考點(diǎn)25-空間角與立體幾何的綜合應(yīng)用(解析版)

考點(diǎn)25空間角與立體幾何的綜合應(yīng)用【考點(diǎn)剖析】1.最新考試說(shuō)明：能用向量方法解決直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題,了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.【2020年高考山東卷4】日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球（球心記為），地球上一點(diǎn)的緯度是指與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)處的水平面是指過(guò)點(diǎn)且與垂直的平面．在點(diǎn)處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)處的緯度為北緯，則晷針與點(diǎn)處的水平面所成角為 （）A．B． C． D．【答案】B【思路導(dǎo)引】畫(huà)出截面圖，根據(jù)點(diǎn)處的緯度，計(jì)算出晷針與點(diǎn)處的水平面所成角．【解析】畫(huà)出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線(xiàn)；是點(diǎn)處的水平面的截線(xiàn)，依題意可知；是晷針?biāo)谥本€(xiàn)．是晷面的截線(xiàn)，依題意可知、．由于，所以，由于，所以，也即晷針與點(diǎn)處的水平面所成角為，故選：B．【專(zhuān)家解讀】本題的特點(diǎn)是注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用，本題考查了球的截面性質(zhì)，考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，考查球體有關(guān)計(jì)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵是正確作出合理的截面解決問(wèn)題．【2020年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)20】如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，分別為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)．過(guò)和的平面交于，交于．（1）證明：//，且平面平面；（2）設(shè)為△的中心，若，且，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【思路導(dǎo)引】（1）由分別為，的中點(diǎn)，，根據(jù)條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；（2）連接，先求證四邊形是平行四邊形，根據(jù)幾何關(guān)系求得，在截取，由（1）平面，可得為與平面所成角，即可求得答案．【解析】（1）分別為，的中點(diǎn)，，又，在中，為中點(diǎn)，則，又側(cè)面為矩形，，，由，平面，平面又，且平面，平面，平面又平面，且平面平面，，又平面，平面，平面，平面平面（2）連接平面，平面平面，，根據(jù)三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面，故：四邊形是平行四邊形，設(shè)邊長(zhǎng)是()，可得，為的中心，且邊長(zhǎng)為，，故，，，解得：，在截取，故且，四邊形是平行四邊形，，由（1）平面故為與平面所成角，在，根據(jù)勾股定理可得：，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值：．【專(zhuān)家解讀】本題的特點(diǎn)是注重空間線(xiàn)、面位置關(guān)系的判斷，空間基本計(jì)算，本題考查了線(xiàn)線(xiàn)平行和面面垂直的證明，考查線(xiàn)面角的計(jì)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵是解題關(guān)鍵是掌握面面垂直轉(zhuǎn)為求證線(xiàn)面垂直的證法和線(xiàn)面角的定義．【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)18】如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【思路導(dǎo)引】（1）要證明平面，只需證明，即可；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別算出平面的法向量為，平面的法向量為，利用公式計(jì)算即可得到答案．【解析】（1）由題設(shè)，知為等邊三角形，設(shè)，則，，∴，又為等邊三角形，則，∴，，則，∴，同理，又，∴平面．（2）過(guò)作∥交于點(diǎn)N，∵平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，得，∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，得，∴，故，設(shè)二面角的大小為，則．【專(zhuān)家解讀】本題的特點(diǎn)是注重空間線(xiàn)、面位置關(guān)系的判斷，空間基本計(jì)算，本題考查了線(xiàn)面垂直的證明，考查二面角的計(jì)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵是正確建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．【2020年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)19】如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在棱上，且．（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）證明：若時(shí)，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）二面角的正弦值為．【思路導(dǎo)引】（1）連接、，證明出四邊形為平行四邊形，進(jìn)而可證得點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可計(jì)算出二面角的余弦值，進(jìn)而可求得二面角的正弦值．【解析】證明：（1）在上取一點(diǎn)，使得，分別連結(jié)，，，．在長(zhǎng)方體中，有，且，又，，，∴，∴四邊形和四邊形都是平行四邊形．∴且，且，又在長(zhǎng)方體中，有且，∴且，則四邊形為平行四邊形，∴且，又且，∴且，則四邊形為平行四邊形，∴點(diǎn)在平面內(nèi)．（2）解：在長(zhǎng)方形中，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，的直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵，，，，，∴，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取法向量；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取法向量，∴，設(shè)二面角為，則，即二面角的正弦值為．【專(zhuān)家解讀】本題的特點(diǎn)是注重空間線(xiàn)、面位置關(guān)系的判斷，空間基本計(jì)算，本題考查了點(diǎn)在平面的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角角，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用空間向量法求解二面角．2.命題方向預(yù)測(cè)：空間角的計(jì)算是高考熱點(diǎn)，一般以大題的條件或一小問(wèn)形式呈現(xiàn)，考查用向量方法解決立體幾何問(wèn)題，將空間幾何元素之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，并通過(guò)計(jì)算解決立體幾何問(wèn)題．此類(lèi)問(wèn)題往往屬于“證算并重”題，即第一問(wèn)用幾何法證明平行關(guān)系或垂直關(guān)系，第二問(wèn)則通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法進(jìn)一步求角.3.課本結(jié)論總結(jié)：一種方法用空間向量解決幾何問(wèn)題的一般方法步驟是：(1)適當(dāng)?shù)倪x取基底{a，b，c}；(2)用a，b，c表示相關(guān)向量；(3)通過(guò)運(yùn)算完成證明或計(jì)算問(wèn)題．兩個(gè)理解(1)共線(xiàn)向量定理還可以有以下幾種形式：①a＝λb?a∥b；②空間任意兩個(gè)向量，共線(xiàn)的充要條件是存在λ，μ∈R使λa＝μb.③若eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線(xiàn)，則P，A，B三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))且λ＋μ＝1.(2)對(duì)于共面向量定理和空間向量基本定理可對(duì)比共線(xiàn)向量定理進(jìn)行學(xué)習(xí)理解．空間向量基本定理是適當(dāng)選取基底的依據(jù)，共線(xiàn)向量定理和共面向量定理是證明三點(diǎn)共線(xiàn)、線(xiàn)線(xiàn)平行、四點(diǎn)共面、線(xiàn)面平行的工具，三個(gè)定理保證了由向量作為橋梁由實(shí)數(shù)運(yùn)算方法完成幾何證明問(wèn)題的完美“嫁接”．四種運(yùn)算空間向量的四種運(yùn)算與平面向量的四種運(yùn)算加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積從形式到內(nèi)容完全一致可類(lèi)比學(xué)習(xí)．學(xué)生要特別注意共面向量的概念．而對(duì)于四種運(yùn)算的運(yùn)算律，要類(lèi)比實(shí)數(shù)加、減、乘的運(yùn)算律進(jìn)行學(xué)習(xí)．三種成角(1)異面直線(xiàn)所成的角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(2)直線(xiàn)與平面所成角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(3)二面角的范圍是[0，π]．4.名師二級(jí)結(jié)論：1.夾角計(jì)算公式(1)線(xiàn)線(xiàn)角：直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角θ，如兩直線(xiàn)的方向向量分別為a，b，則.(2)線(xiàn)面角：直線(xiàn)與平面所成的角θ，如直線(xiàn)的方向向量為a，平面的法向量為n，則.(3)面面角：兩相交平面所成的角θ，兩平面的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.判定二面角的平面角是銳角還是鈍角的情況來(lái)決定cosθ＝|cos〈n1，n2〉|還是cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|.2.距離公式(1)點(diǎn)點(diǎn)距：點(diǎn)與點(diǎn)的距離，以這兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量的模；(2)點(diǎn)線(xiàn)距：點(diǎn)M到直線(xiàn)a的距離，如直線(xiàn)的方向向量為a，直線(xiàn)上任一點(diǎn)為N，則點(diǎn)M到直線(xiàn)a的距離d＝|eq\o(MN,\s\up6(→))|sin〈eq\o(MN,\s\up6(→))，a〉；(3)線(xiàn)線(xiàn)距：兩平行線(xiàn)間的距離，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線(xiàn)距離；兩異面直線(xiàn)間的距離，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離或者直接求公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度；(4)點(diǎn)面距：點(diǎn)M到平面α的距離：如平面α的法向量為n，平面α內(nèi)任一點(diǎn)為N，則點(diǎn)M到平面α的距離d＝|eq\o(MN,\s\up6(→))||cos〈eq\o(MN,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|\o(MN,\s\up6(→))·n|,|n|)；(5)線(xiàn)面距：直線(xiàn)和與它平行的平面間的距離，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離；(6)面面距：兩平行平面間的距離，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.5.課本經(jīng)典習(xí)題：(1)新課標(biāo)人教A版選修2-1第109頁(yè)，例題4如圖3.2-7,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD底面ABCD,PD=DC,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),作EFPB交PB于點(diǎn)F.(1)求證:PA//平面EDB;(2)求證:PB平面EFD;(3)求二面角C-PB-D的大小.【解析】如圖3.2-8所示建立空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)DC=1.證明:連接AC,AC交BD于點(diǎn)G,連接EG,依題意得A(1,0,0),P(0,0,1),E(0,,),因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形,所以點(diǎn)G是此正方形的中心,故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(,,0),且=(1,0,-1),=(,0,-),所以=2,即PA//EG.而EG平面EDB,且PA平面EDB,因此PA//平面EDB.（2）證明:依題意得:B(1,1,0),=(1,1,-1).又=(0,,),故,所以PBDE.由已知EFPB,且,所以PB平面EFD.（3）解:已知PBEF,由(2)可知PBDF,故EFD是二面角C-PB-D的平面角.設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x,y,z),則.因?yàn)?所以,所以(1,1,-1)·(k,k,1-k)=k+k-1+k=3k-1=0,所以，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，又點(diǎn)E的坐標(biāo)為，所以，因?yàn)?，即EFD=600，即二面角C-PB-D的大小為600.【經(jīng)典理由】直線(xiàn)與平面平行與垂直的證明,二面角大小的求解是高熱點(diǎn)中的熱點(diǎn),幾乎每年必考,而此例題很好的展現(xiàn)了,用向量方法證明直線(xiàn)與平面平行與垂直,還給出了用向量方法求二面角的大小.6.考點(diǎn)交匯展示：（1）空間線(xiàn)線(xiàn)角與面面角相結(jié)合【2020年高考江蘇卷】在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=，BD=2，O為BD的中點(diǎn)，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點(diǎn)．（1）求直線(xiàn)AB與DE所成角的余弦值；（2）若點(diǎn)F在BC上，滿(mǎn)足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．【答案】（1）；（2）．【思路導(dǎo)引】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求直線(xiàn)向量夾角，即得結(jié)果；（2）先求兩個(gè)平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果．【解析】（1）連，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，從而直線(xiàn)與所成角的余弦值為（2）設(shè)平面一個(gè)法向量為，令，設(shè)平面一個(gè)法向量為令，，因此．【專(zhuān)家解讀】本題的特點(diǎn)是注重空間的基本計(jì)算，本題考查了異面直線(xiàn)所成角及二面角的計(jì)算，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵是建立合理的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決問(wèn)題．(2)空間角與三視圖相結(jié)合1、三棱錐及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示.設(shè)，分別為線(xiàn)段，的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的點(diǎn)，且.（1）證明：為線(xiàn)段的中點(diǎn)；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】根據(jù)側(cè)視圖和俯視圖可知，為正三角形，頂點(diǎn)D在底面內(nèi)的射影為BD的中點(diǎn)O，所以?xún)蓛苫ハ啻怪?，建坐?biāo)系如圖所示，則，，設(shè)（1）證明：設(shè)，則，.因?yàn)?，所以點(diǎn)P是BC的中點(diǎn).（2）易得平面PMN的法向量為.，設(shè)平面ABC的法向量為，則，所以.(3)空間角與平行及垂直關(guān)系相結(jié)合【2020年高考天津卷17】如圖，在三棱柱中，平面，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【思路導(dǎo)引】以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．（Ⅰ）計(jì)算出向量和的坐標(biāo)，得出，即可證明出；（Ⅱ）可知平面的一個(gè)法向量為，計(jì)算出平面的一個(gè)法向量為，利用空間向量法計(jì)算出二面角的余弦值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求解結(jié)果；（Ⅲ）利用空間向量法可求得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【解析】依題意，以為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得、、、、、、、、．（Ⅰ）依題意，，，從而，所以；（Ⅱ）依題意，是平面的一個(gè)法向量，，．設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得．，．所以，二面角的正弦值為；（Ⅲ）依題意，．由（Ⅱ）知為平面的一個(gè)法向量，于是．所以，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．【專(zhuān)家解讀】本題的特點(diǎn)是注重空間位置關(guān)系的證明、空間的基本計(jì)算，本題考查了線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明，直線(xiàn)與平面所成角及二面角的計(jì)算，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵是合理建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用空間向量求空間角．(4)求空間角與面積、體積的交匯1、如圖，已知四棱臺(tái)上、下底面分別是邊長(zhǎng)為3和6的正方形，，且底面，點(diǎn)，分別在棱，BC上.（1）若P是的中點(diǎn)，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】解法一由題設(shè)知，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，建立如圖b所示的空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，其中，，（1）若是的中點(diǎn)，則，，于是，∴，即；（2）由題設(shè)知，，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，取，得，又平面的一個(gè)法向量是，∴，而二面角的余弦值為，因此，解得，或者（舍去），此時(shí)，設(shè)，而，由此得點(diǎn)，，∵平面，且平面的一個(gè)法向量是，∴，即，亦即，從而，于是，將四面體視為以為底面的三棱錐，則其高，故四面體的體積.解法二（1）如圖c，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，∵，是梯形的兩腰，是的中點(diǎn)，∴，于是由知，，∴，，，四點(diǎn)共面，由題設(shè)知，，，∴平面，因此①，∵，∴，因此，于是，再由①即知平面，又平面，故；（2）如圖d，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則平面，∵平面，∴平面，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，則，為二面角的平面角，∴，即，從而③連結(jié)，由平面，∴，又是正方形，所以為矩形，故，設(shè)，則④，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則為矩形，∴，，因此，于是，∴，再由③④得，解得，因此，故四面體的體積.【考點(diǎn)分類(lèi)】熱點(diǎn)1利用空間向量求空間角1、如圖，四邊形是等腰梯形，且，，，四邊形是矩形，，點(diǎn)為上的一動(dòng)點(diǎn).（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）證明，得到平面，得到證明.（2）分別以直線(xiàn)，，為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，是平面的一個(gè)法向量，是平面的一個(gè)法向量，計(jì)算夾角得到答案.【詳解】（1）在等腰梯形中，∵，∴，∴，又，∴，∴，，∴.∵四邊形是矩形，∴，又，，∴平面.∴，∵，，∴平面.∵平面，∴.（2）由（1）可知，，兩兩垂直，分別以直線(xiàn)，，為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，∵，，.則，，，.∴，.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得，取，則.∵是平面的一個(gè)法向量，設(shè)所求二面角為，.2、如圖，在四棱錐中，已知平面，，，，．（1）求證：；（2）若直線(xiàn)與平面所成的角為，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）2【解析】【分析】（1）先根據(jù)給出的線(xiàn)面位置關(guān)系和長(zhǎng)度關(guān)系求得和，即可得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理證得平面，最后根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)得到線(xiàn)線(xiàn)垂直即可；（2）取的中點(diǎn)，連接，先求證，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解.【詳解】（1）連接，在中，，，，.，，.在中，，，，.，，.平面，平面，.又平面，平面，，平面.平面，（2）取的中點(diǎn)，連接，，，且，四邊形是平行四邊形，.，.又平面，，，故，，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，故為平面的一個(gè)法向量，直線(xiàn)與平面所成的角為，，，的長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中線(xiàn)面位置關(guān)系、線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明、線(xiàn)面角，考查考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).3、在五面體中，，，，，平面平面..（1）證明：直線(xiàn)平面；（2）已知為棱上的點(diǎn)，試確定點(diǎn)位置，使二面角的大小為.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)靠近點(diǎn)的的三等分點(diǎn)處.【解析】（1）證明：∵，∴，∴四邊形為菱形，∴，∵平面平面，平面平面，∵，∴平面，∴，又∵，∴直線(xiàn)平面.（2）∵，∴為正三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，∴，∵平面平面，平面，平面平面，∴平面，∵，∴，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，∵，，∴，.由（1）知是平面的法向量，∵，，設(shè)，則.設(shè)平面的法向量為，∵，，∴，令，則，，∴，∵二面角為，∴，解得.∴點(diǎn)靠近點(diǎn)的的三等分點(diǎn)處.【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)面垂直和面面垂直的判定定理以及向量法求線(xiàn)面角的正弦值，考查學(xué)生的推理與運(yùn)算能力，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.4、如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，已知正四棱錐P-ABCD的所有棱長(zhǎng)均為6，正方形ABCD的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，AD，BC平行于x軸，AB、CD平行于y軸，頂點(diǎn)P在z軸的正半軸上，點(diǎn)M、N分別在PA，BD上，且.（1）若，求直線(xiàn)MN與PC所成角的大??；（2）若二面角A-PN-D的平面角的余弦值為，求λ的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】寫(xiě)出圖中各點(diǎn)坐標(biāo)，（1）求出向量，，由向量夾角得出異面直線(xiàn)所成的角；（2）求出平面和平面的法向量，由法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值等于已知二面角的余弦值可求得．【詳解】依題意知，，，，.設(shè)，.由，知，，即，且，所以，，，，，，從而，.（1）若，則，，所以，所以.又因，所以，故直線(xiàn)MN與PC所成角的大小為.（2）連結(jié)AC，易知平面PBD.而，故平面PBD的一個(gè)法向量為.設(shè)平面PAN的一個(gè)法向量為，則.又因?yàn)?，，所以不妨取，則，，所以.因?yàn)槎娼茿-PN-D的平面角的余弦值為.所以整理得，解得或.【點(diǎn)睛】本題考查用空間向量法墳異面直線(xiàn)所成的角，求二面角．考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．【方法規(guī)律】1．利用向量法求異面直線(xiàn)所成的角時(shí)，注意向量的夾角與異面直線(xiàn)所成的角的異同．同時(shí)注意根據(jù)異面直線(xiàn)所成的角的范圍(0，eq\f(π,2)]得出結(jié)論．2．利用向量法求線(xiàn)面角的方法一是分別求出斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的射影直線(xiàn)的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；二是通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線(xiàn)的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線(xiàn)和平面所成的角.3．利用空間向量求二面角可以有兩種方法：一是分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大??；二是通過(guò)平面的法向量來(lái)求：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．4．利用空間向量求二面角時(shí)，注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角．求解過(guò)程中應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：(1)兩平面的法向量的夾角不一定就是所求的二面角，有可能兩法向量夾角的補(bǔ)角為所求；(2)求平面的法向量的方法：①待定系數(shù)法：設(shè)出法向量坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系建立坐標(biāo)的方程解之；②先確定平面的垂線(xiàn)，然后取相關(guān)線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的向量，即確定了平面的法向量．當(dāng)平面的垂線(xiàn)較易確定時(shí)，常考慮此方法.5.(1)運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟為：①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；③寫(xiě)出向量坐標(biāo)；④結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；⑤轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．(2)求直線(xiàn)與平面所成的角θ，主要通過(guò)直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量的夾角α求得，即sinθ＝|cosα|.【解題技巧】運(yùn)用空間向量求解空間的角關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系后，空間角轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算．使用空間向量解決立體幾何計(jì)算，直線(xiàn)的標(biāo)志是它的方向向量，平面的標(biāo)志是它的法向量，我們可以借助于直線(xiàn)和平面的標(biāo)志用向量這個(gè)工具解決立體幾何計(jì)算問(wèn)題．利用向量法求解空間角，可以避免利用定義法作角、證角、求角中的“一作、二證、三計(jì)算”的繁瑣過(guò)程，利用法向量求解空間角的關(guān)鍵在于“四破”．第一破“建系關(guān)”，第二破“求坐標(biāo)關(guān)”；第三破“求法向量關(guān)”；第四破“應(yīng)用公式關(guān)”，熟記線(xiàn)面成的角與二面角的公式，即可求出空間角．【易錯(cuò)點(diǎn)睛】1.異面直線(xiàn)所成角的范圍；線(xiàn)面角的正弦值是直線(xiàn)的方向向量和平面法向量所成角余弦的絕對(duì)值；兩相交平面所成的角θ，兩平面的法向量分別為n1和n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|，其特殊情況是兩個(gè)半平面所成的角即二面角，也可以用這個(gè)公式解決，但要判定二面角的平面角是銳角還是鈍角的情況以決定cosθ＝|cos〈n1，n2〉|還是cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|.這是利用向量求二面角的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)．2.向量的書(shū)寫(xiě)不規(guī)范，字母上方缺少＂→＂．3.作圖馬虎，虛實(shí)線(xiàn)不分，不用直尺作圖．熱點(diǎn)2利用空間向量解決探索與折疊問(wèn)題1、（2020·山西省高三期末）如圖，三棱柱中，底面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，在棱上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）存在，.【解析】【分析】（Ⅰ）連接，與相交于點(diǎn)，根據(jù)O，是中點(diǎn)，由三角形中位線(xiàn)得到，再由線(xiàn)面平行的判定定理證明.（Ⅱ）由，又因?yàn)榈酌?，建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，即，分別求得平面和平面的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的大小為，代入求解.【詳解】（Ⅰ）如圖所示：連接，與相交于點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以，且平面，平面，所以平面；（Ⅱ）因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)榈酌?，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，即，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，取，則，因?yàn)槎娼堑拇笮椋?，即，解得?舍去)，所以存在點(diǎn)，有，使二面角的大小為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)面平行的判定定理，二面角的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.2、（2020·遼寧省高三一模）如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，在側(cè)面上的投影恰為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：∥平面；（Ⅱ）若，在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)（不與，重合）使得直線(xiàn)與平面成角的正弦值為若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）存在，【解析】【分析】(I)根據(jù)已知條件先連接，，因?yàn)椋謩e為，中點(diǎn)，所以根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)即可得到,再利用線(xiàn)面平行的判定定理即可.(II)因?yàn)槠矫?，為菱形，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，并設(shè)，求出平面的法向量，結(jié)合已知條件即可求出的值.【詳解】（Ⅰ）證明：連接，，因?yàn)?，分別為，中點(diǎn)，所以,因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．（Ⅱ）因?yàn)槠矫妫瑸榱庑?，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)?，，所以，所以，所以，，，，，所以，設(shè)，所以，所以,設(shè)平面的法向量，因?yàn)?，，所以，所以的一組解為，因?yàn)橹本€(xiàn)與平面成角的正弦值為，所以，解得，（舍），所以．【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)面平行的證明方法，考查了利用空間向量方法求線(xiàn)面角的正弦值，屬于一般題.3、圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面．由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．又因?yàn)锳B平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．（2）作EHBC，垂足為H．因?yàn)镋H平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．由已知，菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=．以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H–xyz，則A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），=（1，0，），=（2，–1，0）．設(shè)平面ACGD的法向量為n=（x，y，z），則即所以可取n=（3，6，–）．又平面BCGE的法向量可取為m=（0，1，0），所以．因此二面角B–CG–A的大小為30°．【名師點(diǎn)睛】本題是很新穎的立體幾何考題，首先是多面體折疊問(wèn)題，考查考生在折疊過(guò)程中哪些量是不變的，再者折疊后的多面體不是直棱柱，最后通過(guò)建系的向量解法將求二面角轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角問(wèn)題，突出考查考生的空間想象能力.4、如圖，四邊形為正方形，，分別為，的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且．(1)證明：平面平面；(2)求與平面所成角的正弦值．【解析】(1)由已知可得，⊥，⊥，所以⊥平面PEF．又平面，所以平面⊥平面．(2)作⊥，垂足為．由(1)得，⊥平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由(1)可得，⊥．又=2，=1，所以=．又=1，=2，故⊥．可得,．則，，，，為平面的法向量．設(shè)與平面所成角為，則．所以與平面所成角的正弦值為．【方法規(guī)律】1.解決探索性問(wèn)題，都是先假設(shè)存在，然后根據(jù)已知條件和結(jié)論逐步進(jìn)行計(jì)算和推導(dǎo)，若推出矛盾則不存在，這是解決探索性問(wèn)題的常用方法．2.解決翻折問(wèn)題，關(guān)鍵是弄清翻折前后哪些量變了，哪些量沒(méi)有變，特別是沒(méi)有變的量是我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【解題技巧】探索性問(wèn)題命題背景寬，涉及到的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性較強(qiáng)，通常是尋找使結(jié)論成立的條件或探索使結(jié)論成立的點(diǎn)是否存在等問(wèn)題，全面考查考生對(duì)立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，考生的空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力．空間向量最適合于解決這類(lèi)立體幾何中的探索性問(wèn)題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷．解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，因此使用問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題．【易錯(cuò)點(diǎn)睛】解決與平行、垂直有關(guān)的存在性問(wèn)題的基本策略是：通常假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若能導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說(shuō)明假設(shè)成立，即存在，并可進(jìn)一步證明；若導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)果，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在．如本題把直二面角轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)平面的法向量垂直，利用兩法向量數(shù)量積為零，得參數(shù)p的方程．即把與兩平面垂直有關(guān)的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有無(wú)解的問(wèn)題．與“兩異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面所成的角和二面角”有關(guān)的存在性問(wèn)題，常利用空間向量法解決，可以避開(kāi)抽象、復(fù)雜地尋找角的過(guò)程，只要能夠準(zhǔn)確理解和熟練應(yīng)用夾角公式，就可以把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等．事實(shí)說(shuō)明，空間向量法是證明立體幾何中存在性問(wèn)題的強(qiáng)有力的方法．【熱點(diǎn)預(yù)測(cè)】1.平面過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,則m、n所成角的正弦值為(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】如圖,設(shè)平面平面=,平面平面=,因?yàn)槠矫?所以,則所成的角等于所成的角.延長(zhǎng),過(guò)作,連接,則為,同理為,而,則所成的角即為所成的角,即為,故所成角的正弦值為,選A.2.在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，.若分別是棱上的點(diǎn)，且，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】以為原點(diǎn),為軸,在平面中過(guò)作的垂線(xiàn)為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

在三棱柱中,底面為正三角形,側(cè)棱垂直底面,,分別是棱上的點(diǎn),且,，,

設(shè)異面直線(xiàn)與所成角所成角為,則.所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.故選D.3.已知點(diǎn)在正方體的對(duì)角線(xiàn)上，在上，則與所成角的大小為_(kāi)______.【答案】【解析】以D點(diǎn)為原點(diǎn)，以DA,DC，分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，連接，在平面中，延長(zhǎng)DP交于點(diǎn)H,設(shè)，由，可得，，填。4．如圖，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，、分別為、的中點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，證明：平面平面；（2）若平面與底面所成銳二面角為，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）連接交于點(diǎn)，建立如圖所示空間坐標(biāo)系.∵，∴，則，，，，，，設(shè)是的中點(diǎn)，則，，，，∵，，∴，，，∴平面，∵平面，∴平面平面；（2）設(shè)，則，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，所以，取平面的一個(gè)法向量為，則，即，解得，∴，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，∴，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.5．在中，，.已知分別是的中點(diǎn).將沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，連接，如圖：（1）證明：平面平面（2）求平面與平面所成二面角的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）45°【解析】（1）∵是的中點(diǎn)，∴.設(shè)的中點(diǎn)為，連接.設(shè)的中點(diǎn)為，連接，.易證：，，∴即為二面角的平面角.∴，而為的中點(diǎn).易知，∴為等邊三角形，∴.①∵，，，∴平面.而，∴平面，∴，即.②，由①②，，∴平面.∵分別為的中點(diǎn).∴四邊形為平行四邊形.∴，平面，又平面.∴平面平面.（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè).則，，，，，顯然平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，，，∴，∴.，由圖形觀察可知，平面與平面所成的二面角的平面角為銳角.∴平面與平面所成的二面角大小為45°.6．如圖，菱形ABCD中，，，O為線(xiàn)段CD的中點(diǎn)，將沿BO折到的位置，使得，E為的中點(diǎn)．（1）求證:;（2）求直線(xiàn)AE與平面所成角的正弦值【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）因?yàn)锳BCD為菱形，，所以為等邊三角形，又O為線(xiàn)段CD的中點(diǎn)，所以，即折疊后有，因?yàn)椋?，而，所以，所以，所以平面BOD，又平面BOD,所以，又，所以，，所以平面，所以.（2）由（1）知兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，令，得，又因?yàn)椋?，所以直線(xiàn)AE與平面所成角的正弦值.7.如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是．（=1\*ROMANI）證明：平面ABEF平面EFDC；（=2\*ROMANII）求二面角E-BC-A的余弦值．【答案】（=1\*ROMANI）見(jiàn)解析（=2\*ROMANII）【解析】（I）由已知可得,,所以平面．又平面,故平面平面．（II）過(guò)作,垂足為,由（I）知平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,為單位長(zhǎng)度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由（I）知為二面角的平面角,故,則,,可得,,,．由已知,,所以平面．又平面平面,故,．由,可得平面,所以為二面角的平面角,．從而可得．所以,,,．設(shè)是平面的法向量,則,即,所以可取．設(shè)是平面的法向量,則,同理可?。畡t．故二面角的余弦值為．8．如圖，在三棱柱中，四邊形，均為正方形，且，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)．（1）求證：平面ABC；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)P是棱上一點(diǎn)，若直線(xiàn)PM與平面所成角的正弦值為，求的值【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)詳解；（2）；（3）.【解析】（1）取中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，，又平面，平面，，所以平面平面，又平面，所以平面ABC；（2）因?yàn)樗倪呅?，均為正方形，所以，，兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)邊長(zhǎng)為，則，，，，，所以，，因此，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，令，則，因此；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，令，則，因此，設(shè)二面角的大小為，則，所以；（3）因?yàn)槭抢馍弦稽c(diǎn)，設(shè)，則所以，由（2）知，平面的一個(gè)法向量為，又直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，記直線(xiàn)與平面所成角為，則有，整理得，解得或（舍），所以.9.如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．將沿折起到的位置，如圖．（I）證明：平面；（II）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）．【解析】（I）在圖1中，因?yàn)椋?，是的中點(diǎn)，，所以即在圖2中，，，從而平面，又，所以平面.(II)由已知，平面平面，又由（I）知，，，所以為二面角的平面角，所以.如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以得?設(shè)平面的法向量，平面的法向量，平面與平面夾