新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例學(xué)案新人教A版必修第二冊

6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例課標要求1．掌握用向量方法解決簡單的幾何問題、力學(xué)問題等一些實際問題．2．體會向量是一種處理幾何問題、物理問題的重要工具．3．培養(yǎng)運用向量知識解決實際問題和物理問題的能力．素養(yǎng)要求通過合作探究用向量方法解決平面幾何問題的實際過程，體會數(shù)學(xué)建模及邏輯推理素養(yǎng).知識點1用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題．(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題．(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．知識點2向量在物理中的應(yīng)用(1)物理問題中常見的向量有力、速度、位移等．(2)向量的加減法運算體現(xiàn)在一些物理量的合成和分解中．(3)動量mv是向量的數(shù)乘運算．(4)功是力F與位移s的數(shù)量積．練一練：1．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝3a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD是(C)A．平行四邊形 B．菱形C．等腰梯形 D．非等腰梯形[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝3a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(CD,\s\up6(→))|，∵|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，∴四邊形ABCD是等腰梯形，故選C．2．某人在無風條件下騎自行車的速度為v1，風速為v2(|v1|>|v2|)，則逆風行駛的速度的大小為(C)A．v1－v2 B．v1＋v2C．|v1|－|v2| D．eq\f(v1,v2)[解析]題目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是實數(shù)．故逆風行駛的速度的大小為|v1|－|v2|.題型探究題型一平行(共線)問題典例1如圖，在平行四邊形ABCD中，已知DE＝eq\f(1,3)AB，DF＝eq\f(1,4)DB，求證：A，E，F(xiàn)三點共線．[證明]要證明A，E，F(xiàn)三點共線，只需證明eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AF,\s\up6(→))即可．證法一：因為DE＝eq\f(1,3)AB，DF＝eq\f(1,4)DB，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(FB,\s\up6(→)).于是eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(FB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(FA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AF,\s\up6(→))，因此eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AF,\s\up6(→))，又因為eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))有公共點F，所以A，E，F(xiàn)三點共線．證法二：以A為原點，以eq\o(AB,\s\up6(→))為x軸正方向建立平面直角坐標系如圖：則A(0,0)，設(shè)B(3a,0)，D(m，n)，則E(m＋a，n)．∵eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝3eq\o(FD,\s\up6(→))，設(shè)F(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3a＋3m,1＋3)＝\f(3,4)m＋a，,y＝\f(0＋3n,1＋3)＝\f(3n,4)，))即Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3m＋3a,4)，\f(3n,4)))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝(m＋a，n)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3m＋3a,4)，\f(3n,4)))＝eq\f(3,4)(m＋a，n)＝eq\f(3,4)eq\o(AE,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))∥eq\o(AF,\s\up6(→)).又A為公共點，∴A，E，F(xiàn)三點共線．[歸納提升](1)證明A，B，C三點共線的步驟①證明其中兩點組成的向量與另外兩點組成的向量共線．②說明兩向量有公共點．③下結(jié)論，即A，B，C三點共線．(2)證明三點共線的方法①基底法．②坐標法．對點練習(xí)?(1)已知A，B，C，D四點的坐標分別為(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，則此四邊形為(A)A．梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形(2)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于點E，求BE∶EC．[解析](2)設(shè)eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2，則a·b＝|a||b|cos60°＝1，eq\o(BD,\s\up6(→))＝a＋b.設(shè)eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＝λb，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝λb－a.由AE⊥BD，得eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，即(λb－a)·(a＋b)＝0，解得λ＝eq\f(2,5)，所以BE∶EC＝eq\f(2,5)∶eq\f(3,5)＝2∶3.題型二垂直問題典例2如圖所示，在正方形ABCD中，P為對角線AC上任一點，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DP，EF，求證：DP⊥EF.[證明]證法一：設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AE＝a(0<a<1)，則EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝eq\r(2)a，∴eq\o(DP,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→)))·(eq\o(EP,\s\up6(→))＋eq\o(PF,\s\up6(→)))＝eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(EP,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(EP,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋eq\r(2)a×a×cos45°＋eq\r(2)a×(1－a)×cos45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.∴eq\o(DP,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→))，即DP⊥EF.證法二：設(shè)正方形的邊長為1，建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)P(x，x)，則D(0,1)，E(x,0)，F(xiàn)(1，x)，所以eq\o(DP,\s\up6(→))＝(x，x－1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(1－x，x)，由于eq\o(DP,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以eq\o(DP,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→))，即DP⊥EF.[歸納提升]向量法解決平面幾何問題的兩種方法(1)基底法：選取適當?shù)幕?盡量用已知?；驃A角的向量作為基底)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算；(2)坐標法：建立平面直角坐標系，實現(xiàn)向量的坐標化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算．一般地，題目中已建好坐標系或易建坐標系的問題適合用坐標法．對點練習(xí)?如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，求證：AF⊥DE.[證明]證法一：設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(b,2)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝b＋eq\f(a,2)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(b,2)))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0.故eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.證法二：建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)正方形的邊長為2，則A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(2,1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1，－2)．因為eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.題型三長度與距離問題典例3證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．已知：平行四邊形ABCD．求證：AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.[分析]設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，利用a、b表示eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(DB,\s\up6(→))，然后帶入|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2中計算即可完成證明．[證明]不妨設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝|a|2，|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝|b|2，得|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(a＋b)·(a＋b)＝|a|2＋|b|2＋2a·b①同理|eq\o(DB,\s\up6(→))|2＝eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝(a－b)·(a－b)＝|a|2＋|b|2－2a·b②，①＋②得：|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DB,\s\up6(→))|2＝2(|a|2＋|b|2)＝2(|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2)＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2所以，平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．得證．[歸納提升]利用向量法解決長度問題的策略向量法求平面幾何中的長度問題，即向量長度的求解，一是利用圖形特點選擇基底，向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐標系，確定相應(yīng)向量的坐標，代入公式：若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).對點練習(xí)?已知Rt△ABC中，∠C＝90°，設(shè)AC＝m，BC＝n.(1)若D為斜邊AB的中點，求證：CD＝eq\f(1,2)AB；(2)若E為CD的中點，連接AE并延長交BC于F，求AF的長度(用m，n表示)．[解析](1)證明：以C為坐標原點，以邊CB，CA所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，A(0，m)，B(n,0)．∵D為AB的中點，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)，\f(m,2)))，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)eq\r(n2＋m2)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(m2＋n2)，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，即CD＝eq\f(1,2)AB．(2)∵E為CD的中點，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，\f(m,4)))，設(shè)F(x,0)，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(x，－m)．∵A，E，F(xiàn)三點共線，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→)).即(x，－m)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,4)λ，,－m＝－\f(3,4)mλ，))故λ＝eq\f(4,3)，即x＝eq\f(n,3)，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,3)，0))，∴|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2)，即AF＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2).題型四向量在物理中的應(yīng)用典例4(1)在重300N的物體上系兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°(如圖)，求重物平衡時，兩根繩子拉力的大??；(2)已知兩恒力F1＝(3,4)，F(xiàn)2＝(6，－5)作用于同一質(zhì)點，使之由點A(20,15)移動到點B(7,0)，求F1，F(xiàn)2分別對質(zhì)點所做的功(力的單位：N，位移的單位：m)．[分析](1)向量在解決涉及速度、位移等物理量的合成與分解時，實質(zhì)就是向量的線性運算．(2)物理上力的做功就是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一個實數(shù)，它可正可負，也可以為零．力的做功涉及兩個向量及這兩個向量的夾角，它的實質(zhì)是向量F與s的數(shù)量積．[解析](1)如圖，兩根繩子的拉力之和eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，且|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OG,\s\up6(→))|＝300N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，則∠OAC＝90°，從而|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|·cos30°＝150eq\r(3)(N)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|·sin30°＝150(N)，所以|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝150(N)．所以與鉛垂線成30°角的繩子的拉力是150eq\r(3)N，與鉛垂線成60°角的繩子的拉力是150N.(2)設(shè)物體在力F作用下的位移為s，則所做的功為W＝F·s.∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．∴W1＝F1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，W2＝F2·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．[歸納提升]用向量方法解決物理問題的“三步曲”對點練習(xí)?(1)河水自西向東流動的速度為10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在靜水中的速度為10eq\r(3)km/h，求小船的實際航行速度；(2)一物體在力F1＝(2,4)和F2＝(－5,3)的作用下，由點A(1,0)移動到點B(2,4)，在這個過程中這兩個力的合力對物體所做的功等于(A)A．25 B．5C．－5 D．－25[解析](1)設(shè)a，b分別表示水流的速度和小船在靜水中的速度，過平面內(nèi)一點O作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))為鄰邊作矩形OACB，連接eq\o(OC,\s\up6(→))，如圖，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，并且eq\o(OC,\s\up6(→))即為小船的實際航行速度．∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋b2)＝20(km/h)，tan∠AOC＝eq\f(10\r(3),10)＝eq\r(3)，∴∠AOC＝60°，∴小船的實際航行速度為20km/h，按北偏東30°的方向航行．(2)∵F1＋F2＝(－3,7)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,4)，∴(F1＋F2)·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－3×1＋7×4＝25，即兩個力的合力對物體所做的功等于25.故選A．易錯警示做功問題因?qū)嵌日J識不清而致錯典例5如圖所示，某人用1.5m長的繩索，施力25N，把重物沿坡度為30°的斜面向上拖了6m，拖拉點距斜面的垂直高度為1.2m．求此人對物體所的功．[錯解]記沿斜面向上方向的單位向量為e，則位移s＝6e，W＝F·s＝|F||s|cosθ＝25×6×eq\f(\r(3),2)＝75eq\r(3)(J)，所以此人對物體所做的功為75eq\r(3)J.[錯因分析]要求此人對物體所做的功，可以轉(zhuǎn)化為求解作用力F與物體的位移s兩者之間的數(shù)量積，根據(jù)向量數(shù)量積的公式，關(guān)鍵是求解作用力F與物體的位移s兩者之間的夾角的大小，進而根據(jù)公式求得此人對物體所做的功．錯解中錯誤地利用了題目中給出的角度，此角度不是作用力F與物體的位移s兩者之間的夾角．[正解]因為繩索長1.5m，拖拉點距斜面的垂直高度為1.2m，斜面坡度為30°，所以作用力F與斜面之間所成的角度θ滿足sinθ＝eq\f(1.2sin60°,1.5)＝eq\f(2\r(3),5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(在△ABC中，有\(zhòng)f(AB,sinC)＝\f(BC,sinA)＝\f(AC,sinB)))，所以cosθ＝eq\r(1－sin2θ)＝eq\f(\r(13),5)，記沿斜面向上方向的單位為e，則位移s＝6e，W＝F·s＝|F||s|cosθ＝25×6×eq\f(\r(13),5)＝30eq\r(13)(J)，所以此人對物體所做的功為30eq\r(13)J.對點練習(xí)?如圖所示，在傾斜角為37°(sin37°＝0.6)，高為2m的斜面上，質(zhì)量為5kg的物體m沿斜面下滑，物體m受到的摩擦力是它對斜面壓力的0.5倍，則斜面對物體m的支持力所做的功為_0__J，重力對物體m所做的功為_98__J(g＝9.8m/s2)．[解析]物體m的位移大小為|s|＝eq\f(2,sin37°)＝eq\f(10,3)(m)，則支持力對物體m所做的功為W1＝F·s＝|F|·|s|cos90°＝0(J)；重力對物體m所做的功為W2＝G·s＝|G||s|·cos53°＝5×9.8×eq\f(10,3)×0.6＝98(J)．1．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3e1，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD是(C)A．平行四邊形 B．梯形C．等腰梯形 D．菱形[解析]由于eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→