概率與統(tǒng)計(jì)（解答題）-大數(shù)據(jù)之五年（2018-2022）高考真題匯編（新高考卷與全國(guó)理科）及答案

概率與統(tǒng)計(jì)（解答題）一大數(shù)據(jù)之五年（2018-2022）高考真題匯編（新高

考卷與全國(guó)理科）

一、解答題

1.在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)頻率分

布直方圖.

（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）估計(jì)該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間［20,70）的概率；

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50）的人口占該地區(qū)總

人口的16%,從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間［40,50）,求此人患該種疾病的概率.（樣

本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）

2.甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得。分，沒有

平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別

為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

3.甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情

況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)

附.jz2_n(ad-bc)

'八一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率：

（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？

4.某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，己將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨

機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3）,得

到如下數(shù)據(jù)：

樣本號(hào)i12345678910總和

根部橫截面0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

積修

材積量y（0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

10110y—110

2

x?=0.038,〉y=1.6158,〉xty.=0.2474.

Zi=lj=lj=]

一'曰3刃^=,V1.896?1.377

附：相關(guān)系數(shù)n2n2

y(xz-x)V(y；-y)

、Ii=l1i=l

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量;

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到（）.01）；

（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為

186m2,已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總

材積量的估計(jì)值.

5.在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以上（含9.50m）

的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)，為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，

并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立

（I）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

（II）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望

EX；

（III）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）

6.一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一?種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩

類）的關(guān)系，在己患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了10（）例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨

機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

2

附.*2一n(ad-bc)

'K—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

K3.8416.63510.828

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?

(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的

人患有該疾病”，其瑞與普帶的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該

疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.

PQ4IB)P⑷砌

⑴證明:

一P(A\B)P(2⑻'

(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(4|B),P(AIB)的估計(jì)值，并利用⑴的結(jié)果給出R的估計(jì)值.

7.一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第。代，經(jīng)過一次繁殖后

為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分

布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(X=i)=0。=0,1,2,3).

(1)已知pQ=0.4,P]=0.3,p2=0.2,p3=0.1，求E(X)；

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：P°+Pix+

23

p2x+p3x=%的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)W1時(shí)，p=l,當(dāng)F(X)>1時(shí)，p<

1:

(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義.

8.為加快新冠肺炎檢測(cè)效率，某檢測(cè)機(jī)構(gòu)采取"合1檢測(cè)法”，即將女個(gè)人的拭子樣本合并檢測(cè)，

若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的；若為陽性，則還需要對(duì)本組的每個(gè)人再做檢測(cè).現(xiàn)有

100人，已知其中2人感染病毒.

(1)①若采用“10合1檢測(cè)法”，且兩名患者在同一組，求總檢測(cè)次數(shù)；

②已知10人分成一組，分10組，兩名感染患者在同一組的概率為/,定義隨機(jī)變量X為總檢

測(cè)次數(shù)，求檢測(cè)次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(2)若采用“5合I檢測(cè)法”，檢測(cè)次數(shù)y的期望為E(y),試比較E(x)和E(y)的大小(直接寫出結(jié)

果).

9.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)

量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

2

附:個(gè)=刎一be)

(a-\-b)(c+d)(a-\-c)(b+d)

10.某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊

設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為無和y，樣本方差分別記為S12和

S22

(1)求元，y,si2,S22；

(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果歹-元N

did,則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提

2

高).

11.某學(xué)校組織“一帶一路"知識(shí)競(jìng)賽，有A,B兩類問題?每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇

類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題問答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再

隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得

20分，否則得0分：B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分。

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為06且能正確回答問

題的概率與回答次序無關(guān)。

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列：

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由。

12.某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整

理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天):

鍛煉人次

[0,200](200,400](400,6001

空氣質(zhì)量等級(jí)

1(優(yōu))21625

2(良)51012

3(輕度污染)678

4(中度污染)720

2

附.jz2_n(ad-bc)

八—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率；

(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代

表)；

(3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或

4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有

95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次“00人次＞400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

13.某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生

動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為

樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(x“yi)(i=l,2,20),其中Xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積

20

匕=1200,

Z1=1

20^—,20K—120

(Xi-xy=80,〉(y.-yy=9000,〉(x-x)(y.-y)=800.

ZL

(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)

量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；

(2)求樣本⑺,yi)(i=l,2,...?20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這

種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.

附：相關(guān)系數(shù)-V2=1.414.

14.甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定

首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至

有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，

比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為J,

(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率；

(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；

(3)求丙最終獲勝的概率.

15.為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天

3

空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：pig/m),得下表：

so2

[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

2

附.“2_n(ad-bc)_______

“一(a+7)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150”的概率;

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

so2

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]

(75,115]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2

濃度有關(guān)?

16.某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二.為了解該校

學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人150人250人

假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.

(I)分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；

(II)從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持

方案一的概率；

(III)將該校學(xué)生支持方案的概率估計(jì)值記為Po，假設(shè)該校年級(jí)有500名男生和30()名女生，

除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為Pi,試比較Po與Pi的大小.(結(jié)論不要

求證明)

17.在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，設(shè)點(diǎn)集4={(0,0),(1,0),(2,0)，…,(n,0)},Bn=

{(0,1),(n,1)],Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)},neN*.

令=.從集合M,中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離.

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，求X的概率分布；

(2)對(duì)給定的正整數(shù)〃(論3),求概率尸(X<n)(用〃表示).

18.2019年，我國(guó)施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房

貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120

人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況.

(I)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？

(II)抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為A.B.C,D,E.F.享

受情況如右表，其中“U”表示享受，“x”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.

員工

ABCDEF

項(xiàng)目

子女教育OOXOXO

繼續(xù)教育XXOXOO

大病醫(yī)療XXXOXX

住房貸款利息OOXXOO

住房租金XXOXXX

贍養(yǎng)老人OOXXXO

(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;

(ii)設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件M發(fā)生的概率.

19.設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為|.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況

互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.

(I)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)

學(xué)期望；

(II)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前

到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.

20.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A,B

兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶

液體積相同、摩爾濃度相同。經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.

根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值；

(2)分別估計(jì)甲，乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)

21.11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分

的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5,乙發(fā)

球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)

球該局比賽結(jié)束.

(1)求P(X=2)；

(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

22.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為

了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了

100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的

支付金額分布情況如下：

支付金額不大于2000元大于2000元

支付方式

僅使用A27人3人

僅使用B24人1人

（I）估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù)；

（II）從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率；

（III）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中，隨機(jī)抽查1

人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元，結(jié)合（II）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月

支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.

23.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變。近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之

-0為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100

人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付

金額分布情況如下：

支付金額（元）(0,1000J(1000,2000]大于2000

支付方式

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

（I）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的概率;

（II）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額

大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（III）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化。現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查

3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元，根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本

月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.

24.為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)。試

驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另

一只施以乙藥。一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)。當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥

治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效。為了方便描述問題，約定：對(duì)

于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分：若施以

乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分：若都治愈或都未治愈則兩種

藥均得0分。甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和0,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X。

（1）求X的分布列；

（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，Pi（i=0,1,...?8）表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最

終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則Po=O,P8=l,pi=api.l+bpi+cpi+i（i=l,2,7）,其中a=P（X=-l）,

b=P(X=O),c=P(X=l)o假設(shè)a=0.5,p=0.8o

⑴證明：［Pi+1-PJ(i=0』,2,…,7)為等比數(shù)列；

(ii)求P4,并根據(jù)P4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性。

25.某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢

驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品，檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定

是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)。設(shè)每件產(chǎn)品為不合格的概率為品p(0<p<l),且各件產(chǎn)品是否

為不合格品相互獨(dú)立。

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)p0

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值。

已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元

的賠償費(fèi)用

⑴若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX；

(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

26.已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取

7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.

(I)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？

(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的

身體檢查.

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(ii)設(shè)4為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件4發(fā)生

的概率.

27.已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法

從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng).

(I)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？

(II)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A,B,C,D,E,F,G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬

老院的衛(wèi)生工作.

(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；

(ii)設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)“，求事件M發(fā)生的概率.

28.下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖。

為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型，

根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,21.........17)建立模型①：y=

-30.4+13.5t.根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為。2,7）建立模型②:

y=99+17.5t

（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資的預(yù)測(cè)值；

（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由。

29.某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成項(xiàng)目生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式，

為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨即分成兩組，每組20人，第一組工人用第

一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式，根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制

了如下莖葉圖：

（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；

（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超

過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過m不超過m

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

（3）根據(jù)2中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

2

附.一n（ad一—）

匕一（a+-）（c+d）（a+c）（C+d）

30.電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：

電影類型第一類第MS一—■類.XI/.第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)14050300200800510

好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1

好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值

假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立。

（I）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；

（II）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；

（III）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等，用“菰=1”表示第k

類電影得到人們喜歡，"。=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（心1,2,3,4,5,6）,寫出方

差DQDQ0七，D&的大小關(guān)系。

31.電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表:

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)14050300200800510

好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1

好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

(I)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；

(II)隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒有獲得好評(píng)的概率；

(III)電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化.假

設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1,哪類電影的好評(píng)率

減少0.1，使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？(只需寫出結(jié)論)

答案解析部分

1.【答案】(I)解：平均年齡x=(5x0.001+15x0.002+25x0.0124-35x0.017+45x

0.023+55x0.020+65x0.0174-75x0.006+85x0.002)x10=47.9(歲)

(2)解：設(shè)人=｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)),則

P(A)=1-P⑷=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89

(3)設(shè)8=｛任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)｝,C=｛任選一人患這種族病｝,

則由條件概率公式，得P(C|B)=4等=04％襄產(chǎn)10=。嗎嚷然=0.0014375工0.0014

2.【答案】(1)解：設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為A,B,C,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率

為

P=P(ABC)+P(ABC)+P(疝C)+P(ABQ

=0.16+0.16+0.24+0.04

=0.6.

(2)解：依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,所以，

P(X=0)=0.5x0.4x0.8=0.16,

P(X=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

P(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列為

X0102030

p0.160.440.340.06

期望E(X)=0x0.164-10x0.44+20x0.34+30x0.06=13

3.【答案】(1)解：由表中數(shù)據(jù)可知，A共有班次240+20=260次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次,

設(shè)A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為M,

則「的=瑞=那

則A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為1|；

B共有班次210+30=240次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次,

設(shè)B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為N,

則「(')=縹=上

B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為I.

(2)解：列聯(lián)表

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)合計(jì)

A24020260

B2103()240

合計(jì)45050500

27

*2_n(ad-bc)=500x(240x30—210x20)'??n[,?7nA,

—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-260x240x450x50>Z/Ub

根據(jù)臨界值表可知，有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).

4.【答案】(1)解：樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值x=^=0.06

樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值y=^=0.39

據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06m2,

平均一棵的材積量為0.39m3

(2)解：-仇■?力建1和「1。取

222

J鳴(勺一兄十4%(片一歷2J(S1O1^lO%)^y(--10y)

____________0.2474-1.0x0.06x0.39___________0.0134?0.0134

j(0.038-10x0,062)(1.6158-10X0.392)V0.0001896°-01377

?0.97

則r?0.97

(3)解：設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為Ym3,

又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，

可得稅=半，解之得y=1209m3.

則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為1209m3

5.【答案】(I)由題意得：設(shè)甲在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)為事件A：

比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以上獲優(yōu)秀獎(jiǎng)，甲的比賽成績(jī)達(dá)到9.50以上的有：9.80,9.70,9.55,9.54四

個(gè)，所以甲在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為P(A)=0.4；

(II)X所有可能取值為0,1,2,3

甲在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為P(A)=0.4

乙在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為事件B,則P(B)=0.5

丙在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為事件C,則P(C)=0.5

P(X=0)=0.6x0.5x0.5=0.15

P(X=1)=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=0.4

P(X=2)=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=0.35

P(X=3)=0.4x0,5x0.5=0.1

X0123

P0.150.40.350.1

E(X)=0x0.15+1x0.44-2x0.35+3x0.1=1.4

(III)甲的平均數(shù)：(9.80+9.70+9.55+9.54+9.48+9.42+9.40+9.35+9.30+9.25)x0.1=

9.479

乙的平均數(shù)：(9.78+9.56+9.51+9.36+9.32+9,23)+6=9.457

丙的平均數(shù)：(9.85+9.65+9.20+9.16)x0.25=9.465

甲的方差：S2=[(9.8-9.479)2+…+(925-9.479)2]+10=0.172

22

乙的方差：S=[(9.78-9.457)2+…+23_9,457)]+6=0,0329

2

丙的方差：S=[(9.85-9.465)2+…+16_9.465)2]+4=0.086

在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，乙獲得冠軍的概率估計(jì)值最大.

?

6.[答案](1)*2_200x(40x90—10x60)

八~100x100x50x150=24>6.625

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

(2)用局部估計(jì)總體

PQ4B)P商)

=P{B\A),P(B\A)=P(叫)-P網(wǎng))=_PG4T,_p0y

K=P(3|A)丁P(B\A)=P(_B\AyP(B\A)~P(而)P(B4)

~PW~~PW

PQ4B)P(網(wǎng)

P(AB[P(B)P(8)PQ4[8)?PQ4[B)

一P(BA)-P(BA)"■P(2A)P(BZ)P(A1B).PQ4|P)

的p(A1m_P(4B)_n(4B)一40P⑷殖_遜_巴幽一毀

(u)P(A1B)-p(e)-n(F)-1Q0，氣A1b)-p(8)_n(B)_100

尸⑷,B)=避P(AB)=^n(AWB)=頑60'P⑷8_)=溫P(AR=)溫n(AB=)頑10

40x90

R=---=6

60x10

故R的估計(jì)值為6

7.【答案】(1)E(X)=0x0.4+1X0.3+2X0.2+3x0.1=1.

32

⑵設(shè)/(x)=p3x+p2x+(pi-l)x+po，

2

因?yàn)镻3+P2+Pi+Po=1，故/(x)=「3爐+p2x-(p2+p0+p3)x+Po

若E(X)<1,則Pi+2p2+3p3<1,故P2+2P3WPo.

f(%)=3P3,+2P2%-(P2+Po+P3))

因?yàn)?(0)=-(p2+Po+P3)<0,/(l)=p2+2p3-p0<0,

故/(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)％i，x2，且打<0<1W%2，

且X€(-OO,41)(J(x2,+8)時(shí)，/(x)>0；Xe(%1,X2)時(shí)、/(x)<0；

故/(%)在(-OO,久1),(x2,+co)上為增函數(shù)，在(x:x2)上為減函數(shù),

若％2=1，因?yàn)?(%)在(x2,+OO)為增函數(shù)且/(I)=0,

而當(dāng)xe(0,x2)時(shí)，因?yàn)?(%)在(%1，x2)上為減函數(shù)，故/(x)>/(x2)=/(I)=0,

23

故1為p0+Prx+p2X+p3X=X的一個(gè)最小正實(shí)根，

23

若％2〉1，因?yàn)?(I)=0且在(0,%2)上為減函數(shù)，故1為p0+p1x+p2X+p3X=X的一個(gè)

最小正實(shí)根，

綜上，若E(X)W1,貝Up=1.

若E(X)>1,則Pi+2P2+3p3>1,故P2+2P3>Po.

此時(shí)/(0)=-(p2+p0+p3)<0，/(l)=p24-2p3-p0>0，

故/(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)久3,%4，且工3<0<久4<1，

且xe(-8,%3)u(x4,+8)時(shí)，f'(x)>0；%e(%3，久。時(shí)，/(%)<o;

故/(X)在(-CO,%3)，(%4，+°°)上為增函數(shù)，在(%3，X4)上為減函數(shù)，

而/(I)=0,故/(%4)<0,

又/(0)=Po>0，故/(X)在(0，%4)存在一個(gè)零點(diǎn)P，且p<1.

23

所以p為Po+PXX+p2X+p3X=X的一個(gè)最小正實(shí)根，此時(shí)p<1,

故當(dāng)E(X)>1時(shí)，p<1.

(3)每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1,則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過

1，則若干代后被滅絕的概率小于L

8.【答案】(1)①對(duì)每組進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；再對(duì)結(jié)果為陽性的組每個(gè)人進(jìn)行檢測(cè)，需要10

次；

所以總檢測(cè)次數(shù)為20次；

②由題意，X可以取2(),30,

P(X=20)=去,P(X=30)=l=*,

則X的分布列：

X2030

p110

TTTT

所以E(X)=20x^-+30x1j=^；

(2)由題意，V可以取25,30,設(shè)兩名感染者在同一組的概率為P，

P(_Y=25)=p,P(Y=30)=1—p,

貝UE(r)=25p+30(1-p)=30-5p,

若p=4時(shí)，E(X)=E(Y)；

若p>條時(shí)，E(X)>E(Y)；

若p<2時(shí)，E(X)<E(Y).

9.【答案】(1)(1)由題意可知：甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是：端=怖

乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是：蠕=1

2

(2)由于*2—400+(150x80-50X120)"_400?

K--270xi36x-200x2d0__一為"10256>6635

所以，有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異。

10.【答案】(1)解：各項(xiàng)所求值如下所示

元=毛(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0

y=(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3

s：=卷x[(9.7-l0.0)2+2x(9.8-l0.0)2+(9.9-10.0)2+2X(l0.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-

10.0)2]=0.36,

222222

s2=1X[(l0.0-10.3)+3x(10.1-l0.3)+(10.3-10.3)+2x(l0.4-10.3)+2x(10.5-l0.3)+(l0.6-10.3)]=0.4.

(2)由(1)中數(shù)據(jù)得y-x=0.3,2s彳+s??0.551

"TO-

顯然歹-兄＜2「受”，所以不認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高。

11.【答案】(1)X的取值可能為0,20,100,

P(X=0)=1—0.8=0.2,

P(X=20)=0.8X(1-0.6)=0.32,

P(X=100)=0.8X0.6=0.48,

■■X的分布列為

X020100

p0.20.320.48

(2)假設(shè)先答B(yǎng)類題，得分為Y,

則Y可能為0,80,100,

=0)=1-0.6=0.4,

P(Y=80)=0.6x(1-0.8)=0.12,

P(Y=100)=0.6x0,8=0.48,

Y的分布列為

Y080100

P0.40.120.48

E(Y)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6,

由(1)可知E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4,

AE(y)>E(X),

應(yīng)先答B(yǎng)類題.

12.【答案】(1)解：由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1的概率為2+16+25

0.43,等級(jí)為2的概率為5+滯12=027,等級(jí)為3的概率為耳探=0.21,