函數(shù)與圖形面積類相關(guān)問題-2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講+熱考題型（解析版）

專題49函數(shù)與圖形面積類相關(guān)問題

【考查題型】

■二次函數(shù)與圖形面積類相關(guān)問題

專題49函數(shù)與圖形面積類相關(guān)問題

氤例函數(shù)與圖形面積類相關(guān)問題

考查題型一二次函數(shù)與圖形面積類相關(guān)問題

1.(2015?四川綿陽市?中考真題)已知拋物線y=-x2-2x+a(a#))與y軸交于A,頂點(diǎn)為M,直線y=-a

分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，并且與直線MA相交于N點(diǎn).

(1)若直線BC和拋物線有兩個不同交點(diǎn)，求a的取值范圍，并用a表示交點(diǎn)M、A的坐標(biāo)；

(2)將ANAC沿著y軸翻折，若點(diǎn)N的對稱點(diǎn)P恰好落在拋物線上，AP與拋物線的對稱軸相交于D,連

接CD.求a的值及APCD的面積；

(3)在拋物線y=-x2-2x+a(a>0)上是否存在點(diǎn)P,使得以P、A、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

259955

【答案】(1)a>----且a/0>A(0,a),M(-1,1+a)；(2)a=—,S=—；(3)當(dāng)點(diǎn)P為(—,一)

324PCD228

17

和(一，一77)時(shí)，A、C、P、N能構(gòu)成平行四邊形.

28

【提示】

y=-x2-2x+a

(1)把兩個函數(shù)解析式聯(lián)立組成方程組(1，整理得2V+5x-4〃=0，

y=-x-a

r2

直線BC和拋物線有兩個不同交點(diǎn)可得△>(),代入即可得a的取值范圍；把x=0代入y=-x2-2x+a求得y=a,

即可得A(0,a)；把y=-x〈2x+a化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=-(x+l)2+l+a即可得M(-1,1+a)；

(2)設(shè)直線MA為y=kx+b,代入A(0,a),M(-1,1+a),即可求得直線MA的表達(dá)式，把直線MA的

表達(dá)式和直線y=。聯(lián)立組成方程組求點(diǎn)N的坐標(biāo)(用a表示)，點(diǎn)P和點(diǎn)N關(guān)于y軸對稱，即可得

2

點(diǎn)P的坐標(biāo)，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=-x-2x+a,通過解方程即可得a的值，由S^PCD=S^-S^即可求得

△PCD的面積：

(3)分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，由四邊形APCN為平行四邊形，則AC與PN相互平分，點(diǎn)

P與N關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，根據(jù)點(diǎn)N的坐標(biāo)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入y=-x2-2x+a求a的值，即可求得P的坐

標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí)，由四邊形ACPN為平行四邊形，則NP〃AC且NP=AC,根據(jù)點(diǎn)A、N、C

的坐標(biāo)求點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入y=*2-2x+a求a的值，即可求得P的坐標(biāo).

【詳解】

y--x2-2x+a

解：(1)由題意聯(lián)立《1,

y=-x-a

I2

整理得，2x2+5x-4。=0

25

由△=25+32a>0,解得a>-----

32

.25日,

?a/)，??a>----且a^O

32

令x=0,得y=a,A(0,a)

由y=—(x+1)~+1+a,

得M(-1,1+a)

1+a=-k+b

設(shè)直線MA為y=kx+b,代入A(0,a),M(-1,1+a)得，<

a=b

'k=-I

解得<,,故直線MA為y=?x+a

b=a

4a

(y=-x+ax=——

3”，4。Q

聯(lián)立11,解得〈所以N(7，一耳)

y--x-ay_a

因P點(diǎn)是N點(diǎn)關(guān)丁?y軸的對稱點(diǎn)，，P(———),

代入y=-x~-2x+a,得------------a~+—ci+a,

9

解得a=—或a=0(舍去)

4

99139

AA(0,一)、C(0,——)、M(-1,—).|AC|=-

4442

=^\AC\-\x\-^\AC\-\x\

,?SAPCD=SBCC-SDACpn

199

=---（3-1）=-

222

①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，由四邊形APCN為平行四邊形，則AC與PN相互平分，點(diǎn)P與N關(guān)于原點(diǎn)（0,

0）中心對稱,

4aa,,4aa

而N(—,一一),故P(——,一一).

3333

..na1628

代入y=-x--2x+a,得—=----，

393

1555

解得a=—,P(—.

828

②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí)，由四邊形ACPN為平行四邊形，則NP〃AC且NP=AC,而N（（■，-］）、A

/z、u4。la

(0,a)、C(0?-a),故P(—------)

393

7a16

代入y=-x2-2x+a,得——=----

393

317

解得a=g,???P(-,——)

O28

C、P、N能構(gòu)成平行四邊形.

【名師點(diǎn)撥】

本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角形、四邊形的綜合題.

2.(2018?遼寧阜新市?中考真題)如圖，已知二次函數(shù)y=ax?+bx+3的圖象交x軸于點(diǎn)A(1,0),B(3,0),

交y軸于點(diǎn)C.

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一動點(diǎn)，求ABCP面積的最大值；

(3)直線x=m分別交直線BC和拋物線于點(diǎn)M,N,當(dāng)ABMN是等腰三角形時(shí)，直接寫出m的值.

【答案】(1)這個二次函數(shù)的表達(dá)式是y=x?-4x+3；(2)SCP(3)當(dāng)ABMN是等腰三角形時(shí)，

ABO

m的值為0,-五，1,2.

【解析】

提示：(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

(2)根據(jù)平行于y軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得PE的長，根據(jù)面積的和

差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；

(3)根據(jù)等腰三角形的定義，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案.

詳解：(1)將A(1,0),B(3,0)代入函數(shù)解析式，得

a+b+3=0

9a+3b+3=0

a=\

解得J

b=-4

這個二次函數(shù)的表達(dá)式是y=x2-4x+3：

(2)當(dāng)x=0時(shí)，y=3,即點(diǎn)C(0,3),

設(shè)BC的表達(dá)式為y=kx+b,將點(diǎn)B(3,0)點(diǎn)C(0,3)代入函數(shù)解析式，得

'3k+b=0

b=0

解這個方程組，得

k=-T

b=3

直線BC的解析是為y=-x+3,

過點(diǎn)P作PE〃y軸

交直線BC于點(diǎn)E交-t+3),

PE=-t+3-(t2-4t+3)=-l2+3t,

.133,27

??SBCP=SABPE+SCPE=~(-1+3t)x3="—(t--)>

A222o

3、“3-27

.■刀<0,.?當(dāng)t=7時(shí)'SBCPKX=-?

22A8

(3)M(m,-m+3),N(m,m2-4m+3)

MN=m2-3m,g-3|,

當(dāng)MN=BM時(shí)，①n？.3m=J5(m-3),解得巾=加,

②n?.3m=-V2(m-3),解得m=-72

當(dāng)BN=MN時(shí)，ZNBM=ZBMN=45°,

m2-4m+3=0,解得m=l或m=3(舍)

當(dāng)BM=BN時(shí);NBMN=NBNM=45。，

-(m2-4m+3)=-m+3,解得m=2或m=3(舍)，

當(dāng)ABMN是等腰三角形時(shí)，m的值為&,-、乃，1,2.

名師點(diǎn)撥：本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用面積的和差

得出二次函數(shù)，乂利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，解（3）的關(guān)鍵是利用等腰三角形的定義得出關(guān)于m的方程，要

分類討論，以防遺漏.

3.（2013?廣東佛山市?中考真題）如圖①，已知拋物線y=ax?+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0,3）,B（3,0）,C（4,

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸；

（3）把拋物線向上平移，使得頂點(diǎn)落在x軸上，直接寫出兩條拋物線、對稱軸和y軸圍成的圖形的面積S

（圖②中陰影部分）.

【答案】（1）y=x2—4x+3；（2）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-1）,對稱軸為直線x=2；（3）2.

【提示】

（1）把點(diǎn)A、B、C代入拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx+c利用待定系數(shù)法求解即可.

（2）把拋物線解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸即可.

（3）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出向上平移的距離，再根據(jù)陰影部分的面積等于平行四邊形的面積，列式進(jìn)行計(jì)算即

可得解.

【詳解】

解：(1)??,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(0,3),B(3,0),C(4,3),

c=3a=1

{9a+3b+c=0,解得{b=T.

16a+4b+c=3c=3

:.拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+3.

(2)Vy=x2-4x+3=(x-2)2-l,

...拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),對稱軸為直線x=2.

(3)如圖,?.?拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),APP^l.

又由平移的性質(zhì)知，陰影部分的面積等于平行四邊形A，APP，的面積，

而平行四邊形AAPP，的面積=1x2=2.

,陰影部分的面積=2.

4.(2019?廣東中考真題)如圖所示拋物線y=辦2+法+c過點(diǎn)A(-l,0),點(diǎn)C(0,3),且O8=OC

(1)求拋物線的解析式及其對稱軸；

(2)點(diǎn)。,E在直線x=l上的兩個動點(diǎn)，且OE=1,點(diǎn)。在點(diǎn)E的上方，求四邊形ACOE的周長的最小

值；

(3)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP,直線CP把四邊形CBP4的面積分為3：5兩部分，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】(1)y=-x2+2x+3,對稱軸為直線x=l；(2)四邊形ACDE的周長最小值為麗+屈+1：

(3):(4,-5),"(8,~45)

【提示】

(1)0B=0C,則點(diǎn)B(3,0),則拋物線的表達(dá)式為：y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax?-2ax-3a,即可

求解；

(2)CD+AE=A,D+DC",則當(dāng)A\D、C三點(diǎn)共線時(shí)，CD+AE=AD+DC最小，周長也最小，即可求解;

=

(3)SAPCB：SAPCA~EBx(yc-yp)：—AEx(yc-yp)=BE：AE,即可求解.

【詳解】

(1)VOB=OC,.?.點(diǎn)B(3,0),

則拋物線的表達(dá)式為：y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax2-2ax-3a,

故-3a=3,解得：a=-l,

故拋物線的表達(dá)式為：y=-x?+2x+3…①；

對稱軸為：直線x=l

(2)ACDE的周長=AC+DE+CD+AE,其中AC=而、DE=1是常數(shù)，

故CD+AE最小時(shí)，周長最小，

取點(diǎn)C關(guān)于函數(shù)對稱點(diǎn)C(2,3),則CD=CD,

取點(diǎn)A(-1,1),則AD=AE,

故：CD+AE=A'D+DC,,則當(dāng)A，、D、C三點(diǎn)共線時(shí)，CD+AE=AD+DC最小，周長也最小,

四邊形ACDEd^<=AC+DE+CD+AE=710+1+A,D+DC,=+1+AV=VW+I+V13；

(3)如圖，設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E,

直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，

=X

又;SAPCB：SAPCA~EB(yc-yp)：萬AEX(yc-yp)=BE：AE,

則BE：AE,=3：5或5：3,

53

則AE=一或一，

22

31

即：點(diǎn)E的坐標(biāo)為(二，0)或(彳，0),

將點(diǎn)E、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+3,

解得：k=-6或-2,

故直線CP的表達(dá)式為：y=-2x+3或y=-6x+3…②

聯(lián)立①②并解得：x=4或8(不合題意值已舍去)，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,-5)或(8,-45).

【名師點(diǎn)撥】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、圖象面積計(jì)算、點(diǎn)的對稱性等，其中(1),通過確定

點(diǎn)A，點(diǎn)來求最小值，是本題的難點(diǎn).

5.(2020?山東濟(jì)南市?中考真題)如圖1,拋物線y=-f+bx+c過點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)8(3,0)與)，軸交

于點(diǎn)C.在無軸上有一動點(diǎn)E(機(jī)，0)(0<m<3),過點(diǎn)E作直線LLx軸，交拋物線于點(diǎn)

(1)求拋物線的解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)〃?=1時(shí)，。是直線/上的點(diǎn)且在第一象限內(nèi)，若△ACO是以/OCA為底角的等腰三角形，求點(diǎn)。

的坐標(biāo)；

(3)如圖2,連接3M并延長交y軸于點(diǎn)N,連接AM,OM,設(shè)AAEM的面積為Si，AMON的面積為S2,

【答案】(1)y=-V+2x+3,C(0,3)；(2)(1,1)或(1,八)：(3)"一2

【提示】

(1)用待定系數(shù)法即可求解；

(2)若AAC。是以乙DCA為底角的等腰三角形，則可以分8=AO或4C=AZ)兩種情況，分別求解即可;

(3)Si=：AExy,“，2s2=0N?XM，即可求解.

【詳解】

-l-b+c=O

解：(1)將點(diǎn)4、8的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得《c>Z

-9+3b+c=0

b=2

解得〈.，

(c=3

故拋物線的表達(dá)式為j=-f+2x+3,

當(dāng)x=0時(shí)，y=3,故點(diǎn)C(0,3)；

(2)當(dāng)，〃=1時(shí)，點(diǎn)E(l,0),設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,。)，

由點(diǎn)A、C、。的坐標(biāo)得，AC=^(0+1)2+(3-0)2=V10.

同理可得：AD=Ta^+4>CD=Jl+(a-3)2，

①當(dāng)C￡>=AD時(shí)，即Ja?+4=Jl+(a-3)2,解得a=l；

②當(dāng)AC=AO時(shí)，同理可得。=±指(舍去負(fù)值)；

故點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,1)或(1,瓜);

(3)VE(m,0),則設(shè)點(diǎn)-W+2m+3),

-m2+2m+3=sm+t

設(shè)直線3M的表達(dá)式為y=sx+3則《,

0=3s+t

解得：，丁,

t=^-

、m+1

13

故直線8M的表達(dá)式為y=-----x+——，

m+1m+1

333

當(dāng)x=0時(shí)，y=----,故點(diǎn)N(0,----),則ON=----；

m+1m+1m+1

112

S\——xAE'X-VM=-x(m+1)x(-7；?+2"？+3),

22

312

2SR=ON?XM=----xm=S]=-x(加+1)x(-"+2〃?+3),

m+12

解得m=-2±J7(舍去負(fù)值),

經(jīng)檢驗(yàn)，”=J7-2是方程的根，

故巾=V7-2.

【名師點(diǎn)撥】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、面積的計(jì)算等，其中(2),

要注意分類求解，避免遺漏.

6.(2020?遼寧大連市?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)耳和鳥的圖象關(guān)于y軸對稱，它們與直

線x=(>0)分別相交于點(diǎn)P,Q.

(1)如圖，函數(shù)耳為y=x+i,當(dāng)f=2時(shí)，PQ的長為；

3

(2)函數(shù)6為了=—,當(dāng)尸。=6時(shí)，，的值為；

x

(3)函數(shù)耳為y=依2+法+c(〃工0),

①當(dāng)"時(shí)，求△OPQ的面積；

b

②若c>0,函數(shù)6和耳的圖象與X軸正半軸分別交于點(diǎn)A(5,o),8(1,0),當(dāng)c?x4c+1時(shí)，設(shè)函數(shù)6的

最大值和函數(shù)6的最小值的差為肌求人關(guān)于c的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量c的取值范圍.

—cH—c~H—c(0<c<2)

【答案】⑴4；(2)1；⑶①&嘰=1；②丸=彳555.

2c2+c(c>2)

【提示】

(1)由題意，先求出6的解析式，再求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出PQ的長度;

(2)由題意，先求出用的解析式，結(jié)合PQ的長度，即可求出t的值;

(3)①根據(jù)題意，先求出鳥的解析式，然后求出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，得到PQ的長度，利用三角形的面

積公式即可求出面積；

②根據(jù)題意，先求出函數(shù)耳和耳的解析式，然后求出兩個函數(shù)的對稱軸，利用二次函數(shù)的對稱性和增減性

進(jìn)行分類討論：當(dāng)0<c42時(shí)，以及當(dāng)c>2時(shí)，分別求出h與c的關(guān)系式即可.

【詳解】

解：(1)?.?函數(shù)6為y=x+i,函數(shù)耳和用的圖象關(guān)于)，軸對稱，

，函數(shù)6為y=-x+l,

當(dāng)x=r=2時(shí)，有

y=2+1=3；

y,2=-2+1=—1：

...點(diǎn)P為(2,3),點(diǎn)Q為(2,-1),

二PQ的長為尸Q=3—(—1)=4；

故答案為：4；

(2)?.?函數(shù)耳為y=j函數(shù)耳和K的圖象關(guān)于y軸對稱，

X

3

，函數(shù)6為y=-一；

x

,：x=t(t>0),

...點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)Q在第四象限，

33

設(shè)點(diǎn)P為(t,一)，點(diǎn)Q為(t,一),

tt

???PQ=6.

解得:f=l；

故答案為：1；

(3)①：函數(shù)片為y=ar2+bx+c(a/0),函數(shù)6和6的圖象關(guān)于y軸對稱,

函數(shù)6為：y=a?(-x)2+b?(-x)+c>HRj=ar2-ftx+c：

b

.?.把「=絡(luò)代入函數(shù)6,則y=a?(第y+b?骼+c=￡+揚(yáng)+C；

把”如代入函數(shù)月，則y=a?吟)2"?第+c=/赤+c；

二PQ=^-+y/b+c-(--y/b+c)=24b,

bb

?*,S〉OPQ=；x乎x2揚(yáng)=1：

2b

②由①可知，函數(shù)￡為y=依2+/zx+c,函數(shù)鳥為y=or2_bx+c,

???函數(shù)耳和鳥的圖象與x軸正半軸分別交于點(diǎn)45,0),3(1,0),

，25。+5。+。=0

/.〈，

a-b+c=0

1

a=——c

解得：，2,

,4

b=—c

[5

二函數(shù)片可化為：y=—|x2+^x+c,函數(shù)層可化為：y=-.》2-*x+c；

4c

函數(shù)耳的對稱軸為：x=------——=2,

2x(-|)

_4c

函數(shù)B的對稱軸為：x=-----=-2,

2x(--)

c>0,則a=-不<0,

則函數(shù)耳，函數(shù)鳥均是開口向下；

...函數(shù)耳在0<x<2上，y隨x增大而增大，在x>2上是y隨x增大而減小;

函數(shù)用在x>—2上，y隨x增大而減小;

*.*c<x<c+1,c>0,

當(dāng)0<c42時(shí)，貝(I

函數(shù)耳在x=2時(shí)取到最大值；函數(shù)寫在》=。+1時(shí)取到最小值，則

A/i=(-|x4+yx2+c)-[-|?(c+l)2-y*(c+l)+c],

169

即//=—c，+—c?+—c(0<c<2)；

555

當(dāng)c>2時(shí)，則

函數(shù)耳在x=c時(shí)取到最大值；函數(shù)寫在》=。+1時(shí)取到最小值，則

〃=(一■|"2+羨?C+C)-[一,?(C+1>一費(fèi)?(C+1)+C],

l'|Jh=2c2+c(c>2)；

-c3+-c2+-c(0<c<2)

綜合上述，力關(guān)于c的函數(shù)解析式為：h=\555

2c2+c(c>2)

【名師點(diǎn)撥】

本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，考查了二.次函數(shù)的對稱性、增減性，也考查了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，

待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及兩點(diǎn)之間的距離，求三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次

函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想進(jìn)行提示，從而進(jìn)行解題.

7.(2020?遼寧鞍山市?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線曠=改2+笈+2(0。0)經(jīng)過點(diǎn)A(—2,T)和

點(diǎn)C(2,0),與y軸交于點(diǎn)。，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)艮

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖1,連接3。，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得NPBC=2/500?若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,連接AC,交y軸于點(diǎn)E,點(diǎn)M是線段AO上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)A,點(diǎn)。重合)，將△CME沿

ME所在直線翻折，得到口/ME,當(dāng)口尸加后與重疊部分的面積是DAMC面積的■!■時(shí)，請直接寫

4

出線段AM的長.

【答案】(1)y——x2+x+2；(2)存在，(],w)或(丁，——)：(3)§I?；?/p>

【提示】

(1)根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解；

(2)在x軸正半軸上取點(diǎn)E,使OB=OE,過點(diǎn)E作EFLBD,垂足為F,構(gòu)造出/PBC=NBDE,分點(diǎn)P

在第三象限時(shí)，點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，點(diǎn)P在第四象限時(shí)，共三種情況分別求解；

(3)設(shè)EF與AD交于點(diǎn)N,分點(diǎn)F在直線AC上方和點(diǎn)F在直線AC下方時(shí)兩種情況，利用題中所給面

積關(guān)系和中線的性質(zhì)可得MN=AN,FN=NE,從而證明四邊形FMEA為平行四邊形，繼而求解.

【詳解】

解:(1)?.?拋物線y=o?+反+2(aw0)經(jīng)過點(diǎn)A(-2,-4)和點(diǎn)C(2,0),

-4=4?！?。+2[a=-1

則〈C4?C，解得：＜71，

0=4。+2〃+2b=l

二拋物線的解析式為y=—/+%+2：

(2)存在，理由是：

在x軸正半軸上取點(diǎn)E,使OB=OE,過點(diǎn)E作EFLBD,垂足為F,

在y=-x2+x+2中，

令y=0,解得:x=2或-1,

.?.點(diǎn)B坐標(biāo)為(-1,0),

二點(diǎn)E坐標(biāo)為(1,0),

可知：點(diǎn)B和點(diǎn)E關(guān)于y軸對稱，

/.ZBDO-ZEDO,即NBDE=2NBDO,

VD(0,2),

/.DE=^22+12=^=BD,

4q-11

在ABDE中，W—xBExQD=—xBDxEF,

即2X2=7^XEF,解得：EF=#L

???DF=4DE2-EF2=

EF4J53J54

；.tan/BDE=——==_

DF553

若NPBC=2NBD0,

貝|J/PBC=NBDE,

VBD=DE=V5>BE=2,

則BD2+DE2>BE2,

/.ZBDE為銳角,

當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí),

NPBC為鈍角，不符合;

當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí),

VZPBC-ZBDE,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(c,2

-C+C+2),

過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為G,

則BG=c+l,PG=-C2+C+2-

PG-c2+c+24

AtanZPBC=——二----------二一

BGc+l3

解得:c=g,

.20

??—c"+c+2二-，

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（—,—）；

同理可得：PG=c2-c-2>BG=c+l,

PGC2-C-24

tanZPBC=—=------------

BGc+13

解得:?=與

,52

,?-c~+c+2=~,

...點(diǎn)P的坐標(biāo)為（g,52

-----),

9

2201052

綜上：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,）或（§,——）；

(3)設(shè)EF與AD交于點(diǎn)N,

VA(-2,-4),D(0,2),設(shè)直線AD表達(dá)式為y=mx+n,

-4=-2m+nm=3

則《c，解得:

2=nn=2

：.直線AD表達(dá)式為y=3x+2,

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(s,3s+2),

VA(-2,-4),C(2,0),設(shè)直線AC表達(dá)式為丫=01^+由,

-4=-2mt+〃]m(=1

，解得:

0=2mt+〃]=-2

二直線AC表達(dá)式為y=x-2,

令x=0,貝?。輞=-2,

.?.點(diǎn)E坐標(biāo)為(0,-2),

可得：點(diǎn)E是線段AC中點(diǎn)，

.?.△AME和ACME的面積相等，

由于折疊，

ACME^AFME,即SACME=SAFME，

由題意可得：

當(dāng)點(diǎn)F在直線AC上方時(shí)，

._1_11

??SAMNE=丁SAAMC=_SAAME=~SFME>

422A

即SAMNE=SAANE-SAMNF，

，MN=AN,FN=NE,

四邊形FMEA為平行四邊形，

CM=FM=AE=—AC=-xA/42+42=2J2，

22

VM(s,3s+2),

???J(S_2『+(3S+2)2=2V2，

4

解得：s=-《或0(舍)，

當(dāng)點(diǎn)F在直線AC下方時(shí)，如圖，

同理可得：四邊形AFEM為平行四邊形,

，AM=EF,

由于折疊可得：CE=EF,

；.AM=EF=CE=2痣，

綜匕AM的長度為色普或2忘.

【名師點(diǎn)撥】

本題是二次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，折疊問題，平行四邊形的判定和性

質(zhì)，中線的性質(zhì)，題目的綜合性很強(qiáng).難度很大，對學(xué)生的解題能力要求較高.

8.(2020?江蘇宿遷市?中考真題)二次函數(shù)丁=辦2+法+3的圖象與*軸交于人(2,0),B(6,0)兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為E.

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)如圖①，D是該二次函數(shù)圖象的對稱軸上一個動點(diǎn)，當(dāng)BD的垂直平分線恰好經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求點(diǎn)D的坐

標(biāo)；

(3)如圖②，P是該二次函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)，連接OP,取OP中點(diǎn)Q,連接QC,QE,CE,當(dāng)ACEQ的

面積為12時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【提示】

(1)由于二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(2,0)、B(6,0)兩點(diǎn)，把A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=o?+法+3,計(jì)算

出a的值即可求出拋物線解析式，由配方法求出E點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出CB=CD,設(shè)D(4,m),由勾股定理可得4?+(m-3)2=6z+3?,解方程

可得出答案；

1

(3)設(shè)CQ交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M,設(shè)P(〃，；〃2一2〃+3),則Q(g〃,23

8--2n+-),設(shè)直線CQ的

1311312

解析式為了=履+3,則一〃*一2幾+—=—〃女+3,解得—〃一2—,求出M(4,n-5----),ME=

8224nn

H-4--,由面積公式可求出n的值，則可得出答案.

n

【詳解】

(1)將A(2,0),B(6,0)代入y=奴2+Zzx+3,

4。+2〃+3=0

得《，

36。+6。+3=0

1

a=—

解得《4，

b=-2

1

二二次函數(shù)的解析式為k產(chǎn)一92，+3：

i1,

'/y=—x2-2x+3=—(x-4)--1

E(4,-1)；

得CB=CD,

設(shè)D(4,m),

1

當(dāng)x=0時(shí),y=-x2-2x+3=3,

4

.\C(0,3),

CD2=CB2,由勾股定理可得:

42+(m-3)2=62+32，

解得m=3土例,

,滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,3+揚(yáng))或(4,3-729)：

(3)如圖3,設(shè)CQ交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M,

圖3

設(shè)P(〃，-n~-271+3),則Q(-?〃，-n~-n-\—),

4282

1,31

設(shè)直線CQ的解析式為y=履+3,則3"一九+“％+3,

822

解得上=—1〃一2一33，

4n

(13、

于是直線CQ的解析式為：y=\-n-2-一x+3,

[4n)

(13112

當(dāng)x=4時(shí)，=4—n-2-—+3=rt-5----

\4n7n

M(4,5----),ME=〃-5-----F1=zt—4----,

nnn

,；SACQE=SACEM+SAQEM=T;ME?XQ=7；〃—4----x—n=12,

22\nJ2

n2—4/j-60=0,

解得〃=10或"=-6,

當(dāng)〃=10時(shí),P(10,8),

當(dāng)”=-6時(shí),P(—6,24).

綜合以匕可得，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(10,8)或(-6,24).

【名師點(diǎn)撥】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角

形的面積；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵.

9.(2020?四川眉山市?中考真題)如圖1,拋物線丫=一/+次+。與無軸交于A、B兩點(diǎn)，與)'軸交于點(diǎn)C，

(2)點(diǎn)P為直線8C上方拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)口PBC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)M為該拋物線的頂點(diǎn)，直線MOJ.X軸于點(diǎn)。，在直線MD上是否存在點(diǎn)N,使點(diǎn)N到

直線MC的距離等于點(diǎn)N到點(diǎn)A的距離？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】（I）y=—x2+2x+3；（2）⑶存在，（1,-4+2#）或（1,-4一26）

【提示】

(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；

⑵過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)“，交于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(〃7,-/+2〃?+3),先求出直線的

解析式，再用m表示PG,得出5“睦=326?08=；(-機(jī)2+3加卜3,配方即可得出結(jié)論

(3)先根據(jù)拋物線的解析式得出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為(1,n)，得出MN=|4—〃|,從而確定NG

的長，再根據(jù)NG=M4得到關(guān)于n的方程，解方程即可

【詳解】

-9+3Z?+c=0

解：(1)由題意得:

c=3

b=2

解得＜

c=3

?.拋物線的解析式為y=-x2+2x+3

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為何,一加2+2加+3),過點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)”，交BC于點(diǎn)G,

?.?點(diǎn)3（3,0）,C（O,3）,

...宜線BC的解析式為：y=-x+3,

點(diǎn)G為（7%—/??+3）,

PG=y=一機(jī)之+3m.

=lpG-OB=l(-m2+3/n)x3=--fm-->|+—>

S"BC

22、72l2j8

3「315、

.,.當(dāng)機(jī)=二時(shí)，5ppc最大，此時(shí)點(diǎn)尸坐標(biāo)為|二,-7

2A(24J

(3)存在點(diǎn)N滿足要求.

y=-j^+2x+3=-(x-l)2+4,

頂點(diǎn)M為(1,4),

二直線MC的表達(dá)式為：y=x+3.設(shè)直線MC與x軸交于點(diǎn)E,則點(diǎn)E為(一3,0),

DE=DM=4,：.4CMD=45°.

設(shè)滿足要求的點(diǎn)N坐標(biāo)為(1,〃)，則=|4-小

?：NG=NA.：.NG2=NA2,而N42.+4,

整理得〃2+8〃-8=0,

解得〃=-4±2振.

???存在點(diǎn)N滿足要求，點(diǎn)N坐標(biāo)為(1,-4+2卡)或(1,7-2").

【名師點(diǎn)撥】

本題是二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法可求拋物線的解析式，三角形面積公式，二

次函數(shù)的最值，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，以及方程思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng).

10.（2020?黑龍江鶴崗市?中考真題）如圖，已知二次函數(shù)y=-x2+（a+l）x-a與X軸交于A、8兩點(diǎn)（點(diǎn)A

位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，已知ABAC的面積是6.

（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使％樹八存在請求出P坐標(biāo)，若不存在請說明理由.

【答案】（1）。=一3；（2）存在，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,3）或（_1+療,_3）或（―1—J7,—3）.

【提示】

（1）根據(jù)求出A.B.C的坐標(biāo)，再由ABAC的面積是6得到關(guān)于a的方程即可求解；

（2）根據(jù)—=SMBC得到P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±3,分別代入解析式即可求解.

【詳解】

（1）y=-x2+（a+l）x-a,

令x=0,則尸

C（0,—<7）,

令y=0,即一%2+（。+1）%-a=0

解得X1=a,x,=1

由圖象知：。<0

...4（。,0）,8（1,0）

SMBC=6

A^(1-?)(-?)=6

解得：a=-3>(a=4舍去)；

(2)：a=—3，

二C(0,3).

??C-Q

,Q&ABP_aMBC'

/.P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±3,

把y=3代入y=一》2一2》+3得一f—2x+3=3，

解得x=0或x=-2,

把丁=-3代入y=—Y—2x+3得一x2-2x+3=—3，

解得x=-1+々或x=-1-S，

二P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,3)或(-1+77,-3)或(-1-A/7,-3).

【名師點(diǎn)撥】

此題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法的應(yīng)用.

考查題型二反比例函數(shù)與圖形面積類相關(guān)問題

11.(2020?遼寧鞍山市?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x+l的圖象與X軸，y軸的交

點(diǎn)分別為點(diǎn)A,點(diǎn)8,與反比例函數(shù)>=人(女/0)的圖象交于C,。兩點(diǎn)，CE_Lx軸于點(diǎn)E,連接DE,

X

AC=3日

(1)求反比例函數(shù)的解析式;

(2)求△COE的面積.

【答案】(1)y=~；(2)—

x2

【提示】

(1)根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式推出ACAE為等腰直角三角形，得到AE=CE,再由AC的長求出AE和CE,再

求出點(diǎn)A坐標(biāo)，得到0E的長，從而得到點(diǎn)C坐標(biāo)，即可求出k值；

(2)聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)表達(dá)式，求出交點(diǎn)D的坐標(biāo)，再用!乘以CE乘以C、D兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差

求出ACDE的面積.

【詳解】

解：(1)一次函數(shù)y=x+l與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,

ZCAE=45°,即ACAE為等腰直角三角形，

；.AE=CE,

AC=3V2,即AE2+CE2=(3及『,

解得：AE=CE=3,

在y=x+l中，令y=0,則x=-l,

AA(-1,0),

AOE=2,CE=3,

：.C(2,3),

k=2x3=6,

反比例函數(shù)表達(dá)式為：y=9；

X

y=x+1

(2)聯(lián)立：]6，

y=-

lX

解得:x=2或?3,

當(dāng)x=-3時(shí),y=-2,

???點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,-2),

.,-SACDE=^x3x[2-(-3)]=y.

【名師點(diǎn)撥】

本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，求反比例函數(shù)表達(dá)式，解一元二次方程，三角形面積，難度不大,

解題時(shí)要注意結(jié)合坐標(biāo)系中圖形作答.

12.(2020.遼寧盤錦市.中考真題)如圖，AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(一2,0),(0,3),將線段A3繞點(diǎn)8逆時(shí)針

k

旋轉(zhuǎn)90。得到線段BC,過點(diǎn)。作。_L03,垂足為O,反比例函數(shù)丁=一的圖象經(jīng)過點(diǎn)C.

(1)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)，并求反比例函數(shù)的解析式；

k

(2)點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=—的圖象上，當(dāng)DPCO的面積為3時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

x

3

【答案】(1)(3,1)；y=—；(2)(1,3)或(-3,-1).

x

【提示】

(1)由AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)得出0408的長度，由題意得出AAOBwABOC,進(jìn)而得出B。，CZ)的長度,

從而得出。。的長度，即可得出。點(diǎn)的坐標(biāo)；進(jìn)而求出反比例函數(shù)的解析式；

(2)分點(diǎn)P在第一象限、第三象限兩種情況分類討論即可.

【詳解】

解：(1)VAB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(一2,0),(0,3),

:.OA=2,OB—3,

,/線段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BC,CDLOB,

：.AB=BC,ZABO+ZCBD=ZCBD+ZBCD=90°,

：.ZABO=ZBCD,

又「ZAOB=ZBDC=90°,

??.\AOB=\BDC，

：.CD=OB=3,BD=OA=2,

00=08—60=3—2=1,

點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,1),

k

V反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過點(diǎn)c(3,1),

x

,k

1=—,

3

二.%=3,

3

反比例函數(shù)的解析式為丁=一；

x

(2),/CD=3,

...當(dāng)APCD的面積等于3時(shí)，以CO=3為底時(shí)，得出的高為2,

???C(3,l),

，產(chǎn)點(diǎn)不會在C點(diǎn)的右邊；

設(shè)點(diǎn)P(x,y),

若點(diǎn)尸在第一象限，過點(diǎn)P作PN_LCD,垂足為N,

APCZ)的面積為3,

.?.；C0PN=；x3x(y—l)=3,

解得y=3,

3

將y=3代