調(diào)查他們的身體情況，需從中抽取一個(gè)樣本量為36的樣本，則下列抽樣方法適合的是_②__.①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；②直接運(yùn)用分層隨機(jī)抽樣；③先從老年人中剔除1人，再用分層隨機(jī)抽樣．[錯(cuò)解]③[錯(cuò)因分析]由于按eq\f(36,163)抽樣，無法得到整數(shù)解，因此先剔除1人，將抽樣比變?yōu)閑q\f(36,162)＝eq\f(2,9).若從老年人中隨機(jī)地剔除1人，則老年人應(yīng)抽取27×eq\f(2,9)＝6(人)，中年人應(yīng)抽取54×eq\f(2,9)＝12(人)，青年人應(yīng)抽取81×eq\f(2,9)＝18(人)，從而組成樣本量為36的樣本．事實(shí)上，若用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法先從老年人中剔除1人，則老年人中每個(gè)人被抽到的機(jī)會(huì)顯然比中年人、青年人中每個(gè)人被抽到的機(jī)會(huì)小了，這不符合隨機(jī)抽樣的特征——每個(gè)個(gè)體入樣的機(jī)會(huì)都相等．[正解]因?yàn)榭傮w由差異明顯的三部分組成，所以考慮用分層隨機(jī)抽樣．因?yàn)榭側(cè)藬?shù)為28＋54＋81＝163，樣本量為36，所以抽樣比為eq\f(36,163).因此，從老年人、中年人和青年人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為eq\f(36,163)×28≈6，eq\f(36,163)×54≈12，eq\f(36,163)×81≈18.[誤區(qū)警示]分層隨機(jī)抽樣的一個(gè)很重要的特點(diǎn)是每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是相等的．當(dāng)按照比例計(jì)算出的值不是整數(shù)時(shí)，一般采用四舍五入的方法取值．若四舍五入后得到的樣本量與要求的不盡相同，則可根據(jù)問題的實(shí)際意義適當(dāng)處理，使之相同，這只是細(xì)節(jié)性問題，并未改變分層隨機(jī)抽樣的本質(zhì)．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?為了解某地區(qū)的中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，且男女生視力情況差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是(C)A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B．按性別分層隨機(jī)抽樣C．按學(xué)段分層隨機(jī)抽樣 D．隨機(jī)數(shù)法抽樣[解析]依據(jù)題意，了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，且男女生視力情況差異不大，故要了解該地區(qū)學(xué)生的視力情況，應(yīng)按學(xué)段分層隨機(jī)抽樣．故選C.1．分層隨機(jī)抽樣適合的總體是(C)A．總體容量較多 B．樣本量較多C．總體中個(gè)體有差異 D．任何總體[解析]分層隨機(jī)抽樣適合總體中個(gè)體有差異的總體．故選C.2．下列數(shù)據(jù)一般需要通過實(shí)驗(yàn)獲取的是(A)A．某子彈的射程B．某學(xué)校的男女生比例C．華為手機(jī)的市場(chǎng)占有率D．期中考試的班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)[解析]某子彈的射程沒有現(xiàn)存數(shù)據(jù)可以查詢，因而需要通過實(shí)驗(yàn)獲取，A項(xiàng)正確；某學(xué)校的男女生比例可以通過查詢獲取，不需要通過實(shí)驗(yàn)獲取，B項(xiàng)錯(cuò)誤；華為手機(jī)的市場(chǎng)占有率可以通過調(diào)查獲取，不需要通過實(shí)驗(yàn)獲取，C項(xiàng)錯(cuò)誤；期中考試的班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)可以通過查詢獲取，不需要通過實(shí)驗(yàn)獲取，D項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A.3．某學(xué)?，F(xiàn)有小學(xué)和初中學(xué)生共2000人，為