華師一附中2024屆高三 《數(shù)列與不等式》答案

第第頁華師一附中高三數(shù)列專題（數(shù)列與不等式）參考答案：1．D【分析】先由化簡得遞推關(guān)系，從而求得通項及前項和，要使能成立，即能成立，令，轉(zhuǎn)化為求解的最小值即可.【詳解】由得，則有對任意成立，又，則，故，且則數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，由得，，分離參數(shù)得，，令則令，則當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；由，則當時，當時，恒有，又，故的最小值為.若存在，使得成立，則，則有，即實數(shù)的最小值為.故選：D.2．A【分析】根據(jù)給定條件，解不等式求出的范圍，結(jié)合排除法逐項判斷即得.【詳解】數(shù)列中，，由，得，即，整理得，即，解得，因此任意，有，顯然B，D不是；而當時，，即C不是，選項A符合題意．故選：A3．D【分析】由題意得出數(shù)列，均為等比數(shù)列，從而求得與，代入，對分奇偶分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，即可求得的取值范圍.【詳解】因為，所以當時，，得，當時，，，兩式相減得（常數(shù)），所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列.因為，則（常數(shù)），又，所以是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，，由，得，所以，所以.又，所以，所以，即對恒成立，當為偶數(shù)時，，則，即，所以，令，則，因為，所以，則，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，則的最小值為，則所以；當為奇數(shù)時，，所以，則，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以的最小值為，所以，所以，綜上，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.4．B【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性的定義及不等式恒成立的解決方法即可求解.【詳解】因為，所以.因為數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以在恒成立，所以，即可.令，，則，由一次函數(shù)知，當時，取得最大值為,即.所以的取值范圍為.故選：B.5．B【分析】根據(jù)數(shù)列的新定義推得數(shù)列是遞增數(shù)列，從而得到，整理化簡得，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求得的最小值，從而得解.【詳解】依題意，得，則，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故，因為，則，整理得，令，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以在或處取得最小值，又，，所以，故，則，所以的取值范圍為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是理解數(shù)列新定義，推得是遞增數(shù)列，從而將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的恒成立問題，從而得解.6．B【詳解】（1）下面先證明．由，，則，，，化為：，時，，，，，，，又，，可得，時，，因此，得，（2）下面證明．，，化為：，，化為：，，，，，，，，可得．綜上可得：．．故選．7．A【分析】解法一：由單調(diào)遞增可得恒成立，則，分析和應用排除法確定正確選項；解法二：借助函數(shù)的知識，將數(shù)列單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解.【詳解】解法一：由單調(diào)遞增，得，由，得，∴.時，得①，時，得，即②，若，②式不成立，不合題意；若，②式等價為，與①式矛盾，不合題意.綜上，排除B，C，D.解法二：設(shè)，函數(shù)對稱軸為，則，聯(lián)立，可得兩函數(shù)的交點為，若要，則，，所以，又只要求存在實數(shù)，所以.故選：A.8．AC【分析】利用可判斷A；求出，分為奇數(shù)、為偶數(shù)，求出可判斷BC；分為奇數(shù)、為偶數(shù)，利用分離，再求最值可判斷D.【詳解】當時，，當時，，適合上式，所以，故A正確；所以，當為奇數(shù)時，，故B錯誤；當為偶數(shù)時，，所以，故C正確；當為奇數(shù)時，，若，則，即，所以，而，即；當為偶數(shù)時，則得，即，而，即，綜上所述，，故D錯誤.故選：AC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵點是分類討論、分離參數(shù)求最值．9．ABC【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式，令，求得，于是當時，可得，平方后即可判斷A；結(jié)合以上分析可推出，判斷B；由此可求得，繼而求得，判斷D；設(shè)，判斷其單調(diào)性，可推出，結(jié)合，即可判斷C.【詳解】當時，當時，，平方可得，，選項A正確；則時，，所以,故是首項為，公差為的等差數(shù)列，選項B正確；則，，所以，選項D錯誤；記，則，故，為遞增數(shù)列，所以，即，選項C正確，故選：ABC【點睛】難點點睛：此題綜合考查了數(shù)列的遞推式、通項公式以及數(shù)列的單調(diào)性等，綜合新較強，難點在于選項C的判斷，解答時要巧妙設(shè)出，進而利用判斷其單調(diào)性，由此即可判斷結(jié)論正確與否.10．ABD【分析】根據(jù)題意得到，的關(guān)系式，選項A，將式子變形，可判斷數(shù)列的增減性；選項B，利用遞推關(guān)系式得到與同號，結(jié)合即可判斷；選項C，將式子變形，利用B中的結(jié)論即可判斷；選項D，將轉(zhuǎn)化為數(shù)列的前n項和，然后結(jié)合遞推關(guān)系式即可求解．【詳解】由題意知，選項A：所以，故，若存在，則有，即存在，當時，，與矛盾，當時，由得，若，有，則或，若與且矛盾；若時有，遞推可得，與矛盾，綜上，不存在，所以，故數(shù)列遞增，故A正確．選項B：數(shù)列遞增，，故，故，所以與同號，因為，所以，即．綜上，，故B正確．選項C：由選項B知，所以，即，故C錯誤．選項D：由題意，可視為數(shù)列的前n項和，因為，所以，又遞增，所以，故，即，故D正確．故選：ABD.【點睛】思路點睛：選項中的不等式，要通過已知條件進行構(gòu)造，如C選項需要構(gòu)造的形式，并判斷的符號；D選項則需構(gòu)造，比較與的大小關(guān)系，將轉(zhuǎn)化為數(shù)列的前n項和是解題關(guān)鍵.11．ACD【分析】對于選項A，B證明數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列即得解；對于選項C，證明隨著減小，從而增大，即得解；對于選項D，證明，即得解.【詳解】解：對于選項A、B，因為，，所以，設(shè)，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，則，所以，當時，，，當時，，，因為，所以這種情況不存在，則數(shù)列滿足當時，，為單調(diào)遞減數(shù)列，故A選項正確，B選項錯誤；對于選項C，令，設(shè)則，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以隨著減小，從而增大，所以，即，所以C選項正確，對于選項D，由前面得，下面證明，只需證明，令，則，所以，令，則，成立，則所以所以D選項正確；故選：ACD.【點睛】易錯點睛：本題主要考查函數(shù)、不等式與數(shù)列的綜合問題，屬于難題.解決該問題應該注意的事項：（1）數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，它的圖象是一群孤立的點；（2）轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時，應該注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是很容易被忽視的問題；（3）利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問題時，應準確構(gòu)造相應的函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.12．ABD【詳解】由，可得，即有，令，即，則，，，作出和的圖像，由圖像可得，是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列，故正確；因為，，所以，，所以，，則，，故正確；因為，所以，故錯誤；由不動點，，可得，可得，所以，故正確．故選．

13．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）當時，由求出，再驗證符合；（2）將，代入，結(jié)合基本不等式，即可得出答案；（3）當求出，對進行放縮，由裂項相消法即可證明.【詳解】（1）由題意知，當時，當時，符合上式，所以；（2）由（1）知，，，所以，當且僅當即時，等號成立.所以數(shù)列的最小項為第一項，故；（3）由（1）知時，記，設(shè)為數(shù)列的前項和，則時，時，，因為所以綜上，14．(1)證明見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明即可，再利用等比數(shù)列的通項即可求得數(shù)列的通項；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，分離參數(shù)即可得解.【詳解】（1）由，取倒數(shù)得：，變形得：，又，則，所以數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.（2）由（1）知，若，則，所以而是上的遞減數(shù)列，所以，故．15．(1)(2)．【分析】（1）把條件都轉(zhuǎn)化為和的形式運算，求出通項公式；（2）先用錯位相減法求出，再進行參分轉(zhuǎn)化為恒成立問題，最后應用數(shù)列單調(diào)性的判斷求出最大值.【詳解】（1）選①，設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，由是與的等差中項，得，即，則有，化簡得，即，解得，則；選②，設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，由，，，有，化簡得，即，解得，則；選③，設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，由，，，有，化簡得，則，所以，所以的通項公式為，（2）由是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，得，由（1）知，即有，則，于是得，兩式相減得：，因此，又，所以不等式，等價于，又，所以等價于恒成立，令，則，則時，，即數(shù)列遞增，當時，，即數(shù)列遞減，所以當時，，則，所以實數(shù)的取值范圍是．16．(1)，，，(2)【分析】（1）將中的n換為n?1，兩式相減，結(jié)合常數(shù)列分析可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項公式可得；（2）由數(shù)列的錯位相減法求和，可得，再由不等式恒成立思想和數(shù)列的單調(diào)性求得最值，可得所求范圍.【詳解】（1）因為，當時，，解得；當時，可得，作差得，即；且，滿足，所以為常數(shù)列，即，則，，由題意可知：數(shù)列是以首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則，（2）由（1）可知：數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和，則，兩式相減得，所以，不等式化為，可知數(shù)列為遞增數(shù)列，則有：若n為偶數(shù)，，取，可得；若n奇數(shù)，，取，可得；綜上所述：實數(shù)的取值范圍是．17．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)及，可得到是首項為，公差為2的等差數(shù)列，結(jié)合定義法求通項公式即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求得，結(jié)合裂項相消法求和即可；（3）根據(jù)（1）的結(jié)果得到，進而得到當時，，結(jié)合隨的增大而增大，得到最值，即可得到，進而得到答案.【詳解】（1）因為，所以當時，，解得，當時，，兩式相減得，，化簡得，，因為，所以，則，即是首項為，公差為2的等差數(shù)列，所以的通項公式為（2）由（1）知，，因為，所以，所以（3）由（1）知，，所以，所以當時，，因為隨的增大而增大，所以，，所以，所以的最小值為18．(1)或(2)【分析】（1）設(shè)出公差，得到方程，求出公差，得到通項公式；（2）法一：設(shè)，的公差為，代入題目條件變形后對照系數(shù)得到方程組，求出，得到，，利用放縮法和裂項相消求和得到，得到整數(shù)的最小值；法二：記的公差為，由，，結(jié)合求出，進而得到，進而求出，進而得到，利用放縮法和裂項相消求和得到，得到整數(shù)的最小值.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，得，故或.（2）法一：由為等差數(shù)列，可設(shè)，記的公差為，故.所以，顯然，，平方得，該式對任意成立，故，解得.故.因此，一方面，，，故，另一方面，.故整數(shù)的最小值為3.法二：記的公差為，則，，，上式平方后消去可得，因為是等差數(shù)列，所以，故，將其代入中，得，解得或，當時，，解得，故，，故，當時，，此時無意義，舍去，因此，一方面，，，故，另一方面，.故整數(shù)的最小值為3.【點睛】數(shù)列不等式問題，常常需要進行放縮，放縮后變形為等差數(shù)列或等比數(shù)列，在結(jié)合公式進行證明，又或者放縮后可使用裂項相消法進行求和，常常使用作差法和數(shù)學歸納法，技巧性較強.19．(1)證明見解析；(2)；(3)不存在，理由見解析.【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義證明即可；（2）利用一次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式計算即可；（3）利用等比數(shù)列求和公式先計算，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分類討論解不等式即可.【詳解】（1）設(shè)的公差為，則由題意可知：，，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列；（2）由上可得，且，解得，所以，化簡得，當且僅當時取得最大值，此時；（3）由（2）得，故，顯然是為首項，為公比的等比數(shù)列，即，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：，所以當時，不等式成立等價于①，顯然，此時①式不成立；當時，不等式等價于②，即，此時②式成立，又時，無意義；綜上所述，不存在，使得不等式成立.20．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等差中項定義、與關(guān)系可證得數(shù)列為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項公式可推導得到；（2）根據(jù)數(shù)列單調(diào)性可得，分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，采用分離變量的方式確定的取值范圍；（3）根據(jù)通項公式可推導得到，借此不等式進行放縮可得到，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）是與的等差中項，；當時，，又，；當且時，，，，又，，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，.（2）由（1）得：，數(shù)列為遞增數(shù)列，；①當為偶數(shù)時，，設(shè)，，數(shù)列為遞減數(shù)列，當時，，；②當為奇數(shù)時，，由①知：數(shù)列為遞減數(shù)列，則數(shù)列為遞增數(shù)列，當時，，；綜上所述：的取值范圍為.（3）由（1）得：，，，，，【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題重點考查了數(shù)列單調(diào)性的應用、數(shù)列與不等式綜合應用的相關(guān)知識；本題證明不等式的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列通項公式的形式進行等比形式的放縮，進而利用構(gòu)造出關(guān)于的不等關(guān)系.21．(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式可得，然后由和的關(guān)系可得遞推公式，即可判斷數(shù)列為等差數(shù)列，進而可得通項公式；（2）使用錯位相減法求得，然后參變分離，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列最值問題，借助對勾函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由題意知，當時，，所以，當時，，，因為，所以，即．因為數(shù)列為正項數(shù)列，所以，即，所以數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列，所以．（2）因為，所以．．．①．．．②①－②得，，所以，所以可化簡為．因為恒成立，所以．因為對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以當，即時，；當，即時，，又,所以，故，所以實數(shù)λ的取值范圍為.22．(1)證明見解析；(2)(3)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得，整理變形結(jié)合等差數(shù)列定義即可證明結(jié)論，并求得數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法即可求得答案；（3）將原不等式化為，即可分離參數(shù)，繼而構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，即可求得答案.【詳解】（1）當時，，則，當時，，即，即是以為首項，公差為1的等差數(shù)列，故（2）由（1）可得，故，故，則，故；（3），則，即，即對任意正整數(shù)都成立，令，則，故，即隨著n的增大而增大，故，即，即實數(shù)的最大值為.【點睛】關(guān)鍵點睛：第三問根據(jù)數(shù)列不等式恒成立問題求解參數(shù)的最值問題時，要利用分離參數(shù)法推得對任意正整數(shù)都成立，之后的關(guān)鍵就在于構(gòu)造函數(shù)，并判斷該函數(shù)的單調(diào)性，從而利用最值求得答案.23．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用數(shù)學歸納法及不等式證明即可；（2）變形，進而可得，放縮可得，由此證得結(jié)論．【詳解】（1）先用數(shù)學歸納法證明．當時結(jié)論成立，假設(shè)時結(jié)論成立，即，則，∴．故當時結(jié)論也成立，由歸納原理知對成立．作出函數(shù)的圖象，如圖，，的方程，

根據(jù)割線的位置易知，從而．綜上可知．（2）∵，且，設(shè)，，則，∴在上單調(diào)遞減，∴當時，，即.∴．∵，∴，∴，，∴．從而．24．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由已知得，解得，由，得或，由此能求出實數(shù)的值．（2）由已知得，由，能證明，再用數(shù)學歸納法證明，．由此能證明．【詳解】（1）數(shù)列滿足，，，易知a不為0，解得，，，解得或，由解得，由，解得．實數(shù)的值為1．（2）當時，數(shù)列滿足，，（各項均不為0），，，，，，，，當且僅當，即時，取等號，，再證，．當時，，滿足．假設(shè)當，時有，等價于，，，當時，，只需證．證明如下：，，，，，，，，，，，，時，成立．綜上知．綜上所述：．25．(1)證明見解析.(2)證明見解析.(3)證明見解析.【分析】（1）解法一可利用數(shù)學歸納法證明；解法二構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明.（2）用數(shù)學歸納法由（1）知，再由數(shù)學歸納法可證.（3）由，得，再求和即可.【詳解】（1）解法一：由題意知，．①當時，，，，成立．②假設(shè)時，結(jié)論成立，即．∵，∴．故時，結(jié)論也成立．由①②可知，對于，都有成立．解法二：，，，成立．令，顯然單調(diào)遞減．∵，假設(shè)，則，即，故，即．故對于，都有成立．（2）由（1）知，∴．同理，由數(shù)學歸納法可證，．猜測．下面給出證明．∵，∴與異號．注意到，知，，即．∴，從而可知．（3），∴，∴．26．(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】（1）首先確定第n次拋沙包后的拋沙包方法數(shù)為，再結(jié)合條件列出關(guān)于數(shù)列的遞推公式，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列，并且變形后，利用累加求和，即可求解數(shù)列的通項公式；（2）首先由條件確定，再根據(jù)（1）的結(jié)果，確定數(shù)列的通項公式，再比較大小.【詳解】（1）由題意知：第n次拋沙包后的拋沙包方法數(shù)為，第次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，若第n次拋沙包后沙包在甲手中，則第次拋沙包后，沙包不可能在甲手里，只有第n次拋沙包后沙包在乙或丙手中，故，且故，，所以數(shù)列為等比數(shù)列，由，得，，，，……………，以上各式相加，可得；（2）由題意知：第n次拋沙包后沙包在乙、丙手中的情況數(shù)相等均為，則，∵當n為偶數(shù)時，，∴.27．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）由條件可得、，然后可得、，兩式相減即可證明；（2）首先可求出、，然后計算出即可；（3）首先可得，然后利用裂項求和法求出，然后求出，然后分為偶數(shù)、為奇數(shù)求解即可.【詳解】（1）因為，所以，，兩式相減可得，即由可得，兩式相減可得化簡可得，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列；（2）由可得，可得，因為，所以，因為數(shù)列滿足，所以，所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列，因為，所以，，所以，所以，即，（3）由（2）可得；由已知可得設(shè)的前項和中，奇數(shù)項的和為，偶數(shù)項的和為，所以，當為奇數(shù)時，，所以當為偶數(shù)時，，所以由，得，即，當為偶數(shù)時，對一切偶數(shù)成立，所以，當為奇數(shù)時，對一切奇數(shù)成立，所以此時，故對一切恒成立，則.28．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及解析式的特征可得，，利用放縮法可證題設(shè)中的不等式.【詳解】（1）函數(shù)的導函數(shù)，當時，；當時，，于是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）①由于，因此在每個單調(diào)區(qū)間上函數(shù)均有唯一零點．注意到，因此，從而，命題得證.②根據(jù)之前得到的結(jié)果，有，這樣就有，因此題中不等式，命題得證．29．(1)(2)【分析】（1）由與的關(guān)系結(jié)合累乘法得出數(shù)列的通項公式；（2）令為數(shù)列的前項和，由裂項相消法以及公式法得出，由以及的最大值得出實數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）點都在函數(shù)的圖象上，可得.當時，.當時，，整理得，即，，對也成立.即.（2）由，可令為數(shù)列的前項和.可得.由，當時，，下面用數(shù)學歸納法證明：當時，成立.①假設(shè)時，成立.那么時，，則，即時也成立.②由①②可得，當時，，即有.可得，又時，的最大值為，對任意，存在，使得成立，則，解得.即實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決問題（2）時，關(guān)鍵是利用裂項相消求和法得出，再結(jié)合不等式的能成立問題，得出實數(shù)a的取值范圍.30．（1）Sn＝；（2）①kn＝3·2n－1－2；②2，3，4.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由基本量法可求得；（2）①先確定，只要最小即可，下面分別分析，若，由等比數(shù)