高一數(shù)學(xué)寒假講義（新人教A專用）【預(yù)習(xí)】第15講 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（學(xué)生卷）

第15講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握平面及其基本性質(zhì)．2、清晰空間中點(diǎn)、直線和平面存在怎樣的位置關(guān)系．【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：平面的概念及其表示考點(diǎn)二：平面的確定考點(diǎn)三：點(diǎn)線共面考點(diǎn)四：三點(diǎn)共線考點(diǎn)五：三線共點(diǎn)問題考點(diǎn)六：截面問題考點(diǎn)七：直線與直線的位置關(guān)系考點(diǎn)八：異面直線所成的角考點(diǎn)九：直線與平面的位置關(guān)系考點(diǎn)十：平面與平面的位置關(guān)系【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一、平面的基本概念1、平面的概念：“平面”是一個(gè)只描述而不定義的原始概念，常見的桌面、黑板面、平靜的水面等都給我們以平面的形象．幾何里的平面就是從這些物體中抽象出來的，但是，幾何里的平面是無限延展的．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）“平面”是平的（這是區(qū)別“平面”與“曲面”的依據(jù)）；（2）“平面”無厚薄之分；（3）“平面”無邊界，它可以向四周無限延展，這是區(qū)別“平面”與“平面圖形”的依據(jù)．2、平面的畫法：通常畫平行四邊形表示平面．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）表示平面的平行四邊形，通常把它的銳角畫成，橫邊長是其鄰邊的兩倍；（2）兩個(gè)相交平面的畫法：當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，把被遮住的部分的線段畫為虛線或者不畫；3、平面的表示法：（1）用一個(gè)希臘字母表示一個(gè)平面，如平面、平面、平面等；（2）用表示平面的平行四邊形的四個(gè)字母表示，如平面；（3）用表示平面的平行四邊形的相對(duì)兩個(gè)頂點(diǎn)的兩個(gè)字母表示，如平面或者平面；4、點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系：（1）點(diǎn)A在直線a上，記作；點(diǎn)A在直線a外，記作；（2）點(diǎn)A在平面上，記作；點(diǎn)A在平面外，記作；（3）直線在平面內(nèi)，記作；直線不在平面內(nèi)，記作．知識(shí)點(diǎn)二、平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)即書中的三個(gè)公理，它們是研究立體幾何的基本理論基礎(chǔ)．1、公理1：（1）文字語言表述：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)；（2）符號(hào)語言表述：，，，；（3）圖形語言表述：知識(shí)點(diǎn)詮釋：公理1是判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù)．證明一條直線在某一平面內(nèi)，只需證明這條直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)在該平面內(nèi)．“直線在平面內(nèi)”是指“直線上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi)”．2、公理2：（1）文字語言表述：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；（2）符號(hào)語言表述：、、三點(diǎn)不共線有且只有一個(gè)平面，使得，，；（3）圖形語言表述：知識(shí)點(diǎn)詮釋：公理2的作用是確定平面，是把空間問題化歸成平面問題的重要依據(jù)．它還可用來證明“兩個(gè)平面重合”．特別要注意公理2中“不在一條直線上的三點(diǎn)”這一條件．“有且只有一個(gè)”的含義可以分開來理解．“有”是說明“存在”，“只有一個(gè)”說明“唯一”，所以“有且只有一個(gè)”也可以說成“存在”并且“唯一”，與確定同義．（4）公理2的推論：①過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；②過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；③過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．（5）作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)．3、公理3：（1）文字語言表述：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線；（2）符號(hào)語言表述：且；（3）圖形語言表述：知識(shí)點(diǎn)詮釋：公理3的作用是判定兩個(gè)平面相交及證明點(diǎn)在直線上的依據(jù)．知識(shí)點(diǎn)三、點(diǎn)線共面的證明所謂點(diǎn)線共面問題就是指證明一些點(diǎn)或直線在同一個(gè)平面內(nèi)的問題．1、證明點(diǎn)線共面的主要依據(jù)：（1）如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（公理1）；②經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（公理2及其推論）．2、證明點(diǎn)線共面的常用方法：（1）證明幾點(diǎn)共面的問題可先取三點(diǎn)（不共線的三點(diǎn)）確定一個(gè)平面，再證明其余各點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)；（2）證明空間幾條直線共面問題可先取兩條（相交或平行）直線確定一個(gè)平面，再證明其余直線均在這個(gè)平面內(nèi)．知識(shí)點(diǎn)四、證明三點(diǎn)共線問題所謂點(diǎn)共線問題就是證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同—條直線上．1、證明三點(diǎn)共線的依據(jù)是公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他的公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線．也就說一個(gè)點(diǎn)若是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上．對(duì)于這個(gè)公理應(yīng)進(jìn)一步理解下面三點(diǎn)：①如果兩個(gè)相交平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么過這兩點(diǎn)的直線就是它們的交線；②如果兩個(gè)相交平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這三點(diǎn)共線；③如果兩個(gè)平面相交，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線和另一個(gè)平面的交點(diǎn)必在這兩個(gè)平面的交線上．2、證明三點(diǎn)共線的常用方法方法1：首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)．根據(jù)公理3知，這些點(diǎn)都在交線上．方法2：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在其上．知識(shí)點(diǎn)五、證明三線共點(diǎn)問題所謂線共點(diǎn)問題就是證明三條或三條以上的直線交于一點(diǎn)．1、證明三線共點(diǎn)的依據(jù)是公理3．2、證明三線共點(diǎn)的思路：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過這點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問題．知識(shí)點(diǎn)六、異面直線1、定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線．2、畫法：3、兩異面直線所成角的常用方法平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．知識(shí)點(diǎn)七、空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況有無公共點(diǎn)相交在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)平行在同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)異面不同在任何一個(gè)平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)八、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)直線a在平面α內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)直線a與平面α相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線a與平面α平行無公共點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)九、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)兩平面平行無公共點(diǎn)兩平面相交有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，這些點(diǎn)在一條直線上【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：平面的概念及其表示例1．（2023·全國·高一）如圖所示，用符號(hào)語言可表示為（）A．，， B．，，C．，，， D．，，，例2．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）用符號(hào)表示下列語句：(1)點(diǎn)A在直線l上，l在平面內(nèi)；(2)平面和平面的交線是直線l，直線m在平面內(nèi)；(3)點(diǎn)A在平面內(nèi)，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，且直線l在平面外；(4)直線l經(jīng)過平面外一點(diǎn)M．考點(diǎn)二：平面的確定例3．（2023·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一階段練習(xí)）下列命題中正確的是（）A．過三點(diǎn)確定一個(gè)圓B．兩個(gè)相交平面把空間分成四個(gè)區(qū)域C．三條直線兩兩相交，則確定一個(gè)平面D．四邊形一定是平面圖形例4．（2023·全國·高一）以下說法中，正確的個(gè)數(shù)是（）①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；③首尾依次相接的四條線段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3考點(diǎn)三：點(diǎn)線共面例5．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體中，，分別為，的中點(diǎn)．求證：，，，四點(diǎn)共面；例6．（2023·全國·高一課前預(yù)習(xí)）如圖所示，，，．求證：直線，，在同一平面內(nèi)．考點(diǎn)四：三點(diǎn)共線例7．（2023·山東鄒城·高一期中）已知正方體，，分別是棱，的中點(diǎn)．（Ⅰ）畫出平面與平面的交線，并說明理由；（Ⅱ）設(shè)為直線與平面的交點(diǎn)，求證：，，三點(diǎn)共線．考點(diǎn)五：三線共點(diǎn)問題例8．（2023·全國·高一）如圖，在三棱錐中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且有.試判定直線的位置關(guān)系.例9．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在三棱錐中，分別是線段的中點(diǎn)，分別是線段上的點(diǎn)，且.求證:（1）四邊形是梯形；（2）三條直線相交于同一點(diǎn).考點(diǎn)六：截面問題例10．（2023·全國·高一）已知正方體的棱長為2，若，分別是的中點(diǎn)，作出過，，三點(diǎn)的截面.例11．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體的棱長為分別是的中點(diǎn)，設(shè)過三點(diǎn)的平面與交于點(diǎn)．（1）畫出過三點(diǎn)的平面與平面的交線，以及與平面的交線；（2）求的長．考點(diǎn)七：直線與直線的位置關(guān)系例12．（2023·全國·高一）已知，為不同的平面，a，b，c為不同的直線，則下列說法正確的是（）A．若，，則a與b是異面直線 B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C．若a，b不同在平面內(nèi)，則a與b異面 D．若a，b不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則a與b異面例13．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，，分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線與是異面直線的一個(gè)圖是________．（填序號(hào)）①②③④考點(diǎn)八：異面直線所成的角例14．（2023·黑龍江·綏化市第二中學(xué)高一期末）空間四邊形的對(duì)角線分別為的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．1例15．（2023·浙江浙江·高一期末）在正方體中，則異面直線AC與的所成角為（）A． B． C． D．考點(diǎn)九：直線與平面的位置關(guān)系例16．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中判斷下列位置關(guān)系：（1）AD1所在直線與平面BCC1的位置關(guān)系是________；（2）平面A1BC1與平面ABCD的位置關(guān)系是________．考點(diǎn)十：平面與平面的位置關(guān)系例17．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在四棱臺(tái)中，平面與平面的位置關(guān)系是（）A．相交 B．平行C．不確定 D．異面【真題演練】1．（2023·福建省福州高級(jí)中學(xué)高一期末）在長方體中，，，，則和所成的角是（

）A．60° B．45° C．30° D．90°2．（2023·上海師大附中高一期末）若點(diǎn)在直線上，在平面內(nèi)，則用符號(hào)表示??之間的關(guān)系可記作___________.3．（2023·上海市七寶中學(xué)高一期末）三條互相平行的直線最多可確定____個(gè)平面．4．（2023·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖所示．是正方體，O是的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)M，給出下列結(jié)論：①A、M、O三點(diǎn)共線；

②A、M、O、不共面：③A、M、C、O共面；

④B、、O、M共面，其中正確的序號(hào)為_________．5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若面，面，面，則平面與平面的位置關(guān)系_________.6．（2023·天津·高一期末）在正四面體ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的余弦值為___________.7．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下圖中的兩個(gè)相交平面，其中畫法正確的是______．8．（2023·浙江·杭州四中高一期中）在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別邊AB，BC上的點(diǎn)，且．求證：(1)點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·甘肅·天水市第一中學(xué)高一期末）如圖，在正方體中，、、、分別為、、、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角等于（

）A．45° B．60° C．90° D．120°2．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．相交或異面3．（2023·全國·高一單元測(cè)試）與空間不共面的四個(gè)點(diǎn)距離相等的平面有（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．7個(gè) D．無數(shù)個(gè)4．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體中，若，，分別為棱，，的中點(diǎn)，，分別是四邊形，的中心，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．，，，四點(diǎn)共面 B．，，，四點(diǎn)共面C．，，，四點(diǎn)共面 D．，，，四點(diǎn)共面5．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若，且與的方向相同，則與（

）A．一定平行且方向相同 B．一定平行且方向相反C．一定不平行 D．不一定平行6．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）一個(gè)正方體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，作正方體的對(duì)角面，所得的截面圖形是（

）A． B． C． D．7．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱柱中，是正三角形，E是的中點(diǎn)，則下列敘述中正確的是（

）A．與是異面直線 B．與共面C．與是異面直線 D．與所成的角為8．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在正方體上有一只螞蟻，從點(diǎn)出發(fā)沿正方體的棱前進(jìn)，若該螞蟻?zhàn)叩牡跅l棱與第條棱是異面的，則這只螞蟻?zhàn)哌^第2022條棱之后的位置是在（

）A．點(diǎn)處 B．點(diǎn)處 C．點(diǎn)處 D．點(diǎn)處二、多選題9．（2023·浙江·杭州四中高一期中）如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則以下正確的是（

）A． B． C． D．10．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，P，Q分別是棱的中點(diǎn)，平面平面，則下列結(jié)論中不正確的有（

）A．l過點(diǎn)B．l不一定過點(diǎn)C．的延長線與的延長線的交點(diǎn)不在l上D．的延長線與的延長線的交點(diǎn)在l上11．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列圖形中一定是平面圖形的有（

）A．三角形 B．平行四邊形 C．梯形 D．四條邊相等的四邊形12．（2023·云南昆明·高一期末）如圖，在長方體中，E、F、G、H分別是、、AB、AD的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)A在平面內(nèi) B．C．平面平面 D．直線EH與直線FG相交三、填空題13．（2023·福建·福州金山中學(xué)高一期末）如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中，與所成角的大小為___________.14．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，是相應(yīng)長方體或空間四邊形的邊或?qū)蔷€的中點(diǎn)，則這四點(diǎn)必定共面的是______．（寫序號(hào)）15．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）從正方體的12條棱和12條面對(duì)角線中選出條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則的最大值為______．16．（2023·上?！?fù)旦附中高一期末）如圖，長方體中，，點(diǎn)和分別為線段和的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為__．四、解答題