小學(xué)奧數(shù)教程-簡單乘法原理

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尊弟目強(qiáng)

乘法原理主要內(nèi)容，掌握乘法原理運(yùn)用的方法；

分清楚什么時(shí)候用乘法原理，分清有幾個(gè)必要的步驟，以及各步之間的關(guān)系.

3.培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確分解步滕的解題能力；

乘法原理的數(shù)學(xué)思想主旨在于分步考慮問題，本講的目的也是為了培養(yǎng)學(xué)生分步考慮問題的習(xí)慣.

一'乘法原理概念引入

老師周六要去給同學(xué)們上課，首先得從家出發(fā)到長寧上8點(diǎn)的課，然后得趕到黃埔去上下午1點(diǎn)半的課.如

果說申老師的家到長寧有5種可選擇的交通工具（公交、地鐵、出租車、自行車、步行），然后再從長寧到

黃埔有2種可選擇的交通工具（公交、地鐵），同學(xué)們，你們說老師從家到黃烯一共有多少條路線？

我們看上面這個(gè)示意圖，老師必須先的到長寧，然后再到黃踴.這幾個(gè)環(huán)節(jié)是必不可少的，老師是一定

要先到長寧上完課，才能去黃楠的.在沒學(xué)乘法原理之前，我們可以通過一條一條的數(shù)，把線路找出來，顯

而易見一共是10條路線.但是要是老師從家到長寧有25種可選擇的交通工具，并且從長寧到黃埔也有30種

可選擇的交通工具，那一共有多少條線路呢？這樣數(shù)，恐怕是要耗費(fèi)很多的時(shí)間了.這個(gè)時(shí)候我們的乘法原

理就派上上用場了.

二、乘法原理的定義

完成一件事，這個(gè)事情可以分成"個(gè)必不可少的步臊（比如說老師從家到黃埔，必須要先到長寧，那么

一共可以分成兩個(gè)必不可少的步驟，一是從家到長寧，二是從長寧到黃埔），第1步有A種不同的方法，第

二步有8種不同的方法，第"步有N種不同的方法.那么完成這件事情一共有AxBxxN種不同的

方法.

結(jié)合上個(gè)例子，老師要完成從家到黃埔的這么一件事，需要2個(gè)步驟，第1步是從家到長寧，一共5種

選擇；第2步從長寧到黃埔，一共2種選擇；那么老師從家到黃楠一共有5x2個(gè)可選擇的路線了，即10條.

三'乘法原理解題三部曲

1、完成一件事分N個(gè)必要步驟；

2、每步找種數(shù)（每步的情況都不能單獨(dú)完成該件事）；

3、步步相乘

四、乘法原理的考題類型

1、路線種類問題——比如說老師舉的這個(gè)例子就是個(gè)路線種類問題；

2、字的染色問題——比如說要3個(gè)字，然后有5種顏色可以給每個(gè)字然后，問3個(gè)字有多少種染色方法;

3、地圖的染色問題——同學(xué)們可以回家看地圖，比如中國每個(gè)省的染色情況，給你幾種顏色，問你一張

包括幾個(gè)部分的地圖有幾種染色的方法；

4、排隊(duì)問題——比如說6個(gè)同學(xué)，排成一個(gè)隊(duì)伍，有多少種排法；

5、數(shù)碼問題——就是對一些數(shù)字的排列，比如說給你幾個(gè)數(shù)字，然后排個(gè)幾為數(shù)的偶數(shù)，有多少種排法.

【例1】郵遞員投遞郵件由A村去8村的道路有3條，由8村去C村的道路有2條，那么郵遞員從A村經(jīng)

8村去C村，共有多少種不同的走法?

【考點(diǎn)】簡單乘法原理

【解析】把可能出現(xiàn)的情況全部考慮進(jìn)去.

第一步第二步

A村南A8村==^C村

北1號(hào)路一

4村一村F-一C村

2號(hào)路

中1號(hào)路一

A村-----AB村--C村

2號(hào)路

由分析知郵遞員由A村去8村是第一步，再由5村去C村為第二步，完,成笫一步有3種方法，而每

種方法的第二步又有2種方法.根據(jù)乘法原理，從A村經(jīng)B村去C村，共有3x2=6種方法.

【答案】6

【鞏固】如下圖所示，從A地去8地有5種走法，從8地去C地有3種走法，那么李明從4地經(jīng)8地去C

地有多少種不同的走法？

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】1星【題型】解答

【解析】從A地經(jīng)B地去C地分為兩步，由A地去8地是第一步，再由B地去C地為第二步，完成第一步

有5種方法，而每種方法的第二步又有3種方法.根據(jù)乘法原理，從4地經(jīng)B地去C地，共有5x3=15

種方法.

【答案】15

【例2】如下圖中，小虎要從家沿著線段走到學(xué)校，要求任何地點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過.問：他最多有幾種不同

走法？

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】1星【題型】解答

【解析】從家到中間結(jié)點(diǎn)一共有2種走法，從中間結(jié)點(diǎn)到學(xué)校一共有3種走法，根據(jù)乘法原理，一共有3x2=6

種走法.

【答案】6

【鞏固】在下圖中，一只甲蟲要從A點(diǎn)沿著線段爬到3點(diǎn)，要求任何點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過.問：這只甲蟲最多有

幾種不同走法？

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】1星【題型】解答

【解析】甲蟲要從A點(diǎn)沿著線段爬到8點(diǎn)，需要經(jīng)過兩步，第一步是從A點(diǎn)到C點(diǎn)，一共有3種走法；第二

步是從C點(diǎn)到B點(diǎn)，一共也有3種走法，根據(jù)乘法原理一共有3x3=9種走法.

【答案】9

【鞏固】在右圖中，一只甲蟲要從A點(diǎn)沿著線段爬到8點(diǎn)，要求任何點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過.問：這只甲蟲最多有

幾種不同走法？

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【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】2星【題型】解答

【解析】從A點(diǎn)沿著線段爬到B點(diǎn)需要分成三步進(jìn)行，第一步，從A點(diǎn)到C點(diǎn)，一共有3種走法；第二步，

從C點(diǎn)到。點(diǎn)，有1種走法：第三步，從。點(diǎn)到B點(diǎn)，一共也有3種走法.根據(jù)乘法原理，一共

有3x1x3=9種走法.

【答案】9

【鞏固】在右圖中，一只螞蟻要從A點(diǎn)沿著線段爬到8點(diǎn)，要求任何點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過.問：這只螞蟻?zhàn)疃嘤?/p>

幾種不同走法？

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】2星【題型】解答

【解析】解這道題時(shí)千萬不要受鋪墊題目的影響，第一步，A點(diǎn)到C點(diǎn)的走法是3種；第二步，從C點(diǎn)到。點(diǎn)，

有1種走法；但第三步，從。點(diǎn)到B點(diǎn)的走法并不是3種，由。出去有2條路選擇，到下一岔路口又

有2條路選擇，所總共有2x2=4（種）走法，根據(jù)乘法原理，這只螞蟻?zhàn)疃嘤?x1x4=12（種）不同

走法.

【解析】從A點(diǎn)沿著線段爬到B點(diǎn)需要分成三步進(jìn)行，第一步，從A點(diǎn)到C點(diǎn)，一共有3種走法；第二步,

從C點(diǎn)到。點(diǎn)，一共也有3種走法；第三步，從。點(diǎn)到8點(diǎn)，一共也有3種走法.根據(jù)乘法原理,

一共有3x3x3=27種走法.

【答案】27

【鞏固】在右圖中，一只甲蟲要從A點(diǎn)沿著線段爬到3點(diǎn)，要求任何點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過.問：這只甲蟲最多有

幾種不同走法？

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】3星【題型】解答

【解析】解這道題時(shí)千萬不要受鋪墊題目的影響，A點(diǎn)到C點(diǎn)的走法不是3種，而是4種，C點(diǎn)到5點(diǎn)的走

法也是4種，根據(jù)乘法原理，這只甲蟲最多有4x4=16種走法.

【答案】16

［例3］如果將四面顏色不同的小旗子掛在一根繩子上，組成一個(gè)信號(hào)，那么這四面小旗子可組成種

不同的信號(hào)。

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】1星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】4x3x2x1=24

【答案】24種

【鞏固】按下表給出的詞造句，每句必須包括一個(gè)人、一個(gè)交通工具，以及一個(gè)目的地，請問可以造出多少

個(gè)不同的句子？

爸爸。y飛機(jī)3北京，

y

媽媽~乘火車去~拉薩一

我。汽車“臺(tái)北7

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】2星【題型】解答

【解析】1、造一個(gè)句子必須包含三個(gè)部分，即人、交通工具、目的地.

2、那么這個(gè)句子可以分成三個(gè)部分；第一個(gè)步——選擇人物，有三種選擇；第二步——選擇交通工

具，有三種選擇；第三個(gè)步——選擇目的地，有三種選擇.

3、根據(jù)乘法原理：3x3x3=27.

【答案】27

【鞏固】小琴、小惠、小梅三人報(bào)名參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的跳繩，跳高和短跑這三個(gè)項(xiàng)目的比賽，每人參加一項(xiàng)，報(bào)

名的情況有種。

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】乘法原理，3x3x3=27種

【鞏固】題庫中有三種類型的題目，數(shù)量分別為3()道、4()道和45道，每次考試要從三種類型的題目中各取

一道組成一張?jiān)嚲?問：由該題庫共可組成多少種不同的試卷？

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】2星【題型】解答

【解析】從該題庫每一類試卷中分三步各選一道題，每一步分別有30、40、45種選法.根據(jù)乘法原理，一共

有30x40x45=54000種不同的選法，所以一共可以組成54000種不同試卷.

【答案】54000

【鞏固】文藝活動(dòng)小組有3名男生，4名女生，從男、女生中各選1人做領(lǐng)唱，有多少種選法？

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】2星【題型】解答

【解析】完成這件事需要兩步：一步是從女生中選1人，有4種選法；另一步是從男生中選1人，有3種選

法.因此，由乘法原理，選出1男1女的方法有3x4=12種.還可以用乘法的意義來理解這道題：

男生有3種選法，每選定1個(gè)男生，再選1個(gè)女生，對應(yīng)著4種選法，即3個(gè)男生，每個(gè)男生對應(yīng)

4種選女生的方法，因此選出1男1女共有3x4=12種方法.

【答案】12

【鞏固】要從四年級六個(gè)班中評選出學(xué)習(xí)、體育、衛(wèi)生先進(jìn)集體，有多少種不同的評選結(jié)果？

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】2星【題型】解答

【解析】第一步選出學(xué)習(xí)先進(jìn)集體一共有6種方法，第二步選出體育先進(jìn)集體一共有6種方法，第三步選出

衛(wèi)生先進(jìn)集體一共有6種評選方法，根據(jù)乘法原理，一共有6*6x6=216種評選方法.

【答案】216

【例4】小丸子有許多套服裝，帽子的數(shù)量為5頂、上衣有10件，褲子有8條，還有皮鞋6雙，每次出行

要從幾種服裝中各取一個(gè)搭配.問：共可組成多少種不同的搭配(帽子可以選擇戴與不戴)？

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】2星【題型】解答

【解析】小丸子搭配服裝分四步.第一步選帽子，由于不戴帽子可以看作戴了頂空帽子，所以有5+1=6種選

法；第二步選上衣，有10種選法；第三步選褲子，有8種選法；第四步選皮鞋，有6種選法.根據(jù)

乘法原理，四種服裝中各取一個(gè)搭配,一共有6+Dxl0*8x6=2880種選法，所以一共可以組成2880

種不同搭配.

【答案】2880

【例5】已知圖3是一個(gè)軸對稱圖形，若將圖中某些黑色的圖形去掉后，得到一些新的圖形，則其中軸對

稱圖形共有()個(gè)。

(A)9(B)8(C)7(￡))6

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】3星【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第4題

【解析】兩個(gè)眼睛可以去掉也可以不去掉有2種選擇，同理嘴和腳也是各有兩種選擇，所以共有2x2x2=8種

選擇，但是題目說的新圖型，所以要去掉題目已給的形式，共有8-1=7種，所以答案是：C

【答案】C

【例6】從四年級六個(gè)班中評選出學(xué)習(xí)、體育、衛(wèi)生先進(jìn)集體，如果要求同一個(gè)班級只能得到一個(gè)先進(jìn)集

體，那么一共有多少種評選方法？

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】2星【題型】解答

【解析】第一步選出學(xué)習(xí)先進(jìn)集體共有6種方法，第二步從剩下班級中選出體育先進(jìn)集體共有5種方法，第

三步選出衛(wèi)生先進(jìn)集體只剩有4種評選方法，根據(jù)乘法原理，共有6x5x4=120種評選方法.

【答案】120

【鞏固】奧運(yùn)吉祥物中的5個(gè)“福娃”取“北京歡迎您”的諧音：貝貝、京京、歡歡、迎迎、妮妮。如果在盒子

中從左向右放5個(gè)不同的“福娃”，那么，有種不同的放法。

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，二試，第2題

【解析】5個(gè)"福娃''各不相同，所以放第一個(gè)時(shí)有5種放法，放第二個(gè)時(shí)有4種放法，放第三個(gè)時(shí)有3種放法，

放第四個(gè)時(shí)有2種放法，放第五個(gè)時(shí)有1種放法，總共有：5x4x3x2x1=120種放法。

【答案】120種

【例7】從全班20人中選出3名學(xué)生排隊(duì)，一共有多少種排法？

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】2星【題型】解答

【解析】分三步，分別挑選第一人，第二人，第三人，分別有20,19,18種挑選法，一共有20x19x18=6840

種排法.

【答案】6840

【例8】五位同學(xué)扮成奧運(yùn)會(huì)吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目.如果貝貝

和妮妮不相鄰，共有多少種不同的排法？

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】3星【題型】解答

【解析】五位同學(xué)的排列方式共有5x4x3x2x1=120（種）.

如果將相鄰的貝貝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4x3x2x1=24（種）;

因?yàn)樨愗惡湍菽菘梢越粨Q位置，所以貝貝和妮妮相鄰的排列方式有24x2=48（種）；

貝貝和妮妮不相鄰的排列方式有120-48=72（種）.

【答案】72

【鞏固】10個(gè)人圍成一圈，從中選出三個(gè)人，其中恰有兩人相鄰，共有多少種不同選法？

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】3星【題型】解答

【解析】兩人相鄰的情況有10種，第三個(gè)人不能與他們相鄰，所以對于每一種來說，只剩6個(gè)人可選，10x6=60

（種）共有60種不同的選法.

【答案】60種

【鞏固】12個(gè)人圍成一圈，從中選出3個(gè)人，其中恰有兩個(gè)人相鄰，共有一種不同的選法。

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級，第4題

【解析】現(xiàn)在恰有兩個(gè)人相鄰，我們首先來從這12個(gè)人中選出兩個(gè)相鄰的人，由于這12個(gè)人是圍成1圈的，那

么共有12種選法；

根據(jù)乘法原理，共有12x8=96種

【答案】96種

【例9】“數(shù)學(xué)”這個(gè)詞的英文單詞是“M477T.用紅、黃、藍(lán)、綠、紫五種顏色去分別給字母染色，每個(gè)

字母染的顏色都不一樣.這些顏色一共可以染出多少種不同搭配方式？

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】2星【題型】解答

【解析】為了完成對單詞“MA77V的染色，我們可以按字母次序，把這個(gè)染色過程分四步依次完成：

第1步——對字母染色，此時(shí)有5種顏色可以選擇；

第2步——對字母“A”染色，由于字母“AT已經(jīng)用過一種顏色，所以對字母“力”染色只有4種顏色可以

選擇；

第3步——對字母染色，由于字母"AT和已經(jīng)用去了2種顏色，所以對字母■“〃染色只剩3種顏

色可以選擇；

第4步——對字母“尸，染色，由于字母"AT、"A”和已經(jīng)用去了3種顏色，所以對字母“廳’染色

只有2種顏色可以選擇.

由乘法原理，共可以得到5x4x3x2=120種不同的染色方式.

【小結(jié)】下面的這棵枚舉樹清晰地揭示了利用乘法原理分步計(jì)數(shù)的過程：

,,“有5種選擇，這是其中的一種染法-g

每種選擇有4種搭配

A

每種搭配又可搭配3種

每種搭配又可搭配2種》國畫

H

思考一下，如果不要求“每個(gè)字母染的顏色都不一樣“，會(huì)有多少種不同的染色方式？

每個(gè)字母都有5種顏色可選，那么染色方式一共有5x5x5x5=625種染色方式.

【答案】120

【鞏固】“/MO”是國際數(shù)學(xué)奧林匹克的縮寫，把這3個(gè)字母用3種不同顏色來寫，現(xiàn)有5種不同顏色的筆,

問共有多少種不同的寫法？

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】2星【題型】解答

【解析】第一步寫“廣有5種方法，第二步寫“AT有4種方法，第三步寫“O”有3種方法，共有5x4x3=60種

方法.

【答案】60

【鞏固】“學(xué)習(xí)改變命運(yùn)”這六個(gè)字要用6種不同顏色來寫，現(xiàn)只有6種不同顏色的筆，問共有多少種不同

的寫法？

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】2星【題型】解答

【解析】第一步寫“學(xué)''有6種方法，第二步寫“習(xí)'’有5種方法，第三步寫"改'’有4種方法，第四步寫“變”有3

種方法，第五步寫“命”有2種方法，第六步寫“運(yùn)”有1種方法，根據(jù)乘法原理，一共有

6*5x4x3x2x1=720種方法.

【答案】720

【例10】有6種不同顏色的筆，來寫“學(xué)習(xí)改變命運(yùn)”這六個(gè)字，要求相鄰字的顏色不能相同，有多少種不

同的方法？

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】2星【題型】解答

【解析】寫第一個(gè)字有6種選擇，以后每寫一個(gè)字，只要保證不與前一個(gè)字相同就行了，都有5種選擇，所

以，有6*5x5x5x5x5=18750種寫法.

【答案】18750

【鞏固】用5種不同顏色的筆來寫“智康教育”這幾個(gè)字，相鄰的字顏色不同，共有多少種寫法？

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】2星【題型】解答

【解析】第一個(gè)字有5種寫法，第二個(gè)字有4種寫法，第三個(gè)字也是4種寫法，同理后面的字也是4種寫法，

共有5x4x4x4=320種.

【答案】320

【例11】聯(lián)歡會(huì)上有一則數(shù)字謎語，謎底是一個(gè)八位數(shù)?，F(xiàn)已猜出：口54口7口39,主持人提示：“這個(gè)無重復(fù)

數(shù)字的八位數(shù)中，最小的數(shù)是2?！币鲁鲞@個(gè)謎語，最多還要猜次。

【考點(diǎn)】簡單乘法原理【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，一試，第12題

【解析】根據(jù)題