解析數(shù)學(xué)-2021年高考考前押題（北京卷）

絕密★啟用前

2021年高考考前押題卷(北京卷)

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：1、答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2、請(qǐng)將答案正確

填寫在答題卡上

本試卷共5頁(yè)，150分，考試時(shí)間120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效,

考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四

個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題意要求的一項(xiàng).

1.已知集合4=卜€(wěn)式0<%<3},B=卜e式/24),則=

A.如2<x<3)B.[x|2<x<3)

C.<-2^2<x<3)D.R

2.已知復(fù)數(shù)2=缶，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

(x-；)6

3.2x的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)是()

4.若某空間幾何體的三視圖如圖所示，

則該幾何體的體積是()

|2

(A)-(B)-(C)1(D)2

33

俯視圖

5.已知圓V+y2=1截直線y=-x+l)(左〉0)所得弦的長(zhǎng)度為1,那么々的值為

1Ji

(A)-(B)—(C)1(D)G

23

6.已知函數(shù)，理好濯式腌雌是()/(x)>0

X

(A)(0,1)(B)(-oo,2)(C)(2,+oo)(D)(0,2)

7.若拋物線f=]6y上一點(diǎn)(%,%)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到x軸距離的3倍，則方=(

A.—B.y/2C.1D.2

8,等比數(shù)列｛4J中，卬<°,則、、4<%“是、、%<%,,的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

乃I

9定義：角。與夕都是任意角’若滿足分"=5'則稱。與"廣義互余”?已知sin("G=-"則下列

角￡中，可能與角a“廣義互余”的是。

A.「B.cos（7+，）='C.tan/?-V15D.tanB=

si“=￥4了5

10.已知定義在R上的函數(shù)y=/(x),對(duì)任意x都滿足了(x+2)=/(x),且當(dāng)時(shí)/。)=2/,

則函數(shù)8。)=/。)一如|回的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.12B.14C.15D.16

二.填空題：(本題共5小題，每小題5分，共25分)

11.函數(shù)y=12x+1+2g'口的定義域.

12.在AA2JC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若A=3,a=3,c=2,貝|cosC=.

22

13.雙曲線C：三-上=1的漸近線方程為；設(shè)「，尸2為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且

164

\PFt|=4,則|「己|=.

14.在矩形ABC￡>中，AB=BBC=1,E是

CD上一點(diǎn)，且荏?荏=1,則通?恁的值

為

15.如圖，有一塊矩形空地，要在這塊空地上開辟一個(gè)內(nèi)接四邊形為綠地，使其四個(gè)頂點(diǎn)分別落在矩形的

四條邊上，己知4?=H(W>2),BC=2,RAE=AH=CF=CG,設(shè)力￡=x,綠地面積為乂

則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為當(dāng)月￡為時(shí)，綠地面積y最大.

DGc

AEB

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16.(本題13分)如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形MCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF//AD,

平面1.平面43CD,且BC=2EF,4E=4尸，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn).

(I)證明：AGL平面ABQ)；

(II)若直線8尸與平面ACE所成角的正弦值為逅，求AG

9

的長(zhǎng)；

17.（本題13分）在①2ccosb=2?—），②AABC的面積為5?（/+〃一c.2）,③

cos2A-cos2C=sin2Z?-sinAsinB.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.（如

果選擇多個(gè)條件作答，則按所選的第一個(gè)條件給分）

已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是b,C,且________.

（1）求角C的大小；

（2）若c=2且4sinAsin3=3,求AABC1的面積.

18.（本題14分）2021年中國(guó)共產(chǎn)黨迎來了建黨100周年，為了銘記建黨歷史、緬懷革命先烈、增強(qiáng)愛國(guó)

主義情懷，某校組織了黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，共有200名同學(xué)參賽.為了解競(jìng)賽成績(jī)的分布情況，將200名

同學(xué)的競(jìng)賽成績(jī)按［30,40）、［40,50）、［50,60）、［60,70）、［70,80）、［80,90）、［90,100］分成7組,

（1）求這200名同學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)及競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的同學(xué)人數(shù)；

（2）現(xiàn)從競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的同學(xué)中，采用分層抽樣的方法抽取9人，再?gòu)?人中隨機(jī)抽取3人，記

這3人中競(jìng)賽成績(jī)不低于90分的同學(xué)人數(shù)為X，求P（X=2）；

（3）學(xué)校決定對(duì)競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的同學(xué)中以抽獎(jiǎng)的方式進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，其中競(jìng)賽成績(jī)不低于90分的同學(xué)

有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，低于90分不低于80分的同學(xué)只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，獎(jiǎng)品為黨史書籍，每次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)品數(shù)

量（單位：本）及對(duì)應(yīng)的概率如下表：現(xiàn)在從競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)選一名同學(xué)，記其獲獎(jiǎng)書

籍的數(shù)量為求4的分布列和數(shù)學(xué)期望.

獎(jiǎng)品數(shù)量（單位：本）24

3

概率

44

19.(本題15分)己知函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x+^(Z20)。

2X

(I)當(dāng)A=2時(shí)、求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程;

(II)求/(無)的單調(diào)區(qū)間。

20.（本題15分）

22o

設(shè)6，居分別為橢圓E：0+方=1（。＞人＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（L*在橢圓E上，且點(diǎn)P和6關(guān)于點(diǎn)

C（0,j）對(duì)稱.（I）求橢圓E的方程；

（II）過右焦點(diǎn)工的直線/與橢圓相交于A,3兩點(diǎn)，過點(diǎn)P且平行于A3的直線與橢圓交于另一點(diǎn)Q,問

是否存在直線/,使得四邊形PA3Q的對(duì)角線互相平分？若存在，求出/的方程；若不存在，說明理由.

21.(本題15分)

集合S“={X|X=(內(nèi),工2,…，x“),王6{0』},，=1,2,,一,”}(〃22)對(duì)于4=(4，。2，"，,,)，

B=("也,…b",)wS”,定義A與B的差為A-5=(|%-4|,|出一4I，…I。”一匕?1)；

A與B之間的距離為d(A,3)=Z|4-4|。

i-\

(I)證明：\/A,B,CeS?,^A-BeSn,且d(A-C,B-C)=d(A,B)；

(II)證明：VA,B,CeS“,d(A,B),d(A,C),d(3,C)三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)

(III)設(shè)PqS“，P中有m(m22)個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為4(尸),

-1TIJ1

證明：d(P)<--

2(/M-1)

2021年高考考前押題密卷（北京卷）

數(shù)學(xué)?全解全析

本試卷共5頁(yè)，150分，考試時(shí)間120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無

效，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

12345678910

BBBCDCDBCA

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四

個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題意要求的一項(xiàng).

1.已知集合4=*€乳0<%<3},3=卜6式/24},則4nB=

A.同2<%<3}B.{%|2<x<3}

C.{木<-2血<x<3}D.R

答案：B

求出集合B中的一元二次不等式的解集確定出集合B,然后求出集

合A和集合B的交集即可。

集合B中的不等式x2%,移項(xiàng)并分解因式得：（x+2）（x-2巨0,可化為

fx+2>0：儼+2<0'

^%-2>0<%-2<0

解得：x>2或xW-2,所以集合B={x|x<-2或xN2},又集合A={x|0<x<3},則AnB={x|2<x<3}.^^：B

|—

2.已知復(fù)數(shù)z=*,則z”在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

答案：B

1_

求出復(fù)數(shù)2=幣的共物復(fù)數(shù)，代入Z"，化簡(jiǎn)為a+加的形式，可以確定所在象限.

z=；+9，z.i=-實(shí)數(shù)一4，虛部;，對(duì)應(yīng)點(diǎn)(一；，在第二象限，故選B.

乙乙乙乙乙乙乙、乙乙)

(x"-)6

3.、2x的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)是()

15155

一-rC.15--

A.4B.T4~D.2

答案：B

由二項(xiàng)式定理性質(zhì)直接得出第三項(xiàng)，計(jì)算該項(xiàng)的系數(shù)，得出正確選項(xiàng).

(x--!-)6C-xx4x(--!-)2

2x的展開式中第三項(xiàng)是62x

L15

故第三項(xiàng)的系數(shù)15x1=4

故選B

4.若某空間幾何體的三視圖如圖所示，

則該幾何體的體積是()

12

(A)-(B)-(C)1(D)2

33

俯視圖

答案：C

三視圖=幾何體是直三棱柱=該幾何體的體積.

由該幾何體的三視圖可知，該幾何體是直三棱柱，且棱柱的底面是兩直角邊長(zhǎng)分別為0和1的直角三角形,

棱柱的高為及,所以該幾何體的體積

V=X夜X1)X&=1.

故選：C.

5.已知圓f+y2=l截直線y=A(x+l)(攵〉0)所得弦的長(zhǎng)度為1,那么々的值為

(A)-(C)1(D)&

2

答案：D

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示圓心(0,0)到直線y=k(x+l)的距離d,建立關(guān)于k的方程求出k值.

解：圓x2+y2=l的圓心0(0,0),半徑為尸1

由圓x2+y2-l截直線y=k(x+l)(k>0)所得弦長(zhǎng)為1,

則圓心（0,0）到直線y=k（x+l）的距離d=:E尋即高普'”=3

=解得k=祗或k=-《W舍去）,

所以k的值為o

故選D.

6.已知函數(shù)，現(xiàn)年聚式腕螺集是（）./（x）＞0

X

(A)(0,1)(B)(-oo,2)(C)(2,+oo)(D)(0,2)

答案：C

根據(jù)不等式轉(zhuǎn)（例為等找函數(shù)y=的圖象上方的部分，從而數(shù)形結(jié)合得出解集.

4吟

X

解：。）="四2抄＞0）

X

付＞。=＞2。叱令丁孫》x=2

數(shù)形結(jié)合

所以不等式“的解集是x〉？

7.若拋物線f=]6y上一點(diǎn)（小,%）到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到x軸距離的3倍，則為=（

A.-B.V2C.1D.2

答案：D

根據(jù)拋物線的定義建立焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到％軸距離的3倍的關(guān)系式.

解：拋物線V=16y的準(zhǔn)線方程為y=T,由拋物線的定義知，拋物線V=i6y上一點(diǎn)（七,%）到焦點(diǎn)的

距離為%+4,，%+4=3%,解得%=2,故選D.

8.等比數(shù)列｛。“｝中，4<0,貝廣《<。3”是“4<%”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

答案：B

由題設(shè)，令公比為4日工0),分別確定的</、為<4時(shí)4的取值范圍，即可判斷它們的充分、必要關(guān)

系.

等比數(shù)列｛4｝中4<0,令公比為0(4H0),

.?.若4<%，則有0<4<1；若%</，則有或4<0，

<4"是“。5<4”的充分不必要條件.

故選：B

jrI

9.定義：角。與夕都是任意角，若滿足8+0=耳，則稱。與。“廣義互余”.已知sin(?+a)=-w，則下列

角夕中，可能與角a“廣義互余”的是()

A._B.cos("+￡)=2C.tan^-\/15D.tan/3-

sinp=?45

答案：C

1JI

有題意可知sin(乃+。)=-sina=-“從而得到尸二萬一。的關(guān)系進(jìn)行逐一判斷.

解：Vsin(^-+a)=-sincr=——,sina-,若a+'=],則夕=萬一夕.

4

A..A.(71\_,V15

A中，sinp=sinl-1=cosa=±-^-,故A不符合條件；

B中，cos(?+/?)=—cos[,-a)=-sina二二一9,故B不符合條件；

4

C中，tan(3=y/15,即sinp=V15cos0,

又siM尸+cos2/=l,所以sin^=±普，故C符合條件;

D中，tan！3=,即sin/?=1^cos￡，

又siM尸+cos2夕=1,所以sin/?=±Y6,故D不符合條件.故選：C.

，4

10.已知定義在R上的函數(shù)y=/(x),對(duì)任意x都滿足.f(x+2)=/(x),且當(dāng)時(shí)/口)=2j,

則函數(shù)8(幻=/。)一111|燈的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.14B.12C.15D.16

答案：A

先求函數(shù)的周期性，再根據(jù)周期性畫出函數(shù)的圖象以及y=ln|x|的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的辦法可求

解.

?.?/(x+2)=〃x),

二函數(shù)y=/(x)是周期為2的周期函數(shù).

令g(x)=/(x)-lnW=0,則/(x)=ln|X,

由題意得函數(shù)g(x)=/(力-歷國(guó)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=/(x)的圖象與函數(shù)y=In兇的圖象交點(diǎn)的個(gè)

數(shù).

當(dāng)一IWXWI時(shí)，/(x)=2x2,

在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=/(x)和函數(shù)y=ln|x|的圖象(如圖所示)，

結(jié)合圖象可得兩函數(shù)的圖象有14個(gè)交點(diǎn),

二函數(shù)g(x)=/(x)-l川X的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為14.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利

用教形結(jié)合的方法求解.

二、填空題(共5小題，每小題5分，共25分)

11.函數(shù)y=^2%+1+1g"+2）的定義域

答案：x

?--2

本題考查幕函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義

px+l?o[x?--

lx+2>0(x>-2

所以x

?--2

12.在A4BC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為mb,c.若A=B,a=3,c=2,則cosC=.

答案：5

本題考查正弦定理和余弦定理.

解：因?yàn)锳=B,有正弦定理可知b=a=3,所以有余弦定理得2a2=22尸

222222

CaC+ObS+Lc=3--+-3---2---7--------

2ab2X3X39

故答案：

7

9

22

13.雙曲線C：土-匕=1的漸近線方程為；設(shè)耳，鳥為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且

|尸耳1=4,則|"|=.

答案：x;12

y=士：

本題考查雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

解：由雙曲線的方程可知a=4,b=2

因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以漸近線的方程x

y=±：

由雙曲線的定義可知||PE/_|p&||=2a=8,所以|「工l=12

故答案為：x-,.pF.12

y=±l2

14.在矩形ABC。中，ABW,BC=1,E是

CD上一點(diǎn)，且荏?麗=1,則亞?衣的值

為

答案：2

本題考查向量的加減法的法則及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義

解：由題意可知o故答案2

-??一=-??(―?H-->)=-??-?H-->—?=1H-->2=1+1=2

AEACAE'ABADfAEABAEADAD

15.如圖，有一塊矩形空地，要在這塊空地上開辟一個(gè)內(nèi)接四邊形為綠地，使其四個(gè)頂點(diǎn)分別落在矩形的

四條邊上，已知AB=〃3>2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,設(shè)AE=x,綠地面積為y.

則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為當(dāng)AE為時(shí)，綠地面積y最大.

答案：丫=一2^+3+2)氏%e(0,2],A￡=2時(shí)，綠地面積取最大值2a—4.

本題是一道求圖形面積最大值的問題，解題的關(guān)鍵是列出面積的函數(shù)關(guān)系式；

根據(jù)直角三角形的面積公式可得SAAEH=SACFG=J2,SABEF=SADGH=12(a-x)(2-x),據(jù)此用矩形的面積減去空白部

分的面積即可求出y關(guān)于x的關(guān)系式，同時(shí)也可求出定義域；對(duì)于(2),先對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行變形，進(jìn)而結(jié)

合二次函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行求解即可。

1

【解析】(1)5“上”=5支尸6=2P，

S&BEF=SAOG〃=T(a—x)(2—X).

y=s矩形ABCD—2SAAEH—2SABEF=2a—x2—(a-x)(2-x)

=-2%2+(a+2)x.

〃x>0

a-x>0

由〈,得0y2.

2—x>0

、a>2

：.y=-2x2+(a+2)x,定義域?yàn)?0,2].

(2)當(dāng)14:2,即a<6時(shí)，

則》=平時(shí)，y取最大值然空；

當(dāng)區(qū)卷2,即e6時(shí)，丫=-2?+(4+2)*在(0,2]上是增函數(shù)，

則X=2時(shí),ymax=2〃-4.

綜上所述：當(dāng)〃<6,AE=4時(shí)，綠地面積取最大值如歲；

4o

當(dāng)e6,AE=2時(shí)，綠地面積取最大值2a—4.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16.(本題13分)如圖，在五面體"CDEF中，四邊形MCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF//AD,

平面平面45CD,且BC=2EF,4￡=■,點(diǎn)G是E尸的中點(diǎn).

(I)證明：AGJ?平面45CD；

(II)若直線與平面ACE所成角的正弦值為二上，求AG

9

的長(zhǎng)；

J34

答案：(1)證明見解析(2)AG=1或丫一

(1)分別推導(dǎo)出AG’EEAG工AD,由止匕能證明AG,平面ABCD.

(H)以A為原點(diǎn)，以AB,AD,AG分別為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由BF與平面ACE所成

角的正弦值為卡，利用向量法能求出AG

9

本題考查線面垂直的證明，考查滿足條件的線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的

合理運(yùn)用。

(I)證明：因?yàn)?點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，

所以AGLEE.

又因?yàn)?/p>

所以AG_LAD.

因?yàn)槠矫鍭DEF1平面ABCD,平面ADEFA平面ABCD=AD,

AGu平面

所以AG_L平面43CD.

(II)解：因?yàn)锳GJ_平面ABC。，ABrAD,所以AG,A。,AB兩兩垂直.以A為原

點(diǎn)，以AB,AD,AG分別為x軸、y軸和z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),8(4,0,0),C(4,4,0),

設(shè)AG=r?>0),則E(0,lj),F(0,-l,r),

所以而=(-4,-1"),AC=(4,4,0),AE=(0,l,r).

設(shè)平面ACE1的法向量為〃=(x,y,z),

,----------------,口f4x+4y=0,

由AC?〃=0,AEn=0,得《

y+Ez=0,

令z=l,得〃=

因?yàn)锽F與平面ACE所成角的正弦值為立,

9

1------?屈

所以cos<BF,n>\===——L-=——,

11\BF\\n\9

即,畫=叵解得『=1或/=?

47+產(chǎn).也產(chǎn)+192

所以AG=1或----.

2

17.(本題13分)在①2ccos3=2?-》，②△ABC的面積為￥(a2+b2-c2)，③

cos2A-cos2C=sin2Z?-sinAsinB.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.(如

果選擇多個(gè)條件作答，則按所選的第一個(gè)條件給分)

已知AABC的內(nèi)角A，B,。所對(duì)的邊分別是。，h,c,且________.

(1)求角C的大小；

(2)若c=2且4sinAsinB=3,求.ABC的面積.

答案：條件選擇見解析(1)C=-;(2)y/3.

3

(1)分別選擇①②③，根據(jù)正弦定理、余弦定理和三角恒等變換即可求出角C；

(2)運(yùn)用正弦定理求出‘山，再根據(jù)三角形面積公式即可求出.

22I2

(1)若選條件①2ccosB=2?—＞，則2C3+J=2a—b,

2ac

gpa2+b2-c2=ab，所以cosC='，

2

jr

又因?yàn)?。?0,萬)，所以C=—.

3

(1)若選條件②△ABC的面積為+"-c),則孝^(。2一=ga》sinC，

即sinC=A/3COSC，所以tanC=G，

7T

又因?yàn)镃e(O,7),所以。=一.

3

(1)若選條件③cos2A-cos2C=sin23-sinAsin3，

則(l-sin?A)-(l-sin2C)=sin2B-sinAsinB,

即sin2A4-sin25-sin2C=sinAsinB，

BPa2+b2-c2-aby所以cosC二二，

2

77

又因?yàn)?。?0,乃)，所以c=—.

3

Q_Z?_C_2_4

(2)因?yàn)閏=2，所以sinAsinBsinC'^，

sin—

3

所以sinA=^'。，sinB=^-h>

44

又因?yàn)?sinAsin3=3,所以必=4,

△ABC的面積為gabsinC=G.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：

（1）在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系；

（2）題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理；

（3）應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用；

（4）解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍.

18.（本題14分）2021年中國(guó)共產(chǎn)黨迎來了建黨100周年，為了銘記建黨歷史、緬懷革命先烈、增強(qiáng)愛國(guó)

主義情懷，某校組織了黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，共有200名同學(xué)參賽.為了解競(jìng)賽成績(jī)的分布情況，將200名

同學(xué)的競(jìng)賽成績(jī)按［30,40）、［40,50）、［50,60）、［60,70）、［70,80）、［80,90）、［90,100］分成7組,

（1）求這200名同學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)及競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的同學(xué)人數(shù)；

（2）現(xiàn)從競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的同學(xué)中，采用分層抽樣的方法抽取9人，再?gòu)?人中隨機(jī)抽取3人，記

這3人中競(jìng)賽成績(jī)不低于90分的同學(xué)人數(shù)為X,求尸（X=2）；

（3）學(xué)校決定對(duì)競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的同學(xué)中以抽獎(jiǎng)的方式進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，其中競(jìng)賽成績(jī)不低于90分的同學(xué)

有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，低于90分不低于80分的同學(xué)只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，獎(jiǎng)品為黨史書籍，每次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)品數(shù)

量（單位：本）及對(duì)應(yīng)的概率如下表：現(xiàn)在從競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)選一名同學(xué)，記其獲獎(jiǎng)書

籍的數(shù)量為4,求J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

獎(jiǎng)品數(shù)量（單位：本）24

3j_

概率

44

3in

答案：（1）65,30；（2）P（X=2）=—；（3）分布列見解析，—.

V'143

（1）根據(jù)頻率分布直方圖首先判斷中位數(shù)位于［60,70）之間，再列出方程求出中位數(shù)，求出成績(jī)不低于80

分的頻率，即可計(jì)算出人數(shù)；

（2）由題意可知，抽取的9人中，競(jìng)賽成績(jī)不低于90分的學(xué)生人數(shù)為3,再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算

可得；

（3）設(shè)這名同學(xué)獲得書籍的數(shù)量為則J的可能取值為2,4,6,8.求出所對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，

求出數(shù)學(xué)期望即可；

解：⑴???0.0025+0.15+0.20=0.375,0.0025+0.15+0.20+0.25=0.625,

所以中位數(shù)位于［60,70）之間，設(shè)這200名同學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為x,則

0.0025+0.15+0.20+0.025（X-60）—0.5,解得x=65.

競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的學(xué)生人數(shù)為：200x（0.10+0.05）=30.

（2）由題意可知，按分層抽樣抽取的9人中，競(jìng)賽成績(jī)不低于90分的學(xué)生人數(shù)為3人，

（x=2］=^=—.

P'/C；14

（3）設(shè)這名同學(xué)獲得書籍的數(shù)量為則J的可能取值為2,4,6,8.

\732448

所以4的分布列為

42468

17_11

P

~2葩848

L/八C1,17,1c110

E(自)=2x—+4x--F6X—+8x—=—.

''2488483

19.(本題15分)已知函數(shù)八x)=In(l+x)-x+?(jt>0)?

J_v2

(I)當(dāng)后=2時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7(I))處的切線方程;

(II)求/(X)的單調(diào)區(qū)間。

答案：(I)3x—2y+21n2-3=0；(II)當(dāng)％=0時(shí)./(x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+8).

當(dāng)0<女<1時(shí)，/(X)得單調(diào)遞增區(qū)間是(一1,0)和(」」,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,」一￡).當(dāng)我=1時(shí)/(X)得單調(diào)遞增

kk

區(qū)間是(—1,+8).當(dāng)％>1時(shí)/(X)得單調(diào)遞增區(qū)間是(―1,L±)和(0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(二,0)

kk

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f(X)在X=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，然后求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再用

點(diǎn)斜式寫出直線方程，最后化簡(jiǎn)成一般式即可；

(11)先求出導(dǎo)函數(shù)F(x)對(duì)論k=0,0<kVl,k=l,k>l四種情形，在函數(shù)的定義域

內(nèi)解不等式f(x)>0和f(x)<0即可.

(I)當(dāng)攵=2時(shí)，/(x)=ln(l+x)-x+x2,/'(%)=---l+2x

1+x

3

由于/⑴=ln2,/'(1)=5，

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7(I))處的切線方程為

3

y-ln2=-(x-l)

即3x—2y+21n2-3=0

八八、x(kx+k-l)...

(II)f(x)------------,xG(-1,+00).

1+x

當(dāng)％=0時(shí)，f\x)=一一—.

1+x

所以，在區(qū)間(一1,0)上，/'(x)>0；在區(qū)間(0,+00)上，f\x)<0.

故/(幻得單調(diào)遞增區(qū)間是(一1,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+8).

當(dāng)0<攵<1時(shí)，由f'(x)=W^3=o,得占=0,9=寧>0

I_k1-k

所以，在區(qū)間(一1,0)和(一-,+oo)±,/,(x)>0;在區(qū)間(0,—-)±,/'(%)<0

kk

故f(X)得單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,0)和(一,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,—).

kk

x2

當(dāng)攵=1時(shí)，/'(x)=——

1+X

故/(X)得單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,+00).

X(kx+kl)

當(dāng)左>1時(shí)，f\x)=~=0,得(—1,0),x2=0.

1+xk

所以沒在區(qū)間(-1,—)和(0,+oo)上，/(x)>0;在區(qū)間(一,0)上，

kk

故/(X)得單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,L與和(0,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間是d-,0)

kk

20.(本題15分)

22Q

設(shè)耳，B分別為橢圓E：三+￡=1("人>())的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸(1,*在橢圓E上，且點(diǎn)P和￡關(guān)于點(diǎn)

C(0,1)對(duì)稱.(I)求橢圓E的方程；

(II)過右焦點(diǎn)工的直線,與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)、,過點(diǎn)P且平行于A3的直線與橢圓交于另一點(diǎn)Q,問

是否存在直線/,使得四邊形尸ABQ的對(duì)角線互相平分？若存在，求出/的方程；若不存在，說明理由.

22

答案：(1)橢圓E的方程為土+匕=1.(2)存在直線/為3X一4丁一3=°時(shí)，四邊形尸43Q的對(duì)角線互相平分

43

33

P(l,-)uC(0,-)*1

(1)根據(jù)題中點(diǎn)2和外關(guān)于點(diǎn)4對(duì)稱，得"LU”,利用橢圓定義求。=2.

(2)根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系聯(lián)立方程組得出根系關(guān)系。利用四邊形PA8Q的對(duì)角線互相平分，則心與A。的中點(diǎn)重

合建立關(guān)于k的方程.

(I)由點(diǎn)尸(1，)和片關(guān)于點(diǎn)c(o9對(duì)稱，得耳(—1,0),

所以橢圓E的焦點(diǎn)為耳(—1,0),居(1,0),

由橢圓定義，得2。=|尸耳|+|2鳥|=4.

所以a=2，b=Na2-d=V3-

22

故橢圓E的方程為二+匕=1.

43

(II)結(jié)論：存在直線/,使得四邊形PA3Q的對(duì)角線互相平分.

理由如下：

由題可知直線/,直線PQ的斜率存在，

3

設(shè)直線/的方程為y=Z(x-1),直線PQ的方程為y-彳=攵。-1).

'22

S+21=1

由<43'消去y，

,=左(*-1),

得(3+4&2)彳2—8氏21+4氏2-12=0,

由題意，可知A>0,設(shè)A(X|,y),B(x2,y2),

8公4F-12

則為+x23+4/'X%―3+止

由J/0消去y,

y-^=k(x-\),

、乙

得(3+4k2)x2~(8k2-12k)x+4/一12左一3=0,

13

由△>(),可知Aw—Q,設(shè)Q(X3，)3)，又。(1弓)，

,8k2-12k,4k2-12k-3

則nIx+l=------z-,占?1=-------：—

33+4女233+4氏2

若四邊形PABQ的對(duì)角線互相平分，則PB與AQ的中點(diǎn)重合,

所以受”=笠1，即占一%2=1—工3，

故(X]+%)~-4V=(1—%3)--

8公4^-12〃4/一12%-3、2

所以(）2_4.=（＞3+4公）

3+4公3+4k2

解得％=，3

4

所以直線/為3%-4丁-3=0時(shí)，四邊形PA8Q的對(duì)角線互相平分.

(注：利用四邊形PA8Q為平行四邊形，則有IPQRABI，也可解決問題)

21.(本題15分)

集合S"={XIX=(%,工2,…，x“),大w{0,l},i=l,2,…,“}(〃22)對(duì)于4=(4，。2,…，

B