小學(xué)五年級(jí)下冊(cè) 數(shù)學(xué)《奧數(shù)》知識(shí)點(diǎn)講解第7課 從不定方程的整數(shù)解 試題附答案

小學(xué)五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第7課《從不定方程的整數(shù)解》試題附答案

第七講從不定方程1/n=1/x+1/y的整數(shù)解談起

對(duì)于形如工=1+」的方程，尋找整數(shù)x、y使之滿足方程，稱為求不定方

nxy

求不定方程的整數(shù)解.這里n是取定的一個(gè)自然數(shù).對(duì)于方程

111/八

￡=一+一,（1）

oxy

顯見(jiàn)x=y=12是一個(gè)整數(shù)解.還有沒(méi)有別的解？如何求解？有人憑直覺(jué)能看

出一些解來(lái)，但數(shù)學(xué)要求我們有一個(gè)成熟的方法去處理同一類問(wèn)題。

由1=1+工，兩邊減去1,得：

oxyx

11_1

6xy'

通分：^=-;因此y=2,這里x-6大于0.為了使右端的分?jǐn)?shù)形

式更簡(jiǎn)明，我們不妨把x-6看成一個(gè)整體，即令t=x-6,那么x=t+6.因此

y=6x（：+t）=—+6,由于混整數(shù)，上式右邊也是整數(shù)，所以看也

必須是整數(shù)，這樣我們推知：t是62的因數(shù)（約數(shù)）。

由于是求不定方程的整數(shù)解，這樣，原先“漫無(wú)邊際”的找兩

oxy

個(gè)未知數(shù)X、y的困難問(wèn)題，轉(zhuǎn)換成找簡(jiǎn)單的62的因子t的問(wèn)題了.

一個(gè)完全平方數(shù)的因子必然是奇數(shù)個(gè)，如6二有因子6、1和36,2和18,3和

12,4和9.6稱為自補(bǔ)的因子.后面的2和18等都稱為互補(bǔ)因子，這樣，不妨記

為：

t0=6,tx=1,'=36；t:=2,t2'=18；t:=3,tJ=12；t尸4,

z-2z-2

t4'=9也即一=tj；…，一=tj,

匕t4

62.

x=6+t,y=--■1-6=t7+6,

7=—+工的所有解表示成；=二二+

6xy66+t6+t

這里t和t1是6三36的互補(bǔ)因子（當(dāng)t=t，=6時(shí)自補(bǔ)因子也包括在內(nèi)），

所以

1=1+1的全部整數(shù)解為：

oxy

111（11）

t°0=t；=6,------1---；I------1------1

061212\6+66+6）

1

t1=1,t；=36,

6齊看;（去+力）

1_11fl1)

6~8+24!U+2+6+18)

111

t=3,0=12,-=--+,

36918島+舟

11111

t=4,t；=9,1=--+-------+-----

4610156+46+9

由于“地位對(duì)等」《蓑表的解與99*馴情況我們都看

成一種了。

以上情況推廣到一般情況：求不定方程

（2）</PGN0195.TXT/PGN>

nxy

的整數(shù)解，只要找出n2的全部成組互補(bǔ)因子t和t',則

就可得到全部解。

例如，求不定方程：

1，_=1_+1_

12xy

（BPn=12）的整數(shù)解，首先分解122=（22?3）2=24-32,它的因子根

據(jù)分解式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可以排成一個(gè)表。

21222324

3°124816

3136122448

329183672144

按照互補(bǔ)或自補(bǔ)因子配對(duì)有：（1,144）,（2,72）,（3,48）,

（4,36）,（6,24）,（8,18）,（16,9）,（12,12）。

所以白?產(chǎn)有8種解’12?的因子個(gè)數(shù)+1

=8

,2

一，+—.++,■,+.

13156,1484'1560’1648

11111111

__-I------+_____+________卜____

1836'2030'2128’2424

以上是討論LLL的全部解自然會(huì)想到如果把上式的,再分解成兩彳

nxyx

“單位分?jǐn)?shù)”（分子為1分母為整數(shù)）的和，那么我們相當(dāng)于求：

mxyz

的整數(shù)解，例如求解

可以利用己經(jīng)解過(guò)的：=11的5種解，再把其中士分解成~+~,例如|=

6xyyyzo

11

一十一卷+:+焉,如此等等。

1212

總之，求解工=」+L+1也是有路可循的了.特別，如n是質(zhì)數(shù)，n=p,

nxyz

L7L+；=2r+_\.除了p=2以外，p+l是合數(shù).再分裂」7,例如

,利用Cp+1)2有因子1和(p+1)2,因此=-J-2，

P+1P+2(p+1)+(p+1)

-1=_L+_L_+_1_____(4)

PP+2p(p+1)(p+l)(p+2)'

111111

例如，；一+----+-----—+—+—

53x44x551220

J111111

-+----+—+—+—

575x66^773042

111111111

—=-H------------F--------------------F1-.

797x88x995672

在這些基本訓(xùn)練基礎(chǔ)上，我們很容易把整數(shù)1分拆為若干個(gè)單位分?jǐn)?shù)之

和。

分成兩部分，唯一方式：1=：+，,

分成三部分，只有3種方式：明顯的有1=：+；+：,先有1=￡+；,再

1111

借用：---+----=----+----這兩種分解形式（因?yàn)??有互補(bǔ)因子

2+12+42+22+2

（1,4）,（2,2）.可有

1=i+i+i=ia+i,

244236

1=1+1+1,

333

并且可斷言只有這三種形式.為證明這一論斷，先介紹“推廣的抽屜原

理''（稱之為平均值原理更確切）：一個(gè)（正）數(shù)，分放于幾個(gè)抽屜中，必有

一個(gè)抽屜內(nèi)存放的數(shù)大于或等于平均值.（注意，這里的數(shù)不局限于整數(shù)）

1分拆為三個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和，必有一部分＞提而的單位分?jǐn)?shù)只有

只有《和!不妨設(shè)則1=:或2問(wèn)題轉(zhuǎn)化成：

23xyzx2x3

i=:+LL或T+1+L

2yz3yz

對(duì)于前一種情況，1-4=<=1+工，再用推廣的抽屜原理，工、工中，不

22yzyz

妨設(shè),必有一個(gè)》只有。和13兩種情況（顯然1聲J）.對(duì)于

yz4y43y2

y=?和，，分別必有Lg和；歸類成1=：+和1=：+J+；的情況。

34z64236244

對(duì)于后一種情況，=-+同樣用推廣的抽屜原理，有又

3yzy2

-<-4*所以卜;由|」+工得心當(dāng);T也歸類成三種形式之中.

yx3333yzz333

故推斷正確。

在某些問(wèn)題研究中，并不要求馬上找出全部解，只要能將一個(gè)單位分?jǐn)?shù)分

拆為兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和即可，這里我們介紹另一種技巧，先看

—1=--1--+----1---

nn+1n(n+1)⑸

（我們這里是在討論單位分?jǐn)?shù)問(wèn)題時(shí)用到（5）式.其實(shí)（5）式又可以改

變形式寫(xiě)成：

111

n（n+1）nn+1,

它在計(jì)算中也有巧妙應(yīng)用，為保持原問(wèn)題討論的連續(xù)性，它的具體應(yīng)用請(qǐng)

看習(xí)題）。

公式（5）在將整數(shù)1分裂成若干個(gè)單位分?jǐn)?shù)和的求解中，用起來(lái)很方便.

例如可將1分裂為3個(gè)分母不等的單位分?jǐn)?shù)之和。

而且，只要不計(jì)較分母太大看起來(lái)不直觀，我們可以把1分裂成任意多個(gè)

單位分?jǐn)?shù)之和，如

1=（2項(xiàng)）

iii

—-+—+—(須)

236

1111

=—+—+——+—（4項(xiàng)）

24126

1

11±1（5項(xiàng)）

2+4+12+7+42

111111

=—+—+——+——+—+——（6項(xiàng)）

252012742

11111111

=—+—+——+——+——+—+——+—（8項(xiàng)）

2630201285642

111111111

=—+―+--+--+--+-+--+--+--（9項(xiàng)）

263020129725642

—+-++++++++（10項(xiàng)）。

263020121090725642

如果要求你用兩種不同的方式把1寫(xiě)成10個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和，你不妨在分裂成

9項(xiàng)時(shí)，另選一種方式用公式1,如選奈奈焉，即可。

nn+1n(n+1)

實(shí)際上，公式工=1=1+

只是最初講的」L+_l：的

nn+1n(n+1)nxyn+tn+t

特殊情況，只是的互補(bǔ)因子選為1和Y而已所以基本功在于1=2+1的

nxy

分解。

上述基本分解還有一種簡(jiǎn)便一些的算法，它不必分解n2的因子，而只要

求分解n的所有因子,還以數(shù)字12為例：+5把］2（注意不是12%

）的所有因子由小到大排列：1、2、3、4、6,12,6個(gè)因子任取2個(gè)配成

一個(gè)組合，共有15種：

（1,2）,（1,3）,（1，4）,（1,6）,（1,12）

（2,3）,（2,4）,（2,6）,（2,12）

（3,4）,（3,6）,（3,12）

（4,6）,（4,12）

（6,12）

對(duì)于每一組合（a,b）,寫(xiě)成1=3+工，則有：

a+ba+b

1ab

12=12（a+b）+12（a+b）

11

=------------------+------------------

（-）（a+b）空）（a+b）

ab

（2'3）'看

例如

----+--=--+--

6x54x53020

所以白=1+工有15種方式，但這里有重復(fù)，如由(1,2)配出的

12xy1212x(1+2)

和由(2,4)配出的是相同的,只要在因子的配組中篩去這

種情況即可.

以上討論相應(yīng)于不定方程L11對(duì)于其他分?jǐn)?shù)形式的不定方程，分

nxy

子不是1的，例如

_2=-1+-1

3xy'

一般同學(xué)都可"猜''出2Y+L當(dāng)然還有";

326333

那么請(qǐng)問(wèn)是否只有兩種方式？答：是.理由呢？因?yàn)橛赏茝V的抽屜原理,

工和1中至少有一個(gè)(1=ix(|)),也即至少有一個(gè)或?yàn)楣ぃ?/p>

xy33232

為!從而歸于兩種形式那么難度再增加一些，對(duì)不定方程求整數(shù)

35xy

求整數(shù)解呢？

用“靈感來(lái)禳!■=言是一種解，最容易的是!?=,

32)X311ID5J

;+［那么還有第三種解嗎?

9I1,

用推廠的抽屜原理分析：稱分拆成兩個(gè)部分，當(dāng)LHL時(shí)，（不妨設(shè)

Jxy

設(shè)L〉L即x<y）必有!〉葭工只有2種可能［，<|?<J］：j,從而

xyx5x（x52134

-=I4>或1=4-9,合理情況只有在前一種中的工=1一種，所以

y53y54y15

當(dāng)」+工的整數(shù)解只有1?4+聶卜；+白兩種。

5xy5555315

五年級(jí)奧數(shù)下冊(cè)：第七講從不定方程1/n=1/x+1/y的整數(shù)解習(xí)題

習(xí)題七

M1WZS11

1.求不定方程5x丁的全部整數(shù)解。

.^1―=-1~+-1

2.求不定方程3。xy的整數(shù)解中，使x+y為最小以及最大的兩組解。

3.應(yīng)用公式"8+D?附+1（5）,證明:

111199

---+----+----+...+-------=---

1x22x33x499x100100o

4.證明：

--=—+—+—

5.求不定方程1°xyz的整數(shù)解，你能求出全部整數(shù)解并證明再?zèng)]

有別的角嗎？

6.計(jì)算

+???+

1x2x32x3x43x4x598x99x100

五年級(jí)奧數(shù)下冊(cè)：第七講不定方程1/n=1/x+1/y的整數(shù)解習(xí)題解答

習(xí)題七解答

,11111

_=__+__=_+__

■51010630

2.301=22X32X52,為找出它的全部因子，我們這里介紹“字典法則”:

2o.3o.50=1,20?30?51=5,20?3°?52=25,

20?31?5°=3,20?31*5E5,20?3X?5J75,

2。?32?50=9,20?3:?5f,2。?32?5三225,

2-3。?5°=2,21?30?5i=10,21.3。?52=50,

21?31?5°=6,21?31?5i=30,21*31*5:=150,

21?32?50=18,21?32?51=90,21?32?5F0

22?3°?5M,22?3°?51=20,22.30.52=100,

2;?31?50=12,2:?31?51=60,22?31?52=300,

22

2：.32.5°=36,2?3?51=180,22?32.52=900

大家都知道英語(yǔ)字典排序規(guī)則，先有a部，再看第二個(gè)字母的順序，第二個(gè)

字母相同時(shí)，看第三個(gè)字母的順序，等等.這里因子的嘉值正好借用作順序編

號(hào).(當(dāng)然上題每個(gè)因子恰好是2次得，如別的也一樣，如：23X22X51的因子

字典法排序?yàn)椋?/p>

2°?3°?5°,2°?3°?5°,'

2°?31?50,20*31?51,I先排2。的有6個(gè)

再排戲的也有6個(gè)

21?3°?5°,21?30?51

23?3°?5°,23?3°?51

最后2s的也有6個(gè)

23?31?5°,23?31?51,共有4X3X2=24個(gè).)

23?32*5°,23?32?51

回到本題，302的27個(gè)因子從小到大按方向”排序?yàn)?

123456910121518202530

AAJ.A小小

■..

VTTTT

90045030022518015010090756050453630

其實(shí)只要排出30以下，另一頭用30；的互補(bǔ)因子即可，利用

11111

--=------+-------—+—

3030+t30+t'xy

立即知x+y=60+t+<現(xiàn)在問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求t+t的最大最小值問(wèn)題了.這里要求小

學(xué)生會(huì)聯(lián)想和類比，大家知道等積問(wèn)題的一種結(jié)論：面積固定的長(zhǎng)方形中，正

方形的周長(zhǎng)最小.或者兩數(shù)乘積不變的情況下，兩數(shù)相等時(shí)和最小。

現(xiàn)在t<=3()2固定，要t+f最小，當(dāng)然是t=f=30,所以x、最小為120。

那么x+y最大，也即60+t+t最大，經(jīng)前面t,t排成二行的表一看就知為

60+90044=961。

3.按照公式〒1^=1-2可得:

n(n+1)nn+1

1_11

-i---=i__—i_

i^2'=i-2

2x323

1_11111

3><4~3~4,，99x100-99~100

因此

----+-----+-----++---------

1x22x33x499x100

+------+--------

2233~4989999100

1_99

100-ioo

1111111111

.=_—_

4.—+—=1-—10+15=I-3*2?+28

36234

111111111111

364545'556656’789167’

11_11

105+120=7-8*

因此

11111111111111

—+—+—+—+—+——+——+—+—+——+——+—+-----+------

3610152128364555667891105120

,17

=1--=-O

88

5.首先設(shè)x<z,因?yàn)轱@然不會(huì)有x=y=z的解.由推廣的抽屜原理:

10x^3(ioj30

.10彳/30，2

———=4+y,

又因迦須是整數(shù)，所以x可能的值只有：2、3、4o

Zr.71111

①如X1=2,-.......=y=—+—,

10X]5yz

利用前面知識(shí)52只有兩組互補(bǔ)