小學(xué)奧數(shù)盈虧問題精講

盈虧問題

“老猴子給小猴子分梨。每只小猴子分6個(gè)梨，就多出12個(gè)梨;

每只小猴子分7個(gè)梨，就少11個(gè)梨。有幾只小猴子和多少個(gè)梨？”

這道應(yīng)用題是已知兩種分配的方法,一次分配有余,一次分配不足,

求參加分配的數(shù)量及被分配的總量。這樣的應(yīng)用題,通常叫做盈虧問

題（有余時(shí)稱盈,不足時(shí)稱虧）。

解盈虧問題,常常采用比較的方法。

JULJUL

試品典型例題

例【1】老猴子給小猴子分梨。每只小猴子分6個(gè)梨，就多出

12個(gè)梨；每只小猴子分7個(gè)梨，就少11個(gè)梨。有幾只小猴子和多少

個(gè)梨？

I

分析每只小猴子分6個(gè)梨則多12個(gè)梨;每只小猴子分7

個(gè)梨就少71個(gè)梨,這說明小猴子的總只數(shù)為：12+11=23（只）,也

就是說:不足的個(gè)數(shù)十多余的個(gè)數(shù)=小猴子的只數(shù)

解小猴子的只數(shù)為：12+11=23（只）

梨子的個(gè)數(shù)為：

23X6+12=150（個(gè)）或：23X7-11=150（個(gè)）

答：有23只小猴子，150個(gè)梨。

例【2】麗麗阿姨給幼兒園小朋友分蘋果。如果每人分3個(gè)，

多16個(gè)；如果每人分5個(gè)，那么就差4個(gè)。有多少個(gè)小朋友？有多

少個(gè)蘋果？

分析先比較兩種分法中各個(gè)量之間的關(guān)系：每人分3個(gè),

余16個(gè)蘋果。每人分5個(gè),還差4個(gè)蘋果。這兩次分蘋果,每人相

差的個(gè)數(shù)為:5-3=2（個(gè)）。第1次余16個(gè),第2次少4個(gè),那么

第2次與第1次總共相差蘋果的個(gè)數(shù)為:4+16=20（個(gè)）。每人相差

2個(gè),結(jié)果總數(shù)就相差20個(gè)。

解有小朋友的人數(shù)為：

204-2=10（人）

有蘋果的個(gè)數(shù)為：

3X10+16=46（個(gè)）或5X10-4=46（個(gè)）

綜合算式：（4+16）+（5-3）=10（人）

3X10+16=46（個(gè)）

答：這個(gè)幼兒園有10位小朋友，蘋果的總數(shù)是46個(gè)。

例【3】北京東路小學(xué)學(xué)生乘汽車到中山陵去春游。如果沒車

坐65人，則有15人不能乘車。如果每車多坐5人，恰好多余了一輛

車。一共有幾輛汽車？有多少學(xué)生？

分析每車多坐5人，也就是每車坐70人，恰好多余了一

輛車,也就是還差一輛車的人,即70人。因此,問題轉(zhuǎn)化為:如果

每車坐65人,則有15人不能乘車。如果每車坐70人,則還差70人。

求有多少人和多少輛汽車。

解（15+70）4-（70-65）=17（輛）

65X17+15=1120（人）

答：一共有17輛汽車，1120位學(xué)生。

例【4】小明的爺爺買回一筐梨，分給全家人。如果小明和小

妹每人分4個(gè)梨，其余每人分2個(gè)梨，還多出4個(gè)梨。如果小明1

人分6個(gè)梨，其余每人分4個(gè)梨，又差12個(gè)梨。小明家有多少人？

這筐梨子有多少個(gè)？

分析第一種分法是小明、小妹各4個(gè)梨,其余每人2個(gè)

梨,多余4個(gè)梨。假設(shè)小明、小妹也分2個(gè)梨,那么會(huì)多多少個(gè)梨呢?

很容易想,多出:2X2+4=81各，第二種分法是小明一人得6個(gè)

梨,其余每人4個(gè)梨,112個(gè)梨。假設(shè)小明也只分4個(gè),那么就只

差:12-2=10（個(gè)）。

解小明家的人數(shù)為：2X2+4+（12-2）=18（個(gè)）

184-2=9（人）

梨子的個(gè)數(shù)為：

4X2+2X（9-2）+4=26（個(gè)）

或：6+4X（9—1）—12—26（個(gè)）

答：小明家有9個(gè)人，這筐梨有26個(gè)。

例【5】同學(xué)們暑假前到圖書館借書，如果每人借4本，則最

后少2本；如果前2人每人先借8本，余下的人每人借3本，這些圖

書恰好借完，書的總數(shù)是多少？

t

解第二種借法中如果每人借3本，則余下:

（8-3）X2=10（本）;

兩種借法每人相差：4-3=1（本）；

兩種借法相差本數(shù)：10+2=12（本）

借書的總?cè)藬?shù)：12+1=12（人）；

書的總數(shù)：4X12-2=46（本）

*

勃

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四4、結(jié)通過以上例題的分析解答，我們不難看

出：一般地，在盈虧問題中：

（盈數(shù)+虧數(shù)）4■兩次差=參加分配的數(shù)

總份數(shù)=總差小個(gè)差

（1）一盈一虧:總差:盈+虧

⑵兩盈：總差=大盈-小盈

⑶兩虧:總差:大虧-小虧

（4）一盈一正好：總差;盈

（5）一虧一正好:總差=虧

練習(xí)（附答案）

1三年級(jí)一班少先隊(duì)員參加學(xué)校搬磚勞動(dòng).如果每人搬4塊磚，

還剩7塊；如果每人搬5塊，則少2塊磚.這個(gè)班少先隊(duì)有幾個(gè)人？

要搬的磚共有多少塊？

分析比較兩種搬磚法中各個(gè)量之間的關(guān)系：

每人搬4塊，還剩7塊磚；每人搬5塊，就少2塊.這兩次搬磚,

每人相差5-4=1（塊）。

第一種余7塊，第二種少2塊，那么第二次與第一次總共相差席

數(shù)：7+2=9（塊）

每人相差1塊，結(jié)果總數(shù)就相差9塊，所以有少先隊(duì)員94-1=9

（人）。

共有磚：4x9+7=43（塊）。

解：（7+2）+（5-4）=9（人）

4x9+7=43（塊）或5x9-2=43（塊）

答：共有少先隊(duì)員9人，磚的總數(shù)是43塊。

如果把例1中的“少2塊磚”改為“多1塊磚”，你能計(jì)算出有多少

少先隊(duì)員，有多少塊磚嗎？

由本題可見，解這類問題的思路是把盈余數(shù)與不足數(shù)之和看作采

用兩種不同搬法產(chǎn)生的總差數(shù)，被每人搬磚的差即單位差除，就可得

出單位的個(gè)數(shù)，對(duì)這題來說就是搬磚的人數(shù).

2媽媽買回一筐蘋果，按計(jì)劃吃的天數(shù)算了一下，如果每天吃4

個(gè)，要多出48個(gè)蘋果；如果每天吃6個(gè)，則又少8個(gè)蘋果.那么媽媽

買回的蘋果有多少個(gè)？計(jì)劃吃多少天？

分析題中告訴我們每天吃4個(gè)，多出48個(gè)蘋果；每天吃6個(gè),

少8個(gè)蘋果.觀察每天吃的個(gè)數(shù)與蘋果剩余個(gè)數(shù)的變化就能看出，由

每天吃4個(gè)變?yōu)槊刻斐?個(gè)，也就是每天多吃2個(gè)時(shí)，蘋果從多出

48個(gè)至4少8個(gè)，也就是所需的蘋果總數(shù)要相差48+8=56（個(gè)）.從

這個(gè)對(duì)應(yīng)的變化中可以看出，只要求56里面含有多少個(gè)2,就是所

求的計(jì)劃吃的天數(shù)；有了計(jì)劃吃的天數(shù)，就不難求出共有多少個(gè)蘋果

了。

解：(48+8)4-(6-4)

=56+2

=28（天）

6x28-8=160（個(gè)）或4x28+48=160（個(gè)）

答：媽媽買回蘋果160個(gè)，計(jì)劃吃28天。

如果條件“每天吃4個(gè)，多出48個(gè)”不變，另一條件改為“每天吃

6個(gè)，則還多出8個(gè)”，問蘋果應(yīng)該有多少個(gè)，計(jì)劃吃多少天？

分析改題后每天吃的蘋果個(gè)數(shù)沒有變，也就是說每天多吃2個(gè)

條件沒變，蘋果總數(shù)由原來多出48個(gè)變?yōu)槎喑?個(gè).那么所需蘋果總

數(shù)要相差：48-8=40（個(gè)）

解：（48-8）-r（6-4）

=40+2

=20（天）

4x20+48=128（個(gè)）或6x20+8=128（個(gè)）

答：有蘋果128個(gè)，計(jì)劃吃20天.

3學(xué)校規(guī)定上午8時(shí)到校，小明去上學(xué)，如果每分種走60米，

可提早10分鐘到校；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，求小

明幾時(shí)幾分離家剛好8時(shí)到校？由家到學(xué)校的路程是多少？

分析小明每分鐘走60米，可提早10分鐘到校，即到校后還可

多走60x10=600（米）；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，即

到校后還可多走50x8=400（米），第一種情況比第二種情況每分鐘多

走60-50=10（米），就可以多走600-400=200（米），從而可以求出

小明由家到校所需時(shí)間。

解：①10分種走多少米？60x10=600（米）

②8分種走多少米？50x8=400（米）

③需要多長(zhǎng)時(shí)間？

（600+400）+（60-50）=20（分鐘）

④由家到校的路程：

60x（20-10）=600（米）

或:50x（20-8）=600（米）

答：小明7點(diǎn)40分離家去上學(xué)剛好8時(shí)到校；小明的家離校有

600米。

4學(xué)校為新生分配宿舍.每個(gè)房間住3人，則多出23人；每個(gè)房

間住5人，則空出3個(gè)房間.問宿舍有多少間？新生有多少人?

分析每個(gè)房間住3人，則多出23人，每個(gè)房間住5人，就空出

3個(gè)房間，這3個(gè)房間如果住滿人應(yīng)該是5x3=15（人）.由此可見，

每一個(gè)房間增加5-3=2（人）.兩次安排人數(shù)總共相差23+15=38（人），

因此，房間總數(shù)是：

38+2=19（間），學(xué)生總數(shù)是:3x19+23=80（人），或者5x19-5x3=80

（人）。

解：（23+5x3）。（5-3）

=（23+15）+2

=38+2

=19（間）

3x19+23=80（人）或5x19-5x3=80（人）。

答：有19間宿舍，新生有80人。

5少先隊(duì)員去植樹.如果每人種5棵，還有3棵沒人種；如果其

中2人各種4棵，其余的人各種6棵，這些樹苗正好種完.問有多少

少先隊(duì)員參加植樹，一共種多少樹苗？

分析這是一道較難的盈虧問題，主要難在對(duì)第二個(gè)已知條件的

理解上：如果其中2人各種4棵，其余的人各種6棵，就恰好種完.

這組條件中包含著兩種種樹的情況——2人各種4棵，其余的人各種

6棵。如果我們把它統(tǒng)一成一種情況，讓每人都種6棵，那么，就可

以多種樹（6-4