北師大版 八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章 三角形的證明章末復(fù)習(xí)課件（共70張）

第一章三角形的證明章末復(fù)習(xí)第一章三角形的證明章末復(fù)習(xí)知識(shí)框架歸納整合素養(yǎng)提升中考鏈接知識(shí)框架三角形的證明等腰三角形直角三角形線段的垂直平分線角平分線全等三角形的判定與性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)判定判定等腰三角形的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等在一個(gè)角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上兩銳角互余含30°角的直角三角形的性質(zhì)兩銳角互余的三角形勾股定理的逆定理等邊三角形的判定與性質(zhì)勾股定理【要點(diǎn)指導(dǎo)】全等三角形的性質(zhì)為證明線段(角)相等提供了依據(jù).一般三角形全等的判定方法有四種：“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”.直角三角形是一種特殊的三角形,它的判定方法除了上述四種之外,還有“HL”.在具體問(wèn)題中,一般只直接給出一個(gè)或兩個(gè)條件(有的甚至一個(gè)條件也不直接給出),其余條件常隱含于條件或圖形中,而找出這些隱含條件是解答問(wèn)題的關(guān)鍵.歸納整合專題一與全等三角形有關(guān)的計(jì)算與證明題分析

(1)根據(jù)已知條件,利用HL可證Rt△ABC≌Rt△DCB；(2)利用Rt△ABC≌Rt△DCB可知對(duì)應(yīng)角相等,即可證明△OBC是等腰三角形．例1如圖1-Z-1,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=DB,AC與DB相交于點(diǎn)O．(1)求證：△ABC≌△DCB；(2)△OBC是何種三角形？證明你的結(jié)論．解

(1)證明：在Rt△ABC和Rt△DCB中,∵AC=DB,BC=CB,∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).(2)△OBC是等腰三角形.證明：∵Rt△ABC≌Rt△DCB,∴∠ACB=∠DBC,∴OB=OC,∴△OBC是等腰三角形.相關(guān)題1如圖1-Z-2,在△ABD和△ACE中,F是AC和DB的交點(diǎn),G是AB和EC的交點(diǎn).現(xiàn)有如下四個(gè)論斷：①AB=AC；②AD=AE；③AF=AG；④AD⊥BD,AE⊥CE．以其中三個(gè)論斷為條件,填入下面的“已知”中,一個(gè)論斷為結(jié)論,填入下面的“求證”中,組成一個(gè)真命題,并寫(xiě)出證明過(guò)程．已知：求證：證明：解：答案不唯一，如已知：①AB＝AC，③AF＝AG，④AD⊥BD，AE⊥CE.求證：②AD＝AE.證明：∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAG，AF＝AG，∴△BAF≌△CAG(SAS)，∴∠B＝∠C.∵AD⊥BD，AE⊥CE，∴∠D＝∠E＝90°.又∵AB＝AC，∠B＝∠C，∴△ADB≌△AEC(AAS)，∴AD＝AE.【要點(diǎn)指導(dǎo)】等腰(邊)三角形是特殊的三角形,具有較多的特殊性質(zhì),有時(shí)幾何圖形中不存在等腰(邊)三角形,可根據(jù)已知條件和圖形特征,適當(dāng)添加輔助線,使之構(gòu)成等腰(邊)三角形,然后利用其定義和有關(guān)性質(zhì),快捷地證出結(jié)論或得出結(jié)果.常用的輔助線有(1)作等腰三角形頂角的平分線,底邊上的高、中線；(2)在三角形的中線問(wèn)題上,我們常將中線延長(zhǎng)一倍,這樣添加輔助線有助于我們解決有關(guān)中線的問(wèn)題.專題二與等腰三角形有關(guān)的證明與探究題例2如圖1-Z-3,在△ABC中,AB=AC,∠ABC,∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC,分別交AB,AC于點(diǎn)E,F.圖中有幾個(gè)等腰三角形？請(qǐng)說(shuō)明EF與BE,CF之間的關(guān)系.分析

圖中有5個(gè)等腰三角形,分別是△ABC,△AEF,△BEO,△OFC,△OBC.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),即可得出EF與BE,CF之間的關(guān)系.解

圖中有5個(gè)等腰三角形.EF與BE,CF之間的關(guān)系是EF=BE+CF.理由如下：∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB.又∵∠ABC,∠ACB的平分線交于點(diǎn)O,∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB,∴∠EOB=∠EBO,∠FCO=∠FOC,∴OE=BE,OF=CF,∴EF=OE+OF=BE+CF.相關(guān)題2-1[宜昌中考]如圖1-Z-4,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以B為圓心,BC的長(zhǎng)為半徑的圓弧交AC于點(diǎn)D,連接BD,則∠ABD的度數(shù)為().A．30°

B．45°C．60°

D．90°B相關(guān)題2-2在△ABC中,AB=AC,且過(guò)△ABC的某一頂點(diǎn)的直線可將△ABC分成兩個(gè)等腰三角形,試求△ABC各內(nèi)角的度數(shù).解：當(dāng)在BC邊上取點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)與頂點(diǎn)A的連線把△ABC分成兩個(gè)等腰三角形，分兩種情況：(ⅰ)如圖①，設(shè)點(diǎn)E在BC上，且AE＝BE＝EC，這時(shí)容易計(jì)算∠B＝∠C＝45°，∠BAC＝90°，即△ABC各內(nèi)角的度數(shù)分別為45°，45°，90°.圖①

(ⅱ)如圖②，過(guò)點(diǎn)A的直線交BC于點(diǎn)F，且BF＝BA，CF＝AF.設(shè)∠B＝x°，則∠C＝x°，∠CAF＝x°，∠BAF＝∠BFA＝(2x)°.由三角形的內(nèi)角和定理，得x＋3x＋x＝180，解得x＝36，即△ABC各內(nèi)角的度數(shù)分別為36°，36°，108°.圖②當(dāng)在腰AC上取點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)與點(diǎn)B的連線把△ABC分成兩個(gè)等腰三角形，這時(shí)也有兩種情況：(ⅰ)如圖③，過(guò)點(diǎn)B的直線交AC于點(diǎn)D，且BD＝AD＝BC.設(shè)∠A＝α°，則∠ABD＝α°，∠C＝∠BDC＝(2α)°，∠DBC＝α°.由三角形的內(nèi)角和定理，得α＋2α＋2α＝180，解得α＝36，所以△ABC各內(nèi)角的度數(shù)分別是36°，72°，72°.圖③圖④【要點(diǎn)指導(dǎo)】勾股定理反映了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系,是直角三角形的重要性質(zhì)之一,其主要應(yīng)用有(1)已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)求第三邊長(zhǎng)；(2)已知直角三角形的一邊長(zhǎng)確定另兩邊長(zhǎng)的關(guān)系；(3)證明含平方關(guān)系的問(wèn)題等.勾股定理的逆定理是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形的重要依據(jù),實(shí)現(xiàn)把數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形的問(wèn)題,即通過(guò)計(jì)算判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形.專題三與勾股定理及其逆定理有關(guān)的計(jì)算與應(yīng)用例3如圖1-Z-5,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝9,BC＝12,則點(diǎn)C到AB的距離是_______.分析如圖1-Z-5,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.在Rt△ABC中,由直角邊AC及BC的長(zhǎng),利用勾股定理易求出斜邊AB的長(zhǎng),然后借助等積法求出CD的長(zhǎng),即點(diǎn)C到AB的距離.具體的解答過(guò)程如下：在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,根據(jù)勾股定理,得AB＝15.如圖1-Z-5,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.∵S△ABC=AC?BC=AB?CD,∴CD=,則點(diǎn)C到AB的距離是．答案相關(guān)題3如圖1-Z-6,在△ABC中,CD⊥AB于點(diǎn)D,AC=4,BC=3,BD=．(1)求CD,AD的值；(2)判斷△ABC的形狀,并說(shuō)明理由．【要點(diǎn)指導(dǎo)】解決與線段垂直平分線有關(guān)的問(wèn)題,關(guān)鍵是要把握它的性質(zhì)及與它有關(guān)的基本作圖的步驟、技巧,借助“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”,實(shí)現(xiàn)相關(guān)線段的轉(zhuǎn)移.專題四線段垂直平分線的性質(zhì)及應(yīng)用例4如圖1-Z-7,在△ABC中,∠B=32°,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D.若DE垂直平分AB,則∠C的度數(shù)為(

).A．90°

B．84°

C．64°

D．58°分析∵DE垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠DAB=∠B=32°.∵AD是∠BAC的平分線,∴∠DAC=∠DAB=32°,∴∠C=180°-32°-32°-32°=84°.故選B.答案B相關(guān)題4如圖1-Z-8,在△ABC中,∠ACB=90°,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心,大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N,作直線MN交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.若AC=3,BC=4,則DE等于().答案

C【要點(diǎn)指導(dǎo)】在解答有關(guān)角平分線的問(wèn)題時(shí),常在角平分線上選一點(diǎn),并向角的兩邊作垂線段,以便利用角平分線的性質(zhì)來(lái)解答.角平分線的性質(zhì)和三角形全等的性質(zhì)都是證明線段相等或角相等的依據(jù),在解時(shí)常綜合使用.專題五角平分線的性質(zhì)與判定的運(yùn)用例5如圖1-Z-9,∠B=∠C=90°,E是BC的中點(diǎn),DE平分∠ADC.求證：AD=AB+CD.證明如圖1-Z-9,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F.∵∠C=90°,DE平分∠ADC,∴EC=EF.∵E是BC的中點(diǎn),∴EC=EB,∴EF=EB.在Rt△AFE與Rt△ABE中,∵AE=AE,EF=EB,∴Rt△AFE≌Rt△ABE,∴AF=AB.同理可得FD=CD,∴AD=AF+FD=AB+CD.相關(guān)題5-1如圖1-Z-10,∠B=∠C=90°,E是BC的中點(diǎn),DE平分∠ADC,∠CED=35°,則∠EAB的度數(shù)是().A．35°

B．45°C．55°

D．65°A相關(guān)題5-2如圖1-Z-11,AB∥CD,E為AD上一點(diǎn),且BE,CE分別平分∠ABC,∠BCD.求證：AE=DE.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E分別作EF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，EG⊥BC于點(diǎn)G，EH⊥CD于點(diǎn)H.∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF＝EG.同理EG＝EH，∴EF＝EH.又∵EF⊥AB，EH⊥CD，∴∠AFE＝∠DHE＝90°.∵AB∥CD，∴∠FAE＝∠D.在△AFE和△DHE中，∵∠FAE＝∠D，∠AFE＝∠DHE，EF＝EH，∴△AFE≌△DHE(AAS)，∴AE＝DE.【要點(diǎn)指導(dǎo)】等腰三角形是一種特殊而又十分重要的三角形,它的邊、角的特殊性在處理許多幾何問(wèn)題時(shí)起著很重要的作用.求解與等腰三角形的邊、角有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí),在條件不明確的情況下,應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)分類討論.素養(yǎng)提升專題一分類討論思想的應(yīng)用例1

等腰三角形一腰的中線把它的周長(zhǎng)分成12cm和9cm兩部分,求這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)和底邊的長(zhǎng).解如圖1-Z-12,設(shè)腰長(zhǎng)為xcm.(1)若AB+AD=12cm,有x+=12,則x=8,所以AB=8cm,BC=5cm.(2)若AB+AD=9cm,有x+=9,則x=6,所以AB=6cm,BC=9cm.綜上,這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)和底邊的長(zhǎng)分別為8cm,5cm或6cm,9cm.相關(guān)題1-1

若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角的補(bǔ)角是130°,則底角的度數(shù)為().A．80° B．50°C．50°或65° D．50°或70°解析

若130°角為頂角的補(bǔ)角，則頂角為50°，所以底角為(180°－50°)÷2＝65°；若130°角為底角的補(bǔ)角，則底角為50°.所以等腰三角形的底角的度數(shù)為50°或65°.故選C.C相關(guān)題1-2

一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)是5cm,周長(zhǎng)是20cm,求其他兩邊的長(zhǎng).解：若腰長(zhǎng)為5cm，則底邊長(zhǎng)為20－5×2＝10(cm)．∵5＋5＝10，∴不能構(gòu)成三角形．若底邊長(zhǎng)為5cm，則腰長(zhǎng)為(20－5)×＝7.5(cm)．∵7.5＋5＞7.5，∴可以構(gòu)成三角形．綜上可得，5cm為底邊長(zhǎng)，其他兩邊的長(zhǎng)為7.5cm，7.5cm.專題二轉(zhuǎn)化思想【要點(diǎn)指導(dǎo)】轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種最基本的思想.在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),我們通常是將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題,將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題,將抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.轉(zhuǎn)化的內(nèi)涵非常豐富,已知與未知、數(shù)量與圖形、圖形與圖形之間都可以通過(guò)轉(zhuǎn)化來(lái)獲得解決問(wèn)題的突破口.例2

如圖1-Z-13,在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中,D為BC的中點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn),則BE+DE的最小值為_(kāi)__________.分析

如圖1-Z-14,作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′,則△ACB′為等邊三角形.連接AD,DB′,則DB′的長(zhǎng)度即BE+DE的最小值.∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,D為BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC,BD=1,∠DAC=30°,∵∠DAB′=∠DAC+∠CAB′=30°+60°=90°,答案相關(guān)題2

在底面直徑為2cm,高為3cm的圓柱體側(cè)面上,用一條無(wú)彈性的絲帶從點(diǎn)A至點(diǎn)C按圖1-Z-15所示的圈數(shù)纏繞,則絲帶的最短長(zhǎng)度為_(kāi)_______cm.(結(jié)果保留π)答案中考鏈接母題1

(教材P4習(xí)題1.1第2題)已知：如圖1-Z-16,點(diǎn)B,E,C,F在同一條直線上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求證：∠A=∠D.考點(diǎn)：全等三角形的性質(zhì)及判定.考情：判定三角形全等是中考的熱點(diǎn),熟練掌握三角形全等的判定方法是解此類題的關(guān)鍵.策略：判定兩個(gè)三角形全等時(shí),先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形,然后再根據(jù)三角形全等的判定方法,看缺什么條件,再去證什么條件.鏈接1[蘇州中考]如圖1-Z-17,∠A=∠B,AE=BE,

點(diǎn)D在AC邊上,∠1=∠2,AE和BD相交于點(diǎn)O．(1)求證：△AEC≌△BED；(2)若∠1=42°,求∠BDE的度數(shù)．解(1)證明：∵AE和BD相交于點(diǎn)O,∴∠AOD=∠BOE.在△AOD和△BOE中,∵∠A=∠B,∠AOD=∠BOE,∴∠2=∠BEO.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠BEO,∴∠AEC=∠BED.在△AEC和△BED中,∵∠A=∠B,AE=BE,∠AEC=∠BED,∴△AEC≌△BED(ASA).(2)∵△AEC≌△BED,∴EC=ED,∠C=∠BDE.在△EDC中,∵EC=ED,∠1=42°,∴∠C=∠EDC=69°,∴∠BDE=∠C=69°.母題2(教材P34復(fù)習(xí)題第4題)已知:如圖1-Z-18,BD,CE是△ABC的高,且BD=CE.求證：△ABC是等腰三角形.考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì).考情：等腰三角形的判定與性質(zhì)是證明線段相等或角相等的重要依據(jù),常與多邊形的其他性質(zhì)綜合在一起考查.策略：證明三角形中有兩個(gè)角相等或者兩條邊相等,注意數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.鏈接2[山西中考]如圖1-Z-19,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,直線a∥b,頂點(diǎn)C在直線b上,直線a交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,若∠1=145°,則∠2的度數(shù)是().A．30° B．35° C．40° D．45°分析∵AB=AC,∠A=30°,∴∠ACB=75°.在△ADE中,∵∠1=∠A+∠AED=145°,∴∠AED=145°-30°=115°.∵a∥b,∴∠AED=∠2+∠ACB,∴∠2=∠AED-∠ACB=115°-75°=40°.故選C.答案

C分析

如圖1-Z-21,直接利用平行線的性質(zhì)得出∠1=∠3,進(jìn)而利用角平分線的定義結(jié)合互余的性質(zhì)得出∠B=∠BDE,即可得出答案．鏈接3

[內(nèi)江中考]如圖1-Z-20,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足為D,DE∥AC．求證：△BDE是等腰三角形．證明如圖1-Z-21,∵DE∥AC,∴∠1=∠3.∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3.∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°,∴∠B=∠BDE,∴△BDE是等腰三角形．母題3(教材P32習(xí)題1.10第1題)已知：如圖1-Z-22,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分線.求證：BD=2CD.考點(diǎn)：在直角三角形中,如果有一個(gè)銳角是30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.考情：含30°角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用是中考的熱點(diǎn)考題.策略：遇到30°角應(yīng)該聯(lián)想到它是不是直角三角形中的一個(gè)銳角或者是否能夠添加輔助線構(gòu)造含30°角的直角三角形,解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.鏈接4[淄博中考]如圖1-Z-23,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N,且MN平分∠AMC,若AN=1,則BC的長(zhǎng)為().A．4 B．6 C．4 D．8分析

∵CM平分∠ACB,MN∥BC,MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,∴∠ACB=2∠B,NM=NC,∴∠B=30°.∵AN=1,∴MN=2,∴AC=AN+NC=3,∴BC=6.故選B.答案

B母題4(教材P24習(xí)題1.7第3題)如圖1-Z-24,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,△BCE的周長(zhǎng)等于50,求BC的長(zhǎng).考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì).考情：線段垂直平分線的性質(zhì)是中考中的常見(jiàn)考點(diǎn),該性質(zhì)常常與勾股定理、角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定定理等綜合在一起進(jìn)行考查.策略：先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理得到兩邊相等或者兩角相等,然后利用它們進(jìn)行轉(zhuǎn)化,找到解題思路.鏈接5

[南充中考]如圖1-Z-25,在△ABC中,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,連接AE,若BC=6,AC=5,則△ACE的周長(zhǎng)為().A．8 B．11 C．16 D．17分析

∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴△ACE的周長(zhǎng)=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11.故選B.

B母題5(教材P30習(xí)題1.9第2題)已知：如圖1-Z-26,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F.求證：EB=FC.考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì).考情：角平分線的性質(zhì)是中考中的常見(jiàn)考點(diǎn),該性質(zhì)常常與全等三角形的判定定理、勾股定理綜合在一起考查.策略：根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理,