上海市北郊高級(jí)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

上海市北郊高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解

析參考答案：

C

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有A1

是一個(gè)符合題目要求的sm^4=-4.

5.“2”是…=30，，的（）條件

1.將參加夏令營(yíng)的600名學(xué)生編號(hào)為：001,002,600.采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為50的

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必

樣本，且隨機(jī)抽得的號(hào)碼為003.這600名學(xué)生分住在三個(gè)營(yíng)區(qū)，從001到300在第I營(yíng)區(qū)，從301

要

到495在第H營(yíng)區(qū)，從496到600在第1H營(yíng)區(qū).三個(gè)營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)依次為（）

工

25,17,8B.25,16,9C.26,16,8D.24,17,參考答案：

9

B

參考答案:

A

x=>-2

2.一個(gè)空間幾何體的三視圖如右圖所示，俯視圖為正三角形，則它的外接球的表面積為（）6.已知不等式組lx<2,表示的平面區(qū)域?yàn)镈,點(diǎn)0（0,0）,A（1,0）.若點(diǎn)M是D上的動(dòng)

田N

點(diǎn)，則?詞的最小值是（）

V1Q-5V2-10

A.10B.5c.2D.10

參考答案：

112交28g

3~3~A

A.47rB.C.D.16乃

【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃；9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

參考答案：

【分析】利用向量的數(shù)量積將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可得到結(jié)論.

B瓦?而..叵?麗

a_112【解答】解：設(shè)磯，則

z=?2=|OA||oiH=|O^?COSZAOM,

{4}s庫(kù)（耳+1）n11n

3.數(shù)列的通項(xiàng)公式是，若其前項(xiàng)的和為，則項(xiàng)數(shù)為（）VO（0,0）,A（1,0）.

A.12B.11C.10D.9/.I0Al=i,

參考答案：

.?.z=I0A|?cosZAOM=cosZAOM,

C作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

4.已知雙曲線戶一聲一（a>0,b>0）的離心率為［立為，則它的兩條漸近線所成的角中以要使cosZAOM最小，

實(shí)軸為平分線的角的大小為（）則/AOM最大，

即當(dāng)M在C處時(shí)，ZAOM最大，

A."B.?C.亨爭(zhēng)D.停㈤

fx+y=4(x=l【考點(diǎn)】確定直線位置的幾何要素.

由限乎-2得1y=3,即c(1,3).

【分析】設(shè)直線1的傾斜角為0,oe[0,IT).可得tanO=-1,解得0.

則IAC|=VTQ【解答】解：設(shè)直線1的傾斜角為0,?！闧0,J：).

iVioe衛(wèi)

貝i|cosZA0M^/^0=1°,/.tan0=-1,解得4.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

隆+盡1

<K__1

9.已知x、y滿足不等式組〔,若直線x-y-a=0平分不等式組所表示的平面區(qū)域的面積,

則a的值為()

1_V2.

A.-2B.-2C.1-2^2D.1-V2

7.數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)?(n+2)?...?(n+n)=2產(chǎn)卜3、..金(2n-1)(neN-)成立時(shí)，從n=k到參考答案：

n=k+1左邊需增加的乘積因式是()

D

2c4-12k4-3

A.2(2k+1)B.C.2k+1D.t+1【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.

【分析】求出可行域的面積，利用點(diǎn)到直線的距離公式轉(zhuǎn)化求解即可.

參考答案:

x+y<l

Ax-y>-1

【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法.

【解答】解：x、y滿足不等式組的可行域如圖：陰影部分三角形，可得三角形的面積

【分析】分別求出n=k時(shí)左邊的式子，n=k+1時(shí)左邊的式子，用用1<+1時(shí)左邊的式子，比較兩個(gè)表達(dá)

為：7x2X1=i.

式，即得所求.

【解答】解：當(dāng)n=k時(shí)，左邊=(k+1)(k+2)...(k+k),

直線x-y-a=0平分不等式組所表示的平而區(qū)域的面積，而積為：2,

當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=(k+2)(k+3)...(k+k)(2k+1)(2k+2),

(2k+D(2k+2)此時(shí)(1,0)到直線x-y-a=0的距離為：

故從“k”到“k+l”的證明，左邊需增添的代數(shù)式是k+1=2(2k+1),|1-al

1.可歐=1，

故選A.

8.已知直線I的斜率為-1,則直線1的傾斜角為()

7T7T3冗

A.0B.4c.2D.4

參考答案:

D

n

-2)?+y==2相交時(shí)包含的基本事件數(shù)n,最后事件發(fā)生的概率為P=N

I22，4

【解答】解：???直線ax-by=0與圓(x-2)什產(chǎn)2相交，J圓心到直線的距離+b

即a<b

-3-2

???設(shè)一顆骰子投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)為(a,b),則這樣的有序整數(shù)對(duì)共有6X6=36個(gè)

其中a<b的有(1,2),(I,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,

5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共5+4+3+2+1=15

解得aJ-血

個(gè)，

故選：D.5

io,函數(shù)癡=】+”一皿在37%的單調(diào)情況是()???直線ax-by=0與圓(x-2):+y?=2相交的概率為P=12

5

A.單調(diào)遞增：

故答案為12.

B.單調(diào)遞減：

12.在三棱錐戶一4BC中，RA_L底面ABC,AC±BC,PA=AC=BC,則異而直線48所成角的

a=(cos名-d)Or2yr)大小是▲.

C.在‘fJ上單調(diào)遞增，在‘1''上單調(diào)遞減；

參考答案：

D.在起皿2.因上單調(diào)遞減，在阮加)上單調(diào)遞增：

60°

y-1

參考答案：

13.設(shè)點(diǎn)4(2,-3),8(-3,—2),點(diǎn)P(x,y)是線段48上任一點(diǎn)，則了一1的取值范圍

是______

【分析】

/W

通過(guò)求導(dǎo)來(lái)判斷的單調(diào)性。參考答案：

fQ)=1+Gn*之0/W=l+x-cosx(。,2用

【詳解】因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞增，故選A.3

k24或kW-4

【點(diǎn)睛】此題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，此題為基礎(chǔ)題.

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

一十2團(tuán)的七比*“、口隊(duì)+廿x=3*v^d(〉y=rand()(rand^)*一冷―。

11.將一顆骰子投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a,b,則直線ax-by=0與圓(x-2)二+產(chǎn)2相交的概率14.在隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)中，若，，表不生成

為^x2y2x2/

、一+—<1—+—=1

~J辟H9494

參考答案:到之間的隨機(jī)數(shù)，共做了次試驗(yàn)，其中有次滿足，則橢圓的面積可

5估計(jì)為---------------------O

12

參考答案：

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；古典概型及其概率計(jì)算公式.

24履

【分析】利用古典概型概率計(jì)算公式，先計(jì)算總的基本事件數(shù)N,再計(jì)算事件直線ax-by=0與圓(x

15.圓(x-4)：l+S-■l)：l=5內(nèi)一點(diǎn)p⑶0),則過(guò)點(diǎn)P的最短弦所在直線方程為.

A5；=BBX-BA,BM=5C-|BBl

參考答案：

x+y-3=O…蔣，皿『坐我沖

.由、、、、這五個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則所有這些四位數(shù)的個(gè)位數(shù)字的和

16123452版?押2M.褥，故填寫(xiě)90,

為一_________

參考答案：

360三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟

【考點(diǎn)】D8：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用.

18.(本小題滿分12分)

【分析】根據(jù)題意，按個(gè)位數(shù)字的不同分5種情況討論，每種情況下求出滿足題意的四位數(shù)數(shù)目，計(jì)

算可得這些四位數(shù)個(gè)位數(shù)字的和，將5種情況卜.的四位數(shù)“個(gè)位數(shù)字的和“相加，即可得答案.巴士g(K)=+logM)(?>0且"1)"、/]

(1)設(shè)X2，求和

【解答】解：根據(jù)題意，分5種情況討論：

①、當(dāng)個(gè)位數(shù)字為1時(shí)，在2、3、4、5四個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，安排在前3個(gè)數(shù)位，有Aa=24種情況,⑵賀力=43*-啕叱求8+5的值。

?

即當(dāng)個(gè)位數(shù)字為1時(shí)，有24個(gè)滿足題意的四位數(shù)，

參考答案：

則其個(gè)位數(shù)字的和為1X24=24,

(cosx)fx-(cosx)(x)f_-xsinx-cosx

②、當(dāng)個(gè)位數(shù)字為2時(shí)，同理可得有24個(gè)滿足題意的四位數(shù)，/(%)=---------o--------=-------5------

解：(1)X31.....3分

則其個(gè)位數(shù)字的和為2X24=48,

③、當(dāng)個(gè)位數(shù)字為3時(shí)，同理可得有24個(gè)滿足題意的四位數(shù)，/5)=)(1)'+Qog?*+

22xha

則其個(gè)位數(shù)字的和為3X24=72,

........3分

④、當(dāng)個(gè)位數(shù)字為4時(shí)，同理可得有24個(gè)滿足題意的四位數(shù)，

(2)

則其個(gè)位數(shù)字的和為4X24=96,

a=23x2tog45=4x5=20

⑤、當(dāng)個(gè)位數(shù)字為5時(shí)，同理可得有24個(gè)滿足題意的四位數(shù)，

........2分

則其個(gè)位數(shù)字的和為5X24=120,

則所有這些四位數(shù)的個(gè)位數(shù)字的和為：

24+48+72+96+120=360lg21g31g5lg21g2

故答案為:360.

........3分

17.如圖，已知正三棱柱工的各條棱長(zhǎng)都相等，"是

a+5-24

eq

側(cè)棱的中點(diǎn)，則異面直線所成的角的大小.....1分

是---------

略

參考答案：

/(x)=sinjfeosx4-cos2-x-

解析：不妨設(shè)棱長(zhǎng)為2,選擇基向量，則19.(本小題滿分10分)已知函數(shù)

￡￡式釬麴」工2+19=19-仁+馬

（II）依題意年平均利潤(rùn)為------工--------2——口-----------工一工----------9分

（I）求了（工）的最小正周期；（11）求函數(shù)/（工）在L&t」的最大值和最小值.

---^+―>2^=122

參考答案：2工，當(dāng)且僅當(dāng)Y二144即瓦=12時(shí)等號(hào)成立

（I）由已知，得二該醫(yī)院在第12年底出售該機(jī)器時(shí)經(jīng)濟(jì)效益最大-------------------------------12分

/.J;.=1S?I2X+ACOS2I“，…皿2分21.解關(guān)于x的不等式：

（1）3X2-7又>10

=￥sin（2為+?）.........4分

x-1.

⑵而T《。

所以T=^-=n,

參考答案：

現(xiàn)一/，x，的最小正周期為始……二二5分【考點(diǎn)】其他不等式的解法.

（口）因?yàn)?NwxmI,所以O(shè)M2*+EM史.……“一…??…6分【分析】（1）將不等式一邊化為0,分解因式，解之；

8244

（2）將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式解之即可.

于是.當(dāng)2x+9髀，即x.時(shí)./，不，取得最大值爭(zhēng)……8分

【解答】解：（1）原不等式可化為：3x2-7x-10>0

10

當(dāng)2x+?=孚時(shí).即*=彳時(shí)，「X，取得最小值……………L0分

則方程3X2-7x-10=0的兩根為x=3,x=-1

442212

10

20.某大型醫(yī)院年初以102萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)高檔掃描儀器，在使用期間每年有20萬(wàn)元的收入.該機(jī)器的???不等式的解集為{x1?IVxV3}

維護(hù)費(fèi)第一年為1萬(wàn)元，隨著機(jī)器磨損，以后每年的維護(hù)費(fèi)比上一年多1萬(wàn)元，同時(shí)該機(jī)器第x（2）原不等式等價(jià)于（x-1）（2x+l）W0且2x+lW0

30-lx

（KE_AT,KW60）年底可以以（2）萬(wàn)元的價(jià)格出售.則方程（x-1）（2x+l）=0的兩根為x=4x=1

12

①求該大型醫(yī)院到第x年底所得總利潤(rùn)），（萬(wàn)元）關(guān)于x（年）的函數(shù)解析式，并求其最大值；

???不等式的解集為{x[2<xWl}

（ID為使經(jīng)濟(jì)效益最大化，即年平均利潤(rùn)最大，該大型醫(yī)院應(yīng)在第幾年底出售這臺(tái)掃描儀器？說(shuō)明

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓xHy2=4上的一點(diǎn)P（x,y）（x,y>0）處的切線1分別交x軸，

理由.0006

y軸于點(diǎn)A,B,以A,B為頂點(diǎn)且以0為中心的橢圓記作C,直線0P交C于M,N兩點(diǎn).

參考答案：

-6

儂=20102-[>+^^2]?30-，=-5/+19x-72①若橢圓C的離心率為°,求P點(diǎn)的坐標(biāo)

（I）依題意得-----------------------2--------------2---------------------------------4分J?

②證明四邊形AMBN的面積S>8“'

VXGN*,x<60

參考答案：

217

二當(dāng)工叫個(gè)可

【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).

【分析】）運(yùn)用直線的斜率公式，可得直線的方程，求得的坐標(biāo)，可得橢圓的方程，討論

217（11A,B

-T焦點(diǎn)位置，運(yùn)用離心率公式可得P的坐標(biāo)：

…該醫(yī)院到第19年所得的總利潤(rùn)最大，最大值為萬(wàn)元.6分

（2）直線0P的斜率為k,依題意有k>0且kWL直線OP的方程為丫=1^,直線1的方程為

廠九二一看收一?。﹜=kx

，求得A,B的坐標(biāo)，橢圓方程，代入直線丫=10（,求得M,N的坐標(biāo)，可得|0M|,|AB|,運(yùn)用四邊形的（5十5）

面積公式和基本不等式，化簡(jiǎn)整理，即可得到結(jié)論.聯(lián)立

>y°_XO兀二一次~缶-叼）

i---y~

【解答】解：（1）依題意y0.直線i方程為

22

X。.4y。，4C+y。）

y=-+y=—X=-+x0=一

令x=o,得V。0yo,令y=O,得X0,解出

xo+kyo-o+kyxo+ky。xo+ky。

M(一八六，k-r=-。-)NL)

0)tB(0i)可得Vl+k4Vlfk41+k41+k4

即有°t

2

22（①十1，幾）2(M+kVo)2l+k2

xy

|OH2-+k（xo+ky（））2

d2I-l+k41+k41+k4

3)即有

橢圓c的方程為x°

22，2

嗚(/)xo+V()

4川+$