2021-2022學(xué)年江蘇省常州市新北區(qū)九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版)

2021-2022學(xué)年江蘇省常州市新北區(qū)九年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題2分，共16分）1．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一個(gè)根是2，則a的值為（）A．2 B．3 C．4 D．52．用配方法解方程x2﹣8x﹣2＝0時(shí)，配方結(jié)果正確的是（）A．（x﹣8）2＝64 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣4）2＝18 D．（x﹣4）2＝13．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，則AE的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．64．“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的“井深幾何”問題，它的題意可以由示意圖獲得，設(shè)井深為x尺，所列方程正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝5．如圖，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則cos∠ABC的值為（）A． B． C． D．6．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC＝3，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，CD＝1，則⊙O的直徑為（）A． B．2 C．1 D．27．如圖，已知C為弧AB上一點(diǎn)，若∠AOB＝120°，則∠ACB的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．110° D．120°8．如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，連接BE．若DE＝3，BE＝5，則正方形ABCD的面積是（）A．26 B．28 C．30 D．32二、填空題（每小題2分，共16分）9．方程（x﹣1）2＝3的解為．10．若關(guān)于x的方程x2﹣2x+c＝0無實(shí)數(shù)根，則c的取值范圍是．11．一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為6，側(cè)面積為12π，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是．12．如圖，一山坡的坡度i＝1：，小穎從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了200m到達(dá)點(diǎn)B，則小穎上升了m．13．如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，BC＝AB＝3BD，則AD：AC的值為．14．如圖，BD是△ABC的中線，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，若BF＝FD，則＝．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B、C分別是直線y＝x、y＝x+2上的動(dòng)點(diǎn)，以BC為直徑作⊙D，當(dāng)OD+DA有最小值時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是．16．如圖，在?ABCD中，AD＝3，AB＝5，sinA＝，將線段BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到BE，點(diǎn)E與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，連接EC．若EC⊥BC，則tan∠ABE＝．三、解答題（共9小題，共68分。第17、22題每小題8分，第18～19、20、21、23題每小題8分，第24題10分，第25題12分。）17．（1）解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）；（2）計(jì)算：2sin60°+tan45°﹣2cos60°．18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．19．“雜交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率領(lǐng)的科研團(tuán)隊(duì)在增產(chǎn)攻堅(jiān)第一階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量700公斤的目標(biāo)，第三階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量1008公斤的目標(biāo)．（1）如果第二階段、第三階段畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率相同，求畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率；（2）按照（1）中畝產(chǎn)量增長(zhǎng)率，科研團(tuán)隊(duì)期望第四階段水稻畝產(chǎn)量達(dá)到1200公斤，請(qǐng)通過計(jì)算說明他們的目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)．20．如圖，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．（1）△ABC與△DEC相似嗎？為什么？（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的長(zhǎng)．21．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BD＝8，cos∠ABC＝，BF為△ABC的角平分線，BF交AD于點(diǎn)E．求：（1）AD的長(zhǎng)；（2）tan∠FBC的值．22．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠BAC＝2∠CDF．（1）DF與⊙O有什么位置關(guān)系？說明理由；（2）若cosB＝，CF＝2，求⊙O的半徑．23．拓展小組研制的智能操作機(jī)器人，如圖1，水平操作臺(tái)為l，底座AB固定，高AB為50cm，連桿BC長(zhǎng)度為70cm，手臂CD長(zhǎng)度為60cm．點(diǎn)B，C是轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，且AB，BC與CD始終在同一平面內(nèi)．（1）轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如圖2，求手臂端點(diǎn)D離操作臺(tái)l的高度DE的長(zhǎng)（精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）．（2）物品在操作臺(tái)l上，距離底座A端110cm的點(diǎn)M處，轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC，手臂CD，手臂端點(diǎn)D能否碰到點(diǎn)M？請(qǐng)說明理由．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C（t，0）是射線AO上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是射線AB上一點(diǎn)，且AD＝2OC，以CD為直徑作⊙Q．（1）求AO的長(zhǎng)；（2）若⊙Q與直線AB相切，求t的值；（3）若點(diǎn)Q落在∠BAO的平分線上，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．25．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)F是射線AD上一點(diǎn)，且AE＝EF，EF交AC于點(diǎn)P，PQ⊥AE，垂足為O，PQ交射線AB于點(diǎn)Q，設(shè)BE＝m．（1）若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，求tan∠CAE的值；（2）若點(diǎn)Q在AB邊上，求BQ的長(zhǎng)（用含有m的代數(shù)式表示）；（3）連接QE，若△BEQ與△AOP相似，求BE的長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題（每小題2分，共16分）1．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一個(gè)根是2，則a的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一個(gè)根是2，將x＝2代入方程即可求得a的值．解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一個(gè)根是2，∴22﹣2a+6＝0，解得a＝5．故選：D．2．用配方法解方程x2﹣8x﹣2＝0時(shí)，配方結(jié)果正確的是（）A．（x﹣8）2＝64 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣4）2＝18 D．（x﹣4）2＝1【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．解：∵x2﹣8x﹣2＝0，∴x2﹣8x＝2，則x2﹣8x+16＝2+16，即（x﹣4）2＝18，故選：C．3．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，則AE的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)平行線分線段成比例由DE∥BC得到，然后根據(jù)比例的性質(zhì)可求出AE．解：∵DE∥BC，∴，∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，∴，∴AE＝4．故選：B．4．“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的“井深幾何”問題，它的題意可以由示意圖獲得，設(shè)井深為x尺，所列方程正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】如圖，設(shè)AD交BE于K．利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．解：如圖，設(shè)AD交BE于K．∵DK∥BC，∴△EKD∽△EBC，∴＝，∴＝，故選：A．5．如圖，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則cos∠ABC的值為（）A． B． C． D．【分析】由圖可知，可把∠ABC放在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出斜邊AB的長(zhǎng)，再利用余弦的定義可得cos∠ABC＝＝＝．解：法一、如圖，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴AB＝＝＝3，∴cos∠ABC＝＝＝．故選：B．法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴cos∠ABC＝cos45°＝．故選：B．6．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC＝3，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，CD＝1，則⊙O的直徑為（）A． B．2 C．1 D．2【分析】如圖，過點(diǎn)D作DT⊥AB于T．證明DT＝DC＝1，推出AD＝2DT，推出∠A＝30°，可得結(jié)論．解：如圖，過點(diǎn)D作DT⊥AB于T．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴DC⊥BC，∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥BA，∴DC＝DT＝1，∵AC＝3，∴AD＝AC﹣CD＝2，∴AD＝2DT，∴∠A＝30°，∴AB＝＝＝2，解法二：AD＝2DT由此處開始，可以在Rt△ADT中用勾股定理得AT＝，再由垂徑定理可得AB＝2AT得解．故選：B．7．如圖，已知C為弧AB上一點(diǎn)，若∠AOB＝120°，則∠ACB的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．110° D．120°【分析】利用圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解即可．解：如圖，在優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)T，連接AT，BT．∵∠T＝∠AOB＝×120°＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠T＝180°﹣60°＝120°，故選：D．8．如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，連接BE．若DE＝3，BE＝5，則正方形ABCD的面積是（）A．26 B．28 C．30 D．32【分析】連接BD，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，作BF⊥DF，根據(jù)點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，可得BD經(jīng)過點(diǎn)O，DO＝BO，由DE與⊙O相切于點(diǎn)E，可得OE⊥DE，所以O(shè)E∥BF，所以△DEO∽△DFB，對(duì)應(yīng)邊成比例，再根據(jù)勾股定理可得BC2的值，進(jìn)而可得正方形ABCD的面積．解：如圖，連接BD，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，作BF⊥DF，∵點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，∴BD經(jīng)過點(diǎn)O，DO＝BO，∵DE與⊙O相切于點(diǎn)E，∴OE⊥DE，∴OE∥BF，∴△DEO∽△DFB，∴＝＝＝，∴BF＝2OE，∵DE＝3，BE＝5，∴EF＝DE＝3，∴BF＝＝＝4，∴DB2＝DF2+BF2＝62+42＝52，∵BC2+CD2＝DB2，BC＝CD，∴BC2＝＝26．∴正方形ABCD的面積是26．故選：A．二、填空題（每小題2分，共16分）9．方程（x﹣1）2＝3的解為．【分析】根據(jù)方程的特點(diǎn)，應(yīng)采用直接開平方法，開平方得x﹣1＝，解得方程的解即可．解：（x﹣1）2＝3開平方得，x﹣1＝所以x＝1．故答案為：1．10．若關(guān)于x的方程x2﹣2x+c＝0無實(shí)數(shù)根，則c的取值范圍是c＞1．【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0，然后解不等式即可．解：∵關(guān)于x的方程x2﹣2x+c＝0無實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0，解得c＞1．故答案為：c＞1．11．一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為6，側(cè)面積為12π，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是2．【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積＝底面半徑×母線長(zhǎng)×π，進(jìn)而求出即可．解：∵母線為6，設(shè)圓錐的底面半徑為x，∴圓錐的側(cè)面積＝π×6×x＝12π．解得：x＝2．故答案為：2．12．如圖，一山坡的坡度i＝1：，小穎從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了200m到達(dá)點(diǎn)B，則小穎上升了100m．【分析】根據(jù)坡比的定義得到tan∠A＝＝＝，進(jìn)而可得∠A＝30°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解．解：根據(jù)題意得tan∠A＝＝＝，所以∠A＝30°，所以BC＝AB＝×200＝100（m）．故答案為：100．13．如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，BC＝AB＝3BD，則AD：AC的值為．【分析】根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似證明出△ABC∽△DBA，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，變形即可得出答案．解：∵BC＝AB＝3BD，∴，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA，∴,∴AD:AC＝,故答案為：．14．如圖，BD是△ABC的中線，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，若BF＝FD，則＝．【分析】如圖，過點(diǎn)D作DT∥AE交BC于點(diǎn)T．利用平行線等分線段定理，證明BE＝ET＝TC即可．解：如圖，過點(diǎn)D作DT∥AE交BC于點(diǎn)T．∵DT∥AE，AD＝CD，∵ET＝TC，∵EF∥DT，BF＝DF，∴BE＝ET，∴BE＝ET＝CT，∵＝，故答案為：．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B、C分別是直線y＝x、y＝x+2上的動(dòng)點(diǎn)，以BC為直徑作⊙D，當(dāng)OD+DA有最小值時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（﹣，）．【分析】由題意，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線y＝x+1，作點(diǎn)O關(guān)于直線y＝x+1的對(duì)稱點(diǎn)O′（﹣1，1），連接AO′交直線y＝x+1于點(diǎn)D′，此時(shí)OD′+AD′的值最小，求出直線AO′與直線y＝x+1是交點(diǎn)坐標(biāo)即可．解：如圖，由題意，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線y＝x+1，作點(diǎn)O關(guān)于直線y＝x+1的對(duì)稱點(diǎn)O′（﹣1，1），連接AO′交直線y＝x+1于點(diǎn)D′，此時(shí)OD′+AD′的值最?。咧本€AO′的解析式為y＝﹣x+，由，解得，∴D′（﹣，）．故答案為：（﹣，）．16．如圖，在?ABCD中，AD＝3，AB＝5，sinA＝，將線段BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到BE，點(diǎn)E與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，連接EC．若EC⊥BC，則tan∠ABE＝．【分析】由“HL”可證Rt△BCE≌Rt△DEC，可得DE＝BC＝3，可證四邊形BCED是平行四邊形，可得∠EDB＝∠ECB＝90°，由勾股定理可求DB的長(zhǎng)，由面積法可求EH的長(zhǎng)，即可求解．解：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝3，AD∥BC，∵EC⊥BC，∴EC⊥AE，∴∠AEC＝∠BCE＝90°，∵將線段BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到BE，∴AB＝BE＝CD＝5，在Rt△BCE和Rt△DEC中，，∴Rt△BCE≌Rt△DEC（HL），∴DE＝BC＝3，又∵DE∥BC，∴四邊形BCED是平行四邊形，∴∠EDB＝∠ECB＝90°，∴BD＝＝＝4，∵S△ABE＝×AB×EH＝×AE×DB，∴5×EH＝6×4，∴EH＝，∴BH＝＝，∴tan∠ABE＝＝，故答案為：．三、解答題（共9小題，共68分。第17、22題每小題8分，第18～19、20、21、23題每小題8分，第24題10分，第25題12分。）17．（1）解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）；（2）計(jì)算：2sin60°+tan45°﹣2cos60°．【分析】（1）先移項(xiàng)，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解后求解可得；（2）先代入三角函數(shù)值，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減即可．解：（1）∵x（x﹣7）＝8（7﹣x），∴x（x﹣7）+8（x﹣7）＝0，則（x﹣7）（x+8）＝0，∴x﹣7＝0或x+8＝0，解得x1＝7，x2＝﹣8；（2）原式＝2×+1﹣2×＝+1﹣＝1．18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，然后解關(guān)于m的不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，利用整體代入的方法得到m2﹣m﹣6＝0，然后解關(guān)于m的方程即可．解：（1）根據(jù)題意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，解得m≤0．故m的取值范圍是m≤0；（2）根據(jù)題意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．故m的值為﹣2．19．“雜交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率領(lǐng)的科研團(tuán)隊(duì)在增產(chǎn)攻堅(jiān)第一階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量700公斤的目標(biāo)，第三階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量1008公斤的目標(biāo)．（1）如果第二階段、第三階段畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率相同，求畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率；（2）按照（1）中畝產(chǎn)量增長(zhǎng)率，科研團(tuán)隊(duì)期望第四階段水稻畝產(chǎn)量達(dá)到1200公斤，請(qǐng)通過計(jì)算說明他們的目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)．【分析】（1）設(shè)畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)第三階段水稻畝產(chǎn)量＝第一階段水稻畝產(chǎn)量×（1+增長(zhǎng)率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）利用第四階段水稻畝產(chǎn)量＝第三階段水稻畝產(chǎn)量×（1+增長(zhǎng)率），可求出第四階段水稻畝產(chǎn)量，將其與1200公斤比較后即可得出結(jié)論．解：（1）設(shè)畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為x，依題意得：700（1+x）2＝1008，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為20%．（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．∵1209.6＞1200，∴他們的目標(biāo)能實(shí)現(xiàn)．20．如圖，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．（1）△ABC與△DEC相似嗎？為什么？（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的長(zhǎng)．【分析】（1）由兩角相等的兩個(gè)三角形相似可判斷△ABC∽△DEC；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，即可求解．解：（1））△ABC與△DEC相似，理由如下：∵∠BCE＝∠ACD．∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC；（2）∵△ABC∽△DEC；∴，∴，又∵BC＝6，∴EC＝9．21．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BD＝8，cos∠ABC＝，BF為△ABC的角平分線，BF交AD于點(diǎn)E．求：（1）AD的長(zhǎng)；（2）tan∠FBC的值．【分析】（1）由銳角三角函數(shù)定義求出AB＝10，再由勾股定理求出AD的長(zhǎng)即可；（2）過E作EF⊥AB于F，證Rt△BHE≌Rt△BDE（HL），得BH＝BD＝8，再證∠ABC＝∠AEH，則cos∠AEH＝＝cos∠ABC＝，設(shè)ED＝EH＝4k，則AE＝5k，然后由AD＝5k+4k＝6，解得k＝，則ED＝，即可解決問題．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴cos∠ABC＝＝，∵BD＝8，∴AB＝10，∴AD＝＝＝6；（2）過E作EF⊥AB于F，如圖所示：∵BF為△ABC的角平分線，ED⊥BC，∴ED＝EF，在Rt△BHE和Rt△BDE中，，∴Rt△BHE≌Rt△BDE（HL），∴BH＝BD＝8，∴AH＝AB﹣BE＝2，∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠AEH+∠BAD＝90°，∴∠ABC＝∠AEH，∴cos∠AEH＝＝cos∠ABC＝，設(shè)ED＝EH＝4k，則AE＝5k，則AD＝5k+4k＝6，解得：k＝，∴ED＝，∴tan∠FBC＝tan∠EBD＝＝＝．22．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠BAC＝2∠CDF．（1）DF與⊙O有什么位置關(guān)系？說明理由；（2）若cosB＝，CF＝2，求⊙O的半徑．【分析】（1）連接AD，OD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADC＝90°，求得∠ADO+∠CDO＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAD＝∠CAD，等量代換得到∠CAD＝∠CDF，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，設(shè)CD＝k，AC＝3k，根據(jù)勾股定理得到AD＝＝2k，求得DF＝4，于是得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OD，∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠ADO+∠CDO＝90°，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD，∵∠BAC＝2∠CDF，∴∠CAD＝∠CDF，∴∠ODC+∠CDF＝90°，∴∠ODF＝90°，∴DF是⊙O的切線；（2）解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD，∵∠DAC＝∠CDF，∠F＝∠F，∴△ADF∽△DCF，∴，∵cosB＝cos∠ACB＝，∴設(shè)CD＝k，AC＝3k，∴AD＝＝2k，∴＝＝，∵CF＝2，∴DF＝4，∴AF＝16，∴AC＝AF﹣CF＝14，∴AO＝OC＝7，∴⊙O的半徑是7．23．拓展小組研制的智能操作機(jī)器人，如圖1，水平操作臺(tái)為l，底座AB固定，高AB為50cm，連桿BC長(zhǎng)度為70cm，手臂CD長(zhǎng)度為60cm．點(diǎn)B，C是轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，且AB，BC與CD始終在同一平面內(nèi)．（1）轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如圖2，求手臂端點(diǎn)D離操作臺(tái)l的高度DE的長(zhǎng)（精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）．（2）物品在操作臺(tái)l上，距離底座A端110cm的點(diǎn)M處，轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC，手臂CD，手臂端點(diǎn)D能否碰到點(diǎn)M？請(qǐng)說明理由．【分析】（1）過點(diǎn)C作CP⊥AE于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BQ⊥CP于點(diǎn)Q，在Rt△BCQ中，CQ＝BC?sin53°，再根據(jù)DE＝CP＝CQ+PQ可得答案；（2）當(dāng)B，C，D共線時(shí)，根據(jù)勾股定理可得AD的長(zhǎng)，進(jìn)而可進(jìn)行判斷．解：（1）過點(diǎn)C作CP⊥AE于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BQ⊥CP于點(diǎn)Q，如圖：∵∠ABC＝143°，∴∠CBQ＝53°，在Rt△BCQ中，CQ＝BC?sin53°≈70×0.8＝56cm，∵CD∥l，∴DE＝CP＝CQ+PQ＝56+50＝106cm．（2）手臂端點(diǎn)D能碰到點(diǎn)M，理由：由題意得，當(dāng)B，C，D共線時(shí)，手臂端點(diǎn)D能碰到最遠(yuǎn)距離，如圖：BD＝60+70＝130cm，AB＝50cm，在Rt△ABD中，AB2+AD2＝BD2，∴AD＝120cm＞110cm．∴手臂端點(diǎn)D能碰到點(diǎn)M．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C（t，0）是射線AO上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是射線AB上一點(diǎn)，且AD＝2OC，以CD為直徑作⊙Q．（1）求AO的長(zhǎng)；（2）若⊙Q與直線AB相切，求t的值；（3）若點(diǎn)Q落在∠BAO的平分線上，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【分析】（1）求出一次函數(shù)y＝圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）分t＜0和t＞0兩種情形，分別通過CD⊥AB即可解答；（3）當(dāng)點(diǎn)C在原點(diǎn)O右邊時(shí)，過點(diǎn)Q作QM⊥AD于點(diǎn)M，作QN⊥x軸于點(diǎn)N，利用HL證明Rt△AQM≌Rt△AQN，得AN＝AM，再利用HL證明Rt△QMD≌Rt△QNC，得MD＝NC，則AD＝AC，當(dāng)點(diǎn)C在原點(diǎn)O左邊時(shí)，同理可得．解：（1）一次函數(shù)y＝中，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣4，∴OA＝4，即線段OA的長(zhǎng)是4；（2）分兩種情況：∵⊙O與直線AB相切，∴CD⊥AB，∵tan∠BAO＝，∴∠OAB＝60°，①如圖，當(dāng)t＜0時(shí)，∵AD＝﹣2t，∴AC＝2AD＝﹣4t，∴﹣4t﹣t＝4，∴t＝﹣，②如圖，當(dāng)t＞0時(shí)，∵AD＝2t，∴AC＝2AD＝4t，∴4t﹣4＝4，∴t＝，∴若⊙Q與直線AB相切，t的值為﹣或；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)C在原點(diǎn)O右邊時(shí)，過點(diǎn)Q作QM⊥AD于點(diǎn)M，作QN⊥x軸于點(diǎn)N，∵AQ平分∠BAO，∴QM＝QN，在Rt△AQM與Rt△AQN中，，∴Rt△AQM≌Rt△AQN（HL），∴AN＝AM，又∵Q為線段CD的中點(diǎn)，∴QC＝QD，在Rt△QMD與Rt△QNC中，，∴Rt△QMD≌Rt△QNC（HL），∴MD＝NC，∴AM+MD＝AN+NC，即AD＝AC，又∵AD＝2OC，∴AC＝2OC＝OA+OC，∴OA＝OC＝4，∴C（