【復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性及應(yīng)用6500字（論文）】

復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性及應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\u249961.引言 摘要：復(fù)數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)科中的一個(gè)重要組成部分，在代數(shù)領(lǐng)域扮演著重要的角色.本文重點(diǎn)以復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性為切入點(diǎn)，從理論基礎(chǔ)出發(fā)，以解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題為重點(diǎn)，從整體到具體對(duì)復(fù)數(shù)運(yùn)算及復(fù)數(shù)應(yīng)用方面進(jìn)行研究，有針對(duì)性地把復(fù)數(shù)運(yùn)算的相關(guān)知識(shí)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想及物理知識(shí)相結(jié)合，詳細(xì)地討論了復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性在數(shù)學(xué)與物理學(xué)中的廣泛應(yīng)用.關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)運(yùn)算；復(fù)數(shù)應(yīng)用1.引言復(fù)數(shù)從產(chǎn)生到發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歲月，隨著時(shí)間的推移人們對(duì)復(fù)數(shù)的研究越來(lái)越深入，復(fù)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容逐步得到了系統(tǒng)化的完善.復(fù)數(shù)的多種表示方法及其復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性，使得復(fù)數(shù)成為了數(shù)學(xué)內(nèi)容中的熱點(diǎn)話題，近些年有許多學(xué)者開(kāi)始從復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性去發(fā)掘其在數(shù)學(xué)領(lǐng)域、物理學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用方面的價(jià)值.在數(shù)學(xué)領(lǐng)域復(fù)數(shù)具有綜合代數(shù)、三角、幾何為一體的特點(diǎn)，復(fù)數(shù)運(yùn)算顯著的幾何特性對(duì)解決代數(shù)問(wèn)題、幾何問(wèn)題等發(fā)揮著重要的作用.隨著時(shí)間的推移，人們還將復(fù)數(shù)的相關(guān)知識(shí)與解方程、不等式、幾何問(wèn)題等相結(jié)合對(duì)復(fù)數(shù)運(yùn)算進(jìn)行了具體的分析，復(fù)數(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)潔性逐漸被人們所認(rèn)同；此外，在物理學(xué)領(lǐng)域中的行程問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題、電學(xué)問(wèn)題等應(yīng)用復(fù)數(shù)運(yùn)算去解決也顯得十分簡(jiǎn)便.2.復(fù)數(shù)的相關(guān)理論2.1復(fù)數(shù)的定義形如的數(shù)，稱(chēng)為復(fù)數(shù)，滿足，稱(chēng)為虛數(shù)單位，實(shí)數(shù)a和b分別稱(chēng)為復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部[[]李漢龍;繆淑賢.復(fù)變函數(shù)[M][]李漢龍;繆淑賢.復(fù)變函數(shù)[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社.2011.1.2.2復(fù)數(shù)的幾何特性2.2.1復(fù)平面的建立任意復(fù)數(shù)都可以由有序?qū)崝?shù)對(duì)唯一確定，以軸為實(shí)軸，軸為虛軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖2-1所示.以橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，這樣表示復(fù)數(shù)的平面稱(chēng)為復(fù)平面或平面[1].圖2-12.2.2復(fù)數(shù)的幾何表示任意復(fù)數(shù)都可以用平面上的點(diǎn)或從原點(diǎn)出發(fā)的向量來(lái)表示[1]，如圖2-1所示，這樣的表示復(fù)數(shù)的方法稱(chēng)為復(fù)數(shù)的幾何表示.2.2.3復(fù)數(shù)的模與輻角復(fù)平面中，用向量表示復(fù)數(shù).向量的長(zhǎng)度稱(chēng)為的?；蚪^對(duì)值，記作或，如圖2-2所示，有[[]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論(第三版)[M].北京:高等教育出版社.2008.][]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論(第三版)[M].北京:高等教育出版社.2008.在復(fù)平面在中，實(shí)軸正方向到非零復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量間的夾角稱(chēng)為復(fù)數(shù)輻角，記為，根據(jù)圖2-2有；任意非零復(fù)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)輻角，其中任意兩個(gè)輻角值相差的整數(shù)倍，當(dāng)時(shí)輻角無(wú)意義[NOTEREF_Ref19094\h2].圖2-22.2.4復(fù)數(shù)的三角表示設(shè)復(fù)數(shù)，是z的輻角，z的模，，，如圖2-2所示，則有稱(chēng)為復(fù)數(shù)的三角表示式.2.2.5復(fù)數(shù)的指數(shù)表示前面筆者介紹了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示、幾何表示以及三角表示，在科學(xué)技術(shù)的應(yīng)用中，特別是在電學(xué)中最常用到的還有復(fù)數(shù)的指數(shù)表示，根據(jù)歐拉公式可知，對(duì)于復(fù)數(shù)可以改寫(xiě)為，即復(fù)數(shù)的指數(shù)表達(dá)式.3.復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性3.1復(fù)數(shù)加法運(yùn)算的幾何特性設(shè)任意兩個(gè)復(fù)數(shù),()，由于復(fù)數(shù)可以用向量表示，在復(fù)平面中復(fù)數(shù)分別對(duì)應(yīng)向量如圖3-1所示，根據(jù)向量加法可知，對(duì)應(yīng)于平行四邊形的角線向量[[]唐賢芳;魏瑾;張如.淺談復(fù)數(shù)的表示方法[J].教育現(xiàn)代化[]唐賢芳;魏瑾;張如.淺談復(fù)數(shù)的表示方法[J].教育現(xiàn)代化,2019,v.6,174-176.圖3-13.2復(fù)數(shù)減法運(yùn)算的幾何特性在復(fù)平面中，設(shè)復(fù)數(shù)，()對(duì)應(yīng)向量和，由復(fù)數(shù)的幾何特性知復(fù)數(shù)和分別對(duì)應(yīng)于向量和，根據(jù)向量減法可知，復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算符合三角形法則,即i對(duì)應(yīng)于，如圖3-2所示.圖3-23.3復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何特性設(shè)復(fù)數(shù)，分別對(duì)應(yīng)于向量如圖3-3所示，表示將復(fù)數(shù)放大倍，再將向量按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度（若＜0，則把向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)）得到向量[2]．圖3-33.4復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的幾何特性設(shè)復(fù)數(shù)和分別對(duì)應(yīng)于向量和如圖3-4所示，則表示將復(fù)數(shù)?？s小為原來(lái)的倍，按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(若，則把按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn))得到向量.圖3-44.復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性的應(yīng)用4.1復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用復(fù)數(shù)是代數(shù)領(lǐng)域的一個(gè)重要組成部分，復(fù)數(shù)運(yùn)算及幾何特性是復(fù)數(shù)內(nèi)容學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性是解決一些實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，想要發(fā)揮復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性在解決問(wèn)題中的作用，需要結(jié)合具體的實(shí)際問(wèn)題來(lái)構(gòu)造復(fù)數(shù).下面筆者將從平面幾何、不等式、解方程、三角函數(shù)這四個(gè)方面結(jié)合具體例題來(lái)研究復(fù)數(shù)運(yùn)算在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.4.1.1復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性在平面幾何中的應(yīng)用復(fù)數(shù)可以用復(fù)平面上的點(diǎn)或原點(diǎn)出發(fā)的向量來(lái)表示，這不僅使復(fù)數(shù)得到直觀的幾何解釋?zhuān)覟橛脧?fù)數(shù)解決幾何問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)[[]周陽(yáng);金康彪.復(fù)幾何在平面幾何上的應(yīng)用及教學(xué)啟示[J].白城師范學(xué)院學(xué)報(bào),2018,32(Z1):62-68.].許多平面幾何問(wèn)題，特別是涉及到規(guī)則圖形的幾何問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)運(yùn)算的方法來(lái)解決，例如定點(diǎn)、定值、軌跡問(wèn)題是平面幾何中綜合性比較強(qiáng)，[]周陽(yáng);金康彪.復(fù)幾何在平面幾何上的應(yīng)用及教學(xué)啟示[J].白城師范學(xué)院學(xué)報(bào),2018,32(Z1):62-68.[]茹雙林.復(fù)數(shù)法證明平面幾何問(wèn)題[J].中等數(shù)學(xué),1997,(04).例1在復(fù)平面有三個(gè)點(diǎn)A，B，C，它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，已知，并且存在一個(gè)復(fù)數(shù)，使得，，求四邊形的面積.分析由于復(fù)數(shù)的多種表示方法可以互相轉(zhuǎn)換，現(xiàn)將轉(zhuǎn)化為三角形式，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何特性可知，表示將所對(duì)應(yīng)的向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)的坐標(biāo)，用同樣的方法可以求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離求出底和高即可.解根據(jù)題意可得設(shè)點(diǎn)的復(fù)數(shù)表示為，對(duì)應(yīng)于，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法有即對(duì)應(yīng)于點(diǎn)B，由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何特性可知，是由繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)的模也變?yōu)榱嗽瓉?lái)的3倍，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何特性有，并且又因?yàn)榧袋c(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，與之相對(duì)應(yīng)向量是由向量沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，而且模也變?yōu)榱嗽瓉?lái)的3倍，于是有，并且現(xiàn)在將求四邊形OABC的面積轉(zhuǎn)化為求三角形OAB和三角形OBC的面積和即可.三角形OAB的面積為三角形OBC的面積為于是，所求四邊形OABC的面積為評(píng)注：應(yīng)用復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性求幾何圖形的面積是比較普遍的現(xiàn)象，可以使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化解決本題的關(guān)鍵在于將轉(zhuǎn)化為三角形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何特性即可得出結(jié)果.例2現(xiàn)有一復(fù)數(shù)z滿足且，，此時(shí)，存在另外一個(gè)復(fù)數(shù)使得為實(shí)數(shù)，請(qǐng)問(wèn)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是什么形狀.分析利用等式將進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)且，知且代入原分式即可得出結(jié)果.解因?yàn)榱?，則上式可化為由題意且，知且，由此可得為純虛數(shù)，同理可得也是純虛數(shù)，由此可知且，從而有，所以w在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是除去兩點(diǎn)之外以為圓心，1為半徑的圓.評(píng)注：解決本題的關(guān)鍵在于利用等式將進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性進(jìn)行計(jì)算.例3設(shè)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，如果P點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡.分析解決本題的關(guān)鍵在于由復(fù)數(shù)化為實(shí)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出實(shí)部和虛部，再根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性求出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡方程即可.解由題意知，則于是因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)，所以，則有化簡(jiǎn)得所求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為:半徑為2，圓心為的圓.評(píng)注：求軌跡是解析幾何中的核心部分，直接用解析幾何的方法來(lái)求解會(huì)顯得十分復(fù)雜，而應(yīng)用復(fù)數(shù)方法進(jìn)行求解顯得非常便捷[[]胡文茜.復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特征及實(shí)踐研究[C].湖南師范大學(xué),2016.].[]胡文茜.復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特征及實(shí)踐研究[C].湖南師范大學(xué),2016.總結(jié)：由以上例題可知，復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性在平面幾何中的應(yīng)用是較為廣泛的，數(shù)、形的有機(jī)結(jié)合是幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問(wèn)題的重要途徑，借助復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性來(lái)解決幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題就顯得非常簡(jiǎn)潔.4.1.2復(fù)數(shù)運(yùn)算及幾何特性在不等式中的應(yīng)用眾所周知，乘法可以解釋成連加，那復(fù)數(shù)的除法我們?nèi)匀豢梢韵葘⒊ㄍㄟ^(guò)某種運(yùn)算變成乘法，再按乘法繼續(xù)進(jìn)行即可,利用復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性就可以解決一些與不等式有關(guān)的問(wèn)題[[]李富娃.復(fù)數(shù)的幾何意義幫你走出困境[J].數(shù)學(xué)教究,2001(11):28-30[]李富娃.復(fù)數(shù)的幾何意義幫你走出困境[J].數(shù)學(xué)教究,2001(11):28-30.例4已知復(fù)數(shù)，如果，求的最大值.分析解決本題的突破口在于應(yīng)用復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性求解，根據(jù)半徑為1，圓心為的圓，建立直角坐標(biāo)，系然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算便可計(jì)算出結(jié)果.解由復(fù)數(shù)的幾何特性可知，可以解釋為半徑為1，圓心為的圓；所對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)為，如圖4-1所示.則的最大值是距離點(diǎn)到圓上最遠(yuǎn)的點(diǎn)的距離，由圖4-1可知，所求最大值為:..圖4-1評(píng)注：本題的解題方法主要應(yīng)用了用復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性，將數(shù)形結(jié)合思想融入其中，能夠使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，有效地降低了解題難度，提高了解決問(wèn)題的效率[[]陳定宇.[]陳定宇.試分析復(fù)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].經(jīng)貿(mào)實(shí)踐,2016,(23):211.例5求函數(shù)的最大值.分析本題可以應(yīng)用二次根式的性質(zhì)求解，但是計(jì)算過(guò)程會(huì)非常復(fù)雜且容易出錯(cuò)，而應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算可以簡(jiǎn)便的得出結(jié)果.解由題意可得y==根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何特性，設(shè)，由得，當(dāng)且僅當(dāng)()時(shí)等號(hào)成立則有且當(dāng)時(shí)，有即從而有綜上所述，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值.總結(jié)：由上述例題可知，不等式問(wèn)題如果應(yīng)用實(shí)數(shù)來(lái)教學(xué)計(jì)算解決上述問(wèn)題的話過(guò)程比較復(fù)雜，而且計(jì)算量非常大，而應(yīng)用復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性可以巧妙的解決不等式問(wèn)題，將復(fù)雜的過(guò)程簡(jiǎn)單化，能有效的提高解決問(wèn)題的效率[[]梁棟.淺論復(fù)數(shù)方法在解題中的應(yīng)用[J].[]梁棟.淺論復(fù)數(shù)方法在解題中的應(yīng)用[J].新鄉(xiāng)教育學(xué)院學(xué)報(bào),2008,v.21;No.48,112-114.4.1.3復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性在解方程中的應(yīng)用在解方程問(wèn)題中常常會(huì)用到數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行解決，而復(fù)數(shù)運(yùn)算有著顯著的幾何特性，將復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性應(yīng)用到解方程中來(lái)，問(wèn)題就能夠輕松解決[[]陳克鋒.復(fù)數(shù)方法在解題中的一些應(yīng)用[J].[]陳克鋒.復(fù)數(shù)方法在解題中的一些應(yīng)用[J].邵陽(yáng)高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào),2001,20-22例6解方程.分析題目所給方程比較復(fù)雜，直接進(jìn)行解方程感覺(jué)無(wú)從下手，利用復(fù)數(shù)代入方程，進(jìn)行簡(jiǎn)化后就能應(yīng)用一般解方程的方法解決.解設(shè)，則，代入原方程得展開(kāi)化簡(jiǎn)得即根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等得于是有從而故原方程的解為.評(píng)注：本題的解題思路主要是應(yīng)用復(fù)數(shù)運(yùn)算及幾何特性，將復(fù)雜的三次方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，使得計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)便，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算即可得出結(jié)果[[]郭佩珍.[]郭佩珍.復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何表示在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].佛山師專(zhuān)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1986,59-64.例7設(shè)，，求，.

分析結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性，將u(x)=，v(x)=利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式，進(jìn)而有，然后再應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算即可求出題目所問(wèn).解令，于是有①而②由①、②兩式和復(fù)數(shù)相等可知:

，.評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是利用u(x)=，v(x)=構(gòu)造復(fù)數(shù)，靈活得應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法的幾何特性.例8求除以的余式.分析本題如果用直接計(jì)算的方法求解是非常非常困難的，題目所給函數(shù)為高次函數(shù)，此時(shí)可以用復(fù)數(shù)方法來(lái)進(jìn)行求解會(huì)更加的便捷.解將進(jìn)行分解，得此時(shí)設(shè)，其中分別令是的兩個(gè)根，則有而于是由比較實(shí)部與虛部得解得故所求余式為:.總結(jié)：綜合上述三個(gè)例題可知，復(fù)數(shù)運(yùn)算在解方程中有著廣泛的應(yīng)用.應(yīng)用復(fù)數(shù)知識(shí)解方程，可以利用復(fù)數(shù)相等的條件，轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)集中的方程問(wèn)題，然后再利用實(shí)數(shù)的知識(shí)解方程即可，并且將復(fù)數(shù)運(yùn)算的相關(guān)特性應(yīng)用于解方程中，可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，使解題方法多樣化.4.1.4復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性在三角函數(shù)數(shù)中的應(yīng)用求解三角函數(shù)的過(guò)程是一個(gè)相對(duì)較復(fù)雜的過(guò)程，在求解三角函數(shù)的時(shí)候要運(yùn)用所學(xué)過(guò)的一切知識(shí)以便簡(jiǎn)化過(guò)程.尤其是很多函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)都會(huì)和三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)有關(guān)，因此在解決問(wèn)題的過(guò)程中我們可以考慮用復(fù)數(shù)的三角形式和指數(shù)形式來(lái)進(jìn)行探索求解問(wèn)題，這樣可以大大簡(jiǎn)化求解過(guò)程.下面我將列舉如下實(shí)例來(lái)分析用復(fù)數(shù)的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行問(wèn)題求解的簡(jiǎn)潔性和實(shí)用性[[]鄧世東.復(fù)數(shù)在三角問(wèn)題中的應(yīng)用[J].[]鄧世東.復(fù)數(shù)在三角問(wèn)題中的應(yīng)用[J].科技信息,2009(21):604.例9如圖4-2所示，在不規(guī)則四邊形中，，設(shè)，求證.分析以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立復(fù)平面，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想使問(wèn)題直觀化，根據(jù)圖形構(gòu)造出，然后載根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何特性進(jìn)行證明即可.證明以為實(shí)軸，的中點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，建立復(fù)平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則有，如圖4-2所示，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何特性有由，得由得化簡(jiǎn)得即.圖4-2例10已知為銳角，且，求的值.

分析本題利用復(fù)數(shù)的三角表示式可以求出輻角的主值，然后再運(yùn)用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何特性進(jìn)行運(yùn)算即可.

解由可知是的輻角主值；由可得，即是的輻角主值；由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何特性可知:是的一個(gè)輻角，由于而于是有所以即是的輻角主值，故.例11求的值.分析本題的解題依據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何特性，當(dāng)時(shí)，則有；當(dāng)n不同余3于模7時(shí)，令代入題目所給等式計(jì)算即可.解當(dāng)時(shí)，則有，否則令，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何特性有評(píng)注：本題的解題思想主要在于復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何特性，根據(jù)運(yùn)用角的余弦值對(duì)應(yīng)的相應(yīng)輻角的單位復(fù)數(shù)向量的實(shí)部，因此，所求問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了關(guān)于單位復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題，運(yùn)用復(fù)數(shù)乘法的幾何特性就可以解決.總結(jié)：通過(guò)以上例題可知，復(fù)數(shù)運(yùn)算在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，將復(fù)數(shù)的相關(guān)理論、思想與其他知識(shí)相結(jié)合，很多復(fù)雜的問(wèn)題就能夠迎刃而解[[]吳昊.[]吳昊.數(shù)學(xué)文化融入復(fù)數(shù)三角表示課程的案例設(shè)計(jì)研究[C].華東師范大學(xué),2019.4.2復(fù)數(shù)運(yùn)算在物理學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用復(fù)數(shù)是科技創(chuàng)新的重要工具，隨著科技的進(jìn)步復(fù)數(shù)的相關(guān)知識(shí)被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，本章節(jié)筆者主要通過(guò)具體的實(shí)例來(lái)論述復(fù)數(shù)運(yùn)算在物理學(xué)中的具體應(yīng)用.4.2.1復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性在行程問(wèn)題中的應(yīng)用在物理學(xué)中速度、加速度都可以用向量來(lái)表示，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何特性可知，復(fù)數(shù)可以用平面向量來(lái)表示，這使得復(fù)數(shù)在解決速度問(wèn)題中得以廣泛的應(yīng)用，具體應(yīng)用如下.例12一輛火車(chē)在筆直的公路上行駛，由于天氣寒冷，道路結(jié)冰，火車(chē)以平均速度為的恒定行駛，汽車(chē)的車(chē)輪的半徑為.汽車(chē)司機(jī)為了保證車(chē)輪不滑動(dòng)，將后面的其中一個(gè)車(chē)輪上找了一個(gè)點(diǎn)在剛開(kāi)始出發(fā)的地方記作坐標(biāo)原點(diǎn)，并把前進(jìn)的方向記作軸，如圖4-3所示，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程和運(yùn)動(dòng)軌跡.當(dāng)點(diǎn)和車(chē)輪中心連線為直徑與地面平行時(shí)點(diǎn)的速度是多少.分析由題意可知本題需要運(yùn)用有關(guān)復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性來(lái)解決解由題意及有解析幾何的知識(shí)可得，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為是一條旋輪線，其中，進(jìn)而運(yùn)動(dòng)方程可化為設(shè)點(diǎn)的速度為，則點(diǎn)水平方向的速度為點(diǎn)垂直方向的分速度為故點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為當(dāng)點(diǎn)和車(chē)輪中心連線為直徑與地面平行時(shí)，與x軸平行，即時(shí)，有將代入上式得的方向?yàn)閳D4-3綜上所述運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何特性來(lái)研究速度問(wèn)題是比較方便的.4.2.2復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性在力學(xué)中的應(yīng)用在研究力學(xué)的過(guò)程中幾乎都是用矢量的方法進(jìn)行的，本節(jié)筆者將結(jié)合力學(xué)教學(xué)復(fù)數(shù)運(yùn)算的研究.設(shè)一個(gè)力，力在的長(zhǎng)度為，在軸上的長(zhǎng)度為，如圖4-4所示，則力表示成復(fù)數(shù)形式為：或或，將復(fù)數(shù)與力學(xué)就聯(lián)系起來(lái)使得復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)運(yùn)算成為了解決力學(xué)問(wèn)題的有力工具[[]姜佑國(guó).利用復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義解題[J].江蘇市場(chǎng)經(jīng)濟(jì),2001,(04):82-83.]，具體應(yīng)用如下.[]姜佑國(guó).利用復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義解題[J].江蘇市場(chǎng)經(jīng)濟(jì),2001,(04):82-83.圖4-4例13一支架由桿AB、AC組成，A、B、C三點(diǎn)處由繩索固定，在A點(diǎn)有鉛垂所受重力為G，在圖4-5的情況求下桿AB的拉力和AC所受的壓力，桿的自重忽略不計(jì).分析由于題目所給信息有限，本題用物理方法來(lái)解決是比較困難的運(yùn)用復(fù)數(shù)的方法非常形象直觀，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，令A(yù)C所受的壓力為力，AB方向所受的作用力用表示，再運(yùn)用復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性即可解決.解令A(yù)C所受的壓力為力，AB方向所受的作用力用表示，以A點(diǎn)為原點(diǎn)建立復(fù)平面，如圖4-5所示，根據(jù)題意和復(fù)數(shù)的幾何特性則有比較上式中復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部得從而有此時(shí)故所求桿AB的拉力為，桿AC所受的壓力為.圖4-5總結(jié)：由上述例題可知，復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性在力學(xué)中的應(yīng)用可以使解題思路更加明確，使計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)潔化，有助于提高解題效率.4.2.3復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特性在電學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用上面一節(jié)筆者通過(guò)實(shí)例分析了復(fù)數(shù)運(yùn)算在行程問(wèn)題中的具體應(yīng)用，由于復(fù)數(shù)具有顯著的幾何特性，這使得它在電學(xué)中也有著廣泛的應(yīng)用[[]王梅.復(fù)數(shù)在電工學(xué)中的應(yīng)用[J].科技信息(科學(xué)教研),2007,(24):450+543.].[]王梅.復(fù)數(shù)在電工學(xué)中的應(yīng)用[J].科技信息(科學(xué)教研),2007,(24):450+543.例14圖4-6所示，在一正弦交流電路中，兩條支路上的電流分別為安，安，求總電流.圖4-6分析本題的關(guān)鍵在于根據(jù)并聯(lián)電路分流的原理，然后運(yùn)用復(fù)數(shù)運(yùn)算的方法解決問(wèn)題即可.解根據(jù)并聯(lián)電路分流的原理，由題意可得由于同頻率的正弦量相加，得到的仍然是同頻率的正弦量，因此，設(shè)則總電流i的振幅為總電流的初相位為將已知的=100安，